勾股定理是几年级学的

1

第十七章勾股定理

第一课时17.1勾股定理（1）

学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：

一、自主学习

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺

折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直

角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是

5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，

那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空)

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

勾股定理内容

文字表述：

几何表述：

二、交流展示

例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为

a、b、c。求证：a2＋b2=c2。

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S

△

+S

小正

=S

大正

即4×

2

1

×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名

数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

a

b

c

c

2

例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________

右边S=_____________

左边和右边面积相等，即

_________________________

化简可得

_______________________

三、合作探究

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。（已知a、b，求c）

⑵a=。（已知b、c，求a）

⑶b=。（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，

写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

…………

19，b、c192+b2=c2

3．△ABC的三边a、b、c，

（1）若满足b2=a2＋c2，则=90°；

（2）若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；

（3）若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

四、达标测试

1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是()

2．斜边长为25B．三角形的周长为25C．斜边长为5D．三角形面积为20

3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（）

A．4B．8C．10D．12

b

b

b

b

c

c

c

c

a

a

a

a

b

b

b

b

a

a

c

c

a

a

3

A

C

B

D

4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（）

A．6B．8C．

13

80

D．

13

60

5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在

BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CFCE

第二课时17.1勾股定理（2）

教学目标：

1．会用勾股定理进行简单的计算。2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

重难点：

1．重点：勾股定理的简单计算。2．难点：勾股定理的灵活运用。

一、自主学习

1．勾股定理的具体内容是：。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系：；

⑷三边之间的关系：。

二、交流展示

例1、在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5,求a。⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

A

BC

D

E

F

图1-1-5

4

D

C

B

A

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______

边，求__________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前

三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已

知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的

关系的转化思想。

例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计

算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

三、合作探究

例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高.⑵求S

△ABC

。

分析：勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要

创造_______三角形，作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。

5

A

C

B

D

四、达标测试

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的

长。

3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

第三课时17.1勾股定理（3）

学习目标：1．会用勾股定理解决简单的实际问题。2．树立数形结合的思想。

重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。

学习过程：

一、自主学习

填空:在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。⑹如果b=8，a：c=3：5，则c=。

B

C

D

A

6

30

A

B

C

A

CB

R

P

Q

二、交流展示

例1（教材P25页例1）

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条

件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只

记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方

法。⑸小结深化数学建模思想，激发兴趣。

三、合作探究

例2（教材P25页例2）

如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，

这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5

米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

（计算结果保留两位小数）

分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，

实际就是求BD的长，而BD=OD-OB

四、达标测试

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，

这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离

是。

2题图3题图4题图5题图

4．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，

测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为。

D

A

B

C

O

BD

C

A

C

A

O

B

O

D

7

C

A

B

5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则

RQ=厘米。

6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少

为米。

7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A

地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价

为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

8．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠

B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间

的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

第四课时17.1勾股定理（4）

教学目标1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

重难点1．重点：勾股定理的综合应用。2．难点：勾股定理的综合应用。

一、自主学习

如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5

米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

A

C

BDE

F

8

BA

C

D

例4（教材P26页探究）

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一

一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。）

二、交流展示

例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，

CD=3，求线段AB的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，

三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊

角的特殊性质等。

三、合作探究

1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13

的点吗？

9

分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.

(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表示2的

点．那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）

2、如图：螺旋状图形是由若干个直角

三角形所组成的，其中①是直角边长为1的

等腰直角三角形。那么OA

1

＝,OA

2

＝,OA

3

＝,OA

4

＝,

OA

5

＝,OA

6

＝,OA

7

＝,…,OA

14

＝,…,OA

n

＝.

四、达标测试

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S

△ABC

=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=32cm，则∠A=度，∠B=度,∠

C=度，BC=，S

△ABC

=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，

BD=，AD=,S

△ABC

=。

4．已知：如图，在△ABC中，AD



BC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.

5●●●●●●O

1

2

3

4

5●●●●●●O

1

2

3

4

D

A

C

B

2

1

8-x

6

4

x

10

5、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°.求四边形ABCD

的面积。

第五课时17.2勾股定理的逆定理（1）

教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重难点1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2．难点：勾股定理的逆定理的证明。

一、自主学习

1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2.勾股定理的逆定理

______________________________________________________________________________

小结注：(1)每一个命题都有逆命题.

(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.

(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

A

C

E

D

B

60

1

2

11

a

b

c

a

b

BC

AA1

C1

B1

二、交流展示

例1（P32探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形

是直角三角形。

例2：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(理解勾股数)

（1）a=15,b=8,c=17.（2）a=13,b=14,c=15.

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条

边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，

则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

三、合作探究

例3、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，

c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°。

四、达标测试

1．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。

12

(5)△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是______三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15C．a=5，b=3，c=2D．a：b：c=2：3：4

4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断

该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=3，b=22，c=5；⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7；

⑷a=5，b=62，c=1。(5)a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

第六课时17.2勾股定理的逆定理（2）

教学目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习

1、若三角形的三边是⑴1、3、2；⑵

5

1

,

4

1

,

3

1

；⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）

A．2个B．３个Ｃ．４个Ｄ．５个

2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该

三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=32，c=4；

二、交流展示

13

例1（P33例2）某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同

时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时

航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，并相距30海里.如果知道“远

航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求PR，PQ，QR；

⑷根据勾股定理的逆定理，求∠QPR；⑸求∠RPN。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长

7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；

⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。

三、合作探究

例3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种

了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算

一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13

米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、达标测试

D

C

A

B

E

N

R

P

Q

海天号

远航号

21

海岸线

14

A

BC

D

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，

此三角形的形状为。

2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走

了80m后，又走60m的方向是。

3．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又

测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，

则电线杆和地面是否垂直，为什么？

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即

从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻

艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻

艇的航向？

C

A

B

E

N

13