高一升高二高中生数学暑假衔接教材

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1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.



，存在，α≠90°





(2)k＝



不存在，α＝90°.



(3)斜率的求法：

①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．

2．直线方程的几种形式的转化

3．两条直线的位置关系

设l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0，则

11112222

(1)平行⇔AB－AB＝0且BC－BC≠0；

12211221

(2)相交⇔AB－AB≠0；

1221

ABC

111

(3)重合⇔A＝λA，B＝λB，C＝λC(λ≠0)或＝＝(ABC≠0)．

121212222

ABC

222

4．距离公式

(1)两点间的距离公式．

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已知点P(x，y)，P(x，y)，则|PP|＝x－x＋y－y.

111222122121

22

(2)点到直线的距离公式．

|Ax＋By＋C|

00

①点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

00

A＋B

22

②两平行直线l：Ax＋By＋C＝0与l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

1122

【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(0,1)，B(3,2)．

(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；

(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．

【训练1】 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC

边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程．

【例2】 (1)当a＝________时，直线l：y＝－x＋2a与直线l：y＝(a－2)x＋2平行；

12

2

(2)当a＝________时，直线l：y＝(2a－1)x＋3与直线l：y＝4x－3垂直．

12

【训练2】 (1)已知直线l：ax－3y＋1＝0，l：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l⊥l，则实数a的值

1212

等于________．

(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1,1)，点A(－2,3)，B(0，y)，则y＝________.

【例3】 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方

程．

【训练3】 求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．

|C－C|

12

A＋B

22

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【例4】 已知直线l：y＝3x＋3，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；

(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；

(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．

【训练4】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

核心归纳

1．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)＋(y－b)＝r，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆

222

心在原点的圆的标准方程为x＋y＝r.

222

圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)．

2222

(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，

而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．

(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如

果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些

点，通常可用圆的一般方程．

2．点与圆的位置关系

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(1)点在圆上

①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．

②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．

(2)点不在圆上

①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足

F(x，y)<0，则该点在圆内．

②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．

注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d＝|PC|＋r；最小距

max

离：d＝|PC|－r.

min

3．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解

直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d

与半径长r的大小关系来判断)．

(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d

为圆心到直线的距离．

(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．

(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．

①若切线所过点(x，y)在圆x＋y＝r上，则切线方程为xx＋yy＝r；若点(x，y)在

000000

2222

圆(x－a)＋(y－b)＝r上，则切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r.

2222

00

②若切线所过点(x，y)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要

00

注意斜率不存在的情况也可能符合题意．

(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E

2222

－4F>0)的交点的圆系方程是x＋y＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．

22

4．圆与圆的位置关系

两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两

种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心

距d与半径长r，R的大小关系来判断)．

(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几

何性质和勾股定理来求弦长．

(2)过圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0与圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的直线

11112222

2222

方程为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.

121212

5．空间直角坐标系

(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，

z)一一对应．

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(2)空间中P(x，y，z)，P(x，y，z)之间的距离

11112222

|PP|＝x－x＋y－y＋z－z.

12121212

222

(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下

的对称点．

【例1】 一个圆和已知圆x＋y－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)

22

点，求该圆的方程。

【训练1】 已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y

－2＝0垂直．

(1)求直线l的方程；

(2)若圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C

的标准方程．

【例2】 有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标

准方程．

【训练2】 已知点P(0,5)及圆C：x＋y＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得

22

的线段长为43，求l的方程．

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【例3】 求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x＋y－2x＋10y－24＝0，x＋y＋2x＋2y－

2222

8＝0的交点的圆的方程．

【训练3】 已知⊙C的圆心在直线l：x－y－4＝0上，且经过⊙C：x＋y－4x－3＝0和

1

22

⊙C：x＋y－4y－3＝0的交点，求⊙C的方程．

2

22

【例4】 已知圆C：(x＋2)＋y＝1，P(x，y)为圆C上任一点，

22

(1)求的最大、最小值；

y－2

x－1

(2)求x－2y的最大、最小值．

【训练4】 已知实数x，y满足方程(x－3)＋(y－3)＝6，求x＋y的最大值和最小值．

22

直线练习题：

1. 直线同时要经过第一、第二、第四象限，则应满足（ ）

axbyc0

a、b、c

A． B． C． D．

ab0,bc0ab0,bc0ab0,bc0ab0,bc0

2. 过两点的直线在x轴上的截距是

(1,1)和(3,9)

3. 点到直线的距离为

(0,5)y2x

4. 如果直线互相垂直，那么a的值=

ax2y10与直线xy20

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5. 若直线 平行，那么系数a=

ax2y20与直线3xy20

6. 以点为端点的线段的中垂线的方程是

(1,3)和(5,1)

7.过点平行的直线的方程是

(3,4)且与直线3xy20

8.直线轴上的截距分别为

3x2y60在x、y

9. 三直线不能围成三角形，则a=

ax2y80,4x3y10,2xy10

10．过点(4，)和点(5，)的直线与直线＝＋平行，则||=

AaBbyxmAB

ππ

11.直线2cosα－－3＝0(α∈[，])的倾斜角的变化范围是

xy

63

12.直线(2＋－3)＋(－)＝4－1在轴上的截距为1，则是=

mmxmmymxm

13. (0)，(0，)，(1，－1)(＞0，＜0)三点共线，则－的最小值=

Aa,BbCabab

14. 设点(－2,3)，(3,2)，若直线＋＋2＝0与线段没有交点，则的取值范围是

ABaxyABa

15. 从点(2,3)射出的光线沿与直线－2＝0平行的直线射到轴上，则经轴反射的光线

xyyy

所在的直线方程为________________．

16.过点A（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是

17.过点A（4,5）且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为6的直线方程为

18. 求到两个定点的距离之比等于2的点的轨迹方程

A(2,0),B(1,0)

19. 求直线y=x于直线的对称直线的方程

l:2xy10

20．(1)求经过点(－5,2)且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程．

Axy

(2)过点(8,6)引三条直线，，，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线的方

Allll

1232

3

程是＝，求直线，的方程．

yxll

13

4

21. 在△中，已知(5，－2)、(7,3)，且边的中点在轴上，边的中点在

ABCABACMyBCNx

轴上，求：

22

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(1)顶点的坐标；

C

(2)直线的方程．

MN

22. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：

ll

1

(1)过定点(－3,4)；(2)斜率为.

A

6

23. △的三个顶点为(－3,0)，(2,1)，(－2,3)，求：

ABCABC

(1)所在直线的方程；

BC

(2)边上中线所在直线的方程；

BCAD

(3)边上的垂直平分线的方程．

BCDE

直线和圆练习题：

1．设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程x－y＋1＝0，

则直线PB的方程为( )

A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0

C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－5＝0

2．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为( )

33

A．－ B. C．3 D．－3

22

3．直线x＋ay＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值是( )

2

A．3 B．0 C．－1 D．0或－1

4．两直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )

33

A．－≤m≤2 B．－＜m＜2

22

33

C．－≤m＜2 D．－＜m≤2

22

22

5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x＋y－4y＝0所截得的弦长为( )

A.3 B．2 C.6 D．23

22

6．与直线x－y－4＝0和圆x＋y＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )

A．(x＋1)＋(y＋1)＝2 B．(x＋1)＋(y＋1)＝4

2222

C．(x－1)＋(y＋1)＝2 D．(x－1)＋(y＋1)＝4

222

→→→→

7．已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝4交于A、B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为原

22

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点，则实数a的值为( )

A．2 B．－2 C．2或－2 D.6或－6

22

8．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x＋y＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关

系是( )

A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定

9．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）

(x2)y5

22

A． B．

C． D．

(x2)y5x(y2)5

2222

(x2)(y2)5x(y2)5

2222

y

l

1

10.如图所示，直线，，，的斜率分别为，，，则（ ）

lllkkk

123123

A． < < B． < <

kkkkkk

123 312

C． < < D． < <

kkkkkk

321132

22

l

2

l

3

o

x

11.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为

xymx0

__________．

直线关于直线对称的直线方程是__________.

yx

1

y1

y

m

4

1

x1

2

12．已知直线l：ax＋y＋2a＝0，直线l：ax－y＋3a＝0.若l⊥l，则a＝________.

1212





x＝3cosθ，

22

13．已知动直线l 平分圆C：(x－2)＋(y－1)＝1，则直线l与圆：(θ为参数)







y＝3sinθ，

的位置关系是________．

14．若直线y＝kx－2与圆x＋y＝2相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，

22

k的值为________．

15．若实数,y满足的最大值是

x

(x2)y3,则

22

y

x

16．求经过7x＋8y＝38及3x－2y＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．

17．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的

弦长为22，求圆的方程．

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18．直线y＝kx与圆x＋y－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，

22

求AB中点的轨迹方程．

已知m∈R，直线l：mx－(m＋1)y＝4m和圆C：x＋y－8x＋4y＋16＝0.

222

(1)求直线l斜率的取值范围；

1

(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

2

19. 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，

xy2x0

x3y0Q(3,3)

求圆C的方程。

20.已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径

43

小于5．

22

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（1）求直线PQ与圆C的方程．

（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点AB，，求直线l的方程

、

AOB90

直线和方程1 单元测试 理科

一、选择题：

2、入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线: y=x被直线反射后的光线所在的方程是 ( )

l

A x+2y-3=0 B x+2y+3=0 C 2x-y-3=0 D 2x-y+3=0

3、已知直线: y=x·sinα和直线: y=2x+c, 则直线与 ( )

llll

1212

A 通过平移可以重合 B 不可能垂直

C 可能与x轴围成等腰直角三角形 D 通过绕上某点旋转可以重合

l

1

4、记集合M=｛(x, y)|2y≤2x+5｝, P=｛(x, y)|y≤-4x+8｝, S=｛(x, y)|7y≥5x-10｝, 若

T=M∩P∩S , 点E(x, y)∈T, 则x+3y的最大值与最小值分别是 ( )

A 1, -5 B 4, -5 C 13, -20 D 15, -25

y

5、如右下图,定圆半径为a,圆心为( b, c ),则直线ax+by+c=0与

直线 x–y+1=0的交点在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

x

O

22

6、若直线2ax-by+2=0(a,b∈R)始终平分圆x+y+2x-4y+1=0的周长,

则a·b的取值范围是（ ）

1



B C (0, ) D (-∞, ) A



1

11

，



0，







44

4



4



二.填空题：

7、两直线: 2x-5y+20=0, : mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆, 则m的最

ll

12

小值是 .



x0,



8、设x,y满足约束条件则z =3x+2y的最大值是 .



xy,



2xy1,



101101

20032004

,N

20052004

9、设=，则与的大小关系为___________.

MMN

101201

三.解答题：

10、已知点A(2, 0), B(0, 6), O为坐标原点.

(Ⅰ)若点C在线段OB上, 且∠BAC=45°, 求△ABC的面积;

(Ⅱ) 若原点O关于直线AB的对称点为D, 延长BD到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线

l:ax10y8410830

=0经过P, 求直线的倾斜角.

l

11、如图，已知：射线OA为=(>0，>0)，射线OB为= －(>0)，动点P(，)在

ykxkxykxxxy

∠AO的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为.

xk

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（1）当为定值时，动点P的纵坐标是横坐标的函

kyx

数，求这个函数=()的解析式；

yfx

（2）根据的取值范围，确定=()的定义域.

kyfx

直线和方程4 单元测试 理科

一、选择题：

1．直线所截得的线段的长为 （ ）

x3y20被圆(x1)y1

22

A．1 B． C． D．2

2

3

2． “”是“直线相互

m

1

(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30

2

B．充分而不必要条件 A．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 C．必要而不充分条件

垂直”的 （ ）

3．从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）

xy12y270

22

A．π B．2πC．4πD．6π

22

4．从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）

xy12y270

A． B． C． D．



632

2



3



x20,



5．已知点P（，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝－的取

xxy



y10,



x2y20



值范围是（ ）

A．[－2，－1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[1，2]

22

6．若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（ ）

2xyc0

a(1,1)

xy5

c

A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8

22

（ ） 7． “=”是“直线”的

ab

yx2与圆(xa)(yb)2相切

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

22

8．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）

2222

(x2)y5

A． B．

(x2)y5x(y2)5

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C． D．

(x2)(y2)5x(y2)5

2222

二、填空题：

9. 若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为

xymx0

__________．

10．将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________.



22

1

y1

y

m

4



x12cos







y2sin





y2x

xy3

，则的最大值是__________. 11．若满足条件

z3x4y

x,y





12．直线关于直线对称的直线方程是__________.

yx

1

x1

2

13．非负实数、y满足的最大值为 .

x





2xy40

,则x3y



xy30

14．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35

千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少

要花费 元.

三、解答题：

15、某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在

的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上，与

ll

l

水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大



tan



（不计此人的身高）

1

2

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16、如图，圆与圆的半径都是1，=4，过动点P分别作圆、圆的切线PM、

OOOOOO

121212

PN（M、N分别为切点），使得 ，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。

PM2PN

P

M

N

直线和方程3 单元测试 理科

一、选择题：

1、过两点的直线在x轴上的截距是( )

(1,1)和(3,9)

A． B． C． D．2



322

23

5

2、点到直线的距离为( )

(0,5)y2x

A． B． C． D．

53

22

5

5

2

3、下列命题中，正确的是( )

A．点在区域内 B．点在区域内

(0,0)xy0(0,0)xy10

C．点在区域内 D．点在区域内

(1,0)(0,1)

y2xxy10

4、由点引圆的切线的长是 ( )

P(1,3)

xy9

22

A．2 B． C．1 D．4

19

5、三直线相交于一点，则a的值是( )

ax2y80,4x3y10,2xy10

A． B． C．0 D．1

21

6．由所围成的较小图形的面积是( )

yx和圆xy4

22

A． B． C． D．



4



33



42

7、动点在圆 上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是( )

xy1

22

B(3,0)

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A． B．

(x3)y4

2222

C． D．

(2x3)4y1

22

8、参数方程) 表示的图形是(





(x3)y1

(x)y

B．圆心为，半径为3的圆 A．圆心为，半径为9的圆

(3,3)(3,3)

D．圆心为，半径为3的圆 C．圆心为，半径为9的圆

(3,3)(3,3)

31

22

22

x33cos





y33sin



二、填空题：

9、以点为端点的线段的中垂线的方程是

(1,3)和(5,1)

10、过点平行的直线的方程是

(3,4)且与直线3xy20

11、直线轴上的截距分别为

3x2y60在x、y

（2，3），(4,3)及(5,)

在同一条直线上，则k的值等于 12、三点

13、若方程表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是

xy2x4y1a0

22

三、解答题

14、求到两个定点的距离之比等于2的点的轨迹方程。

A(2,0),B(1,0)

15、求点关于直线的对称点的坐标。

A(3,2)l:2xy10

A

16、已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，

xy2x0

x3y0Q(3,3)

求圆C的方程。

22

'

k

2

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第四单元测试圆的方程（2）

一、 选择题：

1、直线4x-3y-2=0与圆的位置关系是（ ）

xy2x4y110

22

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都不对

2、经过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）

M(2,1)

xy5

22

A. B.

2xy52xy50

C. D.

2xy502xy50

3、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）

2xy10

xy5

22

A. B.

2xy502xy50

C. D.

2xy50或2xy502xy50或2xy50

4、圆与圆外切，

C:(xm)(y2)9C:(x1)(ym)4

12

2222

则m的值为（ ）

A. 2 B. -5 C. 2或-5 D. 不确定

5、圆和的公共弦所在直线方程为（ ）

xy2x0xy4y0

2222

A. x-2y=0 B. x+2y=0 C. 2x-y=0 D. 2x+y=0

二、填空题：

6、若圆和圆关于直线l对称，则直线l的方程

xy8xy4x4y0

2222

为_______________________

7、集合，其中r>0，若

Ax,yxy4,Bx,y(x3)(y4)r



22222

AB

中有且仅有一个元素，则r的值是____________



8、已知圆及直线l：x-y+3=0，则直线l被圆C截得的

C:(x1)(y2)4

22

弦长为________________

9、若经过两点的直线l与圆相切，则

A(1,0),B(0,2)

(x1)(ya)1

22

a=________

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三、解答题：

10、求与圆同心，且与直线相切的圆的方程。

xy2x4y10

22

2xy10

11、求直线截圆得的劣弧所对的圆心角。

3xy230

xy4

22

3

12、一直线过点，被圆截得的弦长为8，

P(3,)

xy25

22

2

求此弦所在的直线方程。