等比中项

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数3dmax快捷键命令大全 列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一

项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：daa

nn



1

（d

为公差）（2n，*nN）注：下面所有涉及n，*nN省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

1

(1)

n

aand，

1垫排球

a为首项，d为公差

推广公式：()

nm

aanmd

变形推广：

mn

aa

dmn







3、等差中项

（1）如果

a

，A，b成等差数列，那么A叫做

a

与b的等差中项．即：

2

ba

A



或baA2

（2）等差中项：数列

n

a是等差数列

)2(2

11-





naaa

nnn21

2





nnn

aaa

4、等差数列的前n项和公式：

1

()

2

n

n

naa

S





1

(1)

2

nn

nad





2

1

1

()

22

d

nadn2AnBn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数

项为0）

特别地，当项数为奇数21n时，

1n

a



是项数为2n+1的等差数列

的中间项



121

211

21

21

2

n

nn

naa

Sna





（项数为奇数的等差数列的各

项和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法

（1）定义法：若daa

nn



1

或daa

nn



1

(常数Nn)



n

a是

等差数列．

（2）等差中项：数列

n

a是等差数列

)2(2

11-





naaa

nnn21

2





nnn

aaa

（3）数列

n

a是等差数列

bkna

n

（其中bk,是常数）。

（4）数列九樱

n

a是等差数列

2

n

SAnBn,（其中A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法

定义法：若daa

nn



1

或d吴京图片 aa

nn



1

(常数Nn)



n

a是等差

数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：

1

a、

d、n、

n

a及

n

S，其中

1

a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素

中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

1

(1)

n

aand

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差

为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；

公差为2d）

8、等差数列的性质：

（1）当公差0d时，等差数列的通项公式

11

(1)

n

aanddnad

是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和

2

11

(1)

()

222n

nndd

Snadnan



是关于n的二次函数且常数项为

0。

（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减

等差数列，若公差0d，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有

qpnm

aaaa，特别地，当2mnp

时，则有2

mnp

aaa。（注：

12132nnn

aaaaaa



，）当然扩充

到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系

数之和相等。

（4）

n

a、

n

b为等差数列，则

12nnn

abab，都为等差数列

(5)若{

n

a}是等差数列，则

232

,,

nnnnn

SSSSS，…也成等差数

列

(6)数列{}

n

a为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项

(

23

,,,,

mmkmkmk

aaaa



)仍为等差数列

（7）

n

a、{}

n

b的前n和分别为

n

A、

n

B，则21

21

nn

nn

aA

bB







（8）等差数列{}

n

a的前n项和

m

Sn，前m项和

n

Sm，则前

m+n项和

mn

Smn



，当然也有,

nm

aman，则0

mn

a





(9)求

n

S的最值

法一：因等差数列前

n

项和是关于

n

的二次函数，故可转化为求

二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前

n

项和的最大值是所

有非负项之和

即当，，00

1

da由













0

0

1n

n

a

a

可得

n

S达到最大值时的n值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前

n

项和的最小值是所有

非正项之和。

即当，，0怎么做炒饭 0

1

da由













0

0

1n

n

a

a

可得

n

S达到最小值时的n值．

或求

n

a中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像

是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，

n

S取

最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为

2

pq

n





注意：

1

(2)

nnn

SSan



，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论

当1n的情况。

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于

1

a和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，

减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是

很难，并能够学会运用）

第二节：等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义：

1

2n

n

a

qqn

a



0，q为公比

2、通项公式：

1

1

n

n

aaq，

1

a为首项，q为公比

推广公式：nm

nm

aaq，从而得nm

n

m

a

q

a



3、等比中项

（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：

2Aab或Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项

有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列

n

a是等比数列

2

11nnn

aaa





4、等比数列的前n项和

n

S公式：

(1)当1q时，

1n

Sna

(2)当1q时，

1

1

1

11

n

n

n

aq

aaq

S

qq









11''

11

nnn

aa

qAABABA

qq





（,,','ABAB为常

数）

5、等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1

(0)n

nnn

n

a

aqaqqa

a





或为常数，{}

n

a

为等比数列

（2）等比中项：2

11nnn

aaa



（

11nn

aa



0）

{}

n

a为等比数列

（3）通项公式：0n

n

aABAB{}

n

a为等比数列

（4）前n项和公式：

'',,','nn

nn

SAABSABAABAB或为常数{}

n

a为等比数列

6、等比数列的证明方法

依据定义：若*

1

2,n

n

a

qqnnN

a



0且或

1nn

aqa



{}

n

a为等比数列

7、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项代金券模板图片 俳句之神 公式及前

n

和公式中，涉及到5个元素：

1

a、

q、n、

n

a及

n

S，其中

1

a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中

的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：

1

1

n

n

aaq

如奇数个数成等比，可设为…，2

2

,,,,

aa

aaqaq

qq

…（公比为q，中间项

用a表示）；注意隐含条件公比q的正负

8、等比数列的性质：

(1)当1q时

①等比数列通项公式1

1

1

0nnn

n

a

aaqqABAB

q

是关于n的带有系

数的类指数函数，底数为公比q

②前n项和

1

1111

1

''

1111

n

n

nnn

n

aq

aaqaa

SqAABABA

qqqq









，系

数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2)对任何m,n

*N,在等比数列{}

n

a中,有nm

nm

aaq,特别的,当m=1时,

便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更

具有一般性。

(3)若

mnst

(,,,mnst*N),则

nmst

aaaa。特别的,当2mnk时,

得2

nmk

aaa

注：

12132nnn

aaaaaa





(4)列{}

n

a,{}

n

b为等比数列,则数列{}

n

k

a

,{}

n

ka,{}k

n

a,{}

nn

kab{}n

n

a

b

(k为

非零常数)均为等比数列。

(5)数列{}

n

a为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项

(

23

,,,,

mmkmkmk

aaaa



)仍为等比数列

(6)如果{}

n

a是各项均为正数的等比数列,则数列{log}

an

a是等差数列

(7)若{}

n

a为等比数列,则数列

n

S，

2nn

SS，同等学历考研

32

,

nn

SS，成等比数列

(8)若{}

n

a为等比数列,则数列

12n

aaa,

122nnn

aaa



,

21223nnn

aaa



成等比数列

(9)①当1q时，②当1q0<时，

1

1

0{}

0{}

{n

n

aa

aa





，则为递增数列

，则为递减数列,

1

1

0{}

0{}

{n

n

aa

aa





，则为递减数列

，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{}

n

a中,当项数为2n(n*N)时,

1

S

Sq

奇

偶

,。

(11)若{}

n

a是公比为q的等比数列,则n

nmnm

SSqS





注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q

的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于

1

a和q的方程；

②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，

减少运算量。

关于等差、等比两个引申：

1nn

akab



模式（其中,kb为常数，

2n）；

1

n

nn

apap



模式（其中p为常数，2n）

在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理

解：

例1已知数列



n

a，有

1

34

nn

aa



（2n），则求该

数列的通项公式

解题大致思路：先设

1

3()

nn

abab



，则对于

1

34

nn

aa





1

23(2)

nn

aa



，那么我们就可以构造数列

2

n

a为等比数列，利用等比的相关性质去解决，

注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还

有你考虑到当1n的这种情况了吗？

例2已知数列



n

b，有

1

22n

nn

bb



（2n），求该数

列的通项公式

解题的大致思路：

1

22n

nn

bb



（2n）

1

2

1

22

nn

nn

bb

1

1

1

22

nn

nn

bb





，相信你已经知道构造什么数

列了吧，这两个模式一百岁感言 考试中喜欢考，也比较基础，

当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数

列中的构造思想。