可退货在线租赁竞争分析及其风险回报模型

第15卷󰀁第4期中国管理科学Vol.15,No.4

󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

2007年󰀁󰀁8月ChineJournalofManagementScienceAug.,󰀁2007

文章编号:1003-207(2007)04-0028-06

可退货在线租赁竞争分析及其风险回报模型

董玉成,徐寅峰,徐维军

11,23

(1.西安交通大学管理学院,陕西西安󰀁710049;

2󰀁西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,陕西西安󰀁710049;

3.华南理工大学工商管理学院,广州󰀁510641)

摘󰀁要:经典的在线租赁只考虑购买和租赁两种决策行为,当在线租赁方购买设备后,不允许退货。本文假设在线

租赁方在选择购买设备后,如果觉得购买设备不划算,可以在任何时候花费一定的代价把设备退还给承租方。通

过定义退货费用函数来刻画退货行为,本文提出了可退货在线租赁问题,它是经典在线租赁问题的扩展。利用传

统的竞争分析方法设计了该问题的竞争策略,分析了策略的竞争性能,并证明该策略能达到竞争比下界(即是最优

竞争策略)。同时,在风险回报竞争分析框架下,进一步讨论了上述问题,得到了给定预期和风险下收益最优的竞

争策略。

关键词:在线租赁;竞争分析;风险回报模型

中图分类号:F22410󰀁󰀁文献标识码:A

1󰀁引言

租赁是一种常见的社会经济活动,应用在线算的随机策略(即混合策略),文献[3]讨论了输入具有

法研究租赁问题是最近的一个研究热点,它起源于几何分布特征下的概率竞争比策略,文献[4]讨论了

1992年Karp提出的󰀂租雪橇 模型,该模型假设具有指数概率分布特征下的概率竞争比策略,文献

[1]

在线人(又称局内人或占线人)需要使用某种仪器[5]在文献[3-4]的基础上从连续租赁和离散租赁

(例如雪橇、汽车、仪器等),但并不清楚到底会使用

设备多长时间,只有在每个阶段开始时才能决定是了当购买价格波动而租赁费用保持不变情形下的租

继续用还是不用。因此他有两种解决方法:一是每赁策略,文献[7]进一步讨论了当购买价格和租赁费

个阶段付费c租赁;另一种就是花更高的价钱p将用都波动情形下的租赁策略;Yaniv把利率因素引

其买下来(不失一般性假设p/c是整数)。一旦在线入到在线租赁策略设计,文献[9]考虑了设备折旧因

人买下了仪器就不必再付费租赁。因为只有在每个

阶段初才知道以后还需不需要这个仪器设备,所以

决定什么时候租用,什么时候购买是问题的关键。

问题的目标是决定什么时候租赁和购买能使得竞争

比最小,即使在线策略花费与最优离线策略花费的

比值尽可能的小。Karp证明当在p/c-1及其以前

的阶段租赁设备,p/c阶段购买设备这一策略能使

该问题达到最小竞争比(2-c/p)。

收稿日期:2007-07-17;修订日期:2007-07-02

基金项目:国家自然科学基金资助项目(70525004、70121001、

70471035);中国博士后科学基金资助项目

(2)

作者简介:董玉成(1979-),男(汉族),湖北人,西安交通大学管

理学院,博士研究生,研究方向:群体决策、在线算法.

结合现实租赁中的实际情况,很多学者对这个

基本模型进行了扩展:Karlin等讨论了在线租赁

[2]

两方面详细讨论了概率竞争比策略;Irani等研究

[6]

[8]

素的在线租赁研究。在这些在线租赁研究中,假设

租赁方要么继续租用设备要么购买,购买后不允许

租赁方退货。事实上在现实租赁合同条款中,允许

退货是很常见的条款。因此本文将研究如果租赁方

和承租方达成了可退货协定后,在线租赁问题的策

略设计。作者将首先应用传统竞争分析方法给出可

退货在线租赁的最优策略,然后基于Binali等建

[10]

立的风险回报竞争分析框架进一步讨论此问题。

2󰀁竞争分析的基本概念

[10,11]

本节将介绍传统的竞争分析方法和风险回

[11]

报竞争分析方法。在传统竞争分析中,存在着一

[10]

个供决策者选择的策略集S和一个离线对手发出的

序列集I。在线决策者的目的就是设计一个好的策

第4期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁董玉成等:可退货在线租赁竞争分析及其风险回报模型#29#

略A!S以应对离线对手可能发出不确定的输入序

列󰀁!I。竞争分析方法与以往解决此类问题方法的

最大区别在于:它在变化因素的每一个特例中都能3󰀁1󰀁退货费用函数

给出一个方案,使得这一方案所得到的解离最优方可退货在线租赁是基本租赁问题的扩展,它假

案给出的解总在一定的比例之内,从而使在线问题设在线租赁方在选择购买设备后,如果觉得购买设

的解始终保持在一个较优的状态,即对在线策略A备不划算,可以在任何时候花费一定的代价把设备

以及任何有限的输入序列󰀁,如果存在一个常数󰀂满退还给承租方。对于该问题,租赁方和承租方必须

足首先对退还购买设备的惩罚费用达成一个合同条

Coxt(󰀁)∀󰀂#Cost(󰀁)款。

Aopt

则称在线策略A为󰀂竞争策略,或者称A具有定义F(x)是租赁方在购买设备x时间后退货

*[9,11]

竞争比󰀂。若某在线策略的竞争比满足󰀂=的惩罚费用。根据租赁退货的一些合同常识容

*

inf(󰀂),则󰀂为该在线问题的最优竞争比。易知道:(1)F(x)是增函数,即购买时间越长,所需

A

A!S

3󰀁可退货在线租赁基本问题及策略设计

支付的退货费用越大。另外为了保证租赁退货机制

的运行,通过分析容易知道:(2)退货费用F(x)必

须大于租赁费用cx。这主要是防止恶意退货,因为

若购买x时间后退货的费用F(x)小于租赁费用

cx,那么理性的租赁方(即假设租赁方总是寻求最小

化租赁成本费用)总会选择先购买设备生产然后退

货;(3)购买后立即退货的费用应小于p,即F(0)<

p,这是因为若F(0)∃p,而F(x)又是增函数,则有

F(x)∃p,这会导致在任何时候决策者都不会选择

退货,因为退货的费用太大(∃p),购买设备后退货

总比不退货花费更大。由上述分析定义退货费用函

数。

定义1:定义F(x)是在购买设备x时间后退货

的费用函数,若其满足下列性质:(1)F(x)是增函

数;(2)F(x)-cx>0;(3)F(0)<p。

若简化考虑F(x)是线性函数,即F(x)=A+

Bx,由定义1知道A<p,B>c。

定义2:定义F(x)是线性退货费用函数,若A

<p,B>c。

3󰀁2󰀁竞争策略设计及其竞争比

令T表示在前T阶段租赁生产,在T+1阶段购

买设备生产这种租赁策略;令S={T|T=1,2,%}

表示策略全集;令t表示使用设备的时间(即设备需

要使用t阶段);令I={t|t=1,2,%}为离线对手

发出的设备使用时间的序列集。租赁问题的竞争分

析可以看作在线租赁人从S中选择策略,而离线对

手从I中选择设备使用时间,与之进行零和博弈。

Cost(t)表示设备使用期限是t,采用T租赁策略的

T

费用,Cost(t)表示采用离线最优的租赁策略opt

opt

传统的竞争分析让在线决策者始终选择无风险

的行为来得到最优竞争比。1999年,Binali把在线

[10]

决策者的风险行为引入传统竞争分析中,把󰀂行为

看作策略的选择,把󰀂结果 看作策略下的竞争比

(如图1所示),利用不同策略下的竞争比作为风险

的衡量尺度,即用策略A的竞争比与传统最优竞争

*

比的比值(即󰀂/󰀂)来定义风险,提出了风险回报

A

概念。令r∃1为在线决策者的风险忍耐度(当r=1

时,在线决策者是风险规避的;当r>1时,在线决策

*

者是风险偏好的),I={A|󰀂∀r#󰀂}表示风险

rA

忍耐度小于等于r的策略集合。

在线决策者可以根据自己的风险忍耐度来设计

策略。令F!I为预期输入序列,如果占线决策者能

够成功的预期未来的需求序列,便可以得到有约束

竞争比,󰀂=sup{Cost(󰀁)/Cost(󰀁)},该预期下

AAopt

󰀁!F

A

)。的最优竞争比为󰀂=inf(󰀂用预期正确下竞争

A!S

*

比性能的提高来衡量策略A容忍风险后所获得的回

报收益,具体定义策略A的回报收益为R=

A

󰀂

/󰀂。

A

对于问题P,如果在决策者能够成功预期未来

的需求序列,则期望设计一个最优风险策略A

*

!

I,其补偿函数为R=sup{*/󰀂}

tAA

*

*

A!I

t

󰀂

图1

的费用。在传统的竞争分析中一般令󰀂=sup

T

t!T

Cost(t)

T

表示策略T的竞争比,并用它来衡量策略

Cost(t)

opt

#30#中国管理科学󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2007年

*-1

的优劣;令󰀂=inf(󰀂)表示最优竞争比,T表示中T=p/c-1-[F(p)]。

TT0

*

T!S

定理2:T策略的竞争比为2-(1+

0

[F(p)])。

-1

证明:若事先知道设备的使用期限,那么当使用

期限t∀p/c-1时候,离线最优的opt策略是一直

租用,若t∃p/c,离线最优的opt策略是从使用初就

购买而完全不租用,那么有:

Cost(t)=

opt

ctt!{t!Z:t∀p/c-1}

pt!{t!Z:t∃p/c}

(1)

若采用T策略,由定理1知当t!I=[p/c-

01

[F(p)],p/c],租赁方会选择从T时购买,并在t

-1

0

时刻退货;当t!I=[1,p/c-1-[F(p)]]时,

2

-1

租赁方会选择租赁;当t!I=(p/c,+&)时,租

3

赁方会选择从T时购买,并不再退货。因此有

0

t!Ict

1

-1-1

最优策略。

定理1:如租赁人采用策略T进行租赁,那么理

性的租赁人当且仅当设备使用期限T<t∀T+1+

[F(P)]时会选择退货,其中[F(P)]表示对

-1-1

F(P)向小取整。

证明:(充分性)因为采用T策略,所以租赁人

购货时间为t-T-1。又因为t∀T+1+[F(P)]

-1

且F(x)是增函数,那么F(t-T-1)∀P。因为理性

决策者会选择费用最小的租赁行为,所以选择退货。

(必要性)因为理性决策者选择退货,所以T<t且

F(t-T-1)∀P。由F(t-T-1)∀P知T∀t+

1+F(P),又因为t是整数,所以T<t∀T+1+

[F(P)]。得证。

-1

下面讨论可退货租赁问题的一个策略,该策略

考虑在前T阶段租赁设备,在其以后购买设备,其

0

󰀁󰀁Cost

T

0

(t)=c(p/c-1-[F(p)])+F(t-p/c+[F(p)])t!I(2)

-1

-1

c

p

c(p/c-1-[F(p)])+pt!I

-1

2

3

令󰀂(t)=,化简得

Cost(t)

T

0

Cost(t)

opt

1t!I

1

-1-1

󰀁󰀁󰀂(t)=

1+c/p-c[F(p)]/p+F(t-p/c+[F(p)])/pt!I(3)

2-c/p(1+[f(p)]t!I

-1

2

3

因为策略T的竞争比󰀂=sup(󰀂(t)),同时容易证结合(5)(6)得

0T

0

t

明󰀂(t)是非减函数,所以

c

(1+[F(p)]){󰀂(t)}=2-

-1

󰀂=sup

t

p

(4)

3󰀁3󰀁竞争比下界

定理3:允许退货租赁问题的竞争比下界为2-

c

(1+[F(p)])。

-1

p

证明:对任意策略T!S,下面分三种情况讨

论:

i)若T∀T,此时假设设备使用期限t=T+

0

[F(p)]。于是根据(1)有

Cost(T+[F(p)])=c(T+[F-1(p)])

opt

(5)

根据(2)有

Cost(T+[F(p)])=cT+F([F(p)])使用的结束期限t=T+[F(p)]。于是根据

T

(6)(1)(2)并类似(ii)也可以得到(8)成立。

-1-1

-1

-1

-1

T

(T+[F(p)])CostcT+F([F(p)])

󰀂=

T

=

-1-1

Cost(T+[F(p)])c(T+[F(p)])

opt

-1-1

(p)])-c[F(p)]F([F

=1+(7)

-1

c(T+[F(p)])

-1

由退货费用函数的定义知F([F(p)])-

-1

c[F(p)]>0,所以󰀂在T∀T是非增函数,即:

-1

T0

c

(1+[F(p)])=2-(8)

-1

󰀂∃󰀂

TT

0

p

-1

-1

ii)若T+1∀T∀T+1+[F(p)],同样假

00

设设备使用的结束期限t=T+[F(p)]。于是根

据(1)(2)有:

-1

T

(T+[F(p)])CostcT+F([F(p)])

󰀂=

T

=(9)

-1

Cost(T+[F(p)])p

opt

-1

从(9)可看出󰀂在T+1∀T∀T+1+

T00

[F(P)]是非减函数,即(8)成立

-1

iii)若T>T+[F(P)]+1,同样假设设备

0

-1

-1

第4期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁董玉成等:可退货在线租赁竞争分析及其风险回报模型#31#

综上得证。1∀t∀T+1+[F(P)]}。在这种预期下在线租

0

-1

赁为了获得更多收益(即在预期F下使竞争比小于

2

无预期的情形),那么可选策略T应满足T∃T+

0

1,又因为当T∃T+[F(P)]+1时,风险会进一

0

步扩大,但收益却不会继续增加。因此供租赁人选择线租赁问题,这一节将利用第2节介绍的Binali的风险

的合理策略集为S={T+1∀T∀T+回报竞争分析框架,继续讨论这一问题。采用Binali的

200

[F(P)]+1}。竞争分析方法讨论在线租赁问题是一个新的研究趋

-1

预期3:预计t>T+[F(P)]+1,也即预计

0

离线对手发出的序列集为F={t∋t>T+

30

[F(P)]+1}。在这种预期下在线租赁为了获得更

多收益,即在预期F下使竞争比小于无预期的情

3

形,那么可选策略T应满足T∀T,即合理策略集

0

合为S={T∀T}。

30

令󰀂为无预期下最优策略的竞争比,󰀂为策为了获得更大收益(即在预期F1下使竞争比小于无

TT

0

略T在预期失败后(即无预期)的竞争比,󰀂为策略

T

T在预期成功下的竞争比,那么根据Binali的风险

TT1

/󰀂,风险为回报竞争分析,策略T的收益为󰀂

0

󰀂/󰀂

TT

。计算在三种预期F,F,F下,各自对应可

123

0

-1

-1

-1

4󰀁可退货在线租赁的风险回报模型

上一节利用传统的竞争分析方法讨论了可退货在

势,文献[12]利用该方法讨论了基本租赁问题,文献

[13]讨论了在线租赁问题的一个变型(Bahncard问题)。

下面讨论可退货的在线租赁风险回报模型,按照设备

需要使用的期限,可以作出3种预期:

预期1:预计t∀T,即预计离线对手发出的序

0

列集为F={t∋t∀T}。在这种预期下在线租赁人

10

预期的情形),那么可选策略T应满足T∃T,又因

0

为当T>T时,风险会进一步扩大,但收益却不会

0

继续增加。因此供租赁人选择的合理策略集为S=

{T=T}。

0

预期2:预计T+1∀t∀T+1+[F(P)],

00

-1

也即预计离线对手发出的序列集为。F={t∋T+

20

行策略的收益和风险,计算结果见表1。

表1󰀁不同预期和策略下的收益和风险

预期策略集收益风险

t!FT!S

11

t!FT!S

22

t!FT!S

33

预期成功的预期失败的

竞争比󰀂T竞争比󰀂

12(1+[F(p)])2(1+[F(p)])1

cT+F(t-T-1)cT+F([F(p)])cT+F([F(p)])2ctp-ct-ct[F-1(p)]

ct2p-c-c[F(p)]ppcT+pF(t-T-1)

cT+pcTp+pF([F(p)])cT+F([F(p)])2p-c-c[F(p)]

pc(T+[F(p)])(2p-c-c[F(p)])c(T+[F(p)])cT+p

T

cc

-1-1

pp

-1-122

-1

-1-1-1

-1-1-1

󰀁󰀁定理4:若在线租赁的风险容忍度为r,预期

F,F,F下收益最大的策略分别为T,T,T。那cT+F([F1(p)])

123123

-1

么有:T=p/c-[F(p)]-1;T=

13

pF([F(p)])-rc(2p-c-c[F(p)])[F(p)]

-1-1-1

;

rc(2p-c-c[F(p)])-cp

-1

22-1

2ctp-ct-ct[F(p)]

,那么T为方令f(T)=

2

pcT+pF(t-T-1)

22-1

2ctp-ct-ct[F(p)]

根,程的f(T)=inf

*

pcT+pF(t-T-1)

T!S

2

其中S={T∋T+1∀T∀r(2p-c-

02

c[F(p)])/c-F([F(p)])/c}。

-1-122

证明:i)当预期为F,合理的策略集为S={T

11

=T},所以T=T得证。

010

ii)当预期为F,当采用策略T!S时,由表1

22

cT+F([F(p)])

-1

知采用策略T时风险为,因为

2p-c-c[F(p)]

-1

*

在线租赁人的风险容忍度为r,所以

-

∀r(10)

2p-c-c[F(p)]

-1

化简得:

T∀r(2p-c-c[F(p)])/c-F([F(p)])/c

-1-1

(11)

因为T!S,结合(11)有T!S,其中S=

222

{T∋T+1∀T∀r(2p-c-c[F(p)])/c-

0

-1

F([F(p)])/c}。

-1

由表1知预期下F采用策略T!S时收益为

2ctp-ct-ct[F(p)]

,那么收益最大的策略T

2

pcT+pF(t-T-1)

应为方程

22-1

**

#32#中国管理科学󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2007年

f(T)=inf

T!S

*

2

2ctp-ct-ct[F(p)]型中引入了一个二手货市场。

22-1

pcT+pF(t-T-1)

22-1

在今后的研究中将把利率、购买价格、租赁价格

假设为波动情形,讨论可退货在线租赁,同时也讨论(12)

和分析该问题的随机性策略。离线租赁问题一般以2ctp-ct-ct[F(p)]

资产租赁合同分析为基础,基于可退货租赁,

[14,15]

笔者也计划进一步研究在线合同租赁模型和策略。

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的根,其中f(T)=。

pcT+pF(t-T-1)

iii)当预期为F时由表1知采用策略T!S的

33

cTp+pF([F(p)])

,因风险为

-1-1

c(T+[F(p)])(2p-c-c[F(p)])

为在线租赁人的风险容忍度为r,所以

cTp+pF([F(p)])

∀r

c(T+[F(p)])(2p-c-c[F(p)])

-1-1

(13)

化简得

pF([F(p)])-rc(2p-c-c[F(p)])[F(p)]

-1-1-1

∀T

rc(2p-c-c[F(p)])-cp

-1

(14)

同样由表1知采用策略T时收益为

2p-c-c[F(p)]

-1

是T的减函数,所以当采用T

3

cT+p

策略时能获得最大收益,其中

pF([F(p)])-rc(2p-c-c[F(p)])[F(p)]

-1-1-1

T=

3

rc(2p-c-c[F(p)])-cp。

-1

推论:当退货费用函数F(x)为线性时,有T=

2

r(2p-c-c[F(p)])/c-F([F(p)])/c。

-1-1

证明:由定义2容易证明,

22-1

-1

-1

2ctp-ct-ct[F(p)]

是T!S的增函数,所以

2

pcT+pF(t-T-1)

方程(12)有唯一的根,即:

T=r(2p-c-c[F(p)])/c-F([F(p)])/c。

2

得证。

-1-1

5󰀁结语

经典的在线租赁研究是基于Karp提出的󰀂租

雪橇 模型,它一般假设当租赁方购买设备后,不允

许退货。本文定义了退货费用函数,在此基础上讨

论了允许退货的在线租赁问题。可退货在线租赁是

是经典在线租赁问题的扩展,它假设在线租赁方在

选择购买设备后,如果觉得购买设备不划算,可以在

任何时候根据退货费用函数把设备退还给承租方。

采用传统的竞争分析方法和风险回报竞争分析方法

分别给出各自的最优策略。在线可退货租赁问题也

有很好的经济意义,经典的在线租赁本质上是考虑

了两个市场(租赁市场和新货购买市场),但现实租

赁中往往存在二手货交易市场,可退货租赁考虑了

购买后的设备能够退还,事实上是在经典的租赁模

第4期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁董玉成等:可退货在线租赁竞争分析及其风险回报模型#33#

CompetitiveAnalysisandRisk󰀂RewardModelforOnlineRental

ProblemwithCancelingBuying󰀂Permission

DONGYu󰀂cheng,XUYin󰀂feng,XUWei󰀂Jun

11,23

(1.SchoolofManagement,Xi'anJiaotongUniversity,Xi'an710049,China;

2.StateKeyLabforManufacturingSystemsEngineering,Xi'an710049,China;

3.SchoolofBusinessAdministration,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou󰀁510641,China)

Abstract:Theclassicalonlinerentalproblemonlyconsiderstwooptions:buyorrent.Thispaperassumes

thatthebuying󰀂permissioncanbecanceled,andpropostheonlinerentalproblemwithcancelingbuying

-permission.Thepropodproblemisageneralizationoftheclassicalonlinerentalproblem.Usingthe

methodoftraditionalcompetitiveanalysis,wedesigntheoptimalinvestmentstrategyforthisproblem.

Moreover,wealsogivetheoptimalstrategiesundertherisk-rewardframework.Theresultscanpro󰀂

videabasisforfurtherconstructingtheframeworkoftheonlineleasingproblembadoncontracts󰀁

Keywords:onlinerentalproblem;competitiveanalysis;risk-rewardmodel