复杂网络理论

文章编号:100124098

(

2005

)

复杂网络理论及其应用研究概述

刘 涛,陈 忠,陈晓荣

(上海交通大学安泰管理学院,上海 200030

)

摘 要:从统计特性、结构模型和网络上的动力学行为三个层次简述复杂网络相关研究,并着

重介绍了网络上的传播行为,认为它代表了复杂网络在社会经济系统中的重要应用。

关键词:复杂网络;小世界;无标度网络;疾病传播

中图分类号:

O

173 文献标识码:

A

1 引言

结构决定功能是系统科学的基本观点[1]。如果我们将

系统内部的各个元素作为节点,元素之间的关系视为连

接,那么系统就构成了一个网络,例如神经系统可以看作

大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络、计算机

网络可以看作是计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同

轴电缆等相互连接形成的网络,类似的还有电力网络、社

会关系网络、交通网络等等[2,3]。强调系统的结构并从结构

角度分析系统的功能正是复杂网络的研究思路,所不同的

是这些抽象出来的真实网络的拓扑结构性质不同于以前

研究的网络,且节点众多,故称其为复杂网络(

complex

networks

)。近年来,大量关于复杂网络的文章在

Science

、

Nature

、

PRL

、

PNAS

等国际一流的刊物上发表,从一个侧

面反映了复杂网络已经成为国际学术界一个新兴的研究

热点。

复杂网络的研究可以简单概括为最新电视剧有哪些 三方面密切相关却

又依次深入的内容:通过实证方法度量网络的统计性质;

构建相应的网络模型来理解这些统计性质何以如此;在已

知网络结构特征及其形成规则的基础上,预测网络系统的

行为[3]。

2 复杂网络的统计性质

用网络的观点描述客观世界起源于1736年德国数学

家

Eular

解决哥尼斯堡七桥问题。复杂网络研究的不同之

处在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接

之间的性质,这些性质的不同意味着不同的网络内部结

构,而网络内部结构的不同导致系统功能有所差异。所以,

对这些统计性质的描述和理解是我们进行复杂网络相关

研究的第一步,下面简述之。

2.1 平均路径长度(

Theaveragepathlength

)

网络研究中,一般定义两节点间的距离为连接两者的

最短路径的边的数目;网络的直径为任意两点间的最大距

离;网络的平均路径长度

l

则是所有节点对之间距离的平

均值,它描述了网络中节点间的分离程度,即网络有多小。

复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实

网络的平均路径长度比想象的小得多,称之为“小世界效

应”[2]。这一提法来源于著名的

Milgram

“小世界”试验[4],

试验要求参与者把一封信传给他们熟悉的人之一,使这封

信最终传到指定的人,籍此来探明熟人网络中路径长度的

分布,结果表明平均传过人数仅为六,这一试验也正是流

行的“六度分离”概念的起源[5]。

2.2 聚集系数(

Theclusteringcoefficient

)

聚集系数

C

用来描述网络中节点的聚集情况,即网

络有多紧密,比如在社会网络中,你朋友的朋友可能也

是你的朋友或者你的两个朋友可能彼此也是朋友。其计算

方法为:假设节点

i

通过

ki条边与其它

ki个节点相连接,

如果这

ki

个节点都相互连接,它们之间应该存在

ki(

ki-

1

)2条边,而这

ki个节点之间实际存在的边数只有

Ei的

话,则它与

ki(

ki-1

)2之比就是节点

i

的聚集系数。网络

第23卷第6期(总第138期) 系 统 工 程Vol.23,No.6

2005年6月 SystemsEngineering Jun.,2005

收稿日期:2005203225

基金项目:国家自然科学基金资助项目(

70401019

)

;高等学校博士点科研基金资助项目(

2002048020

)

作者简介:刘涛(

19782)

,男,湖北襄樊人,上海交通大学安泰管理学院博士研究生,研究方向:复杂网络,金融复杂性;陈忠

(

19432)

,男,上海交通大学安泰管理学院教授,博士生导师,研究方向:复杂性理论,智能管理;陈晓荣(

19722)

,女,上海交通大学安泰管

理学院讲师,博士,研究方向:复杂网络。

的聚集系数就是整个网络中所有节点的聚集系数的平均。

显然,只有在全连通网络(每个节点都与其余所有的节点

相连接)中,聚集系数才能等于1,一般均小于1。在完全随

机网络中,

C

:

N-1,然而实证结果却表明大部分大规模真

实网络中的节点倾向于聚集在一起,尽管聚集系数

C

远

远小于1,但都远比

N-1大[2]。

2.3 度分布(

Thedegreedistribution

)

图论中节点

i

的度

ki

为节点

i

连接的边的总数目,所

有节点

i

的度

ki

的平均值称为网络的平均度,定义为<

k

>。网络中节点的度分布用分布函数

p

(

k

)来表示,其含义

为一个任意选择的节点恰好有

k

条边的概率,也等于网络

中度数为

k

的结点的个数占网络结点总个数的比值。

2.4 其它性质

上述三种统计特性是复杂网络研究的基础,随着研究

的深入,人们逐渐发现真实网络还具有一些其它重要的统

计性质,例如:

(

1

)网络弹性(

NetworkResilience

)

网络的功能依赖其节点的连通性,我们称网络节点的

删除对网络连通性的影响为网络弹性,其分析有两种方式

——随机删除和有选择的删除,前者称为网络的鲁棒性分

析,后者称为网络的脆弱性分析。

Albert

等人分别对度分

布服从指数分布的随机网络模型和度分布服从幂律分布

的

BA

网络模型进行了研究[6],结果显示:随机删除节点

基本上不影响

BA

网络的平均路径长度,相反,有选择的

删除节点后,

BA

网络的平均路径长度较随机网络的增长

快得多。这表明,

BA

模型相对随机网络具有较强的鲁棒

性和易受攻击性。出现上述现象的原因在于幂律分布网络

中存在的少数具有很大度数的节点在网络连通中扮演着

关键角色,一般也称它们为

Hub

节点。

(

2

)介数(

betweeness

)

介数分为边介数和节点介数[7]。节点的介数为网络中

所有的最短路径中经过该节点的数量比例;边的介数含义

类似。介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用

和影响力,具有很强的现实意义。例如,在告知书怎么写 社会关系网络或

技术网络中,介数的分布特征反映了不同人员、资源和技

术在相应生产关系中的地位,这对于在网络中发现和保护

关键资源和技术具有重要意义。

(

3

)度和聚集系数之间的相关性

网络中度和聚集系数之间的相关性被用来描述不同

网络结构之间的差异[8],它包括两个方面——不同度数节

点之间的相关性和节点度分布与其聚集系数之间的相关

性。前者指的是网络中与高度数(或低度数)节点相连接的

节点的度数偏向于高还是低;后者指的是高度数节点的聚

集系数偏向于高还是低。实证表明,在社会网络(演员合作

网络、公司董事网络、电子邮箱网络)中节点具有正的度的

相关性,而节点度分布与其聚集系数之间却具有负的相关

性;其它类型的网络(信息网络、技术网络、生物网络)则相

反[9]。正因为如此,这两种相关性被认为是社会网络区别

于其他类型网络的重要特征,在社会网络研究中引起了高

度重视[10]。

3 复杂网络模型

最简单的网络模型为规则网络,其特点是每个节点

的近邻数目都相同,如一维链、二维晶格、完全图等。20

世纪50年代末

PaulErdos

和

AlfredRnyi

提出了一种完

全随机的网络模型[11],它由

N

个节点构成的图中以概率

p

随机连接任意两个节点而成,其平均度<

k

>=

p

(

N

-

1

)≈

pN

;平均路径长度

l

:

lnN

ln

(

<

k

>

)

;聚集系数

C

=

p

;当

N

很大时,节点度分布近似为泊松分布:

P

(

k

)≈

e-<

k

>k

k

!.随机网络模型的提出是网络研究中的重

大成果,但它仍不能很好的刻画实际网络的性质,人们又

相继提出了一些新的网络模型。

3.1 小世界网络(

Small

2

worldnetworks

)

实证结果表明,大多数的真实网络具有小世界性(较

小的最短路径)和聚集性(相对较大的聚集系数)[2],见表

1所示。然而,规则网络虽具有聚集性,平均最短路径却较

大;随机图则正好相反,具有小世界性,但聚集系数却相当

小。

可见规则网络和随机网络并不能很好展现真实网络

的性质,这说明现实世界既不是完全确定的也不是完全随

机的。

Watts

和

Strogatz

在1998年提出了一个兼具小世

界性和高聚集性的网络模型[12],它是复杂网络研究中的

重大突破!他们通过将规则网络中的每条边以概率

p

随

机连接到网络中的一个新节点上,构造出一种介于规则网

络和随机网络之间的网络(简称

WS

网络)

,它同时具有较

小的平均路径长度和较大的聚集系数,而规则网络和随机

网络则分别是

WS

网络在

p

为0和1时的特例。模型构造

过程如图1所示。

2

系 统 工 程 2005年

表1 实际网络的

Small

2

world

现象[2]

NetworkSize

<

k

>

l

lrandC

Crand

WWW

,

sitelevel

153,12735.213.13.350.10780.00023

Internet

,

domainlevel

3015～62093.52～4.113.7～3.766.36～6.180.18～0.30.001

Movieactors

225,226613.652.990.790.00027

MEDLINEco

2

authorship

1,520,25118.14.64.910.066

1.110-5

Math

.

co

2

authorship

709753.99.58.20.59

5.410-5

E

.

coli

,

reactiongraph

31528.32.621.980.590.09

SilwoodParkfoodweb

1544.753.403.230.150.03

Workds

,

synonyms

22,31113.484.53.840.70.0006

Powergrid

4,9412.6718.712.40.080.005

C

.

Elegans

282142.652.250.280.05

注:下标

rand

为随机网络模型下的计算,通过对比实际网络与相应随机网络(相同的节点数和边数)的性质,可以发现真实网络

具有小世界和较高聚集系数的性质。

图1

WS

小世界网络模型的构造[12]

WS

模型提出后,很多学者在此基础作了进一步改

进[13],其中应用最多的是

Newman

和

Watts

提出的所谓

NW

小世界模型[14]。

NW

模型不同于

WS

模型之初在于

它不切断规则网络中的原始边,而是以概率

p

重新连接

一对节点。

NW

模型的优点在于其简化了理论分析,因为

WS

模型可能存在孤立节点,但

NW

不会。事实上,当

p

很

小而

N

很大的时候,这两个模型理论分析的结果是相同

的,现在我们统称它们为小世界模型。

3.2 无标度网络(

Scale

2

freenetworks

)

尽管小世界模型能很好的刻画现实世界的小世界性

和高聚集性,但对小世界模型的理论分析表明其节点的度

分布仍为指数分布形式[15]。实证结果却表明对于大多数

大规模真实网络用幂率分布来描述它们的度分布更加精

确[2],即

P

(

k

)∶

k-,见表2所示。

3

第6期 刘涛,陈忠等:复杂网络理论及其应用研究概述

表2 实际网络的

Scale

2

free

现象[2]

NetworkSize

<

k

>outinlreallrandlpow

WWW

,

site

325,7294.512.452.111.28.324.77

Internet

,

router

150,0002.662.42.41112.87.47

Movieactors

212,25028.782.32.34.543.654.01

Co

2

authors

,

SPIRES

56,6271731.21.242.121.95

Co

2

authors

,

math

.70,9751202.52.59.58.26.53

Sexualcontacts

2,8103.43.4

Metabolic

,

E

.

coli

7787.42.22.23.23.322.89

Protein

,

S

.

cerev

.18702.392.42.4

Citation

783,3398.573

Phonecall

531063.162.12.1

Words

,

co

2

occurrence

460,90270.132.72.7

注:下标

out

、

in

分别表示出度和入度的幂率分布指数,可见很多网络的度分布具有幂率特征。下标

real

、

rand

和

pow

分别表示真

实网络、随机网络模型和

Scale

2

free

网络模型中计算的平均路径长度。

幂率分布相对于指数分布其图形没有峰值,大多数节

点仅有少量连接,而少数节点拥有大量连接,不存在随机

网络中的特征标度,于是

Barabsi

等人称这种度分布具

有幂率特征的网络为

Scale

2

free

网络[16]。为解释

Scale

2

free

网络的形成机制,

Barabsi

和

Albert

提出了著名的

BA

模型[17],他们认为以前的网络模型没有考虑真实网络

的两个重要性质——增长性和择优连接性,前者意味着网

络中不断有新的节点加入进来,后者则意味着新的节点进

来后优先选择网络中度数大的节点进行连接。他们不仅给

出了

BA

模型的生成算法并进行了模拟分析[17],而且还

利用统计物理中的平均场方法给出了模型的解析解[18],

结果表明:经过充分长时间的演化后,

BA

网络的度分布

不再随时间变化,度分布稳定为指数为3的幂律分布。

BA

模型的提出是复杂网络研究中的又一重大突破,

标志着人们对客观网络世界认识的深入。之后,许多学者

对这一模型进行了改进,如非线性择优连接[19]、加速增

长[20]、重绕边的局域事件[21]、逐渐老化[22]、适应性竞争[23]

等等。需要注意的是,绝大多数而不是所有的真实网络都

是

Scale

2

free

网络,如有的真实网络度分布为指数分布截

断形式[24]等等。

3.3 其它网络模型

除了经典的小世界模型、无标度网络模型之外,学者

们也提出了一些其它的网络模型来描述真实世界的网络

结构。

(

1

)局域世界演化模型

李翔和陈关荣认为择优连接机制不可能在整个网络

上都起作用而只会在某个局域世界里被遵守,通过将局域

世界的概念引入

BA

模型对其作了推广,提出了所谓的局

域世界演化网络模型[25],其度分布介于指数网络和无标

度网络的度分布之间。该模型表明,随着局域世界的扩大,

网络演化越不均匀,越接近于

BA

模型,即:局域世界的规

模决定了网络演化的非均匀性。

(

2

)权重演化网络模型

上述研究均将网络看作无权网,然而现实网络大多为

有权网,即网络节点之间的连接强度是有区别的。

Yook

等

人提出了一种权重演化模型[26]:假定节点权重正比于节

点的度数,也即度数大的节点拥有更大的权数。结果表明,

其度分布也符合幂律特征。

(

3

)确定性网络模型

上述所有网络模型都引入了某种程度的随机性,那么

是否一定要有随机性才能展现出小世界性和无标度特性

呢?

Barabsi

等人提出了一种具有层次结构的网络模

型[27],它在确定性机制下也能表现出无标度特性,节点度

分布为

P

(

k

)

:

k-

ln2

ln3。

4 复杂网络的应用

网络结构研究固然重要,但其最终目的是通过研究结

构来了解和解释基于这些网络之上的系统运作方式,进而

预测和控制网络系统的行为。一般将这种建立在网络上的

系统动态性质称为网络上的动力学行为,其涉及面非常之

广,如系统的渗流[28]、同步[29]、相变[30]、网络搜索[31]和网

络导航[32]等等。上述研究理论性较强,有一潇洒走一回吉他谱 类应用性很强

4

系 统 工 程 2005年

的网络行为研究已经日益引起人们的兴趣,如计算机病毒

在计算机网络上的蔓延、传染病在人群中的流行、谣言在

社会中的扩散等等,实际上它们都是一种服从某种规律的

网络上的传播行为。传统的网络传播模型大都是基于规则

网络的,复杂网络研究的深入使我们重新审视这一问题。

下面我们着重介绍这类应用研究。

网络传播行为的研究最初且仍是主要的目的之一是

为了了解疾病的传播机制。一般用节点表示疾病传染或感

染的个体,如果两个个体之间可以通过某种方式直接发生

传染与被传染关系,就认为这两个个体之间存在连接,这

样就得到了传播网络的拓扑结构,进而可以建立相关模型

来研究这种传播行为。显然,网络传播模型研究的关键是

传播规则的制定和网络拓扑结构的选择。

经典的疾病传播模型为

SIS

模型和

SIR

模型[33],它

们都将网络拓扑结构简单的假定为规则网络或者充分混

合均匀网络,区别在于传播规则的不同。在

SIS

模型中,每

个节点处于两种状态——健康易受感染的和已被感染而

具有传染性的;在

SIR

模型中,节点还可以处于另一种

“免疫”状态,这种状态下的节点既不会被感染也不会感染

其它节点,相当于将它从传播网络中剔除掉。我们以

SIS

模型为例介绍其研究结果,首先随机选择网络中一个或若

干节点为染病节点,其余为健康节点,在每一时间步,染病

节点的邻近节点以概率

变成染病节点,

称为传染率,

同时每个染病节点都依某个事先设定的痊愈率

变成健

康节点,上述演化规则在整个网络中被同时执行。显然,传

染率越大,痊愈率越小,疾病就越有可能感染更多的人,一

般定义传染率和痊愈率的比值为传染强度

.研究表明,经

典

SIS

模型存在一个传染强度阈值

c

>0,如果

≥

c

,疾病

传染将一直持续下去达到一个稳定的范围,此时称染病节点

数占总节点数的比例为疾病传染的波及范围;相反,如果

<

c,疾病持续传染一段时间后最终将全部被治愈。

然而,将疾病接触网络简单抽象为规则均匀连接网络

并不符合实际情况。

Moore

等人研究了小世界网络中的疾

病传播行为[34],发现疾病在小世界网络中的传播阈值明

显比在规则网络中小,相同的传染强度下,经历相同时间

后,疾病在小世界网络中的传染范围明显大于其在规则网

络中的传染范围,即:相对于规则网络,疾病在小世界网络

中更适宜传染;

Paster

2

Satorras

等研究了在无标度网络上

的传染行为[35],结果令人震惊:无论是规则网络还是小世

界网络,总存在正的传染强度阈值,而无标度网络中疾病

传染的阈值却非常接近于零,如图2所示。对

SIR

模型的

分析也可以得到类似的结果[36]。

图2 规则网络、小世界网络、无标度网络的疾病传播波及范围与传染强度关系示意图

由于大量的实证研究表明真实世界网络既具有小世

界性又具有无标度特性,上述结论是相当令人沮丧的。所

幸的是,生活中无论是疾病还是计算机病毒的传染强度都

非常小(=1

)

,危害不至于太大。然而,一旦疾病或病毒的

传染强度较大时就必须高度重视其危害,对其的控制措施

也不能完全依赖于医疗卫生条件的提高,而只能采取隔离

保护某些节点、强行切断相关连接进而中断传染途径的方

法来改变传播网络的拓扑结构。事实上,我们也正是采用

上述方法成功的战胜了2003年春夏之交席卷全国的

SARS

灾害。

疾病传播机制的研究并非问题的全部,我们的最终目

的是研究如何有效控制疾病传播。

Pastor

2

Satorras

等的研

究表明,在资源有限的情况下,优先保护节点度数比较大

的节点比随机选择节点进行保护效果要好得多[37]。然而

实际应用中,节点的度,即:传染期间与某个体有可能接触

的个体数目,往往是很难统计的。比如在对性传播疾病的

研究中,研究人员只能通过问卷和口头询问的方式获知患

病者或高危人群的情况,但他们回答的可信度很低,有鉴

于此,一些学者依据上述思想提出了一些具有实际意义的

免疫策略,如“熟识者免疫”[38]、“接触免疫”[39]、“环状免

疫”[40]等等。

网络传播行为的研究不仅在于分析疾病传播现象,而

5

第6期 刘涛,陈忠等:复杂网络理论及其应用研究概述

且可以用来分析其它许多事物的传播行为。例如,我们可

以将其应用于社会网络上传播行为的研究,基本思路如

下:首先从复杂网络理论出发抽象出社会网络的拓扑结

构,然后按照一定的传播规则分析其传播机制,最后分析

如何通过一定措施影响这种传播。事实上,这类研究工作

已经开展起来,如:知识或技术的扩散[41]、网络新产品的

扩散[42]以及银行金融风险的传染[43]等,它们既有联系又

有区别,前两者的研究目的是为了促进传播;后者则是为

了尽量避免传播。

5 小结

本文从复杂网络的统计特性、结构模型以及发生在网

络上的动力学行为三个逐次深入的层面简述了最近几年

在国际学术界引起高度重视的复杂网络领域的相关研究。

网络是许多复杂系统的结构形态[44],当前对于复杂网络

研究的兴起正是自20世纪80年代中期兴起的复杂性科

学研究的一个拓展。正因为如此,复杂网络的研究也已经

受到了我国学术界的特别关注[45],分别于2004年4月在

无锡、9月在杭州召开了全国范围的研讨班,掀起了复杂

网络研究的热潮。总之,面对这一全新而富有前景的领域,

我们应该把握机遇,结合相关研究领域将其深入开展下

去,为推动我国社会和经济的持续发展作出应有的贡献!

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CHENZhong

,

CHENXiao

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rong

(

AetnaSchoolofManagement

,

ShanghaiJiaotongUniversity

,

Shanghai

200030,

China

)

Abstract

:

Inthispaperwebrieflyreviewthestudiesaboutcomplexnetworksfromthreelevels

,

statisticalproperties

,

structuremodelanddynamicalbehavior

.

Inspecially

,

weintroducethebehaviorofthespreadofinfectionover

networks

,

andwethinkitveryimportantinsocialandeconomicsystems

.

Keywords

:

ComplexNetworks

;

Small

2

world

;

Scale

2

freeNetworks

;

TheSpreadofInfection

7

第6期 刘涛,陈忠等:复杂网络理论及其应用研究概述