策略思维 商界 政界及日常生活中的策略竞争 3.3.2定理

要用Excel中规划求解工具求解二人零和博弈问题，需要了解如

下约定：

设为局中人Ⅰ的收益矩阵，

A(a)

ijmn



aaa

11121n



aaa

,A(a)



21222n







aaa

m1m2mn

ijmn

记分别为局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的

X(x,x,,x),Y(y,y,,y)

12m12n

E(1,1,...,1),E(1,1,...,1)

mn

混合策略，， 表示的转置，表示

的转置。

m个1n个1

T

Y

Y

E

m

E

m

T

根据上述约定，我们给出下述定理。这是用Excel中规划求解工

具求解二人零和博弈问题的重要理论依据。

**

G{S,S,A}

(P,Q)

等价于： 定理1. 求矩阵博弈的纳什均衡

12

求解两个线性规划问题

：

maxZy



j

n

（1） （2）

和

j1

minZx



i

i1

m



AYE

s..t





Y0.

TT

m



XAE

n

s..t





X0.

原博弈的解为

V,

G

1



x

i1

m

PVX,QVY.

**T

GG

i

这里的为该博弈的混合纳即为局中人Ⅰ的期望收益值，

什均衡。

V

G

**

(P,Q)

说明：

式中的s.t.为 subject to 的缩写，意即“受限于”其后的

条件。关于矩阵、向量之间的运算，读者可参阅

附录。

定理2设有两个矩阵博弈和，其中

.

G{S,S;A}

1121

G{S,S;A}

2122

A(a)A(ak)

1ij2ij

，

21

，为任意常数，则有

k

（1）

VVk.

GG

（2） 式中表示矩阵博弈的解集。

T(G)T(G).

12

T(G)

G