中考数学考前冲刺必考知识点汇总整合

- .

中考必考知识点汇总

一．不为0的量

A

2

中，分母≠0； 2.二次方程++=0（≠0） 1.分式

Baxbxca

B

k

2

3.一次函数=+（≠0） 4.反比例函数++=0（≠0）

ykxbkbxca

y

（≠0）5.二次函数=

kyax

x

二．非负数

1.││≥0 2. ≥0（≥0） 3.

aaa

2

n

a

≥0（为自然数）

n

(a0)a

三．绝对值：

(a＜0)a



a





四．重要概念

术平方根.

1. 平方根与算术平方根：如果=（≥0），则称为的平方根，记作：，其中称为的算

xaaxax=x=x

aa

2

立方根：如果=（≥0），则称为的立方根，记作：

xaaxax=

3

a

3

1

0

（≠0） 3. 零指数：

aa

=1（≠0） 2. 负指数：

a

p

a

n

4. 科学计数法：×10 （n为整数，1≤＜10）

a

a

a

p

5.因式分解：把一个多项式化成几个因式的乘积的形式

6.反证法：先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到

原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

五．重要公式

（一）幂的运算性质

1.同底数幂的乘法法则:

aaa

mnmn

( ≠0,都是整数)

am,n

2.幂的乘方法则：

()

aa

mnmn

(都是整数)

m,n

3.积的乘方法则：

()

abab

nnn

（为整数）。

n

4.同底数幂的除法法则:

aaa

mnmn

(≠0,、都是整数),且>).

amnmn

（二）整式的乘法与因式分解

1.平方差公式：

(ab)(ab)ab(ab)a2abb

22222

及其逆用 2.完全平方公式：及其逆用

（三）二次根式的运算

ababa0,b0(a0,b0)



aa

b

b

360

1

n.nnn

边形对角线条数：边形角和：(-2)180°正边形外角=中心角=

n(n3)

n

2

（四）多边形

（五）统计

1

(xx…x)x

12n

n

1

2.加权平均数：

x(xfxf…xf)

1122kk

，其中

fffn

12k

n

1

3.方差：

s(xx)(xx)…(xx)

2222



12n



n

1.平均数：

六．重要定理

（一）角平分线

角平分线上一点到角两边距离相等；到角两边距离相等的点在角的平分线上.

- . 可修编.

- .

（二）线段中垂线

线段中垂线上一点到线段两端点距离相等，到线段两端点距离相等的点在线段中垂线上.

（三）三角形

1.三角形第三边大于另两边之差，小于另两边之和.

2.三角形的中位线平行于三角形第三边，并等于第三边的一半.

3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和

4.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做

三角形的重心。

A

F

G

B

D

C

E

重心定理：

DEF分别为ABC三边中点，

、、

则ADBECF交于一点G，且

、、

AG=2GD、BG=2GE、CG=2GF

（四）直角三角形

1. 直角三角形的两个锐角互余 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

222

3. 直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半4. ∠=90°，则+=

Cabc

（五）等腰三角形

1.等边对等角2.“三线合一”

3. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

（六）平行四边形

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3.两组对边分别相等的四边 形是平行四边形 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

（七）矩形

1.有一个角是直角的平行四边形叫矩形。2.有三个角是直角的四边形是矩形

3. 对角线相等的平行四边形是矩形

（八）菱形

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.四边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（九）正方形正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，

每条对角线平分一组对角

（十）轴对称

1．关于某条直线对称的两个图形是全等形 2．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的

垂直平分线3．两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

（十一）旋转与中心对称

1．把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2．关于中心对称的两个图形是全等的

3. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

A

B

C

D

轴对称

C

A

'

B

'

DAB

'

C

'

B

B

'

A

'

α

C

'

A

O

C

'

B

'

A

'

旋转与旋转角

O

C

中心对称

（十三）相似形

1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

2. 两角对应相等的两三角形相似3. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

4. 三边对应成比例的两三角形相似

5. 相似三角形对应边、对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

- . 可修编.

- .

6. 相似三角形周长的比等于相似比7. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

8.射影定理：

C

射影定理：

CD=AD∙BD

2

AC=AD∙AB

2

CB=BD∙BA

2

A

B

'

CD

C

'

A

'

E

D

'

E

'

O

D

''

E

''

A

''

C

''

B

''

B

9.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或

D

AB

位似图形与位似中心

共线），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。关于坐标原

点O位似的图形，若位似比为k，则点A（x,y）的对应点A’的坐标为(kx,ky)（同侧） 或 (-kx,-ky)(异侧)

一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问

题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c.

2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用

围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法和配方法适用围较大，且计

算简便，是首选方法.

22

3. 一元二次方程根的判别式:当ax+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等

价命题：

Δ＞0 <=>有两个不等的实根； Δ=0<=>有两个相等的实根；

Δ＜0 <=>无实根；Δ≥0 <=>有两个实根（等或不等）.

2

4. 一元二次方程的根系关系：当ax+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

(1)x；(2)xx，xx.

1,21212

bb4acbc

2

2aaa

2

5．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

2

(1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x).

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

6．分式方程的解法：

两边同乘最简

(1)去分母法验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.

公分母

凑元，设元，

（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0.

换元.

7．几个常见转化：

- . 可修编.

- .

2222222

(1)xx(xx)2xx；(xx)(xx)4xx；x(x)2；

121212121212

11

x

x

2

11

或x(x)2；xx；

2

22

x

x



(xx)(xx)4xx(xx)

22

12121212



12



22

(xx)(xx)(xx)4xx

12121212





(2)xx2





1.分类为xx2和xx2

1212

；

12



2



2.两边平方为（xx）4

12



xx

11

416

(3)(或)

x39

2

2

x

2

2

xx

11

44



(1)分类为和



x3x3

22



；



(2)两边平方一般不用,因为增加次数.



(4)如xsinA,xsinB且AB90时,由公式sinAcosA1,cosAsinB

12

22

22

可推出xx1.注意隐含条件:x0,x0.

1212

(5)x,x若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积

12

等式,公式)推导出含有x,x的关系式.注意隐含条件:x0,x0.

1212

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某

些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.

(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一

般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.

解三角形

1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么

对a对b

sinA=； cosA=；



斜c斜c

tanA=； cotA=.

B

a

c

对a

邻b





邻b

对a

2．余角三角函数关系------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°,那么：

sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.

3．特殊角的三角函数值：如下图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直

角三角函数值，要熟练记忆它们.

∠A 0° 30° 45°60°90°

A

4.解直角三角形：对于直角三角形中的五个

sinA 0 1

1

2

3

60°

元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至

2K

2

2

2

K

少应该有一个是边.

1

cosA 1 0

30°

2

3

5．坡度： i = 1:m = h/l = tanα；坡角:α.

B

C

3K

2

2

2

6. 方位角：

北

北偏西30

A

tanA 0 1 不存在

3

3

3

2K

东

cotA 不存 1 0

K

3

7．仰角与俯角：

3

仰角

南偏东70

在

铅垂线

3

水平线

45°

俯角

- . 可修编.

C

B

K

C

b

A

- .

8．解三角形的基本思路：

（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；

（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想；

（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或

方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.

函数及其图象

一 函数基本概念

1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应，

那么就说y是x的函数，x是自变量.

2. 几个直线方程 :

y轴<=>直线 x=0 ； x 轴<=>直线 y=0 ；

y

与y轴平行，距离为∣a∣的直线<=>直线 x=a；

x=a

与x轴平行，距离为∣b∣的直线<=>直线 y=b.

y=b

b

3. 自变量取值围与函数取值围：

a

o

x

解析式 x取值范围 Y取值范围

整式类 例 y=2x-1 取一切实数 取一切实数

1

例y

x2

y≠0

分式类

x2

二次根式类 x≥2 非负数

例yx2

二次函数

x>2

1

综合类 正数

例y

2

1. 二次函数的一般形式：y=ax≠0) +bx+c.(a

x-2

2

2. 二次函数y=ax+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：

应用问题类 例 s=vt (t是自变量) t≥0 非负数

3. 二次函

数

2

y=ax+bx+c

(a≠0)中，

a、b、c与

Δ的符号

与图象的

关系：

(1) a＞

0 <=> 抛

- . 可修编.

- .

物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；

(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；

c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；

(3) a,b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a,b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；

b=0 <=> 对称轴是y轴；

(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；

Δ=0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；

Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.

2

4．二次函数的顶点式： y=a(x-h)+k (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h,k），

对称轴方程 x=h 和函数的最值 y=k.

最值

5．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x,y）和图象上的另一点的坐标，可设解析式

00

2

为y=a(x -x)+ y，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后

00

结果要求化为一般式）

6. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；

2

y=a(x-h)+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：

k值增大 <=> 图象向上平移；

k值减小 <=> 图象向下平移；

（x-h）值增大 <=> 图象向左平移；

(x-h)值减小 <=> 图象向右平移.

7. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x)(x-x) (a≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x轴

12

的交点（x,0）,（x,0）.

12

初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )

几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1.垂径定理及推论: 几何表达式举例：

如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂

∵ CD过圆心

径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.

∵CD⊥AB

C

平分优弧

∴

AE=BE

ACBC

=

AD

=

BD

O

E

A

D

B

过圆心

垂直于弦

平分弦

平分劣弧

2.平行线夹弧定理： 几何表达式举例：

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

∵

ABCD

∥

AB

O

C

D

∴

ACBD

=

- . 可修编.

- .

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）

“等角对等弦”； “等弦对等角”；

“等角对等弧”； “等弧对等角”；

“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；

A

. “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”

C

B

E

O

F

几何表达式举例：

(1) ∵∠AOB=∠COD

∴ AB = CD

(2) ∵ AB = CD

∴∠AOB=∠COD

几何表达式举例： 4．圆周角定理及推论:

（1） ∵∠ACB=∠AOB

D

（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)

（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；

（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)

（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直

角三角形.(如图)

A

C

C

D

O

1） （2） （3） （

B

A

1

2

∴……………

（2） ∵ AB是直径

∴∠ACB=90°

（3） ∵CD=AD=BD

∴ΔABC是RtΔ

A

O

B

C

B

5．圆接四边形性质定理: 几何表达式举例：

圆接四边形的对角互补，并且任何一个

外角都等于它的对角.

B

C

∵ ABCD是圆接四边形

D

E

A

∴∠CDE =∠ABC

∠C+∠A =180°

6．切线的判定与性质定理: 几何表达式举例：

如图：有三个元素，“知二可推一”；

需记忆其中四个定理.

（1）经过半径的外端并且垂直于这条

半径的直线是圆的切线；

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；

（1） ∵OC是半径

O

B

C

A

是半径

垂直

是切线

∵OC⊥AB

∴AB是切线

（2） ∵OC是半径

∵AB是切线

∴OC⊥AB

7．切线长定理: 几何表达式举例：

A

- . 可修编.

P

B

O

- .

从圆外一点引圆的两条切线，

它们的切线长相等；圆心和这一

点的连线平分两条切线的夹角.

∵ PA、PB是切线

∴ PA=PB

∵PO过圆心

∴∠APO =∠BPO

8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：

（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如

图）

（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）

D

A

（2）

F

E

C

A

（1） （2）

B

D

（1）∵BD是切线，BC是弦

∴∠CBD =∠CAB

∵

EFAB

=

∵ ED，BC是切线

∴∠CBA =∠DEF

B

C

9．相交弦定理及其推论: 几何表达式举例：

（1）圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；

（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条

线段长的比例中项.

D

C

A

P

B

（1） （2）

A

O

P

C

B

（1） ∵PA·PB=PC·PD

∴………

（2） ∵AB是直径

∵PC⊥AB

∴PC

=PA·PB

2

10．切割线定理及其推论: 几何表达式举例：

（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点

的两条线段长的比例中项；

（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的PB是割线

两条线段长的积相等.

B

B

（1） （2）

A

A

（1） ∵PC是切线，

∴PC

=PA·PB

2

（2） ∵PB、PD是割线

C

- . 可修编.

D

P

C

P

- .

∴PA·PB=PC·PD

11．关于两圆的性质定理: 几何表达式举例：

（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

A

A

O2O1

（2） （1）

O1O2

B

（1） ∵O，O是圆心

12

∴OO垂直平分AB

12

（2） ∵⊙、⊙相切

1 2

∴O、A、O三点一线

1 2

12．正多边形的有关计算: 公式举例：

（1）中心角，半径R，边心距r，

n N n

边长a，角，边数n；

n n

（2）有关计算在RtΔAOC中进行.

O

D



n

R

n

A

E

r

n

a

n

CB



n

360

； (1) =

n



180

(2)

n



2n

n

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆.

3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.

二 公式：

nR

2

A

1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR.

180

O

B

nR1

2



LR

；（4）扇形面积S=（5）弓形面积S=扇形面积S±ΔAOB的面积.（如图）

扇形 弓形 AOB

3602

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)

圆柱侧

1

（2）圆锥的侧面积：S =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

圆锥侧

LR

2

三 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心  两边中垂线的交点  三角形的外接圆的圆心；

三角形的心  两角平分线的交点  三角形的切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交  d＜r ； 直线与圆相切  d=r ； 直线与圆相离  d＞r.

5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离  d＞R+r； 两圆外切  d=R+r； 两圆相交  R-r＜d＜R+r；

两圆切  d=R-r； 两圆含  d＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法

- . 可修编.

- .

加辅助线.

7．关于圆的常见辅助线：

O

O

AB

O

C

C

A

B

O

已知弦构造弦心距. 已知直径构造直角. 已知切线连半径，出垂直.

A

C

B

已知弦构造RtΔ.

A

B

A

D

O

AP

B

D

A

P

O

B

A

O

C

P

C

B

O

B

C

D

P

C

圆外角转化为圆周圆角转化为圆周角. 构造垂径定理. 相似形.

角.

M

A

O2

01

D

构造

M

A

B

N

M

D

02

O1

M

B

A

02

A

O2

C

01

D

N

O1

C

E

E

两圆切，构造外公切两圆切，构造外公切线两圆外切，构造公切两圆外切，构造公切线与

线与垂直. 与平行. 线与垂直. 平行.

A

C

E

D

B

O

O1

N

N

A

C

B

A

A

02

B

P

C

O

E

O

D

两圆相交构造公共弦，

两圆同心，作弦心距，连结圆心构造中垂线. PA、PB是切线，构造相交弦出相似.

可证得AC=DB. 双垂图形和全等.

B

A

O

B

C

A

A

D

E

A

E

C

O

D

B

O

P

C

BFC

P

B

P

C

一切一割出相似, 并两割出相似,并且构造圆双垂出相似,并且构造规则图形折叠出一

且构造弦切角. 周角. 直角. 对全等，一对相似.

- . 可修编.

- .

D

F

O

AB

E

C

H

A

D

O

E

A

A

G

若AD∥BC都是切线，连

圆的外切四边形对边结OA、OB可证∠

和相等. AOB=180°，即A、O、B等腰三角形底边上的RtΔABC的切圆半

三点一线. 的高必过切圆的圆心

B

C

O

BC

D

F

D

O

E

B

abc

径：r=.

2

和切点,并构造相似形.

C

A

B

A

C

O

C

补全半圆.

o1

o2

o1

o2

B

AB=

OO(Rr)

12

22

.

22

AB=

OO (Rr)

12

.

A

D

C

G

A

C

ODB

P

P

AB

O

M

F

PC过圆心，PA是切线，构造 O是圆心，等弧出平行和相似. 作AN⊥BC，可证出:

双垂、RtΔ.

BDNEC

GFAM

.



BCAN

- . 可修编.