目 录
全国高中数学联赛试题规则和考试范围 ........................................................................... 2
第一部分 江苏省高中数学联赛初赛试卷[2009-2016年] ....................................................... 4
试卷01 2009年江苏省高中数学联赛初赛试卷 .............................................................. 4
试卷02 2010年江苏省高中数学联赛初赛试卷 .............................................................. 8
试卷03 2011年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 12
试卷04 2012年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 16
试卷05 2013年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 20
试卷06 2014年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 24
试卷07 2015年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 28
试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷 ............................................................ 32
第二部分 江苏省高中数学联赛初赛分类汇编[2009-2016年] ............................................. 36
汇编01 集合与简易逻辑 ................................................................................................ 36
汇编02 函 数 ................................................................................................................ 37
汇编03 导 数 ................................................................................................................ 39
汇编04 三角函数 ............................................................................................................ 41
汇编05 解三角形 ............................................................................................................ 42
汇编06 平面向量 ............................................................................................................ 43
汇编07 复 数 ................................................................................................................ 45
汇编08 数 列 ................................................................................................................ 46
汇编09 不等式 ................................................................................................................ 49
汇编10 概率与计数原理 ................................................................................................ 51
汇编11 立体几何 ............................................................................................................ 52
汇编12 解析几何 ............................................................................................................ 54
汇编13 平面几何 ............................................................................................................ 59
汇编14 初等数论 ............................................................................................................ 61
汇编15 其 他 ................................................................................................................ 63
汇编16 分类汇编参考答案 ............................................................................................ 65
1
全国高中数学联赛试题规则和考试范围
全国高中数学联赛试题规则和考试范围
联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复
赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。
一试和加试均在每年9月中旬的第二个周日举行。
在江苏省入围参加全国高中数学联赛的环节：
环 节 时 间 备 注
一般是4月中下旬或5月上旬
江苏省初赛
[200953；2010418；2011515；
201248； 201355； 2014420；
2015419； 201658]
2009年2016年，考试时间均是上午
8:0010.00；通过初赛才能参加夏令营和
复赛
取决于夏令营的时间（夏令营最后一天复
赛）；近些年夏令营都是在扬州；内容及
试卷格式同全国高中数学联赛
根据复赛成绩，划定参加决赛同学名单；
近些年江苏赛区的决赛地点都在邗江中
学
江苏省复赛
全国高中
数学联赛
2016年：7月19日上午8:0012:00
2015年：7月24日上午8:0012:00
每年9月中旬的第二个周日举行
一、全国高中数学联赛试卷格式
一试
考试时间为上午8：009：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120
分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。
加试（二试）
考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后
两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。
依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，
然后讲一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中
国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。
各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（IMO）。
二、考试范围
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定
的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概
率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离
的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
- 2 -
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最
大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，
正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三
倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二
阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，
柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单
位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）
根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，
欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格
点及其性质。
3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉
定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等
式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。
5、其它 抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。
参考书目：
1.
高中数学竞赛培优教程(第四版)(一试) 李名德、李胜宏 浙江大学出版社
2.
高中数学竞赛培优教程(专题讲座)(第3版) 李胜宏、李名德 浙江大学出版社
3.
全国重点大学自主招生数学教程(修订版) 张天德 贾广素 山东科学技术出版社
4.
高中新课标数学提优教程(第1、2、3、4册) (共四册) 冯慧愚等 著 江苏教育出版社
5.
金版奥赛教程——数学(高一分册) 刘康宁 主编 浙江大学出版社
6.
金版奥赛教程——数学(高二分册) 刘康宁 主编 浙江大学出版社
7.
金版奥赛教程——数学(高中综合分册) 左宗明 主编 浙江大学出版社
8.
高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)(每年一本) 华东师范大学出版社
9.
奥数小丛书(高中) （共14本） 华东师范大学出版社
10.
高中数学竞赛专题讲座 （共十多本 学校图书馆可以借）浙江大学出版社
11.
启东中学奥赛：高中数学训练教程 曹瑞彬 南京师范大学出版社
12.
新编高中数学奥赛指导 葛军 南京师范大学出版社
13.
奥数教程（高一、高二、高三年级） 华东师范大学出版社
14.
奥数教程学习手册（高一、高二、高三年级） 华东师范大学出版社
15.
奥数教程能力测试（高一、高二、高三年级） 华东师范大学出版社
16.
数学竞赛研究教程（第3版，上下册） 单墫 著 江苏教育出版社
- 3 -
试卷01 2009年江苏省高中数学联赛初赛试卷
第一部分 江苏省高中数学联赛初赛试卷
[2009-2016年]
试卷01 2009年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ .
2. 已知等差数列{a}的前11项的和为55，去掉一项a后，余下10项的算术平均值为4. 若
nk
a＝－5，则k＝ .
1
3. 设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ .
3＋1
x
1
4. 已知＝，则实数x＝ .
xx
9－13－3
1-
5. 如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD.
R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 .
6. 设f (x)＝logx－4－x，则满足f (x)≥0的x的取值范围是 .
3
7. 右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm的
3
长方体，长和高未定. 净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、
60cm. 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm.
3
- 4 -
→→
8. 设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO＝ .
9. 设数列{a}满足：aa＝2a－2(n＝1，2，…)，a＝2，则此数列的前2009项的
nn1nn12009
＋＋
和为 .
10. 设a是整数，0≤b＜1. 若a＝2b(a＋b)，则b＝ .
2
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
xy
22
11. 在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆
94
的左焦点. 求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积.
- 5 -
试卷01 2009年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，
AB＝28，CE＝12. 求BC.
C
A
D
E
B
13. 若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围.
- 6 -
14. (1) 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，
请予以验证；
(2) 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方
数？请证明你的结论.
- 7 -
试卷02 2010年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷022010年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 方程的实数解为 .
9135
xx
2. 函数的单调减区间是 .
ysinxcosx
(xR)
3. 在△中，已知，，则＝ .
ABC
ABAC4ABBC12
AB
4. 函数在区间上的最大值是 ，最小值是 .
fxx2x1
0,2
5. 在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其
xOy
OABC
R
中，，，则的取值范围为 .
A4,0B6,8C2,4
R
6. 设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数
fxfx1fx1yfx
x
在区间上至少有 个零点.
0,100
2
7. 从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
1212
n
两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 .
n
8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色
4
中的一种. 其中镀金银的概率是 .
22
- 8 -
（第7题）
9. 在三棱锥中，已知，，
ABCDACBCBDACDADCBCDBDC
10
且. 已知棱的长为，则此棱锥的体积为 .
cos
AB
62
10
10. 设复数列满足，，且. 若对任意N都有，则
x
n
xa1xx
nn3n
0
x
n1
的值是 .
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
ax
n
na
*
x1
n
x
2
11. 直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点. 若
xOy
ABM
C:y1
2
4
x
2
34
OMOAOB
，证明：线段的中点在椭圆上.
AB
2y1
2
2
55
- 9 -
试卷02 2010年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等
a
n
a1a4
37
65
比数列.
(1) 求数列的通项公式；
a
n
(2) 求出所有的正整数，使得.
m
aaaaaa
mm1m2mm1m2
13. 如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.
ABCDE
ADBEADH
过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、.
HF
CEACDCG
证明： (1) 点、、、共圆；
ABFH
(2) 四边形是矩形.
BFCG
E
A
H
F
B
G
C
D
- 10 -
14. 求所有正整数、，使得与都是完全平方数.
x
y
x3yy3x
22
- 11 -
试卷03 2011年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷032011年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 复数(1 + i)+ (1 i) .
4 4
2. 已知直线x my + 1 0是圆C: x+ y 4x + 4y 5 0的一条对称轴，则实数m .
2 2
3. 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概
率是 （结果用最简分数表示）.
1
4. 已知，则 .
cos4
sincos
44
5
5. 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段
ab2,a,b
π
2ab3ab
3
为邻边的平行四边形的面积为 .
6. 设数列{a}的前n项和为S. 若{S}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a}的前
nnnn
3
n项和等于 .
7. 设函数. 若f (a)＝f (b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 .
f(x)x2
2
- 12 -
8. 设f (m)为数列{a}中小于m的项的个数，其中，则
n
an,nN*
n
2
f[f(2011)]
9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 .
10. 已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值
2xm10xm100
是 .
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11. 已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围.
xy1yxh
222
- 13 -
试卷03 2011年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 设. 若时，，且在区间上的最大值
f(x)xbxc(b,cR)
2
x≥22,3
f(x)≥0
f(x)
为1，求的最大值和最小值.
bc
22
13. 如图，P是内一点.
△ABC
1
(1) 若P是的内心，证明：；
△ABC
BPC90BAC
2
11
(2) 若且，证明：P是的内心.
BPC90BACAPC90ABC
△ABC
22
A
P
B
C
- 14 -
14. 已知是实数，且存在正整数n，使得为正有理数.
0
n
0
证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数.
n
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试卷04 2012年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷042012年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 当时，函数的最大值为_____.
x[3,3]
f(x)|x3x|
3
2. 在中，已知则_______.
ABCAC
ACBC12,ACBA4,
3. 从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
3,4,5,6,7,8
____________.
4. 已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则
a
x(4i)x4ai0
2
b
i
|abi|
的值为________.
xy
22
5. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜
xOy
C:O
1
F
124
角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为
l
C
A,B
FAB
83
_______.
6. 已知是正实数，的取值范围是________.
a
ka
lga
7. 在四面体中，,,该四面体的体积为
ABCDABACADDB5BC3CD4
____________.
- 16 -
8. 已知等差数列和等比数列满足：
a
n
b
n
ab3,ab7,ab15,ab35,
11223344
则______.（）
ab
nn
nN
*
9. 将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样
27,37,47,48,55，71，75
7
4
3
的排列有________种.
10. 三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组
31abc
a,b,c
(a,b,c)
的个数为_____.
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11. 在中，角对应的边分别为，证明：
ABC
A,B,Ca,b,c
(1) ；
bcosCccosBa
(2) .
cosAcosB
abc
2sin
2
C
2
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试卷04 2012年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 已知为实数，，函数.若.
a,b
a2
f(x)|lnx|b(x0)f(1)e1,f(2)ln21
(1) 求实数；
a,b
(2) 求函数的单调区间；
f(x)
ae
x2
(3) 若实数满足，求证：.
c,dcd,cd1
f(c)f(d)
13. 如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点，
1
OOOM
MB
AB1,OB1
. 线段交圆于另一点，为线段的中点. 求线段长的取值范
ABD
OCOBCD
围.
- 18 -
14. 设是正整数，是方程的两个根. 证明：存在边长是整
a,b,c,da,b
x(dc)xcd0
2
数且面积为的直角三角形.
ab
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试卷05 2013年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷05 2013年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 .
x2mxm10
22
24
m
2. 从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 .
3. 设实数，满足，则的最大值与最小值之差是 .
x
y
x4xy30xy
22
22
4. 若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值
an
b
(abi)(abi)
nn
i
nN
*
是 ．
5. 若三角形的三边，，成等差数列，则的取值范围
ABCBCAC
ABA
是 ．
6. 若数列满足，（），则满足条件的的所有
a
n
a9(aa1)(a3a)0a
4n1nn1n1
nN
*
可能值之积是 .
7. 已知，则 .
f(x)x94x2013
f(n)f(n)
2
60
n30
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8. 设，，且满足，则的最大值
x
y0,2
2sinxcosysinxcosy
1
xy
2
为 .
9. 已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面
ABCDABC
PP
DABP
,,的距离成等差数列，则到面距离的最大值是 .
DBCDCADCA
10. 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全
平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完
全平方数，小王现在的年龄是 .
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
(xk)x
22
22
11. 设为实数，，椭圆与椭圆交于点和，
k
0k6C
E:y1E:y1
12
A
99
，若四边形是正方形，求实数． 的左顶点为，的右顶点为（如图）
ABCD
k
EE
12
BD
y
A
O
B
C
D
x
- 21 -
试卷05 2013年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于
ABCDACC
BDBDA
对角线对称的点分别是、. 证明：四边形是梯形.
BDA
C
ABCD
B
O
A
C
D
13. 设实数，满足. 证明：．
a
b
0ab1
1
2(ba)cosacosb
2
- 22 -
14. 正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一. 证明：必存在四个同色点，恰为某等
腰梯形的顶点.
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试卷06 2014年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷062014年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 若，则函数的最小值是 ．
x≥2
f(x)x
2. 已知函数．若，则的值是 ．
f(x)e
x
f(ab)2f(3a)f(3b)
2
3. 已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，
a
n
d
S
n
n
aS
n2n1
1
x1
nN
*
，则数列的通项 ．
a
n
a
n
2
2x3x, x≥0,
4. 若函数是奇函数，则实数的值是 ．
f(x)
a
2
2xax,x0
5. 已知函数．若关于的方程的实根之和为，则
f(x)lg|x|
10
xm
f(x)5f(x)60
2
3
f(m)
的值是 ．
6. 设、都是锐角，且，，则等于 ．
cos
7. 四面体中，，，异面直线和之间的距离为4，夹角为，
ABCDAB3CD5CD
AB
60
o
则四面体的体积为 ．
ABCD
5
3
sin()
cos
5
5
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8. 若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围
ABC
是 ．
9. 设集合，，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小
S1,2,,8
3
AC3BCm
△ABC
m
ABAB
S
数，则这样的集合对的个数是 ．
(A,B)
10. 如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好数”．问1，2，3，…，
mxm
x4y
22
yZ
2014中“好数”的个数为 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11. 已知，，为正实数，，，求的值．
ac
b
abc
xyz
111
0
abc
xyz
- 25 -
试卷06 2014年江苏省高中数学联赛初赛试卷
xy
22
12. 已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，
FF
12
C:1(a0,b0)
22
B
(0,b)
ab
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交
FB
1
C
P
QPQ
x
于点．若，求双曲线C的离心率．
M
MFFF
212
1
2
13. 如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高
ABCAC
ABDAB
CHACGAGAE
于点．以为直径的半圆交的延长线于点．求证：．
EBD
G
D
E
C
A
H
B
- 26 -
14. (1) 正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三
角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂
色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
E
D
F
C
(2) 凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将
每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述
分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明
你的结论．
A
B
- 27 -
试卷07 2015年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷07 2015年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 已知点P(4，1)在函数f (x)＝log(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ．
a
π43π
2. 函数f (x)＝3sin(2x－)在x＝ 处的值是 ．
424
3. 若不等式|ax＋1| ≤ 3的解集为{x |－2 ≤ x ≤ 1}，则实数a的值是 ．
4. 第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红
球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．
xyxy
2222
5. 在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有
2222
abbc
相同的离心率e，则e的值是 ．
6. 如图，在长方体ABCD－ABCD中，对角线BD与
11111
平面ABC交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V，
111
A
1
V
1
长方体ABCD－ABCD的体积为V，则的值
11112
V
2
D
1
C
1
B
1
E
C
D
是 ．
A
B
（第6题图）
7. 若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有
元素之积的值是 ．
- 28 -
8. 设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x，x，…，x中有3个为a，其余
127
为b；向量y，y，…，y中有2个为a，其余为b．则xy的可能取值中最小的为 ．
127ii
i=1
7
9. 在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个
方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．
1
2
2015
（第9题图）
10. 在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形成
的区域（其中[x]是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个数为 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11. 在等比数列{a}中，a＝2，q是公比．记S为{a}的前n项和，T为数列{a}的前n
n2nnn
2
n
项和．若S＝2T，求q的值．
2nn
- 29 -
试卷07 2015年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外
角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．求证：A、P、B、C四点共圆．
C
E
D
A
B
P
(第12题图)
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O、圆O
12
都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径
之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方
程．
y
l
P
O
2
O
1
O
x
(第13题图)
- 30 -
14. 将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．
(1) 当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；
(2) k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．
- 31 -
试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷
试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1. 若关于x的不等式|x a| < b的解集为{x | 2 < x < 4}，则ab的值是 .
2. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 .
3. 已知f (x)是周期为4的奇函数，且当时，，则的
x(0,2)
f(x)x16x60
2
f(210)
值是 .
4. 已知直线l是函数f (x) 2lnx x图象的切线，当l的斜率最小时，l的方程
2
是 .
5. 在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x y 2x 4y 0平分，且不经过第四象
22
限，那么l的斜率的取值范围是 .
11
6. 已知等边△ABC的边长为2，若，，则△APQ的面积
AP(ABAC)AQAPBC
32
是 .
7. 已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点P在棱BC上，点Q为棱CC的中点. 若
11111
过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP的取值范围为 .
- 32 -
8. 已知数列{a}的奇数项依次构成公差为d的等差数列，偶数项依次构成公差为d的等
n12
差数列，且对任意n∈N，都有a < a. 若a 1，a 2，且数列{a}的前10项和S
*
nn 112n10
75，则a .
8
(x2)(y2)
22
9. 已知正实数x,y满足，则x y .
16
yx
10. 设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除2016，且2016整除n，那么M的所
22
有不同正因子的个数为 .
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11. 已知，，求.
1135
(0,)
tan
sincos122
- 33 -
试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷
12. 如图，点P在△ABC的边AB上，且AB 4AP，过点P的直线MN与△ABC的外接圆
交于点M，N，且点A是弧MN的中点. 求证：
(1) △ABN∽△ANP；
(2) BM BN 2MN.
A
M
P
C
N
B
xy
22
13. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线l与
22
1
ab
双曲线C交于A，B两点. 若OF·AB FA·FB，求双曲线C的离心率e.
- 34 -
14. 已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值.
若九个内角中有一个角等于120°，试求常数的值.
- 35 -
汇编01 集合与简易逻辑
第二部分 江苏省高中数学联赛初赛分类汇编
[2009-2016年]
汇编01 集合与简易逻辑
1
1. [2011·江苏复赛T1]已知集合，，则的
Mxx13
Nx()1,xZ
x
MN
2
子集的个数是 .
2. [2006·江苏初赛T7]集合A ｛x|x＝3n，n∈N，0＜n＜10｝，B＝｛y|y＝5m，m∈N，
0≤n≤6｝则集合A∪B的所有元素之和为__________________．
3. [2016·江苏复赛T1]已知集合，
A(x,y)(x2)(y1)1
22
B(x,y)2|x1||y1|a
，，则实数a的取值范围是 .
AB
4. [2008·江苏初赛T6]设集合和，其中符号表示不大
Axx[x]2
2
Bx|x|2
[x]
于x的最大整数，则 .
AB
5. [2015·江苏初赛T7]若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，
则集合A∪B中所有元素之积的值是 ．
6. [2008·江苏复赛T3]“”是“”成立的( ).
xy4
22
xy42x2y
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 既不充分也不必要条件 (D) 充分必要条件
7. [2009·江苏复赛T2]若集合为空集，则实数的取值范围
Axx3ax1,xR
是 .
a
- 36 -
汇编02 函 数
8. [2010·江苏初赛T1]方程的实数解为 .
9135
xx
9. [2015·江苏初赛T1]已知点P(4，1)在函数f (x)＝log(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的
a
最大值是 ．
10. [2014·江苏初赛T2]已知函数．若，则的值
f(x)e
x
f(ab)2f(3a)f(3b)
是 ．
11. [2016·江苏初赛T3]已知f (x)是周期为4的奇函数，且当时，
x(0,2)
f(x)x16x60
2
，则的值是 .
f(210)
3＋1
x
1
12. [2009·江苏初赛T4]已知＝，则实数x＝ .
xx
9－13－3
1-
2
2x3x, x≥0,
13. [2014·江苏初赛T4]若函数是奇函数，则实数的值
f(x)
a
2
2xax,x0
是 ．
14. [2014·江苏初赛T5]已知函数若关于的方程．
f(x)lg|x|
10
x
f(x)5f(x)60
2
3
的实根之和为，则的值是 ．
m
f(m)
15. [2009·江苏初赛T6]设f (x)＝logx－4－x，则满足f (x)≥0的x的取值范围
3
是 .
16. [2010·江苏初赛T6]设函数的定义域为R，若与都是关于的奇
fxfx1fx1
x
函数，则函数在区间上至少有 个零点.
yfx0,100
17. [2012·江苏初赛T6]已知是正实数，的取值范围是________.
a
ka
lga
18. [2011·江苏初赛T7]设函数. 若f (a)＝f (b)，且0＜a＜b，则ab的取值范
f(x)x2
2
围是 .
111
19. [2014·江苏初赛T11]已知，，为正实数，，，求的
ac
b
abc
xyz
0
abc
xyz
值．
- 37 -
汇编02 函 数
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
20. [2016·江苏高考T11]设是定义在上且周期为2的函数，在区间上
fx1,1
R
xa,1x0
59
fx
2
，其中，若，则的值
aR
ff
f5a
22
5
x,0x1
是 ．
0,0x1,
21. [2015·江苏高考T13]已知函数，则方程
f(x)lnx
g(x)
2
x42,x1,
f(x)g(x)1
实根的个数为 .
22. [2014·江苏高考T13]已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，
f(x)x[0,3)
f(x)x2x
2
1
. 若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实
yf(x)a[3,4]
2
数的取值范围是 .
a
23. [2014·江苏高考T10]已知函数，若对于任意，都有
f(x)xmx1
2
x[m,m1]
f(x)0
成立，则实数的取值范围是 .
m
24. [2013·江苏高考T11]已知f (x)是定义在R上的奇函数. 当x > 0时，f (x) x 4x，则
2
不等式f (x) > x的解集用区间表示为 .
25. [2012·江苏高考T10]设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
f(x)[1，1]
R
1，ax1，
≤x0
13
f(x)
bx2
其中．若，则的值
a，bR
ff
，0，
≤x≤1
22
x1
为 ．
a3b
2xa,x1,
26. [2011·江苏高考T11]已知实数，函数若，
a0
f(x)
f(1a)f(1a)
x2a,x1,
则的值为 ．
a
x1,x0,
2
27. [2010·江苏高考T11]已知函数则满足不等式f (1－x) > f (2x)的x
f(x)
2
1,x0,
的范围是 ．
28. [2009·江苏高考T10]已知，函数，若实数m,n满足，
a
51
f(x)a
x
f(m)f(n)
2
- 38 -
则的大小关系为 .
m,n
汇编03 导 数
29. [2012·江苏初赛T1]当时，函数的最大值为_____.
x[3,3]
f(x)|x3x|
3
30. [2016·江苏初赛T4]已知直线l是函数f (x) 2lnx x图象的切线，当l的斜率最小时，
2
l的方程是 .
31. [2010·江苏初赛T4]函数在区间上的最大值是 ，最小
fxx2x1
0,2
值是 .
32. [2012·江苏初赛T12]已知为实数，，函数.
a,b
a2
f(x)|lnx|b(x0)
2
a
x
e
ln21f(1)e1,f(2)
. 若
2
(1) 求实数； (2) 求函数的单调区间；
a,b
f(x)
(3) 若实数满足，求证：.
c,dcd,cd1
f(c)f(d)
33. [2013·江苏初赛T13]设实数，满足.
a
b
0ab1
证明：．
2(ba)cosacosb
1
2
- 39 -
汇编03 导 数
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
34. [2014·江苏高考T11]在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点
xOy
yax
2
b
x
P(2,5)7x2y30
，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值
ab
是 .
35. [2011·江苏高考T12]在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f (x) e (x > 0)的图象
x
上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，
设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 .
36. [2010·江苏高考T14]将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，
(梯形的周长)
2
其中一块是梯形，记S = 则S的最小值是 .
，
梯形的面积
37. [2009·江苏高考T9]在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线上，且
C:yx10x3
3
在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
38. [2008·江苏高考T14]设函数，若对于任意的x∈[1,1]都有
f(x)ax3x1(xR)
3
f(x)0
成立，则实数a的值为 .
- 40 -
汇编04 三角函数
39. [2009·江苏初赛T1]已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ .
π43π
40. [2015·江苏初赛T2]函数f (x)＝3sin(2x－)在x＝处的值是 ．
424
41. [2010·江苏初赛T2]函数的单调减区间是 .
ysinxcosx
(xR)
1
42. [2011·江苏初赛T4]已知，则 .
cos4
sincos
44
5
43. [2014·江苏初赛T6]设、都是锐角，且，，则等
cos
于 ．
44. [2013·江苏初赛T8]设，，且满足，则
x
y0,2
2sinxcosysinxcosy
的最大值为 .
45. [2016·江苏初赛T11]已知，，求.
5
3
sin()
cos
5
5
1
xy
2
1135
(0,)
tan
sincos122
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
46. [2016·江苏高考T9]定义在区间上的函数的图像与的图像的
0,3π
ysin2x
ycosx
交点个数是 ．
47. [2016·江苏高考T14]在锐角三角形中，，则的
ABCsinA2sinBsinCtanAtanBtanC
最小值是 ．
4
48. [2012·江苏高考T11]设为锐角，若，则的值
cos
sin(2)
65
12
为 .
49. [2011·江苏高考T9]函数是常数，的部分图象
f(x)Asin(x),(A,,A0,0)
如图所示，则f (0)= .
50. [2010·江苏高考T10]定义在区间(0,)上的函数y = 6cosx的图像与y = 5tanx的图像的交
2
点为P，过点P作PP⊥x轴于点P,直线PP与y = sinx的图像交于点P,则线段PP
111212
的长为 .
- 41 -
汇编05 解三角形
汇编05 解三角形
51. [2013·江苏初赛T5]若三角形的三边，，成等差数列，则的取值
ABCBCAC
ABA
范围是 ．
52. [2014·江苏初赛T8]若满足，，的恰有一解，则实
ABC
数的取值范围是 ．
m
53. [2012·江苏初赛T11]在中，角对应的边分别为，证明：
ABC
A,B,Ca,b,c
(1) ；(2) .
bcosCccosBa
cosAcosB
abc
2sin
2
C
2
3
AC3BCm
△ABC
54. [2009·江苏初赛T12]如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，
AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12. 求BC.
C
A
D
E
B
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
55. [2014·江苏高考T14]若△的内角满足，则的最小值
ABCcosC
sinA2sinB2sinC
是 .
56. [2010·江苏高考T13]在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为abc，
、、
batanCtanC
6cosC
，则 .
abtanAtanB
57. [2008·江苏高考T13]满足条件，的三角形的面积的最大
AB2
AC2BC
ABC
值 .
- 42 -
汇编06 平面向量
58. [2012·江苏初赛T2]在中，已知则_______.
ABCAC
ACBC12,ACBA4,
59. [2010·江苏初赛T3]在△中，已知，，则
ABC
ABAC4ABBC12
AB
＝ .
60. [2011·江苏初赛T5]已知向量a，b满足，则以向量与
ab2,a,b
π
2ab3ab
3
表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 .
1
61. [2016·江苏初赛T6]已知等边△ABC的边长为2，若，
AP(ABAC)
3
1
AQAPBC
，则△APQ的面积是 .
2
→→
62. [2009·江苏初赛T8]设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO
＝ .
63. [2015·江苏初赛T8]设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x，x，…，x
127
中有3个为a，其余为b；向量y，y，…，y中有2个为a，其余为b．则xy的可
127ii
i=1
7
能取值中最小的为 ．
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
64. [2016·江苏高考T13]如图，在中，是的中点，是上两个三等分
△ABC
DAD
BC
E,F
点，，，则的值是 ．
BACA4BFCF1BECE
A
E
F
B
- 43 -
D
C
汇编06 平面向量
65. [2015·江苏高考T14]设向量，则
a(cos,sincos)(k0,1,2,,12)
k
kkk
666
(aa)
k0
11
kk1
的值为 .
66. [2014·江苏高考T12]如图，在平行四边形中，已知，，，
ABCDAB8AD5
CP3PD
APBP2ABAD
，则的值是 .
D
P
C
A
B
67. [2013·江苏高考T10]设分别是的边上的点，，
D,EAB,BC
△ABC
ADAB
1
2
BEBC
2
，若(为实数)，则的值为 .
DEABAC
12
1212
,
3
68. [2012·江苏高考T9]如图，在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，
AB2
BC2
点F在边CD上，若，则的值是 .
ABAF2
AEBF
2
ae2ebkee
1212
，. 69. [2011·江苏高考T10]已知是夹角为的两个单位向量，
e,e
12
3
若，则k的值为 .
ab0
- 44 -
汇编07 复 数
70. [2011·江苏初赛T1]复数(1 + i)+ (1 i) .
4 4
71. [2013·江苏初赛T4]若存在正实数，满足（是虚数单位，
a
b
(abi)(abi)
nn
i
，则的最小值是 ． ）
n
nN
*
72. [2012·江苏初赛T4]已知是实数，方程的一个实根是（是
a
x(4i)x4ai0
2
b
i
虚部单位），则的值为________.
|abi|
73. [2010·江苏初赛T10]设复数列满足，，且. 若对任意N
x
n
xa1
n
0
x
n1
都有，则的值是 .
xx
n3n
a
ax
n
n
*
x1
n
- 45 -
汇编08 数 列
汇编08 数 列
74. [2009·江苏初赛T2]已知等差数列{a}的前11项的和为55，去掉一项a后，余下10
nk
项的算术平均值为4. 若a＝－5，则k＝ .
1
75. [2014·江苏初赛T3]已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项
a
n
d
S
n
n
2
Sa
2n1n
，，则数列的通项 ． 和，且满足
nN
*
a
n
a
n
76. [2011·江苏初赛T6]设数列{a}的前n项和为S. 若{S}是首项及公比都为2的等比数
nnn
列，则数列{a}的前n项和等于 .
n
3
77. [2013·江苏初赛T6]若数列满足，（），
a
n
a9(aa1)(a3a)0
4n1nn1n
nN
*
则满足条件的的所有可能值之积是 .
a
1
78. [2013·江苏初赛T7]已知，则 .
f(x)x94x2013
f(n)f(n)
2
60
n30
79. [2016·江苏初赛T8]已知数列{a}的奇数项依次构成公差为d的等差数列，偶数项依
n1
次构成公差为d的等差数列，且对任意n∈N，都有a < a. 若a 1，a 2，且
2nn 112
*
数列{a}的前10项和S 75，则a .
n108
80. [2012·江苏初赛T8]已知等差数列和等比数列满足：
a
n
b
n
ab3,ab7,ab15,ab35,ab
11223344nn
则______.（）
nN
*
81. [2009·江苏初赛T9]设数列{a}满足：aa＝2a－2(n＝1，2，…)，a＝2，则
nn1nn12009
＋＋
此数列的前2009项的和为 .
82. [2011·江苏初赛T8]设f (m)为数列{a}中小于m的项的个数，其中，则
n
an,nN*
n
2
f[f(2011)]
.
- 46 -
83. [2010·江苏初赛T12]已知整数列满足，，前项依次成等差数列，
a
n
a1a4
37
6
从第项起依次成等比数列.
5
(1) 求数列的通项公式；
a
n
(2) 求出所有的正整数，使得.
m
aaaaaa
mm1m2mm1m2
84. [2015·江苏初赛T11]在等比数列{a}中，a＝2，q是公比．记S为{a}的前n项和，
n2nn
T为数列{a}的前n项和．若S＝2T，求q的值．
n2nn
2
n
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
1
85. [2015·江苏高考T11]数列满足，且，则数列的
{a}
n
a1
1
aan1(nN)
n1n
*
a
n
前10项和为 .
86. [2013·江苏高考T14]在正项等比数列中，，. 则满足
a
n
a
5
aaaaaaaa
123n123n
1
aa3
67
2
的最大正整数n的值为 .
87. [2011·江苏高考T13]设，其中成公比为的等比数列，
1aaaa,a,a,a
1271357
q
a,a,a
246
成公差为1的等差数列，则q的最小值是 .
88. [2009·江苏高考T14]设是公比为q的等比数列，，令.
aq1
n
ba1(n1,2,)
nn
若数列有连续四项在集合{53,23,19,37,82}中，则 .
b
n
6q
- 47 -
汇编08 数 列
89. [2008·江苏高考T10]将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n
行（）从左向右的第3个数为 .
n3
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
- 48 -
汇编09 不等式
90. [2016·江苏初赛T1]若关于x的不等式|x a| < b的解集为{x | 2 < x < 4}，则ab的值
是 .
91. [2013·江苏初赛T1]设方程的根大于，且小于，则实数的
x2mxm10
22
24
m
范围是 .
92. [2014·江苏初赛T1]若，则函数的最小值是 ．
x≥2
f(x)x
1
x1
93. [2015·江苏初赛T3]若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值
是 ．
94. [2013·江苏初赛T3]设实数，满足，则的最大值与最小
x
y
x4xy30xy
2222
值之差是 .
95. [2009·江苏初赛T7]右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽
10cm、体积为3000cm的长方体，长和高未定. 净水水箱的长、宽、高比净水器的长、
3
宽、高分别长20cm、20cm、60cm. 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以
存水 cm.
3
(x2)(y2)
22
96. [2016·江苏初赛T9]已知正实数x,y满足，则x y
16
yx
.
97. [2011·江苏初赛T12]设. 若时，，且在
f(x)xbxc(b,cR)
2
x≥2
f(x)≥0
f(x)
区间上的最大值为1，求的最大值和最小值.
2,3
bc
22
98. [2009·江苏初赛T13]若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取
值范围.
- 49 -
汇编09 不等式
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
x2y40
99. [2016·江苏高考T12]已知实数满足，则的取值范围
x,y
2xy20
xy
22
3xy30
是 ．
100. [2013·江苏高考T9]抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包
yx
2
x1
含三角形内部和边界). 若点是区域内的任意一点，则的取值范围
P(x,y)x2y
D
是 .
101. [2013·江苏高考T13]平面直角坐标系xOy中，设定点A (a,a)，P是函数图
y(x0)
1
x
像上一动点，若点P,A之间最短距离为，则满足条件的实数a的所有值
22
为 .
bR)f(x)xaxb(a，
的值域为102. [2012·江苏高考T13]已知函数，若关于
[0，)
2
x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．
f(x)c(m，m6)
103. [2012·江苏高考T14]已知正数满足：则
a，b，c
5c3a，clnb，
≤b≤4ca≥aclnc
的取值范围是 ．
x
23
x
94
，则的最大值104. [2010·江苏高考T12]设实数x,y满足，
4
3xy8
y
y
2
b
a
是 .
105. [2009·江苏高考T11]已知集合，，若，则实数的
A{x|logx2}
2
B(,a)
AB
a
取值范围是，其中 .
(c,)
c
y
2
106. [2008·江苏高考T11]设为正实数，满足，则的最小值
x,y,z
x2y3z0
xz
是 .
- 50 -
汇编10 概率与计数原理
107. [2016·江苏初赛T2]从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶
数的概率是 .
108. [2013·江苏初赛T2]从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率
为 .
109. [2011·江苏初赛T3]某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支
书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）.
110. [2012·江苏初赛T3]从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构
3,4,5,6,7,8
成等差数列的概率为____________.
111. [2015·江苏初赛T4]第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里
有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的
概率是 ．
112. [2010·江苏初赛T8]圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色
4
中的一种. 其中镀金银的概率是 .
22
113. [2012·江苏初赛T9]将这个数排成一列，使任意连续个数的
27,37,47,48,55，71，75
7
4
和为的倍数，则这样的排列有________种.
3
114. [2014·江苏初赛T9]设集合，，是的两个非空子集，且中的最
S1,2,,8
115. [2012·江苏初赛T10]三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足
31abc
a,b,c
条件的三元数组的个数为_____.
(a,b,c)
ABA
S
大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是 ．
B
(A,B)
- 51 -
汇编11 立体几何
汇编11 立体几何
116. [2009·江苏初赛T5]如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且
BP＝2PC，CQ＝2QD. R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值
为 .
117. [2015·江苏初赛T6]如图，在长方体ABCD－ABCD中，对角线BD与平面ABC
1111111
交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V，长方体ABCD－ABCD的体积为V，
111112
V
1
则的值是 ．
V
2
D
1
A
1
E
D
A
（第117题）
B
C
C
1
B
1
（第119题）
118. [2012·江苏初赛T7]在四面体中，,,该四
ABCDABACADDB5BC3CD4
面体的体积为____________.
119. [2010·江苏初赛T7]从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两
1212
n
条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 .
n
120. [2014·江苏初赛T7]四面体中，，，异面直线和之间的
ABCDAB3CD5CD
AB
距离为4，夹角为，则四面体的体积为 ．
60
o
ABCD
121. [2016·江苏初赛T7]已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点P在棱BC上，点Q
1111
为棱CC的中点. 若过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP的
1
取值范围为 .
122. [2010·江苏初赛T9]在三棱锥中，已知，
ABCDACBCBD
ACDADCBCDBDC
，且. 已知棱的长为，则此
cos
棱锥的体积为 .
10
AB
62
10
123. [2011·江苏初赛T9]一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条
侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 .
124. [2013·江苏初赛T9]已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，
ABCDABC
P
满足到面,,的距离成等差数列，则到面距离的最大值
PDABP
DBCDCADCA
是 .
- 52 -
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
125. [2015·江苏高考T9]现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、
高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同
的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .
126. [2014·江苏高考T8]设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，
SSVV
1212
若它们的侧面积相等，且，则的值是 .
127. [2013·江苏高考T8]如图，在三棱柱中，D,E,F分别是的
ABCABCAB，AC，AA
1111
中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则
FADE
VABCABCV
11112
V:V
12
.
SV
1
9
1
S4
2
V
2
128. [2012·江苏高考T7]如图，在长方体中，，，
ABCDABCD
1111
ABAD3cm
AA2cm
1
则四棱锥的体积为 cm．
ABBDD
11
3
129. [2009·江苏高考T12]设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
① 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
② 若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；
③ 设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；
④ 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.
．．．
- 53 -
汇编12 解析几何
汇编12 解析几何
130. [2011·江苏初赛T2]已知直线x my + 1 0是圆C: x+ y 4x + 4y 5 0的一条对称
2 2
轴，则实数m .
131. [2009·江苏初赛T3]设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离
心率e＝ .
132. [2016·江苏初赛T5]在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆x y 2x 4y 0平
22
分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 .
xy
22
133. [2015·江苏初赛T5]在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆＋＝1(a＞b＞
22
ab
xy
22
0)与椭圆＋＝1有相同的离心率e，则e的值是 ．
22
bc
134. [2010·江苏初赛T5]在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△
xOy
OABC
R
的边有公共点，其中，，，则的取值范围
A4,0B6,8C2,4
R
为 .
xy
22
135. [2012·江苏初赛T5]在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，
xOy
C:
1
F
124
一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点. 若的面积为
OC
l
A,B
FAB
83
，则直线的斜率为_______.
(xk)
2
136. [2013·江苏初赛T11]设为实数，，椭圆与椭圆
k
0k6
E:y1
1
2
9
x
2
，若四边交于点和，的左顶点为，的右顶点为（如图）
E:y1
2
2
ABD
C
EE
12
9
形是正方形，求实数．
ABCD
k
y
A
O
B
C
D
x
- 54 -
xy
22
137. [2009·江苏初赛T11]在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，
94
B两点，F是椭圆的左焦点. 求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积.
x
2
138. [2010·江苏初赛T11]直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点.
xOy
ABM
C:y1
2
4
x
2
34
若，证明：线段的中点在椭圆上.
OMOAOB
AB
2y1
2
2
55
139. [2011·江苏初赛T11]已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值
xy1yxh
222
范围.
- 55 -
汇编12 解析几何
xy
22
140. [2014·江苏初赛T12]已知，分别是双曲线的左右焦点，
FF
12
C:1(a0,b0)
22
ab
点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，线段两点，
BP
(0,b)PQQ
FB
1
C
的垂直平分线与轴交于点．若，求双曲线C的离心率．
x
M
MFFF
212
1
2
141. [2015·江苏初赛T13]如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O、圆O都与直线l：y＝
12
kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l
的方程．
y
l
P
O
2
O
1
O
(第13题图)
x
xy
22
142. [2016·江苏初赛T13]在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的右焦点为F，
22
1
ab
过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点. 若OF·AB FA·FB，求双曲线C的离心
率e.
- 56 -
☆20082016年江苏高考题T9T14☆
xy
22
143. [2016·江苏高考T10]如图，在平面直角坐标系中，是椭圆
xOy
F
22
1
ab0
ab
b
的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率
y
B,C
BFC90
2
是 ．
y
BC
O
F
x
144. [2015·江苏高考T10]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线
mxy2m10(mR)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
145. [2015·江苏高考T12]在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线右支上的一个
xy1
22
动点. 若点P到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值
xy10
为 .
146. [2014·江苏高考T9]在平面直角坐标系中，直线被圆
xOyx2y30
(x2)(y1)4
22
截得的弦长为 .
147. [2013·江苏高考T12]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为
xy
22
1(ab0)
22
，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直
ab
线BF的距离为，F到l的距离为. 若，则椭圆的离心率
dd
12
d6d
21
为 .
148. [2012·江苏高考T12]在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直
xOy
C
xy8x150
22
线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则
ykx2
C
k
的最大值是 .
- 57 -
汇编12 解析几何
149. [2011·江苏高考T14]设集合,
A{(x,y)|(x2)ym,x,yR}
m
222
2
B{(x,y)|2mxy2m1,x,yR}
，若，则实数m的取值范围
AB
是 .
150. [2010·江苏高考T9]在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y= 4四个点到直线12x－
22
5y + c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 .
151. [2009·江苏高考T13]如图，在平面直角坐标系中，为椭圆
xoy
A,A,B,B
1212
xy
22
1(ab0)
22
的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，
111
ab
线段与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .
OT
y
y
T
B
2
M
A
P
E
x
F
AAO
2 1
x
B O
C
(第151题) (第153题)
xy
22
152. [2008·江苏高考T12]在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为
xOy
22
1(ab0)
ab
a
2
0P，
作圆的两条切线相互垂直，则2c，以O为圆心，为半径作圆，若过
MM
a
c
椭圆的离心率为 .
153. [2008·江苏高考T9]如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为
xOy
ABC
A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0,p)在线段AO上的一点（异于端点），这里均
a,b,c,p
为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线
BP,CPAC,ABE,F
1111
OE
的方程为，
xy0
bcpa
11
请你求的方程：( ).
OF
xy0
pa
- 58 -
汇编13 平面几何
154. [2010·江苏初赛T13]如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，
ABCDE
ADBEAD
垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、.
HHF
CEACDCG
证明： (1) 点、、、共圆；
ABFH
(2) 四边形是矩形.
BFCG
E
A
H
F
B
G
C
D
155. [2011·江苏初赛T13]如图，P是内一点.
△ABC
1
(1) 若P是的内心，证明：；
△ABC
BPC90BAC
2
11
(2) 若且，证明：P是的内心.
BPC90BACAPC90ABC
△ABC
22
A
P
B
C
156. [2012·江苏初赛T13]如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点. 在射线
1
OO
M
OMOB1OCOB
上有一动点，，. 线段交圆于另一点，为线段的中
BAB1ABD
点. 求线段长的取值范围.
CD
- 59 -
汇编13 平面几何
157. [2013·江苏初赛T12]如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、
ABCDAC
BDB
DABDA
，、关于对角线对称的点分别是、. 证明：四边形是梯形.
CABCD
C
B
O
A
C
D
158. [2014·江苏初赛T13]如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于
ABCAC
AB
点，交边上的高于点．以为直径的半圆交的延长线于点．求
DABEBD
CHACG
证：．
AGAE
G
D
E
C
A
H
B
159. [2015·江苏初赛T12]如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且
BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．
求证：A、P、B、C四点共圆．
C
E
D
B
P
A
160. [2016·江苏初赛T12]如图，点P在△ABC的边AB上，且AB 4AP，过点P的直线
MN与△ABC的外接圆交于点M，N，且点A是弧MN的中点. 求证：
(1) △ABN∽△ANP；
(2) BM BN 2MN.
A
M
P
C
N
(第12题图)
B
- 60 -
汇编14 初等数论
161. [2009·江苏初赛T10]设a是整数，0≤b＜1. 若a＝2b(a＋b)，则b＝ .
2
162. [2011·江苏初赛T10]已知m是正整数，且方程有整数解，则
2xm10xm100
m所有可能的值是 .
163. [2015·江苏初赛T10]在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋
[y]≤19的点(x，y)形成的区域（其中[x]是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个
数为 ．
164. [2013·江苏初赛T10]将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位
数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到
一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 .
165. [2014·江苏初赛T10]如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好
mxm
x4y
22
yZ
数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ．
166. [2016·江苏初赛T10]设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除2016，且2016
2
整除n，那么M的所有不同正因子的个数为 .
2
167. [2009·江苏初赛T14] (1) 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10
的和都是完全平方数，请予以验证；
(2) 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方
数？请证明你的结论.
- 61 -
汇编14 初等数论
168. [2010·江苏初赛T14]求所有正整数、，使得与都是完全平方数.
x
y
x3yy3x
22
169. [2011·江苏初赛T14]已知是实数，且存在正整数n，使得为正有理数.
0
n
0
证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数.
n
170. [2012·江苏初赛T14]设是正整数，是方程的两个根.
a,b,c,da,b
x(dc)xcd0
2
证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.
ab
- 62 -
汇编15 其 他
171. [2015·江苏初赛T9]在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之
和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．
1
2
2015
（第9题图）
172. [2013·江苏初赛T14]正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一. 证明：必存在四
个同色点，恰为某等腰梯形的顶点.
173. [2014·江苏初赛T14](1) 正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4
个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的
颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
E
D
F
C
(2) 凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角
形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不
同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大
值是多少？证明你的结论．
A
B
- 63 -
汇编15 其 他
174. [2015·江苏初赛T14]将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．
(1) 当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；
(2) k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．
175. [2016·江苏初赛T14]已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和
都等于某个常数值. 若九个内角中有一个角等于120°，试求常数的值.
- 64 -
汇编16 分类汇编参考答案
1. 【答案】8
2. 【答案】225 【解析】A∩B＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－
15＝225．
3. 【答案】 【解析】画图可知，要使，则，且点(2,1)到直线
[25,)
AB
a0
2xy3a0
的距离不小于1，即，解得，即的取值范围是
[25,)
.
|2a|
5
1
a25
a
4. 【答案】 【解析】因为，的值可取. 当[x]=，则
{1,3}
x2x
2,1,0,1
2
x0
2
无解；当[x]=，则，所以x=；当[x]=0，则无解；当[x]=1，则，
11
x1x2x3
222
所以. 所以.
x3x1或3
5. 【答案】0 【解析】因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B
中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元
素之积的值为0．
6. 【答案】A 【解析】由或；
xy42x2y(x2)(y2)0x2,y2x2,y2
而，且. 故选A.
xy42x2
22
2y2xy42x2y
7. 【答案】
,,
8. 【答案】x=log2 【解析】x＜0无解；当时，原方程变形为3+3－6=0，解得
3
x0
2
xx
3=2，x=log2.
x
3
9. 【答案】4 【解析】由题意知，log(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，
a
(a＋b)
2
从而ab≤＝4，当a＝b＝2时，ab的最大值是4．
4
10. 【答案】8 【解析】依题意，则.
e2
ab
f(3a)f(3b)eee(e)28
3a3b3a3bab33
11. 【答案】36 【解析】注意到，
8210(0,2)
由题意，得.
f(210)f(2108)f(8210)4(82108)36
2
12. 【答案】1
13
x
【解析】即＝3－4×3＋3＝03＝1(舍去)，3＝3x＝1.
xx
2
xxxx
3－13(3－1)
2
2x3x, x≥0,
13. 【答案】 【解析】因为函数是奇函数，
3
f(x)
2
2xax,x0
11
36
22
所以当时，，则，故.
x0x0a3
f(x)f(x)2(x)3(x)2x3x
14. 【答案】1 【解析】由得或(舍).
f(x)5f(x)60
2
f(x)6f(x)1
所以，则或，即或
lg|x|6
10
101010
lg|x|6lg|x|6|x|10
6
3
333
- 65 -
汇编16 分类汇编参考答案
|x|10x10x10m4
1010101040
， ，所以或，所以
666
33333
404010
)lg||1f(m)f(
. 故
333
15. 【答案】[3，4] 【解析】定义域(0，4]. 在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0. 故f(x)≥0
的x的取值范围为[3，4].
16. 【答案】50 【解析】f (2k1)=0，k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，
fx
且的一个零点恰为，k∈Z. 所以至少有50个零点.
fx
x2k1
17. 【答案】[1，+∞) 【解析】两边取对数得 ，即的取值范围
lgk(lga)0k1
2
k
是.
[1,)
18. 【答案】(0,2) 【解析】由题可知2 a b 2，所以a + b 4 ≥ 2ab，又0＜a＜b，
22 22
所以ab∈(0,2).
19. 【证明】法一：设，则，，. ...................10分
abcp0
apcp
bp
所以. ...............................................................................15分
abcpppp
因为，所以. ....................................................................20分
1
x
1111
yxyz
1
z
xyz
1
x
1
y
1
z
111
0
abcp1
0
xyz
111
111
0
，所以， 因为
0
logtlogtlogt
abc
xyz
法二：设，则，，.
abct0
xyz
xlogtylogtzlogt
abc
即，，所以.
logalogblogc0log(abc)0
tttt
abc1
2
20. 【答案】 【解析】由题意得，
5
1912159
ffff
，由可得，
22521022
511
ffa
222
3
a
5
2
则．
f5af3f1
1a
5
21. 【答案】4 【解析】因为，所以，从而
fxgx1
fxgx1
gx1fxgx1fxgx1fx
，即或．
先分别画出与的图形，如下图所示：
fxgx
y
4
3
2
1
–1123456
O
–1
–2
–3
f(x)
g(x)
y
4
3
2
1
g(x)=1-f(x)
g(x)
y
4
3
2
1
g(x)=-1-f(x)
g(x)
x
–1123456
O
–1
–2
–3
x
1-f(x)
–1123456
O
–1
–2
–3
x
-1-f(x)
- 66 -
gx1fxgx1fx
图形分析 图形分析
得到图形中弯折、端点部位的具体值．
然后分别研究与的图像，
gx1fxgx1fx
如上图所示（点表示交点），易见共有个交点．
4
1
1
1
22. 【答案】作出函数的图象，可知， 【解析】
f(x)x2x,x[0,3)
2
f(0)
0,
2
2
2
17
，，方程在上有10个零点，即当时，
f(3)f(x)
f(x)a0x[3,4]
22
函数的图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，
yf(x)[3,4]f(x)
ya
x1
极大
因此直线与函数的图象有4个交点，则.
ya
f(x)x2x,x[0,3)
2
1
1
a0,
2
2
2
,0
23. 【答案】 【解析】画出二次函数的分析简图：
2
由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为
f(x)
m,n
f(m)0,f(m)0,
开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为
f(x)
m,n
f(n)0.f(n)0.
22
m,
f(m)0,
2
22
.
m,0
f(m1)0.
2
m0.
3
2
24. 【答案】(5,0)∪(5,∞) 【解析】∵函数f (x)为奇函数，且x＞0时，f (x)＝x4x，
2
x4x,x0,
2
x0,
x0,
则f (x)＝∴原不等式等价于或
0,x0,
2
2
x4xx,
x4xx,
x4x,x0,
2
由此可解得x＞5或－5＜x＜0.
3
11
ba1
a2
25. 【答案】10 【解析】由题，解得
f()f()
，，，
f(1)f(1)
2
b4
22
b2a
- 67 -
汇编16 分类汇编参考答案
所以．
a3b10
26. 【答案】 【解析】. ，不符合；
a0,22aa1a2a,a
33
42
a0
3
a0,1a2a22aa,a
.
4
27. 【答案】 【解析】设t = 1x，当x < 1时，t < 0，2x<2；
(1,21)
2
f (1x)=1，f (2x)=1 f (1x)= f (2x)；
22
当x > 1时，t < 0，2x > 2，f (1x)=1，f (2x)=(2x)+1 > 5，显然不满足f (1－x) > f (2x)
222
当1 x < 0时，t 0，2x < 0，所以f (1x)=(1x)+1 1，f (2x)=1，
222
f (1x) > f (2x) (x1)；
2
当0 x 1时，t 0，2x 0，所以f (1x)=(1x)+11，f (2x)=(2x)+1，
2222
由f (1x) > f (2x) (1x)+1 > (2x)+ 1x6x+1>00 x < 2－1.
2222 42
综上，x(1,21)
28. 【答案】m < n
29. 【答案】18 【解析】设，.
g(x)x3x,x[3,3]g(x)3x33(x1)(x1)
32
因为，，，，
g(1)2g(1)2g(3)18g(3)18
根据的单调性结合绝对值的性质知的最大值为18.
g(x)
f(x)x3x
3
30. 【答案】4x y 3 0 【解析】函数的导函数，
f(x)2lnxx
2
f(x)2x,x0
从而，当且仅当x 1时等号成立. 所以直线l的斜率最小值为4，
f(x)2x4
2
x
2
x
此时切点为(1,1)，切线方程为4x y 3 0.
31. 【答案】0，4 【解析】极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最
大值0.
32. 【答案】(1) 由题设f (1) e + 1，f (2) ln2 + 1得
|a| + b e + 1，|ln2| + b ln2 + 1，
e
2
ae
22
ae
+ b + 1， 因为a > 2，所以a > 2ln2，从而a + b e + 1，且
22
解得a e，b 1. .......................................................... 5分
(2) 由(1)得f (x) |lnx| + 1. 因为lnx，在(0,+∞)上均单调递增，lne 0.
令g(x) lnx ，所以有：
ee
e
xx
e
e
x
e
+ 1单调递增； 当x > e时，g(x) > g (e) 0，从而f (x) lnx
x
e
当0 < x < e时，g(x) < g (e) 0，从而f (x) lnx+ 1单调递减.
x
故f (x)的单调递减区间为(0,e)；单调递增区间为(e,+∞). ................................ 15分
- 68 -
1
(3) 因为c > d，cd 1，所以，c > 1，
d
c
e1
于是f (c) | lnc| + 1，f (d) f () |ec + lnc| + 1 ec + lnc + 1.
cc
ee
又因为当c > 1时，ec + lnc > lnc +> |lnc|，所以f (c) < f (d).
cc
命题得证. ....................................................................................... 20分
33. 【答案】设f (x) 2x+cosx，欲证不等式转化为f (b) ≤ f (a).
由于f ′(x) 2sinx，f ″(x) cosx.
2
11
)时，f ″(x) cosx＜0，当x∈(,1)时，f ″(x) cosx＞0， 当x∈(0,
22
22
11
所以f ′(x)在区间[0,]上单调减，在区间[,1]上单调增.
22
11
因为f ′(0) f ′(1) 2和f ′() 2＜0，所以存在和，0＜＜＜＜1，
22
使得f ′() f ′() 0，f ′(x)＜0当且仅当x∈(,). ..................................10分
于是函数f (x)在区间[0,]和[,1]上单调增，在区间[,]上单调减.
111
) f (1) 1，故对于x∈[0,]有f (x)≥1，对于x∈[,1]有f (x)≤1. 因为f (0) f (
222
特别地，f (b) ≤ 1 ≤ f (a). .......................................................20分
34. 【答案】 【解析】曲线过点，则①，
3
yax4a5
2
又，所以②，由①、②解得 所以.
y2ax4a
bb
P(2,5)
x2
a1,
bb7
ab3
x42
2
b2.
1
35. 【答案】 【解析】设则，∴.
(ee)
1
P(x,e),l:yee(xx)M(0,(1x)e)
000
xxxx
0000
2
过点P作的垂线，∴.
l
yee(xx)N(0,exe)
xxxx
0000
00
111
∴，，
t[(1x)eexe]ex(ee)t(ee)(1x)
0000
xxxxxxxx
00000000
222
11
所以，t在上单调增，在单调减，∴，.
(0,1)(1,)
x1
0
t(e)
max
2e
36. 【答案】 【解析】如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE
323
3
为梯形；设AE=x (0 < x < 1)，则梯形BCFE周长 = 3x，梯形
BCFE面积=(1x)，所以据题意知：
2
S = = (0 < x <1).对S(x)求导，令S(x)=0，
(3－x)4(3－x)
22
3
4
EF
A
x
2
)33(1－x
1－x
(1－x)
2
4
B
111
联系0<x<1得x=，又0<x<，S(x)<0，<x<1，S(x)>0.
333
- 69 -
C
汇编16 分类汇编参考答案
11323
所以当x=时，S(x)有最小值S() = .
333
37. 【答案】(2,15)
38. 【答案】4 【解析】①若，则不论取何值，显然成立；
x0
a
fx0
②当，即时，可化为，
x0
x0,1
fxax3x10
3
a
设，则，所以在区间上单调递增，
gx
31
xx
23
312x
31
1
gx
g'x
0,
4
x
xx
23
2
1
1
在区间上单调递减，故，从而；
,1
gxg4
max
a4
2
2
③当，即时，可化为，
x0
x1,0
fxax3x10
3
a
g'x0
312x
x
4
，在区间上单调递增，
gx1,0
31
xx
23
因此，从而．
gxg14
max
a4
综上所述．
a4
39. 【答案】0 【解析】由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，而sinαcosβ＝1，
故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
πππ
∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z).
222
∴ cos(α＋β)＝0.
3
π43ππ40π10π4π
40. 【答案】－ 【解析】2x－＝－＝＝＝2π＋，
241241233
43π4π
3
所以f()＝3sin＝－．
2432
41. 【答案】Z 【解析】与f (x)=y=1+|sin2x|的单调减区间相同，
[,],k
kk
2
2422
kk
,],k[
Z.
2422
4
1
1
42. 【答案】 【解析】由得，
cos4
cos2sin2
22
5
5
5
3
2
cos2,
5
又，所以
cos2sin21
22
2
2
sin2.
5
1124
所以.
sincos(sincos)2sincos1sin21
44222222
2255
43. 【答案】 【解析】因为、都是锐角，所以，
25
0
25
213
335
，，所以或. 又
++sin()
252
56446
- 70 -
51
354
，故. ，所以，所以又因为
cos()+
cos
52
32465
所以
coscos[()]cos()cossin()sin
4532525
.
555525
231
44. 【答案】 【解析】由，得.
2sinxcosysinxcosy
(2sinx1)(2cosy1)0
62
11711
∴，或. ∴或，此时可以取内的任意值；
sinxcosyx
y
0,2
2266
24
或或，此时可以取内的任意值.
y
x
0,2
33
1123
故的最大值为.
xy
2
66
45. 【答案】解法一：由题设知.
12(sincos)35sincos
t1t1
22
令，则，且，则，
sincost
t(1,2]
sincos
12t35
2
2
75712
即，解得或(舍)，即有.
35t24t350
2
ttsincos,sincos
57525
433443
所以或，从而或.
sin,cossin,costan
555534
3511112
2
2
解法二：由题设，可得
222
()
12sincossincossincos
sincossincos2(sincos)
222222
22
sincossincos
12(tan1)11
2
22
tan2(tan)2(tan)
，
tantantantan
2
12543
注意到，解得(舍负)，进一步解得或.
tan0
tantan
tan1234
46. 【答案】7 【解析】解法一（图像法）：画出函数图像草图，共个交点．故填．
77
y
1
O2πx
-1
解法二（解方程）：即解方程，即，
sin2xcosx2sinxcosxcosx
π
3π
1
，由． 所以或
x0,3π
2
1
当时，；当时，．
cosx0
x,,sinxx,,,
22226666
cosx0
sinx
- 71 -
汇编16 分类汇编参考答案
共个根，即共个交点．
77
47. 【答案】8
【解析】解法一：由（*），
sinAsinBC
sinBcosCcosBsinC2sinBsinC
由三角形为锐角三角形，则，
ABC
cosB0,cosC0
同时除以得．
cosBcosC
tanBtanC2tanBtanC
又，所以．
tanAtanBC0
tanBtanC
tanBtanC1
1tanBtanC
tanBtanC
故，
tanAtanBtanC
2tanBtanC
1tanBtanC
2t2
2
tanAtanBtanC
不妨设，故，
ttanBtanC
t1
t1
11
tt
2
11
所以当，即时，．
t2
tanAtanBtanC8
max
t2
此时，，
tanBtanC4tanBtanC2
解得（或互换），
tanB22,tanC22,tanA4
tanB,tanC
此时均为锐角，满足条件．
A,B,C
解法二：由解法一部分可知，
tanBtanC2tanBtanC
在锐角三角形中，，而，
tanA,tanB,tanC0
tanAtanBC
即，
tanA1tanBtanCtanBtanC
从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）．
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
故，
tanAtanBtanCtanA2tanBtanC
22tanAtanBtanC
tanBtanC
1tanBtanC
整理得，当且仅当，，
tanAtanBtanC8
tanBtanC4tanA2tanBtanC4
解得（或互换），
tanB22,tanC22,tanA4
tanB,tanC
此时均为锐角，满足条件．
A,B,C
评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，
B,C
因此等价的思想也需慎用．
如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配，
sinBsinC
则有：解法三：
tanAtanBtanC
2sinBsinC
2
sinAsinBsinC
cosAcosBcosC
2sinBsinC
1
sinBsinCcosBcosCcosBcosC
ab
ab
8
（因为）．
2
2
sinBsinC
2
2
2
最后检验一下是否存在即可．
48. ，
【答案】 由为锐角及知
4
17
2
cos
0
65
50
63
3424
sin(2)2sin()cos()2
，
3665525
- 72 -
7
cos(2)2cos()1
2
，
3625
2172
.
[sin(2)cos(2)]
)sin[(2)]sin(2
23350
1234
T7
6
49. 【答案】 【解析】由图可知：
A2,,2,
2
41234
73
22k,2k,
1223
66
f(0)2sin(2k)f(0)
，由图知：.
322
50. 【答案】 【解析】由题意知线段PP长即为垂线PP与y=sinx图像交点的纵坐
2
121
3
2y=6cosx
x(0,
)
22
标. 由 6cosx=5tanx6cosx=5sinx6sinx+5sinx－6=0sinx=
2
y=5tanx
3
2
PP=.
12
3
51. 【答案】 【解析】令的角所对的边分别为. 由题意知
0,
△ABC
A,B,Ca,b,c
3
bca3b3c2bc3(bc)4bc
222222
. . 由余弦定理知
2abc
2bc8bc8bc
1
∵，∴，当且仅当时取“=”. 由，知.
b,c0
cosA0A
bc0A
23
52. 【答案】或 【解析】如图，由题可知，
0m30m3
m23
hBCsinBm
或，所以实数的取值范围是或.
3
2
3
m3
m
0m3
m23
2
C
a
b
h
AA
21
B
53. 【答案】(1) 在△ABC中，由正弦定理（其中R是△ABC外
abc
2R
sinAsinBsinC
接圆的半径），得bcosC + ccosB 2RsinBsinC + 2RsinCcosB
2Rsin(B + C) 2RsinA a. 故命题得证. .................................... 10分
(2) 由(1)知bcosC + ccosB a，同理有acosC + ccosA b，
所以bcosC + ccosB + acosC + ccosA a + b，
即c(cosB + cosA) (a + b)(1cosC) (a + b)2sin，
2
C
2
- 73 -
汇编16 分类汇编参考答案
所以. ....................................................... 20分
cosAcosB
ab2
2sin
2
C
2
abcacb2a
2222222
方法二：（余弦定理法）(1) .
bcosCccosBbca
2ab2ac2a
acbbca
222222
cosAcosB
2ac2bc
(2)
abab
abacaabbcb2ababc
223223222
，
2abc(ab)2abc
acb
222
C
1
2sin
2ababc1cosC
222
2ac
2
，所以等式成立.
ccc2abc
ADAC
54. 【答案】＝△ACD∽△ABC∠ABC＝∠ACD＝∠BCE.
ACAB
∴ CE＝BE＝12. AE＝AB－BE＝16.
AC＋AE－CE14＋16－1214＋28·4
2222222
11
∴ cosA＝＝＝＝.
2AC·AE2·14·162·14·1616
11
∴ BC＝AC＋AB－2AC·ABcosA＝14＋28－2·14·28·＝7·9BC＝21.
222222
16
2
55. 【答案】 【解析】由正弦定理得，由余弦定理结合基本不等
62
a2b2c
4
abc
cosC
2ab2ab2ab
222
ab()abab
22222
式有：
a2b312
2422
31
31
22
2ab
22
ab
42
262
，当且仅当时等号成立.
ab
6
24
2
2ab4
3
2ab44
56. 【答案】4 【解析】据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c=2a+2b ①，边化
222
sinA+sinB
22
角得=6cosC ②
sinAsinB
tanCtanCcosAcosBsin(A+B)sinC
2
因为+= tanC( + )=tanC· = ③
tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBcosC
至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题.
6sinC6c6sinC6c
2222
据②式，③式 = = ，又据①式，③式= = = 4.
22222222
sinA+sinBa+bsinA+sinBa+b
57. 【答案】 【解析】解法一：设，则，
22AC2x
BCx
根据面积公式得=，
S
△ABC
1
ABBCsinBx1cosB
2
2
ABBCAC4x2x4x
222222
根据余弦定理得，
cosB
2ABBC4x
4x
- 74 -
4xx24x16
242
代入上式得=
S
ABC
x1
164x
2
2xx2
由三角形三边关系有，解得，
222x222
x22x
故当，即时，取得最大值．故填．
x12
2
x232222
S
△ABC
解法二：以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
ABAB
x
y
1
故，，设，从而．
A1,0B1,0Cx,y
SAByy
△ABCCC
2
由题意，即，
AC2BC
22
x1y2x1y
22
化简得，故．
x3y8
2
Sy22
2
22
ABCC
max
max
58. 【答案】4 【解析】，，所以.
ACBCACBA16ACAC16
AC4
59. 【答案】4 【解析】，得.
ABACABBCAB16
AB4
60. 【答案】 【解析】因为，
103
2ab4ab4ab28
22
3ab9ab6ab282ab3ab27
22
，所以.
2
2
2
记向量与的夹角为.
2ab3ab
则，
(2ab)(3ab)6aabb242422
22
另一方面，所以.
(2ab)(3ab)2ab3abcos28cos
cos
11
14
5311
所以.
sin1
1414
所以所求平行四边形的面积为.
2727103
61. 【答案】 【解析】由得，点P是等边三角形ABC的中心，
所以，又由得，且，
AP
53
14
2
3
1
AP(ABAC)
3
3
23
11
AQAPBCPQBC
APPQ
3
22
3
. 因此△APQ的面积为
3
25
→→→
62. 【答案】－ 【解析】设|AO|＝|BO|＝|OC|＝R.
2
→→→→→→→→→
则BC·AO＝(BO＋OC)·AO＝BO·AO＋OC·AO＝Rcos(π－2C)＋Rcos2B
22
11125
＝R(2sinC－2sinB)＝(2RsinB)－(2RsinC)＝(12－13)＝－.
2222222
2222
- 75 -
汇编16 分类汇编参考答案
A
R
R
B
O
R
C
7
i=1
63. 【答案】2 【解析】因为aa＝bb＝1，ab＝0，所以xy的最小值为2．
···
ii
7
64. 【答案】 【解析】解法一（基底法）：令，，则，，
DCaDFbDBaDE2b
8
DA3bBAa3bCAa3bBEa2bCEa2bBFab
，则，，，，，
CFabBACAa9b4BFCFab1
，故，，因此，
2222
a
2
13
8
545137
．故．
BECEa4bb
222
8888
解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴
D
BCBC
x
y
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，
Ca,0Fb,cBa,0E2b,2c
A3b,3c
．
y
A
(3b,3c)
E
(2b,2c)
F
(b,c)
B
O
D
C
(a,0)
x
则，，，，
BA3ba,3cCA3ba,3cBE2ba,2cCE2ba,2c
BFba,cCFba,c
，，
由题意，，
BACA9b9ca4BFCFbca1
222222
因此，，故．
abcBECE4b4ca
222222
13545137
88888
65. 【答案】 【解析】解法一（强制法）：由题意得，
93
acos0,sin0cos01,1
0
331131131
a,a,a,
124
222222
，，，，
a0,1
3
131331331
a,a,a,
578
a1,1
，，，，
6
222222
131331
,aa,
a0,1a1,1
912
，，，．
1011
2222
- 76 -
3311331313131
aa
从而
kk+1
22222222
k0
11
133131331331
22222222
1331313131
222222
133131331
222222
93
（恰当整理化简即可）．
kkk
,sincosacos
解法二（部分规律法）：由题意
k6
666
kkk
cos,sincosa
k
，从而，即的结果呈现以
aaaaaa
k6k7kk1kk1
T6
666
为周期的变化，故．
aa
kk+1
2aa+aaaaaa+aa+aa
011223344556
93
k0
11
66. 【答案】22 【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的向量用基底
AP,BPAB,AD
13
ABBPBCCPADABAPADDPAD
，. 表示，而后实施计算.
44
22
1313
则.
APBP2(ADAB)(ADAB)ADADABAB
44216
31
因为，则，故
AB8,AD5
22564ABAD
ABAD22
.
162
解法二：（坐标法）不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标
AAB
x
系，可设，则，.
A(0,0),B(8,0),D(a.t),P(a2,t),C(a8,t)
AP(a2,t)BP(a6,t)
由，得，由，得，则，
APBP2
at4a14at25
2222
AD54a11
所求
ABAD8a22
.
解法三：（极化恒等式：，本题除了使
ab
abab
22
4
用基本的基底法与建系处理外，使用极化恒等式也不失为一种
巧妙的方法）如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD
延长线于F.
APBPAPBP2EPAB
APBP2
则，
222
2
44
所以，又因为，，
EP32CP3PD
AEEB,ABDC
所以，即在中，为中位线.
AE2DPFAEDP
又，
AF2AD10,AEAB4,FE2PE62
1
2
- 77 -
汇编16 分类汇编参考答案
AFAEEF1001672
222
所以.
ADABAFAE22
22
11212
67. 【答案】 【解析】∵在△ABC中，
DEDBBEABBCAB(ACAB)
22323
12121
ABACABAC
12
，∴λ＝，λ＝. 故λ＋λ＝.
1212
63632
68. ，∴，
【答案】 【解析】由得
2ABDF2
ABAF2
AB(ADDF)2
AEBF(ABBE)(BCCF)ABCFBEBC
AB(CDDF)2ABCDABDF22
.
法二：建立直角坐标系，利用坐标运算求解.
5
69. 【答案】 【解析】由得：，
ab0
(e2e)(kee)k2(12k)ee0
121212
4
15
eek
12
，.
24
70. 【答案】－8 【解析】(1 + i)+ (1 i) [(1 + i)] + [(1i)] (2i) + (2i) 8.
4 4 2222 22
71. 【答案】3 【解析】当时，经计算，不存在正实数，满足.
n1,2a,b
(abi)(abi)
nn
13
当时，取，使得，故的最小值是3.
n3
a,b
(abi)(abi)1
nn
n
22
72. 【答案】 【解析】，即.
22
b(4i)b4ai0(b4b4)(ba)i0
22
b4b40,
2
a2,
所以 所以=.
abi
22
b2.
ab0,
ax
n
13
73. 【答案】， 【解析】由
ai
x
n1
x1
n
22
x
n3
ax
3
n
ax
2
n1
ax
n2
x
n
恒成立，
x1
n2
a1x1
n1
aa1x1
2
n
即.
aa1xx1a0
2
nn
13
因为或，故，所以.
xa1
n
0
aa10
2
ai
22
1
74. 【答案】11 【解析】设公差为d，则得55＝－5×11＋×11×10d55d＝110d＝2.
2
a＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)k＝11.
k
75. 【答案】 【解析】因为数列是各项均不为0的等差数列，所以
a2n1
n
a
n
S(2n1)a
2n1n
(aa)(2n1)
12n1
22
Sa(2n1)aa
2n1nnn
，所以，故. ，又
a2n1
n
2
2,n1,8,n1,
1
3
aa
n1n1
76. 【答案】 【解析】因为，所以则
(848)
n
S2
n
n
nn
2,n2,8,n2.
7
记数列{a}的前n项和为T
nn.
3
- 78 -
88
n
1
n
所以当n ≥ 2时，T 8 + (8+ 8 + … + 8) 8 + .
n
(848)
7
7
当n 1时，也符合上式.
1 21
n
1
综上所述，T=
n
(848)
n
7
77. 【答案】0 【解析】由知或.
(aa1)(a3a)0aa10a3a0
n1nn1nn1nn1n
因为，所以可能为3. 同理可能为1，从而推知可能为0.
a9aaa
4321
因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0,1,3,4. 故满足条件的的所有可能值之
a
1
积是0.
78. 【答案】364 【解析】，，，.
f(30)93f(31)60f(32)29f(33)0
当时，. 所以.
n34,35,,60
60
f(n)0
f(n)f(n)2(936029)364
n30
79. 【答案】11 【解析】因为对任意n∈N，都有a < a，故d d. 结合S 75，
*
nn 11210
75 5 10d 10 10d 15 20dd d 3a a 3d 11.
12112822
ab3, ①
11
adbq7, ②
11
n1
80. 【答案】 【解析】设公差为d，公比为q，则
2n3
2
a2dbq15, ③
11
a3dbq35. ④
3
11
④③得= 20，③②得，
dbqbqdbqbq8
1111
322
上述两式相减得. ⑤
bq2bqbq12
111
32
①+④得，②+③得，
2a3dbqb382a3dbqbq22
111111
32
两式相减得，. ⑥
bqbbqbq16
1111
32
⑤
q3
得，所以，，，.
q3
a2b1
11
d2
q14
⑥
所以，.
a2n,b3ab2n3
nnnn
n1n1
2
81. 【答案】2008＋2 【解析】若a≠0，则a＝2－，
n1n
＋
a
n1
＋
2
故a＝2－2，a＝2－＝－2，a＝2＋2，a＝2.
2008200720062005
2－2
2
一般的，若a≠0，1，2，则a＝2－，
nn
a
n1
＋
a－2
n1
＋
2
则a＝，a＝，a＝a，故a＝a.
n1n2n4nn3n1
－－－＋－
a－12－a
n1n1
＋＋
于是，a＝502(a＋a＋a＋a)＋a＝502(a＋a＋a＋a)＋a
2009
k＝1
Σ
n1234200920052006200720082009
＝2008＋2.
82. 【答案】6 【解析】f (2011)为数列{a}中小于2011的项的个数，而44 1936 < 2011，
n
2
45 2025 > 2011，所以f (2011) 44. 类似地，可知f (44) 6. 所以6.
2
f[f(2011)]
- 79 -
汇编16 分类汇编参考答案
83. 【解析】(1) 设数列前6项的公差为d，则a=－1+2d，a=－1+3d，d为整数.
56
又a，a，a成等比数列，所以(3d－1)=4(2d－1)，
567
2
即9d－14d+5=0，得d =1. …………………6分
2
当n≤6时，a =n－4，
n
由此a=1，a=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
56
所以，当n≥5时，a =2.
n
n
-5
n4,n4
故 a = …………………10分
n
n5
2,n5
(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
a
n
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立； …………………15分
当m≥5时，aaa =2， a +a+a=2(2－1)=7×2，7×2，
mm+1m+2mm+1m+2
3-12-53-5-53-12
mmmmm
≠2
所以 a +a+a≠aaa .
mm+1m+2mm+1m+2
故所求 m= 1，或m=3. …………………20分
84. 【解析】若q＝1，则a＝a＝2，a＝4，则S＝4n，T＝4n，S≠2T．
n22nn2nn
2
n
若q＝－1，则a＝2×(－1)，a＝4，则S＝0，T＝4n，S≠2T．…………… 5分
n2nn2nn
n
2
n
24
×(1－q)×(1－q)
22
nn
2
－－
242
nn
，从而S＝若q≠±1，则a＝2q，a＝4q，T＝．… 15分
n2nn
2
n
1－q1－q
2
由S＝2T，则＝1，q＋q－4＝0，解得q＝．
2nn
－1±17
4
2
2
q(1＋q)
－1＋17－1－17
综上，q的值为和． ……………………………… 20分
22
85. 【答案】 【解析】解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐．
20
10
11
解法二：由题意得，，…，，
aa2aa3aan
2132nn1
n2,nN
*
故累加得，从而，
aa234…na1+234…n
n1n
当时，满足通项．故，
n1
则有．
nn1
2
1211
*
2
nN
ann1nn1
n
11120111
1111
21+…21
…
10112231111
aaaa
12310
86. 【答案】12 【答案】设正项等比数列{a}的公比为q，则由，a＋a＝a(q＋
n675
a
5
1
2
1
(12)
n
1
2
n5
q)＝3可得q＝2，于是，则a＋a＋…＋a＝.
2
a2
n
n6
12n
32
1232
∵，q＝2，∴a＝1，aa＝aa＝…＝＝1. ∴aa…a＝1.
a
5
1
2
61112101211
a
6
2
- 80 -
1
> aa…aa＝a＝2成立； 当n取12时，a＋a＋…＋a＝2－
121112121212
67
32
1
当n取13时，a＋a＋…＋a＝2－ < aa…aaa＝aa＝2·2＝2.
1213121112131213
86713
32
当n > 13时，随着n增大a＋a＋…＋a将恒小于aa…a.因此所求n的最大值为12.
12n12n
87. 【答案】 【解析】由题意：，
3
3
1aaqa1qa2q
1222
23
∴，，，∵，
aqa1
22
a1qa2qa23
222
23
a1,a1
21
∴的最小值分别为1，2，3. ∴.
a,a1,a2
222
q3
min
3
3
88. 【答案】 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
2
nn6nn
22
89. 【答案】 【解析】前行共有正整数个，
n1
123n1
2
2
nnnn6
22
因此第行第个数是个．
n
3
3
22
90. 【答案】3 【解析】由题设，b > 0，不等式|x a| < b等价于a b < x < a b，
ab2,a3,
ab3
. 从而
ab4b1
91. 【答案】方程的两根为：，. 【解析】
x2mxm10
22
xm1xm1
12
1m3
m12,
由题设得 解之得.
1m3
m14.
7111
【解析】，令，在92. 【答案】
f(x)x(x1)1yt
tx13
3x1x1t
7
t[3,)f(x)
上是单调递增函数是，所以当，即时，取最小值.
t3x2
3
93. 【答案】2 【解析】设函数f (x)＝|ax＋1|，则f (－2)＝f (1)＝3，故a＝2．
94. 【答案】8 【解析】由题意知，点在圆上，表示圆
(x,y)
C:(x2)y1xy
2222
C
上的点到原点距离的平方，其最大值为9，最小值为1. 因此的最大值与最小
xy
22
值之差为8.
95. 【答案】78000 【解析】设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy＝300，
V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)
≥30(1200＋260x×20y＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700.
∴ 至少可以存水78000cm.
3
96. 【答案】4 【解析】解法一：将题设条件式通分并整理，得
x(x 2) + y(y 2) 16xy 0x(x 2) y (y 2) 8(x y) 0
22222
x y 2x y 4.
(x2)(y2)8x8yxy
22
821616
，解法二：因为x，y为正实数，所以
yxyxyx
等号成立的条件为x = y 2，从而x y 4.
- 81 -
汇编16 分类汇编参考答案
(x2)(y2)(xy4)
222
解法三：因为，
16
yxxy
所以16(x y) ≥ (x y) 8(x y) 16，即(x y 4) ≤ 0，则x y 4.
22
(x2)(y2)xy444x4y
2222
解法四：由
()()
yxyxyxyx
xy44
22
1
4()2416
4
，等号成立的条件是x y 2，从而x y 4.
yxyx
97. 【答案】由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上单调递增，
f(x)
2,3
故有，从而且.
f(2)≤f(3)1
b≥5
c3b8
1°若有实根，则，
f(x)0
b4c≥0
2
4
b≤,
f(2)≥0,
42bc≥0,
5
在区间有即消去c，解出
2,2
f(2)≥0,
42bc≥0,
b≤4,
4≤b≤4,
4≤b≤4,
b
2≤≤2,
2
即，这时，且.
b4c40
2°若无实根，则，将代入解得.
f(x)0
b4c0
2
c3b88b4
综上.
5≤b≤4
所以，单调递减，
bcb(3b8)10b48b64
22222
故.
(bc)32,(bc)74
2222
minmax
98. 【答案】解法一：显然k＞0.
(x＋y)(2x＋y)(2k－1)x－2xy＋(k－1)y≥0对于x，y＞0恒成立.
2222
≤k
令t＝＞0，则得f(t)＝(2k－1)t－2t＋(k－1)≥0对一切t＞0恒成立.
x
222
y
当2k－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k－1＞0.
22
2k－3kk(2k－3)
4222
112
2
此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k－1＝＝.
22222
2k－12k－12k－12k－12k－1
当2k－1＞0且2k－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立.
22
所以k∈[，＋∞).
6
2
2
6
2
(x＋y)x＋2xy＋y
2
解法二：显然k＞0，故k＝.
≥
2x＋y2x＋y
令t＝＞0，则k＝(1＋).
t＋2t＋14t＋1
2
1x
2
≥
22
y2
2t＋12t＋1
u－1
8u
令u＝4t＋1＞1，则t＝. 只要求s(u)＝的最大值.
2
4
u－2u＋9
s(u)＝＝2，于是，(1＋(1＋2)＝.
81138
≤)≤
9222
u＋－2
2u·－2
u
4t＋1
2
2t＋1
9
u
- 82 -
36
所以k，即k ≥ 时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立).
2
≥
22
4t＋18t＋4－4t(4t＋1)－8t－4t＋4
22
1
又：令s(t)＝，则s(t)＝＝，t＞0时有驻点t＝.
22222
2
2t＋1(2t＋1)(2t＋1)
11
且在0＜t＜时，s(t)＞0，在t＞时，s(t)＜0，
22
1113
即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k(1＋s())＝.
2
≥
2222
1
解法三：由Cauchy不等式，(x＋y)＋1)(2x＋y).
2
≤(
2
即(x＋y)≤2x＋y对一切正实数x，y成立.
当k＜时，取x＝，y＝1，有x＋y＝，而k2x＋y＝k＜×＝.
6
2
6136663
2422222
66
时，由于对一切正实数x，y，都有x＋y≤2x＋y≤k2x＋y， 而当k≥
22
6
，＋∞). 故不等式恒成立. 所以k∈[
2
即不等式不能恒成立.
4
99. 【答案】 【解析】在平面直角坐标系中作出可行域如图所示：
，13
5
y
3x-y-3=0
x-2y+4=0
B(2,3)
2
A
O
1
x
2x+y-2=0
xy
22
的含义为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，
A
此时为原点到直线的距离，则；
A
2xy20
d
2
41
25
xy
22
5
min
4
5
图中点距离原点最远，点为与交点，即，
BB
x2y403xy30
B2,3
则． ．故填
xy13
22
max
4
13，
5
1
100. 【答案】【解析】由题意可知抛物线y＝x在x＝1处的切线方程
2,
2
2
为y＝2x－1. 该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：
- 83 -
汇编16 分类汇编参考答案
1
1
当直线x＋2y＝0平移到过点A时，x＋2y取得最大值.
,0
2
2
当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.
1
因此所求的x＋2y的取值范围为.
2,
2
1
101. 【答案】a 1或 【解析】设P点的坐标为，
a10
x,
x
111
则|PA|＝.
2
(xa)a=x2ax=2a
222
2
xxx
2
1
2tx
，则|PA|＝t－2at＋2a－2＝(t－a)＋a－2(t≥2)． 令
22222
x
结合题意可知
1°当a ≤ 2，t＝2时，|PA|取得最小值．此时(2－a)＋a－2＝8，
222
解得a＝－1，a＝3(舍去)．
2°当a＞2，t＝a时，|PA|取得最小值．此时a－2＝8，
22
解得a＝，a＝(舍去)．
1010
故满足条件的实数a的所有值为，－1.
10
102. 【答案】9 【解析】由题①，的根为，则
a4b0xaxbc0
22
m,m6
mm6a
②，③，
m(m6)bc
aa
22
a
22
由①③得，∴ ，由②
c(m6m)(m3)9
c9
.
m3
44
2
103.
【答案】[e,7] 【解析】由题 > 0，，，
a，b，c
5c3aclnb
≤b≤4ca≥aclnc
cbcbbc
∴令
5341clnax,y
，，，
aaacaa
xx1
则且，，，
5y3x4y1
yln1,x0,y0yln1t
化为令
xye
y
yyy
1
eee(t1)
ttt
则令则
x
，，，，，
uu'
t1,u'00t1,u'0
t
tt
2
∴，，∴，.
t1,u(t)0t1,u(t)
增减结合图形
ue
min
x[e,7]
111
104. 【答案】27 【答案】由题意知x,y均为非0的正实数. 由3 xy 8 ，
2
2
8xy3
- 84 -
b
a
x11x1x1xxx
2223
又4 9 · 3，即 3 4× · 9×3 27.
2334
y2xyy2y2yyy
105. 【答案】4 【解析】由得，；
c
logx2
2
0x4
A(0,4]
由知，所以.
AB
a4c4
106. 【答案】3 【解析】由得，
x2y3z0
y
x3z
2
yx9z6xz6xz6xz
222
代入得，当且仅当时取“”．
4xz4xz
xz
3
x3z
22
CC
54
4
4
107. 【答案】 【解析】取出两数之和为偶数的概率为.
C9
9
2
9
1222
CCC2
665
17
17
P
108. 【答案】 【解析】.
4
C33
33
12
109. 【答案】 【解析】.
1+28+285719
19
2
3029
145C
30
145
2
110. 【答案】 【解析】考虑取出三数从小到大成数列.
3
10
当=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组.
d
当=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形.
d
3
20C
种情形，故概率为从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有.
P
6
63
2010
723×1030
111. 【答案】 【解析】有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概
62525×25625
7×64272
率是＝，所求的概率是．
25×25625625
11
112. 【答案】 【解析】穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为.
33
113. 【答案】144 【解析】将7个数分成3类：①3的数为 27，48，75，有3个；
k
②31的数为47，71，有2个；③3+1的数为37，55，有2个.
kk
要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应
排同一类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第
32
①类共有3种排法，三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故
AA
32
233
（A）A1443
23
种排法. 共有
114. 【答案】769 【解析】①若A中的最大数是1，则A集合有1种可能，B集合有(21)
7
种可能，此时集合对(A,B)的个数是(21)；
7
②若A中的最大数是2，则A集合有2种可能，B集合有(21)种可能，此时集合对
16
(A,B)的个数是2×(21)；
16
③若A中的最大数是3，则A集合有2种可能，B集合有(21)种可能，此时集合对
25
(A,B)的个数是2×(21)；
25
……
- 85 -
汇编16 分类汇编参考答案
⑦若A中的最大数是7，则A集合有2种可能，B集合有(21)种可能，此时集合对(A,B)
6
的个数是2×(21).
6
故满足题意的集合对的个数是2×7(1+2+2+2+2+2+2) 769.
(A,B)
723456
115. 【答案】24 【解析】因为，均为整数，所以.
abc31c11
a,b,c
又因为，所以. 所以的可能取值为11，12，13，14，15.
abcc15
c
当=11时，的取值为(9，11),(10，10)，有2组；
c
(a,b)
当=12时，的取值为(7，12),(8，11),(9，10)，有3组；
c
(a,b)
当=13时，的取值为(5，13),(6，12),(7，11),(8，10),(9，9)，有5组；
c
(a,b)
当=14时，的取值为(3，14),(4，13),(5，12),(6，11),(7，10),(8，9)，有6组；
c
(a,b)
当=15时，的取值为(1，15),(2，14),(3，13),…,(8，8)，有8组.
c
(a,b)
故满足要求的三元的个数为24.
(a,b,c)
1
116. 【答案】 【解析】A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三
4
角形PQR为底的高. 故其比值等于这两个三棱锥的体积比.
A
N
R
D
BC
M
Q
P
1111111
V＝V＝×V＝××V＝V；
APQRAPQDAPCDABCDABCD
22323318
1214
又，S＝S－S－S＝(1－－×)S＝S，
BPQBCDBDQCPQBCDBCD
3339
4144
V＝V＝×V＝V.
RBPQRBCDABCDABCD
92918
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4.
117. 【解析】记四棱锥B－ABCD的体积为V．
1
221V2
1
如图，DE＝DB，从而V＝V．又V＝V，所以＝．
112
333V9
2
D
1
O
A
1
E
D
A
（第6题图）
B
C
B
1
C
1
118. 【答案】 【解析】由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A点在底面
53
- 86 -
1153
上的射影为三角形的外心所以即为BD中点，故.
V3453
322
A
D
B
C
119. 【答案】4 【解析】不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以.
11
120. 【答案】 【解析】.
53
V(54)3sin6053
ABCD
32
1
121. 【答案】 【解析】如图，当点P为BC中点时，有PQ∥AD，此时截面为四
(,1)
1
2
11
边形APQD. 从而，当BP <时，截面为四边形，当时，截面为五边形. 因
1
BP1
22
1
此，BP的取值范围为.
(,1)
2
122. 【答案】144 【解析】4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为
144 .
123. 【答案】43 【解析】如图，等腰Rt△DEF的三个顶点D、E、F分别在正三棱柱
ABCABC的三条侧棱AA、BB、CC上，∠DEF 90°.
111111
因为正三棱柱ABCABC的底面边长为4，结合图形的对称性可得：该三角形斜边
111
EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，所以该三角形的斜边EF上的中线DG
1642343
，所以斜边EF的长为.
A
1
B
1
C
1
F
D
G
C
B
A
E
124. 【答案】 【解析】记点到面，，的距离分别为，
26
PDAB
DBCDCA
d,d,d
123
- 87 -
汇编16 分类汇编参考答案
则为正四面体的高.
ddd
123
ABCD
36
由成等差数列，故到面距离的最大值为.
d,d,d
123
P
DCA
26
1196
125. 【答案】 【解析】原来的总体积为，设新
7
V5428
22
33
28r196
2
1
22
的半径为，故变化后体积，
r
V'r4r8
33
3
计算得，从而．
r7
2
r7
3
126. 【答案】
2
127. 【答案】1:24
128. 【答案】6
129. 【答案】①②
3
130. 【答案】 【解析】圆心C(2,2)在直线x my + 1 0上，所以2 + 2m + 1 0，
2
3
解之得m .
2
－1＋5－1＋5
131. 【答案】 【解析】由(2b)＝2c×2aa－c＝ace＋e－1＝0e＝.
2222
22
132. 【答案】[0,2] 【解析】圆x y 2x 4y 0的圆心坐标为(1,2).
22
由题设，直线l过点(1,2)，其方程为y 2 k(x 1)，即y kx 2 k，注意到l不经
过第四象限，则k ≥ 0，且2 k ≥ 0，解得0 ≤ k ≤ 2.
cc
22
c－bb－c
2222
133. 【解析】若c＞b，则＝，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有＝，
2222
acab
－1＋5
解得e＝．
2
134. 【答案】[，10] 【解析】画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆
85
5
85
，10]. 过点B. 的取值范围为[
5
R
1
135. 【答案】 【解析】由题可设斜率为（>0），将代入C：
kk
ykx
x3y120
22
2
得，，.
(13k)x12
22
x
2
12
kx12
22
2
13k
1
S4yy4y83y12
1211
2
.
2
11
12k
2
22
2
，.
k13k
12
k,k0,k
13k
2
42
- 88 -
y
O
B
A
F
x
(xk)x
22
k
2
136. 【答案】由与，得，解得.
y1
y1
2
(xk)x0
22
x
9
9
2
36k
2
x
2
2
将其代入，得A点的纵坐标为. ............................10分
y1
y
6
9
因为四边形ABCD为正方形，根据对称性知BD AC.
36k
2
又B(3+k,0)，D(3,0)，则BD 6k；AC . ........................15分
3
36k
2
所以6k ，即(5k24)(k6) 0.
3
2424
. 所以k . ........................20分 解得k 6(舍去)或k
55
4x＋9y＝36，
22
137. 【答案】取方程组代入得，25y－64y＋28＝0.
2
x＝2y－4．
147214
此方程的解为y＝2，y＝. 即得B(0，2)，A(－，)，
252525
又左焦点F(－5，0). 连OA把四边形AFOB分成两个三角形.
1
1721141
得，S＝×2×＋×5×＝(72＋75).
22522525
y
B
A
C
Fx
O
也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(－4，0).
11141
所求面积＝×4×2－×(4－5)×＝(72＋75).
222525
也可以这样计算面积：
114727214
所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－5)×＋(－5)×0－0×0)
225252525
1144141
＝(＋5)＝(72＋75).
2252525
- 89 -
汇编16 分类汇编参考答案
x
2
22
x
1
22
138. 【答案】设A(x，y)，B (x，y)，则 ＋y＝1，＋y＝1.
112212
4
4
3444
33
由，得 M(x＋x，y＋y).
OMOAOB
1212
5555
55
34
(xx)
12
2
4
3
55
因为M是椭圆C上一点，所以＋(y＋y)＝1， …………6分
12
2
4
5
5
x
2
22
x
1
44
33
2222
xx
即 (＋y)()＋(＋y)()+2()()(＋yy)=1，
1212
12
4
4
545
55
xxxx
44
33
得 ()＋()+2()()(＋yy)＝1，故＋yy＝0. ……………14分
22
1212
1212
5445
55
xxyy
2121
又线段AB的中点的坐标为 (，)，
22
xx
21
2
()
yyxx
1212
222
11
x
1
22
x
2
2
所以＋2()＝(＋y)+(＋y)+＋yy＝1，
1212
2
2224
4
4
xxyy
1212
x
2
从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y＝1上. ………20分
2
2
22
139. 【答案】设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，
15
得.
hsincossinsin1(sin)
222
24
5
因为，所以.
sin1,1
h,1
4
xy
22
140. 【答案】设双曲线的半焦距长为c，则点F，F的坐标分别
C:1(a0,b0)
22
12
ab
xy
22
xy
为(c,0)，(c,0). 从而直线FB的方程为，双曲线的渐近线方
1
1
C:1
22
ab
cb
xy
1,
xy
22
cb
程为. 联立消去y得，.
22
0
22
bx2acxac0
22222
ab
xy
0,
ab
22
acc
22
由韦达定理得：线段PQ中点的坐标. .......................................... 10分
(,)
2
bb
ccac
22
因此PQ中垂线的方程是：.
y(x)
2
bbb
ac
2
在上式中，令y 0，得. .......................................................... 15分
M(c,0)
2
b
1
另一方面，由MF FF，则M(2c,0)，或M(0,0)（舍去），
212
2
ac
2
由此可得，，即a b，故. ............................................. 20分
c2c
2
e2
b
- 90 -
141. 【答案】由题意，圆心O，O都在x轴与直线l的角平分线上．
12
α
2t
若直线l的斜率k＝tanα，设t＝tan，则k＝．
2
1－t
2
圆心O，O在直线y＝tx上，可设O(m，mt)，O(n，nt)．
1212
交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0． ……… 4分
所以⊙O：(x－m)+(y－mt)=(mt)，
1
222
⊙O：(x－n)+(y－nt)=(nt)，
1
222
(2－m)＋(2－mt)＝(mt)，m－(4＋4t)m＋8＝0，
2222
所以即
2222
……………… 8分
(2－n)＋(2－nt)＝(nt)，n－(4＋4t)n＋8＝0，
所以 m，n是方程X－(4+4t)X＋8=0的两根，mn＝8．
2
11
由半径的积(mt)(nt)＝2，得t＝，故t＝．……………………………… 16分
2
42
2t144
所以 k＝＝＝，直线l：y＝x． ……………………………… 20分
2
133
1－t
1－
4
142. 【解析】因为双曲线C的右焦点F的坐标为(c,0)，设直线l的倾斜角为，
xctcos,
则直线l的方程即为其中t为参数.
ytsin,
代入双曲线方程，并整理，得.
(ccosa)t2bccostb0
222224
2bccos(ccosa)
b
4
则有，，
tt
12
222
tt
12
ccosa
222222
ccosaccosa
222222
2ab
2
2abcb
24
222222
因为OF·AB FA·FB，则有，
ccosaccosa
从而2ac b，即e 2e 1 0，因为e > 1，故.
22
e12
143. 【答案】 【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，
3ab
6
b
,B
Fc,0
y
22
3
2
3ab3ab
C,BFc,
2222
，由可得，，
BFC90
BFCF0
3ab
31
222
CFc,
，则，
cab0
22
44
c26
31
由可得，则．
bac
222
ca
22
e
a33
42
CFBF2a
评注 另外也可以结合得，
CF2CFBFBF4a
222
BC3a
11111b
故，而，
CFBFaSCFBFaCBh3a
22
△BCF
224222
解得，进而．
a3b
e
6
3
- 91 -
汇编16 分类汇编参考答案
设与轴的交点为，
BC
y
A
则经典转化以为直径的圆过点．
BFC90BC
F
BFCF0
AFBC
144. 【答案】
(x1)y2
22
【解析】解法一（几何意义）：动直线整理得，
mxy2m10
mx2y10
则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而
ll
M2,1
M
r21102
1
2
22
，故标准方程为．
x1y2
2
m1
2
m2m1
2
2m
解法二（代数法——基本不等式）：由题意
rd
1
2
2
2
m1
m1
m1
1
2
1
m
m
12
2
2m
2
1
m
，当且仅当时，取“”．
m1
故标准方程为．
x1y2
2
m2m1
2
解法三（代数法——判别式）：由题意，
rd
2
2
m1
m1
m1
m2m1
2
设，则，因为，
t
t1m2mt10
2
mR
2
m1
所以，解得，即的最大值为．
24t10
145. 【答案】 【解析】解法一（几何意义）：即找到到直线的最小距
22
0t2
d
2
2
P
xy10
2
离（或取不到），该值即为实数的最大值．已知双曲线的渐近线为，
c
xy1
22
xy0
易知与平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达
xy10xy0
到），故实数的最大值为．
c
d
12
2
2
22
y1x
00
，且，解法二（纯粹代数法）：设双曲线右支上的任一点为，则
x1
0
x,y
00
从而， 恒成立，因为
dc
xy1
00
2
22
x1y
00
1
若时，则，
y0
0
d
xy1
00
22
2
xx11
00
1
2
00
2
11fxxx1
构造，
000
xx1
则，从而．
fx11
0
1
2
xx1
00
d
fx
0
22
12
2
则若时，，根据单调递增性，
d
2
y0
0
xy1xx11
0000
222
2
xx11
00
- 92 -
2
其最小值为时，故最小值为．
x1
0
2
综上所述：，即实数的最大值为．
c
146. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为，
22
c
22
255
(x2)(y1)4
22
C(2,1)
r2
5
22(1)3
12
22
点到直线的距离为，所求弦长为
C
x2y30
d
l2rd24
22
9255
.
55
3
5
147. 【答案】 【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，
3
xy
=1
3
cb
bcbc
aacb
2222
即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.
d
1
dc
2
22
a
ccc
bc
b6bc
2
∵，∴，即.
d6d
21
ab6c
2
ca
3
1
∴a(a－c)＝6c.∴6e＋e－1＝0.∴e＝.∴.
2224422
e
3
3
4
148. 【答案】 【解析】由题圆C：，，，设为
(x4)y1
22
C(4,0)M(t,kt2)
r1
3
另一圆的圆心，∴，∴关
CM(t4)(kt2)[0,2]
22
(1k)t(84k)t160
22
于有解，∴，∴， ∴k的最大值是．
tR
(84k)t64(1k)0
222
0k
44
33
1
149. 【答案】 【解析】当时，集合A是以(2，0)为圆心，以为半径
[,22]
m0
m
2
的圆，集合B是在两条平行线之间，(2，0)在直线的上方.
∵ ，，又因为，此时无解；
22m12
2
m(12)m0
dr
AB
2
当时，集合A是以(2，0)为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条
m0
平行线之间，必有当时，只要.
2m12,m
当时，只要.
2m2,m1
m1m22
当时，一定符合，又因为，，
2m2,2m12m1m
∴.
m
m
2
22m121
1
m1m
22
2
2
22m
2
1m
AB
22
A
2
1
m22
2
150. 【答案】(13,13) 【解析】若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y + c = 0距离为1，
- 93 -
汇编16 分类汇编参考答案
|c|
则圆心到该直线之距应小于1，即<1，解得c(13,13).
13
151. 【答案】 【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转
275
a,b,c
化解得离心率.
152. 【答案】 【解析】由切线，互相垂直，又半径垂直于，所以
2
PAPBPA
OAOAP
△
2
c2
a
2
是等腰直角三角形，故． ，解得
2a
e
a2
c
xy
11xy
153. 【答案】 【解析】由截距式可得直线，直线，
1
AB:CP:
1
cp
cbba
1111
两式相减得，
xy0
cbpa
显然直线与 的交点满足此方程，又原点也满足此方程，
ABF
CPO
11
故为所求直线的方程．故填．
OF
cb
评注 本题主要体现“对称轮换思想”，因为点与点“地位平等”，所以它们具
B
C
有可交换性，因此只要将直线方程中与交换，便可得直线方程中的系
OEOF
b
cx
数．本质上此题是通过交规法求点的轨迹．
154. 【答案】(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC，所以∠BAF=∠BHF，
所以点 A、B、F、H共圆； …………………8分
(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，
因为BE⊥AD，所以BF⊥AC，又AD是圆的直径，
所以CG⊥AC， …………………14分
由ABCD共圆及A、B、F、H共圆，
、、、
所以∠BFG =∠DAB =∠BCG，所以B、G、C、F共圆.
所以∠BGC=∠AFB=90°，所以BG⊥GC，
故四边形BFCG是矩形. …………………20分
B
G
C
A
H
F
D
E
1
155. 【答案】(1)
BPC180(ABCACB)
2
11
180(180BAC)90BAC
；
22
1
(2) 因为是大于的定角，是定线段，
BPC90BAC
90
BC
2
所以点在以为弦的圆上，
P
BC
1
其中，且劣弧与在的同侧.
BPC90BAC
BPC
A
BC
2
1
同理，点在以为弦的圆上，其中，
P
AC
APC90ABC
2
且劣弧与在的同侧.
APC
B
AC
- 94 -
所以是这两个圆的公共点.
P
由(1) 可推知，的内心也是这两个圆的公共点.
△ABC
又是此两圆的另一个公共点，但不在内，所以是内心.
C△ABC
P
156. 【解析】设∠AOB . 因为OA AB，
所以∠OBA ，∠BAO 180° 2.
又OA OC，得∠OCA 180° 2，于是∠BOC 180° 3.
因为OA AB，D为线段OB的中点，
所以AD⊥OB，从而OD OAcos. ........... 5分
在△OCD中，由余弦定理得
CD OC + OD 2OCODcos∠BOC
2 22
1 + cos 2cos cos(180° 3) 1 + cos + 2cos cos3
22
57
2422
) +. ............................................... 10分 8cos 5cos + 1 8(cos
1632
又∠BOC 180° 3 <∠AOB ，∠OCA 180° 2 >∠OBA ，
得180° 3 < ，180° 2 > . 所以45°< < 60°. ........ 15分
从而< cos <. 于是，得
1171
2
CD
2
42322
D'
B
O
A
C'
A'
1425
，等号在时成立.
cosCD
824
所以线段CD长的取值范围是. ....... 20分
[,)
142
82
C
157. 【答案】如图，B、D关于对角线AC对称的点分别
是B′、D′，
则BD与B′D′交于BD和AC的交点O. ……..5分
OBOB
由对称得BB′∥DD′，所以.
ODOD
又A、C关于对角线BD对称的点分别是A′、C，
OCOC
同理得. ............10分
OAOA
因为梯形中BC∥AD，则，
所以. ..................15分
B'
D
OBOCBC
1
ODOAAD
OBOC
1
ODOA
G
D
E
所以B′C′∥A′D′，且B′C′≠A′D′，所以四边形是梯形.
ABCD
158. 【解析】连结BE，CG. 因为AB为直径，所以∠AEB 90°，
BG⊥AC.
又EH⊥AB，在△AEB中，由射影定理得AE AHAB.
2
- 95 -
A
H
B
C
汇编16 分类汇编参考答案
因为AC为直径，所以∠AGC 90°.
在△AGC中，由射影定理得AG ADAC. ............. 10分
2
因为∠BDC ∠BHC 90°，所以B，C，D，H四点共圆，
从而由割线定理知道AHAB ADAC. ......................15分
所以AE AG，即AE AG. ......................................20分
22
方法二：连结BE，CG. 因为AB为直径，
所以∠AEB 90°，BG⊥AC.
又EH⊥AB，在△AEB中，由射影定理得AE AHAB.
2
因为AC为直径，所以∠AGC 90°.
在△AGC中，由射影定理得AG ADAC. ............. 10分
2
在△ADB和△AHC中，∠ADB ∠AHC 90°，∠DAB ∠HAC，所以∠ACH ∠ABD.
不妨设∠ACH ∠ABD ，所以AH ACsin ，AD ABsin .
所以AHAB ABACsin ，ADAC ABACsin ，所以AHAB ADAC.
故AE AG，即AE AG.
22
159. 【答案】如图，连结PD，PE，PC．
因为四边形APDE是圆内接四边形，
所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．
又因为AP是∠BAC的外角平分线，所以∠PAD＝∠PAF，
从而∠PED＝∠PDE，故PD＝PE． … 10分
又∠ADP＝∠AEP，所以∠BDP＝∠CEP．
又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，
从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，
所以A、P、B、C四点共圆． ………… 10分
160. 【解析】(1) 证明：因为点A是弧MN的中点，所以∠AMN ∠ANM，
又∠AMN ∠ABN，所以∠ABN ∠ANP.
又因为∠BAN ∠NAP，所以△ABN∽△ANP.
A
F
P
(第12题图)
D
B
E
C
ABANBN
，又AB 4AP， (2) 证明：由(1)知，
ANAPNP
BN
所以AN 2AP，从而，即BN 2NP，
2
NP
同理，BM 2MP. 所以，BM BN 2MN.
161. 【答案】0，，3－1 【解析】若a为负整数，则a＞0，2b(a＋b)＜0，不可
3－1
2
2
3－1
； a＝0时，b＝0；a＝1时，2b＋2b－1＝0b＝
2
能，故a≥0. 于是a＝2b(a＋b)＜2(a＋1)a－2a－2＜00≤a＜1＋3a＝0，1，2.
22
2
a＝2时，b＋2b－2＝0b＝3－1.
2
说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]＝2{x}x.
2
162. 【答案】3,14,30
【链接】（2011年苏锡常镇四市一模) 设m∈N，若函数
f(x)2xm10xm10
- 96 -
存在整数零点，则m的取值集合为 ．
【解析】当x∈Z，且x≤10时，∈Z．
m10x
若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点．若m≠0，则令f(x)=0，得m=∈N．
2x10
10x1
注意到5 ≤ x ≤ 10，且∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，，14，30}．
10x
故m的取值集合为{0，3，14，30}．
注：将“m∈N”改为“m∈N*”，即得上面的填空压轴题.
22
3
163. 【答案】55 【解析】区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．
164. 【答案】12 【解析】设小王现在的年龄是，小孙现在的年龄是.
a
b
设有个数字，有个数字，由已知得.
amn
b
mn4
如果，那么，但在31年后，是2位数，这与题意不符.
m2n3
a
由对称性，知也不小于2，从而.
n
mn2
设按照题中要求顺序排列的平方数依次为和，，则，
x
2
yyx3131
222
0xy
即.
(yx)(yx)31101
又，故且，于是推得.
0xyyx31yx101(x,y)(35,66)
因此和，从而推得小王是12岁，小孙是25岁.
x1225
2
y4356
2
165. 【答案】881
【解析】由平方数或模4余1或被4整除知，x4y或模4余1或被4整除.
22
x2y1x2k1
①设x4y 4k + 1，k∈Z，则当时，可得，
22
x2y4k1yk
所以m 4k + 1，k∈Z都是好数，当1 ≤ m ≤ 2014时，得0 ≤ k ≤ 503，共504个；
②设x4y 4k，k∈Z，易得x为偶数，
22
故可设x 2x′，x′∈Z，此时有x′y k，k∈Z.
2 2
k1
x
xy1
2
1°当k为奇数时，令，可解得，故m 4k，k为奇数都是好数，
k1
xyk
y
2
5031
1252
个； 当1 ≤ m ≤ 2014时得k为满足1 ≤ k ≤ 503的奇数，共有
2
2°当k为偶数时，由x′y k，k∈Z知x′，y同奇偶，故k能被4整除，
2 2
x2k1
所以可设k 4k′，k′∈Z，此时满足条件，
y2k1
故m 4k 16k′，k′∈Z都是好数，当1 ≤ m ≤ 2014时得1 ≤ k′ ≤ []，共有125个.
综上，1,2,3,…，2014中“好数”的个数为504 + 252 + 125 881.
166. 【答案】360 【解析】因为n | 2016，2016 | n，
22
2014
16
所以n与2016的素因子相同，而2016 2·3·7，故可设n 2·3·7.
5252
这样我们由题设条件可得x ≤ 10，y ≤ 4，z ≤ 2，且2x ≥ 5，2y ≥ 2，2z ≥ 1.
- 97 -
汇编16 分类汇编参考答案
从而有3 ≤ x ≤ 10，1 ≤ y ≤ 4，1 ≤ z ≤ 2，
故M (2 2 … 2) (3 3 3 3)(7 7) 2·3·5·7·17，
34102342922
所以，M的所有不同正因子的个数为(9 1)(2 1)(2 1)(1 1)(1 1) 360.
167. 【答案】对于任意n∈N*，n
2
≡0，1(mod 4).
设a，b是两个不同的自然数，
①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，
此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；
② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，
故ab＋10不是完全平方数.
由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是
a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除.
(1) 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，
例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝4，2×13＋10＝6，3×13＋10＝7.
222
即2，3，13是满足题意的一组自然数.
(2) 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.
这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，
则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，
则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数.
故证.
168. 【答案】若x=y，则x+3x是完全平方数.
2
因为x＜x+3x＜x+4x+4= (x+2)，
2222
所以x+3x= (x+1)，∴ x=y =1. ………………5分
22
若x＞y，则x＜x+3y＜x+3x＜x+4x+4= (x+2).
22222
因为x+3y是完全平方数，
2
所以x+3y= (x+1)，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，
22
设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又 y+3x= 4k+4k+1+9k+3=4k+13k+4是完全平方数，
222
且 (2k+2)=4k+8k+4＜4k+13k+4＜4k+16k+16= (2k+4)，
22222
所以y+3x=4k+13k+4=(2k+3)，得 k=5，从而求得x=16，y=11. ……15分
222
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11). …………………20分
q
2
q
169. 【答案】设，其中p，q为互质的正整数，则. 设k为任意的
n
0
n
0
2
p
p
正整数，构造，
npk2qkn
22
0
则.
npk2qknpk2qkpkQ
0
2222
2
2
pp
170. 【答案】由题设可知a + b d c，ab cd. ............................................................... 5分
由于a,b,c,d是正整数，所以a + b，a + c，b + c中任意两个数之和大于第三个数，
从而知存在以a + b，a + c，b + c为边的三角形.
- 98 -
因为(a + c) + (b + c) a + b + 2c + 2c(a + b)
22 222
a+ b + 2c + 2c(d c) a + b +2cd a + b + 2ab (a + b). ......... 15分
2 2222222
所以，这样的三角形是直角三角形，其直角边长为a + c，b + c，斜边长为a + b，
111
(a + c)(b + c) [ab + c(a + b + c)] (ab + cd) ab. 且该三角形的面积为S
222
故边长为a + b，a + c，b + c的三角形符合题设要求. ................................. 20分
22135
171. 【答案】－ 【解析】如图，设幻方正中间的数为x，
2
e c
d
a
x
2015
1
2
b
（第9题图）
则由题意知a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．
因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．
2011
由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－．
2
201118099
这9个数的和为3×(－－2011)＝－，
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－．
22
172. 【答案】根据抽屉原理，必定存在34个点同色. 该34个点连成34*33/2=561条线段.
考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴.
正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合.
所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，
于是构成等腰梯形四个顶点且同色，证毕.
证法二：记正100边形的外接圆半径为.
AAAA
123100
r
把顶点分为25个点集：.
A,A,A,A,k1,2,,25
4k34k24k14k
每个点集中4点染3色，至少有两点同色，
此两点为端点的劣弧弧长分别为之一. .................................10分
弧长为，且两端同色的弧共有9种.
r2r3r
,,
505050
r2r3r
,,
505050
前10个点集中至少存在10段此类弧.
故总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，
所以此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形. ..........20分
173. 【答案】(1) 3条对角线分得4个三角形，相邻的两个涂色相异，
则既有红色三角形，又有蓝色三角形.
不妨设红色三角形多于蓝色三角形，则蓝色三角形至少有1个，
红色三角形最多3个，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差
- 99 -
A
B
F
C
E
D
汇编16 分类汇编参考答案
不超过31 2. 如图，连接AC，CE，EA，△ACE涂蓝色，其余3个三角形涂红色
差为2. 故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2. ............................ 5分
(2) 2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形，每个三角形区
域涂红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角涂的颜色不同.
设红色三角形多于蓝色三角形. 每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线，即三条
边中对角线的条数只能为1、2或3. 每条对角线只属于一个蓝色三角形. 设边中恰含
k(k 1,2,3)条对角线的蓝色三角形的个数为m，则对角线条数m+ 2m + 3m 2013，
k1 23
3m3m3mm2m3m
123123
2013
671
， 蓝色三角形个数m+ m + m
333
红色三角形个数 ≤ 2013671 1343，
1 23
红色三角形个数与蓝色三角形个数之差 ≤ 1343671 672. ............................. 10分
注意到凸6边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2，此时6边形
的边均为红色；
假定凸3k边形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为k且凸3k边形
的边均为红色，则凸3(k+1)边形AAA…AAAA中的凸3k边形AAA…A
1233k3k+13k+23k+31233k
按假定涂色，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为k且边AA为红色.
13k
如图，则△AAA区域涂蓝色，△AAA区域涂
13k3k+23k3k+13k+2
红色，△AAA区域涂红色，凸3(k+1)边形中红色
13k+23k+3
三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为k + 21 k +
1.
即按上述方法涂色，凸2016边形中红色三角形个数与
蓝色三角形个数之差为.
A
3k+3
A
3k+
2
A
3k+1
A
3k
A
1
2016
672
3
所以凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为672. ..... 20分
174. 【答案】(1) 设正十一边形的顶点A，A，A，…，A，则易知其中任意三点为顶点
12311
的三角形都不是正三角形．
以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A(i＝1，2，3，…，11)为顶角
i
11－1
顶点的等腰三角形有＝5个，这些三角形均不是等边三角形，
2
即当j≠i时，以A为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．
j
故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分
当k＝2时，设其中A，A染成红色，其余染成蓝色．
mn
以A为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A为底角顶点的等腰三角形有10个；
mm
同时以A，A为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，
mn
且共有(5＋10)×2－3＝27个．
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，
故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． …… 10分
(2) 若11个顶点中k个染红色，其余11－k个染蓝色．
k(k－1)
则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有条，
2
- 100 -
(11－k)(10－k)
两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11－k)条．
2
并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．
把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x个，三个顶点均为
1
蓝色的等腰三角形有x个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x个，
23
两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x个，则按顶点颜色计算连线段，
4
k(k－1)(11－k)(10－k)
3x＋x＝3×， ① 3x＋x＝3×， ②
1324
22
2x＋2x＝3×k(11－k)， ③
34
3
由①＋②得 3(x＋x)＋x＋x＝[k(k－1)＋(11－k)(10－k)]，
1234
2
11
用③代入得 x＋x＝[ k(k－1)＋(11－k)(10－k)－k(11－k)]＝(3k－33k＋110)．
12
2
22
1
当k＝5或6时，(x＋x)＝(5×4＋6×5－5×6)＝10．
12min
2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k＝5或6．………… 20分
175. 【答案】九个内角中任选5个，
记为x，x，x，x，x，其余4个记为y，y，y，y，
123451234
由题意，
sinxsinxsinxsinxsinxcosycosycosycosy
123451234
且，
sinysinxsinxsinxsinxcosxcosycosycosy
123451234
所以，，即，
sinxcosysinycosxsinxcosxsinycosy
11111111
所以或，
2sin(x45)2sin(y45)yx
1111
y45x45180
11
即有y x或y 270° x. 设y 120°，
11111
由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120°和150°.
设有k个120°，9 k个150°，则由内角和公式知
k 3. k·120° (9 k)·150° (9 2)·180°
所以，.
5sin150cos1503cos1201
3
2
- 101 -
本文发布于:2023-11-16 23:53:35，感谢您对本站的认可！
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