第六章输运现象
在晶格振动中我们得到了在简谐近似下，其集体运
动可以很好地用声子的语言描述。
在能带论中，我们讨论了在理想周期排列的静止离
子实阵列中的电子，电子作为准经典粒子，占据
能带中用布洛赫波函数描述的单电子态。
本章首先介绍金属电子论的内容，然后进一步讨论
在电场和磁场的作用下，金属中的电子和半导体
中电子和空穴的运动引起各种电荷输运现象，这
些现象是研究晶体基本特性和内部机构的重要方
面。主要讨论的是在弱电、磁场下，晶体中的电
荷输运问题。
固体物理第六章固体物理第六章
但在实际晶体中存在各种晶格缺陷，晶格原子本
身也在不断地振动，它们都会势晶体中的势场
偏离理想的周期性势场，这相当于在严格的周
期性势场上叠加了附加的势场。这种附加势场
可以使在状态k的载流子有一定的几率跃迁到
其它状态k'，也就是说，原来以速度v(k)运动的
载流子，改变为以v(k')运动，这种附加的势场
引起的载流子状态的改变就是载流子散射。
在有外界电场和磁场存在的情况下，在晶体中将
有电流流动，计算电流密度是讨论电荷输运现
象的中心环节，解决这个问题可以有不同的途
径。
固体物理第六章固体物理第六章
dkeE
dt
=−
固体物理第六章固体物理第六章
在理想的完整晶体里的电子，是处在严格的周期
性势场中，用波矢k标志它们的运动状态。电
子在晶体中的运动如同在一个周期性的势场中
运动一样，状态的变化服从以下规律：
dk
dt
=
F
其中F是外力，当F=0时，dk/dt=0，说明晶体电子
在某时刻处于k态，就将永远保持在这个状态
中，其能量、速度均不会发生变化。因而电子
的速度v(k)也是不变的。这表明电子与离子实
不会发生碰撞。这是量子力学的结果，与经典
的结论是绝然不同的。
从理论上研究载流子输运现象的方法有两类，一类是
经典或半经典的；另一类是量子的。
经典方法中又可分成两种，一种是将载流子在布洛赫
态中的平均速度作为它们的速度，将载流子看作是
具有一定速度v(k)、有效质量m
*
的准经典粒子，求
解准经典粒子在外场作用下的运动方程。
在外场和散射两种作用下的运动，在相继两次散射之
间的自由时间内，载流子被外场加速，使它们获得
沿着外场作用力方向的附加速度。经过一段时间的
加速运动后，载流子又被散射，这将使它们失去获
得的附加速度，恢复到无规则运动状态。
考虑载流子经历的多次散射，求出平均漂移速度以
后，可以很容易地写出电流密度的表达式。
这个方法的优点是简单明了，缺点是不够精确。
另一种方法是分布函数法，即通过求解玻尔兹曼方
程，这个方程反映了外界电场和磁场以及散射对
分布函数的影响，得到在外场作用下载流子的分
布函数，从而求出所需的输运参数。这种方法比
较繁杂，但是一种比较精确的统计方法。
研究输运现象的量子理论可以考虑各种粒子间的相
互作用，因而是更为精确的方法，但是也更为深
奥复杂。
§6-1 金属电子论
金属为什么容易导电？它又为什么是良好的热传
导体？这曾经是物理学家极其关心的课题，
1897年汤姆逊首先发现了金属中电子的存在，
当时分子论在处理理想气体问题上获得了巨大
的成功，特鲁特（Drude）在这些工作基础提
出了关于金属的简单模型，这是能够利用微观
概念计算实验观测量的第一个固体理论模型。
自由电子气的浓度比标准状况下经典理想气体的
浓度大约1000倍，电子之间、电子与金属之间
还存在相互作用，特鲁特把这种高浓度的电子
视为理想气体，用类似气体运动论的方法讨论
金属的电导和热导问题：
固体物理第六章固体物理第六章
1928
年索末菲首先将费米狄拉克统计用于电子
气体，发展了量子的金属自由电子气体模
型，克服了经典模型明显的不足，成功地解
决了电子气的热容量问题，以及特鲁特模型
所遇到的困难。
[V(r)](r)(r)
−
2
2m
∇+=
ϕεϕ
其中V(r)为电子在金属中的势能，为电子的本
ε
征能量。忽略电子-离子实的相互作用，在凝
胶图像下V(r)为常数势，可简单地取为零。
ϕ
k
(r)e
=
1
ikr
⋅
V
固体物理第六章固体物理第六章
固体物理第六章固体物理第六章
1自由电子气在周期性排列的晶格中作无规热运
动，电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡。
2在两次碰撞之间，电子不受到力的作用，即略
去电子之间的相互作用（独立电子近似）以及
电子与金属离子之间的相互作用（自由电子近
似)。
3定义驰豫时间τ，借以概括电子和金属离子的碰
撞特征。代表单位时间内电子与金属离子的碰
撞几率。
电子理想气体的速度分布遵从波尔兹曼分布，模
型解释了欧姆定律，维得曼一弗兰兹定律。但
是他的模型不能解释电子平均自电程过小，比
热低温区与实验不符合，另外在处理磁化率也
遇到问题。
金属中的自由电子
一、导带电子状态
晶体中的电子波函数为b1och波
ϕ
kk
(r)eu(r)
=
ikr
⋅
在自由电子近似下：
ϕ
1
22
k
ikr
⋅
k
(r)e
=
V
E(k)
=
2m
在自由电子近似下，电子在状态空间的等能
面为球面，我们先来求自由电子气的态密度
分布，波矢小于k的状态数正比于半径为k的
球体积。
442mE
3
π
3
Q(E)2()
=⋅
V42mE
33
π
k()
=
2
2
(2)3
π
32
π
3
2
N(E)==VE=4V()E=CE
dQ(E)(2m)2m
3
2
111
2222
π
3
dE2h
π
23
二、泡利不相容原理(Pauliexclusion principle)和费
米分布函数(Feimi-Diracdistribution function)
（1）泡利原理
由泡利原理，不允许两个电子占据同一电子态，由
开始依次填充上面的能级，直到最后一个电子填
充到状态为止，最高能量状态：
E
22
k
0
V2mE
0
=
2m
Q(E)()
=
3
π
22
0
3
2
E(3n),E1.57eV
2
000
=≈−
2m
2
π
2
3
费米能量的定义为绝对零度下，电子填充
的最高能级的能量。
与经典理论不同，对经典理论，电子平均
动能为3/2kT，T→0时，动能为0，但根
据量子理论，T→0时，电子仍具有
v~10
8
cm/s速度。
（2）费米分布函数与费米能量
固体物理第六章固体物理第六章
三种统计定律：
第一，麦氏几率分布函数，粒子是可区分
的，对每一个能级上的粒子数没有限制；
第二，玻色-爱因斯坦分布，粒子是不可区分
的，每一个量子状态下允许的粒子数目没有
限制，声子或黑体辐射满足这种分布。
第三，费米-狄拉克分布，粒子是不可区分
的，但是每一量子态只能有一个粒子，晶体
中的电子满足这一分布。
固体物理第六章固体物理第六章
取T=0K，
当E<E
FFF
，exp[(E-E
)/kT]→exp(-∞)=0, f(E<E)=1
当E>E
FFF
，exp[(E-E
)/kT]→exp(+∞)→+∞。f(E>E)=0
固体物理第六章固体物理第六章
为确定材料的电学特性，我们有两个任
务，确定晶体中的电子特性，确定晶体中
非常大量电子的统计特性。由于电子在半
导体、金属中的数目非常巨大，我们不可
能跟踪每一个粒子的运动。因此我们将讨
论晶体中电子的统计规律，注意在确定电
流的统计规律时泡利不相容原理是非常重
要的因素。
根据统计力学原理，热平衡下，能量为E的
能级被电子占据的几率为；
f(E)
=
1
e1
(E)
−
µ
kT
+
µ
(E
统粒子总数的方法来获得，它代表在体积不
F
)为化学势，或称为费米能级,可通过求系
变的条件下，系统增加一个电子所需的自由
能。f(E)称为费米分布函数，它表示能量为E
的一个量子状态被电子占据的几率，也可看
做该状态上的平均电子数，因为热力学几率
指该状态上的平均电子数。
T=0Kf(E)为一阶跃函数，E
，
T≠0K时，在的最高能级，当E附近的过渡
F
代表电子占据
区内f(E) 由1变为0，这一过渡区范围为kT
F
数量级，低于E的能级被电子占据的几率
下降，高于E
F
加。f(E
F
的能级被电子占据的几率增
F
)=1/2
T=0K时的费米-狄拉克统计分布表明电子位
于可能的最高的能级，所有电子的能量低
于费米能级。费米能级决定了电子的统计
分布，不一定对应于某一个允许能级。
根据f(E)N
∑
i
=
原则上可由上式计算E
F
i
当温度高于绝对零度时，电子随着热能的增
加会跳到更高的能级上去。
我们可以注意到在E以下dE距离内空态的几
率与E以上dE距离内被占据的几率是相同
F
F
的。函数f(E)与函数1-f(E)关于费米能级E是
F
对称的。
考虑当E-E
-狄拉克统计函数变为：1，费米
F
>>kT，分子中的指数项远大于
fE)exp[(]
≈
−−
(EE)
F
F
kT
该式被称为波尔兹曼分布。
固体物理第六章固体物理第六章
E
0
T=0K
NN(E)dE
=
∫
2
E(3)
2
00
=n
∞
0
2m
π
2
3
T≠0K
NN(E)f(E)dE
=
∫
N(E)=
dQ(E)
考虑kT<<E
0
dE
F
E
∞
Q(E)N(E)dE
=
0
∫
NfEdQE
=()()
∫
∞
0
Nf(E)Q(E)Q(E)()dE
=−
∞
∂
f(E)
0
∫
∂
E
0
E→∞
f(E)→0
∞
E=0
Q(E)=0
NQ(E)()dE
=−
∫
∂
f(E)
0
∂
E
Q(E)Q(E)Q(E)(EE)(E−E)
=+−+
′′
(E)Q
F
FFFF
′
2
2
固体物理第六章固体物理第六章
固体物理第六章固体物理第六章
三、费米面
费米面是E=E在状态空间中的等能面，在
F
T=0K，它表示电子占有态和未占有态的
界面，对自由电子而言，费米面是以
k=k
00
为半径的球面，k称为费米波矢。
kk(2mE)(2mE)
11
F0F0
===
0
11
22
v(E)
1k
∇==
0
Fkk
0
m
四、E的确定
F
∞
NN(E)f(E)dE
=
∫
0
∞∞∞
NQE
=−
()()()()()dEEE
∂
f
FFFF
∫∫∫
∂
E
dEQEEE
+−−
′
∂
f
Q(E)
′′
F
∂
f
000
+−−
()()dE
∂
E
2E
2
∂
ξ
=
EE
−
F
∞∞∞
kT
NQEdQEkTdkTd
=−−−
()()()()
∂∂∂
fff
FF
∫∫∫
−−−
∂∂∂
ξξξ
ξξξξξ
′
EEE
Q(E)
′′
F
2
2
kTkTkT
∂∂
f1ee
ξξ
−
∂∂+++
ξξ
==−=−
()
e1(e1)(1e)
ξξξ
22
−
第一项
=−=
1
∞
e1
ξ
+
−∞
1
∞
第二项(kT)d0
=−=
∫
ξξ
−
e
ξ
−∞
(e1)
ξ
+
2
=−
1e
∞
−
2(e1)
(kT)d
22
−∞
∫
−
ξ
第三
ξ
+
ξξ
−
2
∞
ξ
=
()d
kT
22
∫
e
−
0
(e1)
−
ξ
+
2
ξξ
∞
=−+−
(kT)e(12e3e)d
222
∫
ξξ
−−−
ξξξ
0
=kT−+−
()[2(1)]
2
11
23
23
=
π
2
6
(kT)
2
(1x)1nxx
+=++
n2
n(n1)
−
2!
x<1
−
EE
F
∞
x=e=e<<1
−
η
−
kT
∫
xedxa
nax
−
=,>0
n!
0
a
n1
+
2
NQ(E)Q(E)(kT)
=+
FF
π
6
′′
2
Q(E=)()E=E
V2mN
3
33
FFF
Q(E)=
′′
π
22
2
22
F
3N1
E
3
3
4
0
2
E
31
2
E
0
F
2
NE
=+
NN(kT)
3
22
EE
331
=+()]
NkT
E[1
3
2
00
222
F
2
π
8
F
2
π
2
E
F
E
3
0
2
8
E
F
EE[1()]
π
2
kT
2
π
2
kT
F0
=−
12E
=−
E([1)]
2
0
F
12E
0
F
由上式知随温度T的上升E以二次幂下降，但一
般温度下kT/E
~0.01，所以E
F
0F
随T变化较弱，可
认为近似不变。
不难定性说明E随T的变化关系。费米分布函数
上下是对称的，而态密度N（E）不是对称
F
在E
F
变化，而且随E单调上升，热平衡时，E 未占据数应等于的E>E 0 的 0 电子占据数，以保持电 子总数不变，由于E>E 0 时有较高的态密度，为 了使两部分电子相等，则E F 必须相应下降。 固体物理第六章固体物理第六章 2 UR(E)R(E)(kT) =+ FF π 6 ′′ 2 E 3NE3NE 3 2 5 R(E)dE 2 == ∫ RE= ′′ ()E 9 N 1 2 0 25 EE 3 4 00 22 3 E 3 0 2 5 2 U =+ 39 N 22 N 1 54 E 33 E FF π EkT () 2 00 22 6 E EE[1 π 2 F0 =−()]带入得： 12E kT 2 0 1 U =−+− 3 N E 55 22 πππ 22 kTN 2 22 22 5 E 33 F [1()] 00 22 12 E 3 E 1 2 0 8 E 0 [1()]() 12 kT E kT 0 2 UENNE() =+ 3kT 54E π 00 2 0 固体物理第六章固体物理第六章 自由电子气体比热的量子理论，解决了早 期Drude经典理论的困难。按照经典理 论，每个电子的平均动能为3/2k 热的贡献为3/2k，与晶格比热有相同的 B T，对比 数量级。实际上只是费米面附近k B B T范围 内的电子有贡献。这部分电子占全部电子 的kT/E倍。 0 固体物理第六章固体物理第六章 自由电子气的热容 洛伦兹把金属中的自由电子看作是理想气 体，服从经典统计规律玻尔兹曼分布，N 个自由电子的总能量为3/2NkT，对热容 量贡献为3/2Nk，与晶格振动的贡献相比 是同数量级，实验上发现金属的电子比 热只有这个数值的百分之一，索末菲采 用费米分布计算了电子气热容。 ∞ E UEdNEf(E)N(E)dE == ∫∫ R(E)EN(E)dE = ∫ 0 0 R(E)表示E以下量子态被电子填满时的总能量 dR(E)=EN(E)dE ∞ UR(E)()dE =− ∂ f ∫ 0 ∂ E T→0 U(0)=EN 3 5 0 ε =E 3 dUkT π 2 5 0 CN()k V == dT2E 0 每个电子对热容的贡献为： Ck π 2 V = 2E () kT 0 电子比热与温度成正比。在低温下晶格比热 按T 3 下降，最终在10K左右或更低的温度下会 小于电子比热，低温下金属的总比热可写 成： C=T+T V γβ 3 §6-2载流子的散射 对某一载流子而言，散射具有偶然性，但对 大量载流子而言，在一定时间间隔内发生 的散射次数，以及散射后的速度分布，都 存在统计规律。 我们定义，单位时间内，每个载流子遭受散 射的平均次数为载流子的散射几率P,以这 个量来描述载流子被散射的频率程度。 在晶体中，载流子被频繁地散射，每秒可以 发生10 1213 ~10 次，为了描述散射过程方便 起见，先要引入几个有关的物理量。 1.散射几率： 以载流子入射方向为极轴，用极坐标 （θ,ϕ）表示散射以后的散射方向，考虑 到实际存在的与方向有关的散射具有轴对 称性，用P(θ)表示单位时间内载流子被散 射到任一方向单位立体角（θ,ϕ）内的几 率。若用dΩ来表示任意方向（θ,ϕ）的立 体角元，则单位间内载流子被散射到各个 方向的总几率1/τ a 固体物理第六章固体物理第六章 1 τ =Ω pd () θ dΩ=sindd θθϕ a ∫ 入射方向与散射方向之间的夹角θ称为散射角 2平均自由时间 载流子有一定的散射几率，并不表示它们在相继两 次散射之间所经历的时间（自由时间）是固定 的，相反地，这个时间却是有的长，有的短。下 面求平均自由时间。 设有N 0 个速度为v的载流子，在t=0时，刚刚遭到一 次散射，令N表示在时间t时，它们中间尚未遭到 下一次散射的载流子数，在时间t到t+dt之间，被 散射的载流子数（-dN），应该同N和dt成正比， 所以N满足下列方程式： 固体物理第六章固体物理第六章 平均自由时间的数值等于散射几率的倒数，我们 就用τ为表示载流子的平均自由时间。 a 3 弛豫时间： 最简单的散射是各向同性散射，即载流子被散射 到各个方向的几率相等，(P(θ)与θ无关)。晶格振动 散射就是各项同性散射。经过这种散射后，载流 子的速度是完全无规则的，这相当于说，每次散 射完全消除了载流子所获得的定向运动速度，对 于各项同性散射。 1 τ =Ω a ∫ p()d θ 固体物理第六章固体物理第六章 散射角到微立体角dΩ内的示意图 dN1 dt =− τ N a 式中1/τ是单位时间内载流子被散射的几率， 求解方程可得： a NN =− t 0 exp() 在t到t+dt的时间内被散射载流子数为： τ a 1t ττ Nexp()dt 0 − aa 这些载流子经历的自由时间均为t，所以平均自 由时间为： ttNexp()dt =⋅−= 11t N ∫ 0a τ 0aa ττ 有的散射是各向异性的，即散射几率P(θ)与方 向有关，电离杂质的库仑场引起的散射就是 属于这种情况。 设想散射是弹性的，在散射过程中，载流子的 速度的大小不变，对于这种散射，散射到θ 不同的立体角内，入射方向的速度损失是不 同的，例如，θ≈0时，散射后的方向与入射 方向接近，散射后的速度基本不变。但是 θ=π/2时，一次散射就使入射方向的速度全 部失去。 一般来说，散射到(θ,ϕ)方向立体角元范围内，入射 方向速度损失的比例为(1-cosθ)。散射的作用是消 除定向运动速度，在考虑各种不同角度散射的贡 献时，应该在积分式中加权重因子(1-cosθ)，即： 1 与前面类似的分析可以证明，每遭受一次消除定向 τ =−Ω ∫ P()(1cos)d θθ 运动速度的散射平均所经历的时间，就是这种散 射几率的导数τ。散射可以使载流子的定向运动 被消除，使无规则的热运动得到恢复，时间常数 τ正是反映这种过程进行的快慢的量，通常称为 载流子散射的弛豫时间。 固体物理第六章固体物理第六章 对于各项异性散射，弛豫时间τ与平均自由时间τ是 a 不同的，只有在各向同性散射的情况下才有τ=τ a ,即 弛豫时间等于平均自由时间。 在讨论输运现象时，需要用到的是弛豫时间。 4、散射机构： 晶格振动散射： 晶格振动散射归结为各种格波对载流子的散射，根 据准动量守恒，引起电子散射的格波的波长必须与 电子的波长有相同的数量级。由于室温下电子热运 动所对应的波长约为100A，所以在能带具有单一极 值的半导体中，起主要散射作用的是长波，也就是 波长比原子间距大很多倍的格波，在长的格波里 面，又只有纵波在散射中起主要作用。 固体物理第六章固体物理第六章 在离子晶体中，每个原胞里有一个正离子和负离 子，对于纵光学波来说，如果只看一种极性的离 子，它们也和纵声学波一样，形成疏密相间的区 域，但是由于正负离子的振动方向相反，所以正 离子的密区和负离子的疏区相合，正离子的疏区 和负离子的密区相合，结果形成半个波长带正 电，半个波长带负电。正负电荷之间的静电场对 于荷电的电子和空穴引起一个起伏变化的静电势 能，这就是散射载流子的附加势场。 在离子晶体和具有极性的化合物半导体中，纵光学 波散射起主要作用，通常把这种散射称为极性光 学波散射。 横声学波和横光学波并不引起原子的疏密变化，因 此也就不能产生上述效应。 固体物理第六章固体物理第六章 散射角为θ时，入射方向速度的损失 纵声学波：纵声学波的原子位移引起体积的压缩 和膨胀，在一个波长中一半处于压缩状态，一 半处于膨胀状态体积的压缩和膨胀表示了原子 间距发生了变化。体积压缩和膨胀表示原子间 距发生了变化，它可以引起能带结构的变化。 随着原子间距的减小，禁带宽度增大，因此纵声 学波的原子位移能使导带低和价带顶发生如图 固体物理第六章固体物理第六章 上面定性分析了晶格振动引起载流子散射的原因， 这是容易理解的，但是具体计算散射几率是比较 复杂的，我们只给出上述两种晶格散射的理论分 析的结果。 对于球形等能面的半导体，具体分析所的到的纵声 学波的散射几率为： 1(m*)E(kT) 22 1 τπρ = 42 u v ac 其中，k是玻尔兹曼常数， ρ 为晶格密度，u为纵弹 性波的波速，v是载流子的速度。E式由下式定义 的一个能量： 1 ∆= EE ∆ V c1 V 0 固体物理第六章固体物理第六章 1111 e(2m*) 212 ω 0 τπεεε =− 2 () opt0optr 4 exp()1 ω 0 kT − 其中ε是真空电容率，ε为相对介电常数，ε为光 0ropt 学相对介电常数，它们的出现是由于纵光学波所产 生的电场强弱与介电常数有密切关系。只有在上述 情况下，长光学波的散射才是各项同性的。最后一 个因子是频率为ω 射几率与温度的关系，在低温下有： 0 的格波的平均声子数，它给出散 1 τ ∝− exp() ω 0 opt kT 在这种情况下，随着温度的升高，散射几率将按指 数规律而迅速增加。 固体物理第六章固体物理第六章 这里∆E是原来体积V作一个小的改变∆V而引起的导 c0 带底E的改变，E称为形变势常数，对于价带空 c1 穴的散射也有类似的关系。 因为载流子热运动速度与T 1/2 成正比，所以声学波的 散射几率与T成正比。即 3/2 1 τ ∝ T 32 ac 这表明对载流子的散射作用是随温度的升高而增 强。 在一般情况下纵光学波的散射几率公式是比较复杂 的。在低温下当载流子能量远低于长光学波声子能 量时，只存在吸收声子的散射过程，散射几率简化 为： 5电离杂质散射： 半导体中电离的施主杂质或受主杂质是带电的 离子，在它们周围将产生库仑势场。当载流子 从电离杂质附近经过时，由于库仑势场的作 用，使载流子改变运动方向。也就是载流子被 散射。 电离杂质对载流子散射的问题，与α粒子被原子 核散射的情况很类似。载流子的轨道是双曲 线，电离杂质在双曲线的一个焦点上。电离杂 质的库仑势可表示为： V(r) = Ze 2 4r πεε 0 通常将电离杂质和其它电荷中心引起的散射统称库仑散射 固体物理第六章固体物理第六章 式中Ze为电离杂质的电荷，显然R是势能等于 1 动能两倍时，载流子与电离杂质之间的距离。 用b表示入射载流子轨道渐近线与电离杂质之间 的距离，通常称b为瞄准距离，根据经典理论， 瞄准距离与散射角之间的关系为： bRcot = θ 1 2 相对于入射方向来说，电离杂质的散射是轴对 称的，入射粒子的瞄准距离是随机的，对于某 一中心，瞄准距离在b到b+db之间的截面积为 2πbdb，落在这个范围内的载流子将被散射到θ 和θ+dθ之间，设电离杂质浓度为N 间内落在s到s+ds之间的几率为N 2v×πbdb 1 ，则单位时 I 固体物理第六章固体物理第六章 这个几率与前面定义的散射几率有以下关系： P()dΩ=2P()sind=2Nvbdb θπθθθπ I 考虑它与前面定义的b的表达式： P()Nv()RNcosec θ == Ze1 2 242 θ I11 8mvsin(/2)42 πεεθ 22 0 由于散射是各向异性的，因此在求散射几率是需要几 上权重(1-cosθ), 所以电离杂质的散射几率： 1 τ =−Ω ∫ P()(1cos)d θθ I 固体物理第六章固体物理第六章 散射角θ（入射方向和散射方向之间的夹角）的大 小取决于入射电子的速度和瞄准距离b（入射电子 轨道渐近线与带电中心之间的距离）。速度越小的 电子在电离杂质附近受库仑相互作用的时间愈长， 偏离入射方向愈大，瞄准距离显然反映了在中心附 近平均所受静电相互作用的强弱。 对载流子在上述势场中运动的经典处理结果是：电 子和空穴的运动轨道各为双曲线的一支，电离中心 位于双曲线的一个焦点上。 为了方便，引入： Ze 2 R 1 = 4 πεε 0r mv 2 瞄准距离与散射角之间的关系 考虑到自由载流子的屏蔽作用，在一定的距 离之外，电离杂质的库仑势场基本上被屏 蔽掉，它对载流子将失去散射作用。这个 距离就是最大的瞄准距离b，可以粗略地 max 认为它等于电离杂质之间平均距离的一 半，即 bN/2 = − 1 max 3 与b对应的最小的散射角θ： θ b maxmin cot min = max 1 π 2R 1 τ =− 2P()(1cos)sind πθθθθ ∫ I θ min 1NZe 24 1 τπεε =⋅+ 223*2423 v8()(m)ZeN ln[1] 4()(m)v πεε 22*24 0r I0rI 对数函数变化比较慢，近似地可以当作常数来看 待： 1 ∝ N I τ 3 I v 由于载流子的热运动速度与T 1/2 成正比，所以电离杂 质的散射几率与T 1 3/2 成反比，即： ∝ NT 1 − 3/2 上式表明，随着温度的降低，散射几率增大，因 τ I 此，这种散射过程在低温下是比较重要的。 晶格振动散射和电离杂质散射是半导体中最重要的 两种散射机构。在一定的条件下，还可能存在一 些其他的散射机构，如中性杂质散射，压电散射 和载流子-载流子散射等。 固体物理第六章固体物理第六章 如果考虑单位体积内的电子数，则可以令 V=1，则： dnf[E(k),T]2 = dk 0 (2) π 3 这种分布可以形象地表示为在k空间的密度分 布，平衡分布时的电流，显然等于0。分布 密度2f 0 [E(k),T]对于k，-k是对称的，而它们 的电流-qv(k)，-qv(-k)相反，因此恰好抵 消。 加上一个恒定外场E时，实际上，很快会形成 以稳定电流密度j，服从欧姆定律： j=E σ 固体物理第六章固体物理第六章 通过这种非平衡情况下的分布函数来研究输运过程 的方法就是分布函数方法。 外场和碰撞（散射）所引起的分布函数的变化，遵 从波尔兹曼方程。通过分布函数来研究输运过 程，可以一般地概括成为一个关于分布函数的微 分方程——波尔兹曼方程。 波尔兹曼方程式从考察分布函数随时间变化而确定 的，分布函数的变化有两个来源： ∂∂∂ fff =+ ()() dc (1)由外界条件所引起的统计分布在k空间的漂移 ∂∂∂ ttt 在存在恒定电场E和磁场B时，电子的状态将按下列 规律变化： dk11 −−=∇× qEq[{E(k)B]} dt k 固体物理第六章固体物理第六章 §6-3 分布函数和玻尔兹曼方程 一、分布函数法 以前讨论的费米分布函数是统计平衡状态，相当于 经典统计中的麦氏分布。根据麦氏分布在v到v+dv 内的粒子数： dn=f(v,T)dv M 其中f为麦氏速度分布函数。 M 结合能带情况，以k标志运动状态，在dk内状态数目 为 2V dk [E(k),T]表示费米函数，那么在dk内电子数就等 (2) π 3 用f 0 于： dn=f[E(k),T]2Vdk/(2) 3 0 π 这稳态电流实际上反映在恒定外场作用下， 电子达到一个新的定态统计分布。这种定 态分布也可以用一个与平衡时相似的非平 衡分布函数f(k)来描述，单位体积内在dk中 的电子数为： 2f(k)dk/(2) π 3 速度为v(k)，对电流密度的贡献为： −2qf(k)v(k)dk/(2) π 3 积分可得到总的电流密度： j=−2qf(k)v(k)dk/(2) ∫ π 3 因此一旦确定了分布函数，就可以直接计算 电流密度 。 分布函数相应的变化，最方便是通过几何的 方式分析，把2f(k,t)看成是k空间中流体的 密度，dk/dt是流体各点的流速，根据流体 ∂ 力学的连续性原理，就可以写出： ∂ tdtdtdt 2f(k,t)f(k,t)]2t)2f(k,t)[2f(k, =−∇=−∇−∇ dkdkdk 带入dk/dt的具体表达式可看到第二项为零： iii kkk ∇i−−∇×=−∇×∇i= 1q kkkk {qEq[E(k)B}{[E(k)B}0 因此由电磁场引起的变化为： ∂ ∂ tdt f(k,t)f(k,t) =−∇ dk i k 这一结果的含义极简单：为了得到在k点f经过t发 δ 生的变化，只需要注意在(t+t)到达k的粒子，在t δ 时刻尚在 k()t − dk δ 对比同一时刻t，在k和的f值得到f： dt dkdk k()t − dk dt δ δ δδδ ff(kt,t)f(k,t)[f(k,t)]t =−−=−⋅∇ 由于f的变化完全是f由一点漂移到另一点的结 dtdt k 果，因此上述变化常称为漂移项。即： ∂ fdk 在更为广泛的问题中，分布函数应写为f(k,r,t)， ∂ tdt |[f(k,t)] 漂移 =−⋅∇ k 问题仍就可以用几何方法分析，但是，必须采用 由k和r组成的相空间，流速除去沿k坐标的dk/dt分 量以外，还有沿r组标得dr/dt=v(k)分量。这样可以 得到形式上和上述类似的漂移项 ： 固体物理第六章 ∂ fdk ∂ tdt |v(k)f(k,r,t)f(k,r,t) −⋅∇=−∇ 漂移 rk i (2)碰撞项 由于晶格原子的振动，或者是杂质存在等具体 原因，电子不断地发生从一个状态k到另一 个状态k'的跃迁，电子态的这种变化常称为 散射。一般可以用一个跃迁几率函数 Θ(k,k') 来描述单位时间由状态k—k'的几率。只考虑自 旋不变的跃迁，因此表示由一个状态跃迁 到另一个和它自旋相同的态的几率。这种 频繁的跃迁显然将引起分布函数的改变。 固体物理第六章固体物理第六章 由于从所有其它状态跃迁到dk中来的粒子，使dk由碰撞引起的的变化率： 内粒子数增加。这一部分的表达式显然可以通过 把前式中积分内函数的k和k'对调直接写出来： ∫ ',t)[1f(k,t)](k',k)f(k(2t) −Θ dk'dk k' (2)(2) ππ 33 内粒子数的变t内dk δ 以上两项之差就是在时间 δ 化，因此得到 2f(k,t)dk/(2) δπ 3 2f(k,t)(ba)(2t) δδ dkdk (2)(2) ππ 33 =− δf为由于散射引起f的变化，引入： b=f(k',t)[1−f(k,t)]Θ(k',k)dk'/(2) ∫ π 3 a=f(k,t)[1−f(k',t)]Θ(k,k')dk/(2) ∫ π 3 固体物理第六章固体物理第六章 (kt,t) − dk dt δ dk dt δ t (k,t) (r,t) (r−vt,t) δ vt δ 固体物理第六章 考虑在dk内粒子数为： 2f(k)dk/(2) π 3 这些粒子由于向所有其它状态k'跃迁而减少， 在时间δt内跃迁到dk'所包含的状态中的数目 为： 2f(k,t)(k,k')[1f(k',t)]t dkdk (2)(2) ππ 33 Θ− δ 其中dk'/(2π) 3 表示在dk'内具有一定自旋的状态 数目，自旋只能是一种，[1-f(k',t)]表示k'状 态未被占据的几率，只有这些状态时空的时 候，才能容许dk内的粒子跃迁进来。把上式 对所有状态k'积分，就得到由于跃迁而失去 粒子的总数为： ∫ k' fktfktkkt (,)[1(',)](,')(2) −Θ dk'dk (2)(2) ππ 33 δ f ()ba ∂ f 碰撞 =− 把碰撞项和漂移项都考虑在内，就得到波尔兹曼方 ∂ t 程的一般表达式： ∂ fdk 如果讨论定态的导电问题， ∂ tdt =−⋅∇−∇+− vkkrtffkrtba ()(,,)(,,) rk i dkqE fr 与无关，同时： 波尔兹曼方程简化为： dt =− b−a=−Ei∇f(k) q k 碰撞项的积分内包含着未知的分布函数，因此波 b-a 尔兹曼方程是一个积分 - 微分方程式，在一般情况 下，不能得到简单的解析形式的解。一个广泛引 用的近似方法是假定碰撞项可以写成下列形式： ba −=− ff − 0 τ (k) 其中f指平衡时的费米函数，称为驰豫时 0 τ 间，为k的函数。 如果状态原来是不平衡的：f=f，(∆f) 表示对平衡的偏离，当只有碰撞项的时 000 +(∆f) 候，(∆f)应很快地消失，因为，只有碰撞 作用时 0 ∂ f ff − 0 对t积分得到的解是(t=0时，∆f=f-f ∂ t =− τ 00 =(∆f))： ∆=−=∆ fff(f)e 00 − t/ τ 驰豫时间τ大致量度了恢复平衡所用的时间 固体物理第六章固体物理第六章 qq Ef,Ef ⋅∇=⋅∇= ff 12 kk 01 ττ 由于f只是E(k)的函数，上式又可以写成： 0 fEE(k)()qEv(k)() q τ ∂∂ ⋅∇==⋅ ∂∂ ff 00 1k EE τ 在一般的电导问题中，电流与电场成正 比，服从欧姆定律，从一般理论的观 点，这相当于弱场的情况，此时分布函 数也只需要考虑到E的一次幂，电流可由 分布函数得到： jq2fv(k)dk/(2) =− ∫ π 3 =−− q2fv(k)dk/(2)q2fv(k)dk/(2) ∫∫ 01 ππ 33 固体物理第六章固体物理第六章 EkvEk (),() === 22 k 1 ∂ 2 mkm ** α ∂ k α α 同时τ与k的方向无关，因此在积分中 στπ αβαβ =− 2q()(k)kkdk/(2) 223 ∫ mE ∂ f 0 ∂ * 除去k αβ k,其余的因子都是球对称的，积分内 函数是奇函数，所以积分后为零 σαβ αβ =≠ 0() σσσ 112233 == 因此张量相当于一个标量： σσσσσσστπ 12 q 2 22223 0112233112233123 ====++=−++ 33 ()()()()/(2) ∫ mE * kkkkdk ∂ f 0 ∂ 222 =− 2 qk ∫ mE *2 τπ ()()/(2) kdk ∂ f 0 3 ∂ 3 固体物理第六章固体物理第六章 引入驰豫时间来描述碰撞项后，波尔兹曼方程变为： −⋅∇−= q Efk ff − 0 k () 方程的解即为电场存在时定态的分布函数，是 Ef τ E(E)fE xyz ，， EE 的函数，把按的幂级数展开： f=f+f+f+ 012 f 12 ，分别代表包含的一次幂，二次幂，我们注意 fE0 级项，实际上表示时的值，因此就等于平衡情 E=0f 况项下的费米分布函数 f 0 ，因此有： −⋅∇=−−⋅∇+−+ qqff EfEf 12 k0k1 ττ 考虑到等式两边 E 的同次幂的相应该相等，就得到下 列决定 ff 12 ，的方程： 第一项相当于平衡分布的电流，因此等于0， 将f表达式带入得： 1 j2qv(k)[v(k)E]dk/(2) =−⋅ 23 ∫ τπ ∂ f 0 E ∂ 这样就得到欧姆定律的一般公式，把上式用 分量表示 jE ααββ = ∑ σ β στπ αβαβ =− 2()()()/(2) qkvkvkdk 23 ∫ ∂ f 0 是电导率的二阶张量。 ∂ E 根据对费米函数的讨论，上式中出现的电导 率主要决定于费米面E=E F 附近的情况。 考虑各向同性的情况，假定导带电子基本上 可以用单一有效质量m表示 * 由于被积函数与k方向无关，采用极坐标系 对积分得： θ，ϕ στπ 8 π qk 224 ∂ f 0 =− 3 ∫ mE *2 ()()/(2) kdk 0 ∂ 3 q 2 =− 3 ∂ f 3 π 2* mE ∫ [()]() kkdE τ 0 ∂ 在驰豫时间的方法中以驰豫时间τ概括了电 子碰撞对统计分布的影响。如果我们能 够了解散射的机构并计算出散射的几 率，就可以计算τ和电导率。 讨论： 如果忽略（ k BF T/E) 02 以及高次项，积分的结果就 等于积分号内的函数再 E F 0 处的值： στ = qk 2 3 0 m3m ** π 2 (k) 0 其中值，根据代表了在处的 kkE=E k 3 0 0F 3V π 2 = N σ = nq(E) 2 τ F 0 m * 这个结果和最简单的经典电子论的结果相似，其 中驰豫时间代替了经典电子论的自由碰撞时间， 有效质量代替了电子质量。 固体物理第六章固体物理第六章 散射是弹性的，k只跃迁到相同能量的k'状 态，可以表示为：如果E(k)≠E(k'),则 Θkk= (,')0 概括地说，跃迁只能发生在同一球型等能面 上两点k,k'之间，而且几率的大小只与两个 矢径的夹角有关。 Θ(k,k')=Θ(k',k) 考虑玻尔兹曼方程： −⋅∇()=− q Efkba k 其中碰撞项具体写出来为： ba{f(k')[1f(k)](k,k')f(k)[1f(k')](k,k')}dk'/(2) −=−Θ−−Θ ∫ π 3 =Θ− ∫ (k,k')[f(k')f(k)]dk'/(2) π 3 固体物理第六章固体物理第六章 选x坐标沿E的方向，方程可以写为： qE1dE k()()(k,k')[f(k')f(k)]dk'/(2) kdkE −=Θ− ∂ f 0 x11 ∂ ∫ π 3 碰撞项的积分结果，必须具有k 的函数的特殊形式。我们将直接验证赖于k x 乘上一个依 如果f取这样形式的试用解 1 f(k)=k(E) 1x ϕ 把试用解带入碰撞项得到： ∫ Θ− (k,k')[f(k')f(k)]dk'/(2) 11 3 π =Θ− ∫ (k,k')[(E')k(E)k]dk'/(2) ϕϕπ '3 xx 固体物理第六章固体物理第六章 §6-4 各向同性弹性散射和驰豫时间 前面引入的驰豫时间τ(k)具有复杂的性质， 驰豫时间方法的根据如何以及本身的大小 由什么决定都很不明显。下面以晶格完全 各向同性而且电子散射是弹性的情况为例 具体导出驰豫时间。 假定： 能带是各向同性的，E(k)与k的方向无关， 只是k的函数，k空间的等能面是一些围绕 原点的同心球面。 由于Θ的对称性，积分中的f的交乘项互相消 掉，任许采取按E展开的方法，f=f 01 +f+… f 01 带入左方，f带入右方得到一级方程 −⋅∇()=Θ(,')[(')−()]'/(2) q Efkkkfkfkdk k011 ∫ π 3 由于f 0 只是E(k)的函数，左端可以写成： −⋅∇=⋅∇− qq EfkEEk ∂ f 0 kk 0 ()()() ∂ E =⋅− qdE 1 Ek kdkE () ∂ f 0 ∂ 如果E'≠E, 因此， Θ(k,k')=Θ(k',k)=0 在积分中以ϕ(E)代替ϕ(E')而不影响结果，又 由于ϕ(E')与k'无关可以提到积分之外，这样 就得到 ϕ (E)[Θ(k,k')(k'−k)dk'] ∫ x 首先考虑矢量积分，然后取它的x分量。由于 k≠k'时， Θ(k,k')=0 对k'的积分有贡献的实际上完全来自与k同一 等能球面的各点。 采用以k为极轴的极坐标，令η表示夹角，把 (k'-k)分解为垂直和平行k的分量： 固体物理第六章固体物理第六章 积分形式上虽是k的函数，但是由于Θ(k,k')实 际上只依赖于k,k'的夹角η，与它们各自的方 向无关，因此在对k'各方向积分以后，就不 再依赖于k的方向，而只是k的函数，这样整 个碰撞项便成为k x 乘上一个k的函数。 由于积分前的函数： k(E)f(ff) x10 ϕ ==− 碰撞项可以写成： ∫ Θ−=− (,')[(')()]'/(2) kkfkfkdk 11 π 3 ff − 0 τ () k 1 τ (k) =Θ− ∫ (k,k')(1cos)dk'/(2) ηπ 3 固体物理第六章固体物理第六章 （1-cosη）因子的作用可以这样分析： 如果散射是小角度的，既k'和k很接近， （1-cosη）很小，因此在积分中的贡献也 就很小，相反地，如果散射角很大，例 如η≈π，既k在散射中几乎反向，这时 （1-cosη）值最大，因此这样的散射在积 分中贡献也很大。 （1-cosη）因子实际上反映了各种不同的 散射对电阻的贡献不同，小角度散射影 响小，大角度散射影响大。 固体物理第六章固体物理第六章 k'k(k'k)(k'k) −=−+− ⊥ // 如果环绕极轴积分，由于Θ(k,k')不变，因 只依赖于η，垂直分量显然将抵消，这就 说明，积分中的(k'-k)可以只保留平行分 量。平行分量数值为(k-kcosη)，方向与k 相反，因此可写成：(k'-k) || =-k(1-cosη) ∫ Θ− (k,k')[f(k')f(k)]dk'/(2) 11 π 3 =−Θ− ϕηπ (E)[k(k,k')(1cos)dk'/(2)] ∫ 3 x =−Θ− k(E)(k,k')(1cos)dk'/(2) x ϕηπ ∫ 3 这样不仅论证了驰豫时间方法的基本假定， 而且具体得到了τ(k)的表达式。引入驰豫 时间后，一级方程成为： qE1dE ∂− fk(E) ϕ ∂ k()() x kdkE(k)(k) −==− 0x ττ f 1 fk()() q(k)E1dE τ 1x =−− ∂ ∂ f kdkE 0 对τ(k)的表达式再做一点补充说明，如果忽 略（1-cosη）因子，积分将表示在k状态的 电子被散射的总的几率。表示的驰豫时间 就是电子的自由碰撞时间。 §6-5 晶格散射和电导 一、晶格散射 电子散射机构是在经典理论中未能解决的问 题，能带论提供了解决这个问题的前提。在 理想的完全规则排列的原子的周期场中，电 子将处于确定的k状态，不会发生跃迁，因 此也就没有电阻可言，但是实际上原子并不 静止地停留在格点上，由于不断地热振动， 原子经常偏离格点，原子偏离格点的影响可 以看作是对周期场的微扰，从而引起电子的 跃迁，这种散射机构常称为晶格散射。 考虑在R格点上的原子，位移为µ时将引 起怎样的微扰。令V(r)表示一个原子的势 nn 场，那么处于格点R n 上的原子场为V(r- R)。当它位移时，我们假定势场本身并 n 未改变，只是随原子位移了，则势场 µ V[r-(R应写为 n nn +)]，两者相减得到原子 µ 位移所引起的势场变化： δµµ V=V[r−(R+)]−V(r−R)≈−⋅∇V(r−R) nnnnnn 把V在(r-R nn )点附近按 µ 作级数展开，并保 留到一次项。 固体物理第六章固体物理第六章 δδµ HVV(rR) =≈−⋅∇− ∑∑ nnn nn =−⋅−⋅∇− Acos(qRt)eV(rR) ∑ nn ω n =−⋅∇−−⋅∇− 11 22 AeeeV(rR)AeeeV(rR) − itti ωω ∑∑ iqRiqR ⋅−⋅ nn nn 是一个微扰，根据量子力学微扰理论的结果， 这样一个随时间变化的微扰将引起本征态之 间的跃迁，从k到k'的跃迁几率可写成： Θ=<−⋅∇−>−−+ (k,k'){|k'|eeV(rR)|k|[E(k')E(k)] 2A π 2 2 ∑ iqR ⋅ n 2 δω n |k'|eeV(rR)|k|[E(k')E(k)]} <−⋅∇−>−+ A 2 ∑ −⋅ iqR 2 n δω n 固体物理第六章固体物理第六章 A 2 |k'|eeV(rR)|k| <⋅∇−> ∑ ±⋅ iqR n n n =∇− A1 2N ∑ eeu(r)u(r)eV(rR)dr ±⋅ iqR n ∫ −−⋅ ikkr (')* kkn ' 其中，把归一化的函数写成： ψ 1 kk (r)eu(r) = ikr ⋅ N为晶格的原胞数，这样归一化时|u(r)|平 N 1/v均值为，v为原胞体积，我们在各积 k 00 分中，引入新积分变量 ξ =r−R n 矩阵元就可以写成： A1 −−⋅ i(k'kq)R ∓ 2N (eI)[e] ⋅ kk' ∑ 其中I kk' 表示原来加式中各项共同的积分， Ieu()u()V()d −−⋅ i(k'k)* ξ kk'k'k =∇ ∫ ξξξξ 固体物理第六章固体物理第六章 考虑简单晶格的情况，只有声学波，并可以 用弹性波近似代替声学波，原子的位移用 µ n 如下形式表示： µω nn =Aecos(q⋅R−t) 其中e表示振动方向上的单位矢量，A为振 幅，在各向同性的介质中，波或为横波， 或为纵波，另外弹性波具有恒定的速度 ω =c⋅q c是常数，对横波和纵波波速各有不同的 值，c=c tl ，c=c，一个格波引起的整个晶格 中的势场变化为： 式中δ函数说明电子能量在跃迁中是不守恒 的，或者说电子格波的散射不是完全弹性 的，即 E(k')E(k)() =+吸收声子 ω E(k')E(k)() =−发射声子 ω 电子能量的增减显然来自晶格振动，而正是 格波振动能量的量子，因此说晶格的散射 总是伴随声子的吸收或发射。 但是应当指出，声子的能量是极小的，因此 散射接近完全弹性。 具体考虑决定吸收和发射几率的矩阵元 如果：，则有 k'−k∓q=nb+nb+nb=G 112233n 1 −−⋅ i(kkq)R ∓ ∑ e = 1 其它情况，加式等于零。 N 上述结果给出跃迁几率不等于零的条件。首先只考 虑 G n =0k'=k±q 的情况：即的情形，分别对应于吸收 和发射声子的跃迁： k'kq() =+吸收声子 k'kq() =−发射声子 考虑各向同性，并且把散射近似看作是弹性的， k 状 态的电子只能跃迁到同一等能面上的各状态 k' ，通 过吸收也可以通过发射声子实现。假设 k-k ' 在布里 渊区内，每一个 q 存在一个纵波和两个横波，对于 一定的跃迁，无论吸收和发射声子都可以由这三个 独立的振动引起。以 Ae ii 和分别标志振幅和振动方 向，相应的跃迁几率可写为： 固体物理第六章固体物理第六章 A 2 T2k2kT BB j == NMNMc|k'k| ω 22 jj − 振动频率以弹性波描述： ω jjj =cq=c|k'−k| 把振幅表达式带入几率公式，并且对吸收 和发射三种振动声子的几率都加在一起 得到k-k'的总跃迁几率： Θ=⋅− (k,k')|eI|(EE') 2kTc1 π 2 B 为了下面的数值估计的方便，引入了一个 NMcc|k'k| 2 ∑ 2 k'k δ i j − 平均弹性波速，用J表示上式中的加式， 2 J(E,)|eI| 22 η =⋅ ∑ c1 i c|k'k| − k'k j 固体物理第六章固体物理第六章 应当注意前面一直考虑，因此公式中的应当表 V=1N 示单位体积内所包含的原胞数。在积分式中以能 量 E'k' 代替做积分变量得： 1kTdE' =−−⋅× B τπ 4NMcdk' 2 ∫ δηηπηη (EE')J(E,)(1cos)2sindk'()dE 221 − =−⋅ kT B k()J(E,)(1cos)2sind 212 dE − ∫ 4NMcdk π 2 ηηπηη 两个重要的结论： 1/τ 与绝对温度成正比，这就解决了经典理论中 长期得不到解释的金属电阻率与温度成正比的事 实。 在各项同性的情形，能态密度可以写为： 22 N2() E =×⋅= 4kk1kdE π ∆ ∆ E(2)dk ππ 32 − 1 固体物理第六章固体物理第六章 22 Θ=⋅− A|| j ± jjkk π |eI|(E'E) ' 2 δ 由于忽略了声子的能量，所以几率的表达式对吸收和发 射形式上相同，只是有关格波的q是相反的，[q=±(k'- k)]，振幅的平方平均值可以由平均热振动能写出。振动 位移 µω njjnj =Aecos(q⋅R−t) 对时间求微商可以直接写出原子的动能： 1 M=q⋅R−t ||sin() µωω 222 MA 2 j 对时间求平均，正弦项等与1/2，考虑所有N个原子得到 22 njnj 的振动能为： NMA 2 j ω 2 4 i 在足够高的温度下（大于德拜温度），应用经典的能量 均分定律，上式应等于N/2k B T ,从而得到 对于各项同性的晶体模型，J表示在E等能面 上的散射，它只决定于散射角，对它的数 η 值可做粗略的估计，已经指出I |k'-k|原子场V的梯度，而对于费密面上的电 kk’ 一般反映 子 1 |'| kk − IaV k'k ≈∇ 反映原子场在整个原胞内变化的幅度，因此 粗略估计，J应当是几个电子伏的数量级。 把几率表达式带入驰豫时间公式： 1kT2k'dk' π 2 B τπ =−−⋅⋅ NMc(2) 23 ∫ δηηπηη (EE')J(E,)(1cos)2sind 2 2 从1/τ的公式可看到，它和能态密度成正 比，前面曾经指出，根据能带理论，过 度金属的一个重要特征在于d能带有很高 的能态密度，上面的结论一般地说明了 过渡金属具有高电阻率的事实。 在得出上式公式时，曾利用了经典的能量 均分原理，得到了1/τ∝T的结果。在低温 时，对于能量均分定律不适用的， ω >kT B 由第四章的讨论可知，晶格振动的平均 能量或者说平均声子数隧温度呈 e − ω /kT B 衰减 在极低温度下，只有那些低频的振动，也就 是长声学波，才可能对散射由贡献，而且 随着温度的降低，有贡献的晶格振动模式 数正比于T，同时由于这些振动是长波， 3 q值很小，它们的散射是小角散射，小角 散射对电阻的贡献小。随着温度降低，它 们对1/τ的贡献随T 2 减小，考虑上述两方面 的影响，有相当数量的金属在低温下的电 阻率-温度关系中呈现T 5 的规律。 固体物理第六章固体物理第六章 电阻率正比与，有： 1/τ ρρρ =+ Lr ρ L 与温度有关，代表纯金属的电阻，电阻与温度 的关系决定于晶格振动的散射， ρ T→0 r 与温度无 关，他表示杂质与缺陷的影响。是 时的电 阻值，称为剩余电阻，也就是说，杂质可以改 变金属电阻的数值，但不改变电阻的温度系 数。 §6-6电导率的计算 在外电场的作用下，载流子获得定向的运动，这 种运动称作漂移运动。若载流子的电荷为 e （对于电子，为负值，对于空穴，为正值） ee 则漂移运动的速度 v d 服从 固体物理第六章固体物理第六章 式中右边一项表示由于散射，单位时间内载 流子动量的损失，它相当于抵消电场作用的 阻力。式中τ为平均自由时间，在各项同性 散射的情况下，τ就是动量驰豫时间。 在稳定情况下，载流子从电场获得的动量与 因散射而失去的动量相等，漂移速度达到恒 定值，即 dv d == 0,:v 得 eE τ d 实验证明，在弱场情况下，漂移速度与电场 dtm * 强度成正比，即：v d =E。其中比例系数称 µ 作迁移率，它在数值上等于单位电场强度所 产生的漂移速度。漂移速度和迁移率通常都 取绝对值 µ = e τ m* 固体物理第六章固体物理第六章 前面讨论了晶格振动的散射，实际材料中存 在的杂质与缺陷，也将破坏周期性势场， 引起的电子的散射。在金属中杂质与缺陷 散射一般来说不依赖于温度T，而与杂质 与缺陷的密度成正比，在杂质浓度比较小 时，可以认为晶格振动和杂质、缺陷的散 射是互相独立的，总的散射几率式两种散 射机构几率之和，用驰豫时间表示可一写 成： 111 τττ =+ LI 第一项表示晶格散射的贡献，第二项表示杂 质缺陷散射的贡献 dv d FeE dtm*m* == 由于存在载流子的散射作用载流子的漂移 速度v不可能无限增大。因为，载流子每 d 经历一次散射，它们从电场获得的动量 就会失去。所以，在一定的电场强度 下，载流子最终只能保持一定的动量， 即存在一定的平均漂移速度v，在考虑了 d 散射后，v所满足的方程是： d m*=eE−m* dvv dd dt τ 如果载流子的浓度为n，平均漂移速度为v， j为：j=nev则流过晶体的电流密度，将v表 d dd 达式带入得： jE = ne 2 τ 从欧姆定律的微分形式j=E得到 m* σ σ = ne 2 τ m* σ是电导率，有：=ne。表明晶体的电导率 σµ 取决于晶体的载流子浓度n及迁移率。在 µ 本征半导体内，同时存在电子及空穴，电 导率应为： σσσµµµµ =+=ne+pe=ne(+) ehehieh 一、金属电导率 一般金属的电导率约为，半导体 5×10 7-1 (⋅) 欧姆米 的 σ=1(⋅) 欧姆米。这是因为一般金属的载流子 -1 浓度米，而半导体是米，金属 n=10n=10 29-320-3 的约为秒，半导体的约为 τ10τ10 -14-15-12 —10— —10 -13 秒，因此半导体的电导率比金属的电导 率低约 10 7 倍。 如图是几种金属的电阻率随温度变化的实验曲 线。在时，很小且不随温度变化；温度 T=0Kρ 稍高， ρT 随升高而增大。大多数金属的电阻率 是按这样的曲线随温度而变化。金属电阻率的 这种特性可由下式得到解释： ρ = m*1 τ 固体物理第六章固体物理第六章 ne 2 金属中的电子浓度是不随温度而变化的，所 以，ρ随温度变化的特性，由平均自由时间 τ来决定，也就是要由电子的散射机制来决 定。在金属中主要的散射机制是晶格振动 及杂质或晶格缺陷，因此有： 111 金属的电导率就相应地分成两项： τττ =+ phi ρρρ =+=+ m*1m*1 nene 22 ττ phi phi 如果金属中不存在杂质，那么，电阻完全是 由于声子散射而引起的，因而随温度而 变， ρ ph (T)称为理想电阻。 固体物理第六章固体物理第六章 二、半导体电导率 1 本征半导体的电阻率为： ρ i = ne() ieh µµ + 电阻率由 nn ii 及迁移率决定，但因随温度增高而指 数上升，迁移率随温度增高而下降较慢，故本 征半导体的电阻率随温度上升而单调下降，具 有负的温度系数，这是半导体有别于金属的一 个重要特征。 对于杂质半导体，载流子由杂质电离及本征激发 产生，故载流子浓度随温度的变化关系比较复 杂，加以存在电离杂质散射和声子散射两种机 制，所以迁移率的变化也较复杂。 ρ ==+ m*1m*11 nene 22 τττ [] Is 固体物理第六章固体物理第六章 当温度极低时，金属内的声子数几乎等于 零，所以声子散射可以忽略，即P ，导致ρτ→∞→0，金属电阻完全是由于 ph =0,于是 phph 杂质散射引起的。在极低温度下，杂质中 性的，其散射几率与温度无关，因此，是 个常数，称作剩余电阻。 由于中性杂质的散射是很弱的，所以在温度 稍高的区域，声子散射占了主要作用，金 属电阻具有正的温度系数。 其中n是载流子浓度，是电离杂质的散射几 1/ τ I 率： 1/NT τ − 3 II ∝ 2 1/ τ 3 s 是纵声学波的散射几率， 1/∝T τ s 2 于是： ρ ∝+ 1 [ATBT] −− 33 22 电阻率虽温度变化曲线大致分为三段，可利用 n 上式定性解释如下： 低温区，本征激发可以忽略，载流子主要由杂 质电离产生，其浓度随温度上升而上升。在 低温下，声子散射可以忽略，电离杂质散射 几率随温度上升而下降 − 3 ρ ∝ T 2 n 饱和区，温度升高至室温或稍高，本征激发 还不十分明显，但杂质已全部电离，即载 流子浓度已不再随温度变化。声子散射已 3 开始成为主要的散射机制，即 ρ ∝T 2 本征区，载流子主要由本征激发提供，其浓 度随温度升高而迅速增加。载流子增加的 作用远远超过由于声子散射而使电阻上升 的影响，于是电阻率随温度上升而急剧下 降，与本征半导体的特性相似。 固体物理第六章固体物理第六章 2在热平衡情况下，无相互作用的费米子遵守费 米 - 狄拉克分布。其中E是费米分布函数中的一个 F 参量，具有能量量纲，其数值由电子总数来确 定。 在T=0K时，费米能 E) 0 h3n 2 2 F = 2 m ( 8 π 3 在T ≠ 0，但时， kT<<E 0 BF E(E[1)] 02 −= π 2 kT B FF E=E 12E 0 F F 的等能面称作费米面。 在自由电子模型中，费米面是球面，球半径 为。在T时，球内的状态都被 k=2mE/ =0K 电子占据，球外没有电子；在能带论中，费米面 FF 仍是电子占有态与未占有态的分界面，由于周期 场的作用，费米面不再是球面。 固体物理第六章固体物理第六章 5τ 驰豫时间近似用驰豫时间概括了电子碰撞对统 计分布的影响。如果了解散射的机构并计算出散 射的几率，就可以计算和电导率。 τ ρρρ =+ Lr nq(E) 2 金属电导率： σ τ F 0 = m * 6 准经典近似计算电导率 将载流子在布洛赫态中的平均速度作为它们的速 度，将载流子看作是具有一定速度、有效质量 v(k) m * 的准经典粒子，可求出半导体和金属的电导 率。 ρ = m*1 e τ ne 2 τ µ = m* 固体物理第六章 第六章小结 本章重点介绍索末菲的金属电子的量子理论和描述 电子输运特性的两种方法 — 分布函数法和准经典 近似法。 1 自由电子模型。这个模型首先由特鲁特提出来。 他假定金属中的价电子是理想气体但做适当的修 正，在用类似气体运动论的方法讨论电导和热导 问题。特鲁特模型成功解释了欧姆定律，但是电 子平均自由程理论值与实验值不符合。索末菲对 电子采用费米统计分布，解决了金属热容量的问 题，但是不能解释为什么排列紧密的离子实允许 自由电子在较长距离内不发生碰撞。 3电子散射机构是在经典理论中未能解决的问 题，能带论提供了解决这个问题的前提。当温度 不为零时，原子偏离格点的影响可以看作是对周 期场的微扰，从而引起电子的跃迁，这种散射机 构常称为晶格散射，杂质和缺陷也会破坏势场的 周期性，使电子散射而产生电阻。两种散射机制 随温度变化的关系不同。 4 非平衡分布函数是非平衡统计理论的最基本的 概念之一。玻尔兹曼方程反映了外界电场和磁场 以及散射对分布函数的影响，得到在外场作用下 载流子的分布函数，从而求出所需的输运参数。 ∂ fdk ∂ tdt =−⋅∇−∇+− v(k)f(k,r,t)f(k,r,t)ba rk 在不同的条件下可简化为不同的形式 i
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