37空气阻力类牛顿定律

3-7空气阻力类(牛顿定律)

专题3---7 雨滴受到的

空气阻力类

自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达

地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实

际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，应为在下落过

程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度

增加而增加，到达一定高度后，重力便于阻力和浮力的合力相

等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度便叫做收尾速度。这

个速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较

大危害的。在此，阻力起了关键作用。

雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动,对于半径 r

＜3.6 ×10m特小雨滴，如取r=0.00002m计算，则收尾速度

只有0.051m/s，达到这个速度几乎是一瞬间的事，所用时间约

为0.023s，这是很短的，因此可以说极小雨滴都是以收尾速度

下落的。所以，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下

到地面的，必须长成大雨滴才能落下。当雨滴半径r>0.002m

时，以r=0.0025m为例，收尾速度约为ν=11.2m/s ，达到该

m

速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高空落到地

面约需3分钟。

雨滴半径极小时,空气阻力跟速度成正比例; 当雨滴半径

比较大时, 空气阻力跟速度平方成正比例. 上述结果也可用于

冰雹，还因为冰的密度小于水的密度，其收尾速度还要小些，

但冰雹表面坚硬，力的作用时间短，使得作用力较大，所以往

往可以砸坏建筑物，击伤人畜，对人类危害很大。

-5

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例1. 已知小球运动时受到的空气阻力恒为重力的k倍,与地面

碰撞时无机械能损失,小球在离地H高处自由下落。

.求小球运动的总路程。

例2.雨滴运动时受到的空气阻力是速度的k倍,那么质量为m

的雨滴落地速度是多少?并且分析雨滴下落运动的性质.

例3、（2009年江苏卷）航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，

其质量m =2㎏，动力系统提供的恒定升力F =28 N。试飞时，

飞行器从地面由静止开始竖直上升。设飞行器飞行时所受的阻

力大小不变，g取10m/s。

2

（1）第一次试飞，飞行器飞行t = 8 s 时到达高度H = 64 m。

1

求飞行器所阻力f的大小；

（2）第二次试飞，飞行器飞行t = 6 s 时遥控器出现故障，飞

2

行器立即失去升力。求飞行器能达到的最大宽度h；

（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到

恢复升力的最长时间t 。

3

例4．（2003年江苏15） 当物体从高空下落时,空气阻力随速

度的增大而增大,因此经过一段距离后将匀速下落,这个速度称

为此物体下落的终极速度.已知球形物体速度不大时所受的空

气阻力正比于速度v,且正比于球半径r,即阻力f=krv, k是比

例系数.对于常温下的空气,比例系数k=3.4×10 Ns/m. 已知

-42

水的密度ρ=1.0×10 kg/m,取重力加速度g=10 m/s.试求半

332

径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度v.

m

例5．一小求竖直上抛，如果不考虑空气的影响，回到出发点

的时间为t。若考虑空气阻力，并且认为大小是恒定的，那么

1

小球回到出发点的时间为t。试比较t 、t的大小关系。

212

例6． 假定跳伞运动员在下落过程中伞所受空气阻力的大小与

下落速度的平方成正比，即F=kv，比例系数k=20N·s/m。

222

若跳伞运动员与伞的总质量为72kg，起跳高度足够高，试求：

1）跳伞运动员在空中做什么运动，收尾速度多大？2）当速度

达到4m/s时，下落的加速度是多大？

例7．（江苏物理—3）一质量为的探空气球在匀速

M

下降，若气球所受浮力始终保持不变，气球在运动

F

过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为现欲

。

使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球篮中减少的质量为

（ ）

A．2(M) B．M C．2M D．0

例8．（上海物理—21）总质量为80kg的跳伞运

动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开

绳索开启降落伞，如图13所示是跳伞过程中的v

－t图像，试根据图像求：（g取10m/s）

2

（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。

（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。

（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。

例9（08海南卷）、科研人员乘气球进行科学考察．气球、

座舱、压舱物和科研人员的总质量为990 kg．气球在空中

停留一段时间后，发现气球漏气而下降，及时堵住．堵住

时气球下降速度为1 m/s，且做匀加速运动，4 s内下降了

12 m．为使气球安全着陆，向舱外缓慢抛出一定的压舱

物．此后发现气球做匀减速运动，下降速度在5分钟内减

少3 m/s．若空气阻力和泄漏气体的质量均可忽略，重力加

速度g＝9.89 m/s，求抛掉的压舱物的质量．

2

3答案：（1）4N（2）42m（3）2.1s

【解析】（1）第一次飞行中，设加速度为

a

1

匀加速运动

Hat

1

2

2

11

a

2

a

3

v

1

由牛顿第二定律

Fmgfma

a

1

t

3

解得

f4(N)

t

2

v

3

（2）第二次飞行中，设失去升力时的速度为，上升的高度为

v

a

4

1

1

s

1

匀加速运动

sat

1

2

112

2

设失去升力后的速度为，上升的高度为

a

s

2

2

由牛顿第二定律

mgfma

2

vathss42(m)

11212

解得

v

1

2

s

2

2a

2

34

（3）设失去升力下降阶段加速度为；恢复升力后加速度为，

aa

恢复升力时速度为

v

3

由牛顿第二定律

mgfma

3

F+f-mg=ma 且

4

22

vv

33

h

2a2a

34

Vat 解得t=(s)(或2.1s)

3=33 3

32

2

4．雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，

方向向上，当雨滴达到终极速度后，加速度为零，二力平

v

r

衡，用表示雨滴质量，有

m

① ② 由①②得终极速度③

mgkrv0

T

r

4

mr



3

3

4rg



3

v

r

3k

代入数值得＝1.2m/s .

v

6．

1）伞和运动员在空中受到重力和空气阻力的作用，

根据牛顿第二定律，当其速度为3 m/s时，mg-kv2=ma，代入数据可得加速度大小a=7.5 m/s2.

（2）由上述公式可以知道：随着速度的增加，加速度减小，但加速度还是与速度同方向的，其速度不

断增大，这样加速度就进一步减小.这样不断进行下去，最终加速度值为零时，速度不再增加，达到最

大.此时伞和运动员受力平衡：mg-kvm2=0，解得vm=6 m/s.

8分析与求解：（1）从图中可以看出，在＝2s内运动员

t

做匀加速运动，其加速度大小为：m/s=8m/s。设此过

22

程中运动员受到的阻力大小为，根据牛顿第二定律有：－

fmgf

＝，解得：＝(－)＝80×(10－8)N＝160N。

mafmga

（2）从图中估算得出运动员在14s内下落的距离（图像

与坐标周围成的面积，共39．5个小格）为：39．5×2m/s×

2s＝158m，根据动能定理有： 。代入数据解得：

5

W

f

≈1．25×10J。

（3）14s后运动员做匀速运动的时间为：s

＝57s，运动员从飞机上跳下到着地需要的总

时间为：＝+′＝（14+57）s＝71s。

ttt

总

9．解析：由牛顿第二定律得：mg－f＝

ma

1

hvtat

0

2

2

抛物后减速下降有：

f(mm)g(mm)a

///

a/t

v

101 kgmm

g/t

v

Δv＝a

/

Δt

解得：

/