2021年新教材高中数学必修第二册《统计》测试卷及答案解析

2021年新教材高中数学必修第二册《统 计》测试卷

(时间：100分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，

就这个问题来说，下列说法正确的是( )

A．1 000名运动员是总体

B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本

D．样本量是100

解析：选D 总体是1 000名运动员的年龄，所以A项不正确；个体是每一名运动员的

年龄，所以B项不正确；样本是100名运动员的年龄，所以C项不正确；很明显样本量是

100.故选D.

2．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样

本数据分为( )

A．10组 B．9组

C．8组 D．7组

140－51

解析：选B 根据列频率分布表的步骤，＝8.9，所以分为9组较为恰当．故选

10

B.

3．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从

南方抽取了200个男孩，平均身高1.50 m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为( )

A．1.54 m B．1.55 m

C．1.56 m D．1.57 m

解析：选C 我国13岁的男孩平均身高为(300×1.60＋200×1.50)/(300＋200)＝

1.56(m)．故选C.

4．下列说法错误的是( )

A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法

B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

解析：选B 平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B.

5．某题的得分情况如下：

第 1 页 共 20 页

得分/分

频率/%

其中众数是( )

A．37.0% B．20.2%

C．0分 D．4分

0 1 2 3 4

37.0 8.6 6.0 28.2 20.2

解析：选C 根据众数的概念可知C正确．故选C.

6．一个频数分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的

频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )

A．15 B．16

C．17 D．19

解析：选A 20到60之间有30×0.8＝24(个)，20到40之间一共有4＋5＝9(个)，故

[40,50)，[50,60)内共有24－9＝15(个)．故选A.

7．在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中，下列说法正确的是( )

A．总体的容量越大，估计越准确

B．总体的容量越小，估计越准确

C．样本的容量越大，估计越准确

D．样本的容量越小，估计越准确

解析：选C 根据样本的频率分布可知，样本的频率分布反映的是总体中部分个体的频

率分布，只有当样本的容量越大时，估计才越准确．故选C.

8．某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一

个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分. 对于某班的演出，7位评委的评分分别

为：9.65,9.70,9.68,9.75,9.72,9.65,9.78，则这个班节目的实际得分是( )

A．9.66 B．9.70

C．9.65 D．9.67

9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋9.72

解析：选B 这个班节目的实际得分为＝9.70.故选B.

5

9．以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计

量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍，其中正

确的是( )

A．①④ B．②③

C．①③ D．②④

第 2 页 共 20 页

1

解析：选A 只有两个数据时，极差等于|x－x|，标准差等于|x－x|.故④正确．由定

2121

2

义可知①正确，②③错误．故选A.

10．从某批零件中抽取50个．然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品

有36个，则该产品的合格率约为( )

A．36% B．72%

C．90% D．25%

36

解析：选C 由题意知，该产品的合格率为×100%＝90%.故选C.

40

11．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55 km.

桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h，现对大桥某路段上1 000辆汽车的行

驶速度进行抽样调查，据此画出频率分布直方图如图，根据直方图估计在此路段上汽车行驶

速度在区间[85,90)内的车辆数和汽车行驶速度超过90 km/h的频率分布为( )

A．300,0.25 B．300,0.35

C．60,0.25 D．60,0.35

解析：选B 由频率分布直方图得，在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的频率为

0.06×5＝0.3，所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数为0.3×1 000＝300(辆)，

汽车行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.

12．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机

抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )

A．100 B．150

C．200 D．250

n70

解析：选A 由题意得，＝，解得n＝100.故选A.

3 500＋1 500

3 500

13．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的

样本量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取( )

A．12,6,3 B．12,3,6

C．3,6,12 D．3,12,6

解析：选C 由按比例分配的分层随机抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分

124

别抽取21×＝3,21×＝6,21×＝12.故选C.

777

第 3 页 共 20 页

14．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据

恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

( )

A．众数 B．平均数

C．中位数 D．标准差

解析：选D 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.故选D.

15．统计某校1 000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满

分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )

A．20% B．25%

C．6% D．80%

解析：选D 从左至右，后四个小矩形的面积和等于及格率，则及格率是1－10×(0.005

＋0.015)＝0.8＝80%.故选D.

16．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选

出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如下表所示：

分数段

人数

据此估计允许参加面试的分数线大约是( )

A．90 B．85

C．80 D．75

[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85)

2 3 4 9 5 1

[85,90]

5＋1

100

解析：选C 参加面试的频率为＝0.25，样本中[80,90]的频率为＝0.25，由样本

40024

估计总体知，分数线大约为80分．故选C.

17．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星

期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )

第 4 页 共 20 页

A．1% B．2%

C．3% D．5%

解析：选C 由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占

食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百

分比为3%.故选C.

18．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分如下：

高一：82 83 85 93 97 98 99

高二：88 88 89 88 97 99 98

则对这组数据分析正确的是( )

A．高一的中位数大，高二的平均数大

B．高一的平均数大，高二的中位数大

C．高一的平均数、中位数都大

D．高二的平均数、中位数都大

解析：选A 由得分数据可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高

647

一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为，所以高二的平均数大．故

7

选A.

19．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于

1

其他10个小长方形面积和的，且样本量为160，则中间一组的频数为( )

4

A．32 B．0.2

C．40 D．0.25

解析：选A 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，∴x

＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.故选A.

第 5 页 共 20 页

5－1

b

20．设矩形的长为a，宽为b，若其比满足＝≈0.618，则这种矩形称为黄金矩形．黄

a2

金矩形给人以美感，常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工

矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确结论是

( )

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

1

解析：选A 甲批次的样本平均数为×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617；

5

1

乙批次的样本平均数为×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.所以可估计：甲批次

5

的总体平均数与标准值更接近．故选A.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)

21. 一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下：

工资

x(元)

i

人数n

i

则该班组工人月工资的平均数为________．

解析：平均数x＝(1 600×2＋1 440×4＋1 320×5＋1 220×5＋1 150×2＋980×2)÷20

＝25 920÷20＝1 296.

答案：1 296

22．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下：

56 62 63 63 65 66 68 69 71 74 76 76 77 78 79 79 82 85 87 88 95 98

则该学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为________．

解析：最大数为98，最小数为56，极差为98－56＝42，中位数为76，所以极差与中位

数之和为118.

答案：118

23．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，

拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________人．

1 600 1 440 1 320 1 220 1 150 980

2 4 5 5 2 2

第 6 页 共 20 页

解析：高三的人数为900－240－260＝400(人)，

45

所以在高三抽取的人数为×400＝20(人)．

900

答案：20

24．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：

12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.

乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51.

则甲、乙两名运动员得分的25%分位数分别是________，________.

解析：因为两组数据都是12个数，所以12×25%＝3，所以甲运动员得分的25%分位

x＋x20＋25x＋x14＋16

3434

数为＝＝22.5.乙运动员得分的25%分位数为＝＝15.

2222

答案：22.5 15

25．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整

数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计

方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试

的平均分为________．

解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为

x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即该组频率为0.3，所以本

次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.

答案：71

三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

26．(本小题满分8分) 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)分别求出成绩落在[50,60]与[60,70]中的学生人数．

第 7 页 共 20 页

1

解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005.

200

(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2(人)．

成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3(人)．

27．(本小题满分8分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，

对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：

吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估

计居民月均用水量的中位数．

解：由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.设中

位数为x吨．

因为前5组的频率之和为

0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.

而前4组的频率之和为

0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.

所以2≤x<2.5.

由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

28．(本小题满分9分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样

检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：

40．02 40.00 39.98 40.00 39.99

40．00 39.98 40.01 39.98 39.99

40．00 39.99 39.95 40.01 40.02

39．98 40.00 39.99 40.00 39.96

(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

分组 频数 频率

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

频率

组距

第 8 页 共 20 页

[40.01,40.03]

合计

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，

试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数．

解：(1)

分组 频数 频率

[39.95,39.97) 2 0.10 5

[39.97,39.99) 4 0.20 10

[39.99,40.01) 10 0.50 25

[40.01,40.03]

合计

4 0.20 10

20 1 50

频率

组距

18

(2)∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只，∴合格率为×100%＝90%，

20

∴10 000×90%＝9 000(只)．

即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9 000.

B卷——面向全国卷高考滚动检测卷

(时间：120分钟，满分150分)

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：

次品数

频率

第 9 页 共 20 页

0 1 2 3 4

0.5 0.2 0.05 0.2 0.05

则次品数的众数、平均数依次为( )

A．0,1.1 B．0,1

C．4,1 D．0.5,2

解析：选A 数据x出现的频率为p(i＝1,2，…，n)，则x，x，…，x的平均数为xp

ii12n11

＋xp＋…＋xp＝1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.故选A.

22nn

2．如图所示的几何体的平面展开图是四选项中的( )

解析：选D 选项A、C中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不

符；选项B中折叠后三角形和圆的位置不符，所以正确的是D.故选D.

3．某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽

取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为( )

A．80 B．120

C．160 D．240

解析：选A 因为男生和女生的比例为560∶420＝4∶3，样本量为140，所以应该抽取

男生的人数为140×＝80.故选A.

4

4＋3

4．某校高二年级有50人参加2019“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下

的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为( )

分组

频率

A．70 B．73

C．78 D．81.5

[60,70) [70,80) [80,90)

0.2 0.4 0.3 0.1

[90,100]

解析：选C 估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋

95×0.1＝78.故选C.

5．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方

图，据此估计这批产品的中位数为( )

第 10 页 共 20 页

A．20 B．25

C．22.5 D．22.75

解析：选C 产品的中位数出现在频率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为

0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5.故选C.

6．如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位：万元)情况的柱形统计图．已知利

润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是( )

A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元

B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元

C．收入最少的月份的利润也最少

D．收入最少的月份的支出也最少

解析：选D 利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为40－30＝10万元，

故A错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B错误；收入最少的

月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月份的利润不是最少，故C错误，D正确．故

选D.

7．(2019·山东、湖北部分重点中学高三冲刺考试(二))已知复数z满足|z|＝2，z＋z＝

2(z为z的共轭复数)(i为虚数单位)，则z＝( )

A．1＋i B．1－i

C．1＋i或1－i D．－1＋i或－1－i

22





a＋b＝2，

解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，z＋z＝2a，所以得







2a＝2，





a＝1，



所以z＝1＋i或z＝1－i.故选C.



b＝±1，



8．如果数据x，x，x，…，x的平均数是x，方差是s，则3x＋2,3x＋2，…，3x

123n12n

2

＋2的平均数和方差分别是( )

第 11 页 共 20 页

A.x和s B．3x和9s

22

C．3x＋2和9s D．3x＋2和12s＋4

22

解析：选C 3x＋2,3x＋2，…，3x＋2的平均数是3x＋2，由于数据x，x，…，x

12n12n

的方差为s，所以3x＋2,3x＋2，…，3x＋2的方差为9s.故选C.

22

12n

9．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所

得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示 ，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重

在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合

参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为( )

A．4∶3∶1 B．5∶3∶1

C．5∶3∶2 D．3∶2∶1

解析：选B 体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝

0.30，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初

三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1.故选B.

10．从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对今年两会的热

点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )

A．抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20

B．抽取的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30

C．抽取的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40

D．抽取的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50

解析：选A 根据频率分布直方图的性质得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，

解得a＝0.04，所以抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100＝20，所

以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正确；年

龄在40～50岁的人数大约为(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正确；年龄在35～50岁

的人数大约为(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D不正确．故选A.

第 12 页 共 20 页

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，

有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

11．下列说法正确的是( )

A．中位数是50%分位数

B．数据x，x，…，x的平均数为x，数据y，y，…，y的平均数为y，则x，x，…，

12m12n12

mn

x，y，y，…，y的平均数为x＋y

m12n

m＋nm＋n

C．当样本数据全相等时，其样本方差(标准差)为0

D．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，则此时8个数的方差

s＝2

2

解析：选ABC 由百分位数的定义知，A正确；对于B，x，x，…，x，y，y，…，

12m11

－－

ii

＝＝

11

x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋ymx＋ny

12n12n

mn

－－

y的平均数为＝＝＝x＋y，

n

m＋nm＋nm＋nm＋nm＋n



x＋y

ii

mn

B正确；选项C显然正确；对于D，因为后来7个数的平均数为4，再加上一个新数据4，

这8个数的平均数仍为4，其方差s＝＝<2，故D错，故选A、B、C.

2

7×2＋4－4

84

2

7

12．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为

优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽

象指标值为5，则下面叙述正确的是( )

A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

解析：选AC 对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值

为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A正确；对于选项B，甲的数学建

模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的

1

数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为(4＋3＋4

6

第 13 页 共 20 页

23123

＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，<4，故C正

666

确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的

数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选A、C.

13．2018年11月～2019年11月某工厂工业原油产量的月度走势图如图所示，则以下

说法错误的是( )

A．2019年11月份原油产量约为51.8万吨

B．2019年11月份原油产量相对2018年11月增加1.0%

C．2019年11月份原油产量比上月减少54.9万吨

D．2019年1～11月份原油的总产量不足15 000万吨

解析：选ABD 由题意得，2019年11月份原油的日均产量为51.8吨，则11月份原油

产量为51.8×30＝1 554万吨，故A错误；2019年11月份原油产量的同比增速为－1.0%，

原油产量相对2018年11月份减少1.0%，则B错误；10月份原油产量为51.9×31＝1 608.9

万吨，11月份原油产量比上月减少1 608.9－1 554＝54.9万吨，则C正确；1～11月份共334

天，而1～11月份日均原油产量都超过50万吨，故1～11月份原油产量的总产量会超过15

000万吨，故D错误．故选A、B、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)

14．从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：

分组

频数

则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.

14

解析：∵质量不少于120克的频数为14，∴频率为×100%＝70%.

20

答案：70

15．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：

年)跟踪调查结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

第 14 页 共 20 页

[90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140)

1 2 3 10 3 1

[140,150]

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运

用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲____________，乙____________，

丙____________．

解析：甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的

4＋6×3＋8＋9＋12＋13

次数最多；乙：该组数据的平均数为＝8；

8

7＋9

丙：该组数据的中位数是＝8.

2

答案：众数 平均数 中位数

16．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据比例分配的分层随机抽

样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类型

产品数量(件)

样本量

由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A

产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．

解析：抽样比130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A产品的样本量

1

比C产品的多10，故A产品比C产品多100件，故(3 000－1 300－100)＝800(件)为C产

2

品数量．

答案：800

17．某同学10次测评成绩的数据如下：2,2,3,4,10＋x，10＋y，19,19,20,21.已知成绩的

中位数为12，若要使标准差最小，则4x＋2y的值是________．

10＋x＋10＋y

解析：由题意可知，成绩的中位数为12，所以＝12，故x＋y＝4，平均数

2

1

为(2＋2＋3＋4＋10＋x＋10＋y＋19＋19＋20＋21)＝11.4.要使标准差最小，即方差最小，

10

只需使(10＋x－11.4)＋(10＋y－11.4)最小即可．又(10＋x－11.4)＋(10＋y－11.4)＝(x－

2222

1.4)＋(y－1.4)≥＝0.72，当且仅当x－1.4＝y－1.4时取等号，故x＝y＝2时，

22

x＋y－2.8

2

2

A B C

1 300

130

标准差最小．此时4x＋2y＝12.

答案：12

四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18．(本小题满分12分)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患

第 15 页 共 20 页

有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，

依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指

标的检测值，整理得到统计图如图所示．

(1)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；

(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．

3.4

解：(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×＝40(人)．

8.5

a＝1－0.10－0.35－0.25－0.15－0.10＝0.05，b＝1－0.10－0.20－0.30＝0.40.

(2)指标检测值不低于5的样本中，

有患病者40×(0.30＋0.40)＝28(人)，未患病者60×(0.10＋0.05)＝9(人)，共37人．

37

此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为×85 000＝31 450(人)．

100

19．(本小题满分14分)为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学

改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，

为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请

你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：

分组 频数 频率

一

二

三

四

合计

(1)求a，b，c，d，e的值；

(2)作出频率分布直方图．

[60.5,70.5) a 0.26

[70.5,80.5) 15 c

[80.5,90.5) 18 0.36

[90.5,100.5]

50 e

b d

第 16 页 共 20 页

解：(1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频

15

数是b＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5)内的频率是c＝＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率

50

4

是d＝＝0.08，频率和e＝1.00.

50

(2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．

20．(本小题满分14分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们

命中的环数如下表：

甲

乙

赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？

解：为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示：

甲

乙

规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方

差小者胜，则甲胜．

规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，

中位数大者胜，则乙胜．

规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再

看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．

以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，

那么就不需要先看平均环数了．

21．(本小题满分14分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M

名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的

统计表和频率分布直方图如下：

分组 频数 频率

[10,15) 10 0.25

平均环数 方差 中位数 命中10环次数

7 4 7 0

7 5.4 7.5 1

9 6 7 6 2 7 7 9 8 9

2 4 6 8 7 8 9 7 9 10

第 17 页 共 20 页

[15,20) 25 n

[20,25) m p

[25,30]

合计

2 0.05

M 1

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)

的人数．

解：(1)由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25知，

10

＝0.25，所以M＝40.

M

因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，

3

解得m＝3. 故p＝＝0.075.

40

因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，

25

所以a＝＝0.125.

40×5

(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，

所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90(人)．

22.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，F，F分别是

1111

AC，AC的中点．

11

求证：(1)平面ABF∥平面CBF；

111

(2)平面ABF⊥平面ACCA.

1111

证明：(1)在正三棱柱ABC-ABC中，

111

∵F，F分别是AC，AC的中点，

111

∴BF∥BF，AF∥CF.

1111

又∵BF∩AF＝F，CF∩BF＝F，

11111

∴平面ABF∥平面CBF.

111

(2)在正三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC，

1111111

∴BF⊥AA.

111

又BF⊥AC，AC∩AA＝A，

11111111

第 18 页 共 20 页

∴BF⊥平面ACCA，而BF⊂平面ABF，

11111111

∴平面ABF⊥平面ACCA.

1111

23．(本小题满分14分) 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：

环)如图所示：

(1)填写下表：

甲

乙

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①结合平均数和方差，分析偏离程度；

②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；

③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些；

④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．

解：(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，

∴中位数为7环．

乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，

1

∴x＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)．

乙

10

乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，

7＋8

∴中位数是＝7.5(环)．

2

于是填充后的表格，如表所示：

甲

乙

(2)s＝[(5－7)＋(6－7)×2＋(7－7)×4＋(8－7)×2＋(9－7)]＝1.2，

222222

甲

1

10

平均数 中位数 命中9环以上

7 7 1

7 7.5 3

平均数 中位数 命中9环以上

7 ________ 1

________ ________ 3

第 19 页 共 20 页

1

s[(2－7)＋(4－7)＋(6－7)＋(7－7)×2＋(8－7)×2＋(9－7)×2＋(10－7)]＝5.4. ＝

22222222

乙

10

22

①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平

甲乙

均数的程度大．

②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．

③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射

靶成绩比甲好．

④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状

态在提升，更有潜力．

第 20 页 共 20 页