连锁故障的概率性负载依赖模型和停电的可能影响

连锁故障的概率性负载依赖模型和停电的可能影响

摘要

大型、互联的基础设施系统的灾难性的破坏往往是由于连锁故障。例如，电

力系统的大型停电事故通常是由负载过重造成的系统连锁故障。我们引入一个连

锁故障的连锁模型，该模型系统是一个具有许多随机加载的相同组成部件的系统。

初始扰动会导致某些组成部件超出其承载极限，故障部件会导致其他部件的固定

负载增加；而随着故障部件增加，系统更进一步发生连锁故障成为可能。故障部

件数量的概率分布是一个扩展的准二项分布。使用递归推导扩展准二项分布的显

式公式。在一个受限制的参数范围内的连锁模型提出了服从准二项分布的新模型。

一些性质特点由扩展准二项分布表明，包括电源的末端，总指数末端和整个系统

故障的显著概率。

1、连锁模型

连锁故障是大，互联基础设施系统中的一个普遍的灾难性故障原因。例如，

负荷依赖性连锁故障发生在电网大停电时。这些基础设施对社会的重要性，促使

建设和研究模型来捕捉连锁故障的显着特点。

我们定义概率连锁故障的连锁模型具有以下的一般特征：

1、有多个相同的组成部件，每一个都具有一个随机的初始负载和初始扰

动。

2、当一个部件过载，它不能将负载转移到其他部件。

特征2会导致连锁故障：其他部件产生另外一个的故障造成一些其他部件也

可能故障，导致一个连锁故障。部件因为连锁效应逐步地过载。连锁模型的初始

版本是用来研究电力传输系统的关键的负荷变化和功率末端停电大小的概率分

布[ 8 ]。

1.1、对模型的描述

连锁模型具有N个相同随机初始荷载部件。对于每一个部件的最低初始负载是

L，最大初始负载是Lmax。

J = 1,2，……，N，J部件具有初始载荷L J，是一个随机变量（L min，L max ]。

L 1，L 2，···，L n是独立均匀分布。

当负荷超过L时，部件就会发生故障。当一个组件发生故障时，一定量的负

荷P传递到其他每个组件开始连锁反应，我们假设的初始扰动加载到其他每个组

件的额外值为D.其他组件是否发生故障取决于它们的初始载荷L J，并且这些组

件任意一个发生故障时将分发的附加载荷P≥0，可能会导致进一步的连锁故障。

连锁模型可以更精确地定义在算法的形式：

连锁模型算法：

0、所有n个部件都开始有允许初始荷载L 1，L 2，L N···，确定为独立随

机变量均匀分布在[Lmin，Lmax]。

1、将初始扰动D添加到j=1,2，……，n组件的负载。

2、测试正常组件到发生故障：如果组件j是正常的，当负载＞L发生故障，

假定组件在Mi这一水平发生故障。

3、如果Mi=0，停止测试；连锁过程结束。

4、如果Mi> 0，然后根据故障的数量Mi增加的组件负载：增加Mi功率到

组件j，j=1，…

5、增量迭代计数i，转到步骤2。

一个简单的连锁模型的例子有5组分产生连锁列于表1。在这个连锁中，2

个组件在迭代1次故障，一个组件在迭代2次故障和一个组件在迭代3次故障，

然后连锁结束，共有4个组件故障。也就是说，m1 = 2，m2 = 1，m3 = 1，然后

连锁结束，共有m1+m2+m3= 4个组成部分故障。图1显示了这一系列负载在这一

连锁反应中参照迭代数的增加量。

表1、一个5组分连锁反应中载荷的增加实例：

由于连锁故障是由的组件荷载与L的关系唯一确定，一个等效的方式来可视

化连锁显示了组件负载好像固定在它们的初始值并且L的水平线向下变化，如图

2所示。在这一点上，该行在第一次向下移动是因为初始扰动D，然后取决于随

后的迭代Mi P。在图2中，Mi 是一个组件故障的前一个数，很方便地显示为0，

该线路略过。

图1、5个组件构成的级联实例中的组件负载增加。0表示初始荷载和1,2,3,4

表示迭代1,2,3,4分别加载。当其负载超过一个水平线L故障时，组件发生故障。

图2。另一种可视化的连锁例子与负载（零），好像固定在其初始值并有L

故障的水平线向下移动。该行第一次移动下降了D=3，随后按比例转移到以前的

故障数（0的数目的零线刚刚通过）。

考虑连锁模型的算法中的连锁控制中的组件故障的事件。为了方便描述，我

们按故障发生顺序重新编号。对事件的准确描述相当于是，R分量不存在正整数

k和M 1，M 2，M···，K，4页上的方程（1–6）。我们举一些例子来解释（2 - 6）。

由于组件1在第一次迭代后故障，此时其负载L1因为初始扰动D增加， L 1 +

D > L 故障。这是例子解释（2）。第一次迭代后，所有的负载都增加了M 1 P.

因为M 1 + 1组件第二次迭代时故障，L M 1 + 1 +M1 P + D > L故障。此外，

由于M 1 + 1组件不能在第一次迭代故障，L M 1 + 1 + D≤L故障。这是例子

解释（3）。组件r+ 1永不故障，并且组件r+1的负载因D+rP增加在连锁反应的

末期。因此L r + 1 + D + rP≤L故障。这是例子解释（6）。

在表2中总结了连锁模型。

1.2标准化模型

假设初始扰动D改变为D + K，故障载荷L改变为L + K 。K添加到初始扰

动增加了所有荷载的在开始时的连锁效应，但由于故障负载也因为K增加了，组

件的故障是不变的，并将在整个连锁过程中持续。也就是说，组件故障的连锁是

不变的，所有的负载和故障负载只是因为K增加数值，此结论在K的正反两面都

成立，因此我们有：

定理一、如果初始扰动和组件的故障载荷L增加相同数量的K，连锁过程不

变。

原则1也遵循从表达式（2 - 6），仅仅取决于不同L−D。

模型规范在两个步骤是很方便的：第一步是改变初始扰动D为D + L max −

L fail并改变故障载荷L fail 为L fail + L max − L fail = L max。根据定

理1 和K = L max −L fail，这些变化对连锁过程中的组件故障没有影响。

其次定义了标准化的初始负载：

其中lj是一个随机变量在[0,1]均匀分布。此外，故障负载lj= 1。令

P是任意组件的负载增长量，当另一组件发生故障后它表现为一个负载，其

值在Lmax到Lmin之间。类似地，D是初始扰动表示一小部分的负载波动。在表

3中总结了连锁模型及其标准化参数。此外，标准化的条件下的组件的故障显示

在（1）和（7 - 11）中。

2故障组件数分布

本节导出了故障组件数概率分布的递归和显式公式。

定义：F（r、d、p、n）是r组件在在连锁模型中发生故障的概率，模型是

标准化初始扰动d、标准化的负载转移量p、以及n个组件。

2.1当d ≤ 0和 d ≥ 1时的情况

当初始扰动 d ≤0时，没有组件发生故障，并且

当 d ≥ 1时, 所有的n个组件立刻发生故障，并且

2.2从0 < d < 1导出递归

本段假定在0＜d＜1。初始扰动会d导致初始负载的组件立即失效，初始负

载在（1−d，1 ]。因此，任何组件立即故障的概率是d，所以任何组件没有立即

失败的概率是1−d。由于初始荷载独立，，R = 0部件故障的概率是：

此外，在一个组件的情况下（n＝1）

其他部分，我们假设，1≤r≤n；如果r≥1组件故障，那么一定数量组件k，

k有 1≤k≤r必须因初始扰动d立即故障。Ek表示该事件，k为立即故障的组件。

初始组件的负载是独立的。

由于E 1，E2，...，E r为互斥和完备集合的事件，全概率的公式给出：

我们主张：

建立公式（20），考虑到n−K组件在E K条件下没有立即发生故障。由于n-k

组件没有立即故障，他们的负荷l必须在[0，−d）并均匀分布在[0，−d ]（即，

条件Ek的均匀分布在[0，−d ]。），对n-k组件而言，L min = 0和l max = 1−

d。

在Ek，每个n−k组件有一个负荷从初始扰动增加到d，一个额外的负载从k

组件的立即故障后增加Kp。

因此，Ek后，每个n-k组件总的初始扰动是d = kp + d。总结一下，Ek后，

n−k最初未故障的组件是由连续模型的初始扰动d = kp + d决定，负载转移P =

p，L min = 0，L max = 1−d，L fail= 1，和n-k组件。使用（13）标准化的收

益率

n-k最初未故障的组件是由具有归一化初始扰动Kp 1−d的连续模型，归一

化负载转移1−d和n-k组件决定。因此，r组件故障率由Ek表示，n-k个组件中

r-k的故障率由式（20）给出。

结合（18），（19），（20）产生递归：

2.3 扩展的准二项分布公式f

本节建立扩展准二项分布公式为故障的组件数量分布f。以下对准二项分布

的特殊情况进行了讨论。

我们总结的公式（15 - 17）和递归（21）：

方程（22−25）和（26）的递归定义f（R，D，P，N）对所有n≥1和d > 0

成立。这是一个简单的证明，通过归纳证明f（r、d、p、n）是一个对于所有的

n≥1的概率分布，在附录A中详细介绍

考虑表达式：

附录B证明（27-29）满足（22−26），因此对于扩展准二项分布概率分布的

显式公式。

所以由np + d≤1给出的概率分布（27-29）化简为（27）：

这是准二项分布引进康瑟尔[ 5 ]模型anurn问题，模型由玩家的战略决策。

因此（27-29）是一个扩展准二项分布，参数范围的扩展到让np + d >1。我们

下面将看到这个扩展的参数范围所有组件故障的概率很高。

康瑟尔[ 5 ]模型的准二项分布的平均值（30）为：

3连锁分布实例

本节展示了组件n = 1000的梯级分布的定性行为建模实例和如何选择标准

化的连锁模型的参数。

3.1故障平均次数

一种方法来概括的连锁分布的参数变化的行是检查的故障组件的平均数。图

3所示为参数d和p的函数曲线图。在n = 1000情况下考虑图3，曲线np + d =

1相连于（p，d）=（1 / n，0）=（0.001,0）（p，d）=（0,1）。图3的区域在

曲线np +d= 1右侧并且曲线d = 0以上为黑色部分是由于高概率造成的，此时

所有组件故障的平均数接近1000（但注意的角落附近（P，D）= 0.001,0的黑色

区域是圆形，使附近的（P，D）=（0.001,0）是白色的）。

该地区的曲线np + d = 1的左边和曲线d = 0上边，准二项分布（30）适

用，故障平均数< r >是由（31）决定。特别是，< r >对d是成比例的.下面的

小节检查扩展准二项分布更详细地在图3中显示了常数p和d的不同。

3.2 p=0的二项分布

连锁模型的在p=0的限制的情况下，分布成为二项分布：

众所周知，对于大n和小d，（32）是很好的近似高斯分布的平均nd

和方差nd（1−d）。

3.3常数小d的性质

我们假设的归一化初始扰动是固定小的值d= 0.0001，并检查如何分布变化

随着p的增加。对于p= 0，分布是二项分布像以上提到的。如图4所示，从零

开始的分布。p=0.0001的分布末端不同于二项分布。但仍然近似指数分布。随

着p的增加尾部变得较重，并且p的分布在某范围内的是一个近似的幂尾的分布，

p=0.001近似满足条件的np + d1= 1。对p=0.002的分布有一个小r的约指数尾

部，中间r的概率为零，并且1000个组成部分故障的概率为0.08。（如果一个

中间数的组件故障，则连锁总的1000个组件故障。）

以前，限制版本2的连锁定性获得了类似的结果，通过假设P =d，增加p.

对这些结果进行了类似定性仿真得到的结果通过增加负荷停电模型引起了电力

传输系统的连锁故障[ 8 ]。

提高标准化功率传输标准被认为是可以加强交互连锁故障的组件。在pdf

的进展，指数尾随着p增加。当电力系统发生故障时，它们对连锁故障发生风险

有重要的影响。

幂尾指数可以近似如下。假设np + d≤1。通过写作λ= np和θ=nd，让n

→∞→0 ，p和d→0，在这样一种方式下λ= np和θ= nd固定，它可以在[ 6 ]

利用Stirling公式，准二项分布分布f（r，d，p，n）可以被近似为：

这是广义泊松分布[ 6 ]。当r >> 1, 使用Stirling公式得到：

在极限条件下，np + d = 1成为λ=1，设置了λ=1得到：

当此时有。

3.4最大限度减少负荷的影响

在级联模型中，试图减轻连锁故障的一种方法是减少最大的组件负载量，使

Lmax低于Lfail。让K = Lfail−L max是最大负荷量的减少量。此时，该系统在

任何初始扰动D小于K时都不会故障，我们将观察k从零开始增加造成的的影响。

标准化初始扰动和归一化功率转移（k）是k的函数，特别是根据（13），

因此

并且组件r故障的概率是：

这说明了减少最大负载的影响。如果k＞d（0）或d（k）＜0，将不存在故

障情况（14）。对于小k，d（k）≈d（0）−k（1−d（0）），使得归一化的初始扰

动减小。然而，标准化的负载转移量。一个例子如图5所示。

没有故障的概率（r= 0，而不是如图5所示）是0.37为0和0.90，k= 0.0009。

在这种情况下，无故障的概率缓慢增加，并减少故障的概率在在r≥1的范围内

的。然而，增加在P（k）使末端分布较重。

3.5 平均负荷变化的影响

我们假设初始扰动的初始值为0，并通过改变初始载荷的平均值，考察初始

载荷变化的影响A。

初始载荷W =Lmax−L min范围。然后，初始载荷范围可以被参数化为L和W：

我们选择让W是恒定的，检查不同L的效果。于是，根据（13），归一化初

始扰动D（L）成为一个仿射函数L,并且传递功率P是一个常数：

组件r故障的概率是：

L−W / 2，如果d（L）＜0，将不会发生故障（14）。如果L>Lfail+ W

/ 2，则d > 1并且所有组件失败（15）。

现在考虑Lfail−W / 2≤L≤Lfail+ W / 2，0≤D（L）≤1。特别是，我们

选择Lfail= 1和W = 0.2，0.9≤L≤1.1，选择P = 0.00075和n = 1000。图6

显示为d = 0.0005，0.05，0.2，0.25，分别的PDF，L = 0.9001，0.91，0.94，

0.95。在这种情况下，np + d = 1发生在d = 0.25，对于d > 0.25概率下pdf

迅速造成所有组件故障。在范围0≤d≤0.25内的准二项分布公式（30）和（31）

适用，因此故障的组件随d和L线性增加。

4停电应用

连锁模型是非常简单的代表了现实的一个大型电力系统的各个详细方面。因

此，连锁模型的一般特征可以存在于大停电的传输线和发电机是合理的。

电力系统组件故障的交互方式有很多，其中包括通过保护系统、功率流的重

新分配、动态操作或规划错误。然而，按照连锁模型，这些相互作用是负载的依

赖性，一个组件的故障倾向于强调其他组件，使更可能发生故障。如果我们专注

于由于线路超载和和中断通过再分配的功率流（直流潮流与LP调度）的相互作

用产生的连锁故障，然后结果的OPA模型〔1，2，7 ]表明，各种运行机制是可

能的[ 1，2，4 ]。这些机制下大面积停电的分布的例子在连锁模型中观察到的

类似于3节。

3节中的例子也说明了不同的模型和参数化可以在连锁模型定义并进行归

一化处理通过梯级分布公式的应用。例如在3.4节的连锁故障大致模型中运用

n-k安全准的整体特征使得最大负荷降低。（如果我们把初始组件故障认为是给n

个剩余的组件提供的初始扰动，然后在最大负荷的减少大致接近的连锁效应的

n-k准则中，系统可能存在一定数k的初始组件故障比例K.分析第3.4认为只有

的n剩余的部分，此处n=n-k。

该连锁模型可用于想法的测试，如连锁故障在复杂情况的大型电力系统大停

电。事实上，在第3.3节中，一个限制版本的连锁模型已经被用来显示电源的末

端行为定性，并与在大停电模型[ 8 ]中获得的相似。利用连锁故障模型更好地

了解连锁故障在停电的OPA模型[ 1，2，4 的进一步应用，电力系统本身是有前

途的工作。

我们已经开始探索的连锁故障模型与光纤束材料破坏模型的的关系。而不是

关于初始负载Lj作为随机和故障负载Lfail作为固定的，一个可以把Lfail作

为随机和Lj作为固定的。这使得连锁故障模型在一个单一的连锁故障比一个越

来越多的纤维束的模型更优越。全局负载共享光纤束模型分配失败的纤维负载平

均分配给所有未故障组件，负荷转移到每个未故障组件的数值往往随着连锁过程

发展增加。然而，克洛斯等坚持在分析单级故障时荷载传递是固定的，得到广义

泊松分布（33）在方程（11）。

5 结论

我们定义和解释相同系统组件的负载依赖性连锁故障的连锁模型。故障组件

数量由派生递归pdf公式计算得到。这些公式量化了初始扰动和荷载传递对组件

出现故障时的影响。因此，使用解析的方法可将与负载相关的连锁故障的特点在

概率模型中获得。

故障的组件数量的pdf是一个扩展的准二项分布；这是一个扩展的参数范围

内的准二项分布。连锁故障模型似乎是一个新的模型，作为一种特殊的情况下，

结果的准二项分布。递归提供一个简单的方法导出这个分布，避免了复杂的代数

和数学运算。

pdf的末端可以从指数近似得出功率末端范围，否则，有一个高概率故障（所

有组件故障）。与没有连锁依赖性的系统相比，电源末端和总的故障制度表现出

使大部分组件故障的概率大大增加。事实上，在这些制度下，罕见的连锁灾难性

故障事件的的风险可以媲美或超过更频繁的较小的中断的风险。（虽然灾难性故

障是罕见的，他们有巨大的成本，风险由频率和成本造成。）在大面积停电事故

风险的大背景下，要求进行了更详细的讨论，因为在电力系统的末端大停电的情

况下参数见3。

对于未来的工作，我们期待着利用连锁故障模型的性能和应用程序来了解连

锁故障在大型互联复杂系统的现象。我们希望，连锁故障模型可以量化的风险，

并减轻灾难对基础设施故障的危害风险。