初高中数学衔接教材(完整版)

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初高中数学衔接教材(完整版)

篇一：初高中衔接教材数学

《初高中数学衔接教材》序言

童永奇

高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！

进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：

一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方

面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、

方法在高中会经常使用。

既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习

呢？提几点建议：

一、“信心”是源泉。人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。

二、“恒心”是保障。人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。

三、“巧心”是支柱。人无巧心，就缺乏灵气和创造力。

最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，

请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功

的喜悦！

临潼区马额中学高一数学校本教材

童永奇

结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较

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好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。主要包括

以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。

怎样学好数学？

A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。（一）抽象性：

数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下

来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的

应用问题。（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是

一种“冷而严肃的美”。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有

真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，

这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那

些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟

大的艺术才能显示的那种完美的境地。”（三）应用的广泛性：在任何

一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题

的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。

b.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学

习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，

所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。

这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼

升华的基础。解析几何的创建者笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是

方法”。解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。这么一

来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。

c.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说，

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解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解

决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过

程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就

是联系、转换和应用过程；在解题策略上就是方法的选择和调整过程。

D．要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如：

数学大师——欧拉，60多岁双目失明，一场大火又吞没了他的研究

成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，

将它砸得粉碎！”此后17年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了400多

篇论文和多部专著。

e.要学好数学，就应该学会辩证思维。所谓辩证思维，就是用运动的

和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种

思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是

思维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学

中的生动体现。因此，在解题时，应善于运用辩证思维方法分析问题，

从而制定解题策略，把握解题规律。

F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力，

就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、

空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。

g.要学好数学，就应该加强训练。要真真正正地做到：勤于动手，勤

于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。

h.要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。目的：加深对

教材知识的理解，开阔自己的知识视野，进一步提高自己分析问题、

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解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题

中的重要作用。对于一些好的解（证）法也应单独摘录出来；对于一

些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来（此外，对于

自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞

清错误的根源及如何准确求解）。这样做，对于学习数学来说，也是

一种提高！

最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我！！

要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生！

初高中数学衔接

前言

现有初高中数学知识存在以下“脱节”：

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不

为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，

但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有

理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数

却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等

式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是

高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦

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达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大

的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被

视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数

后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线

的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,

而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成

为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段

比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中

都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高

中知识的讲授。

第一讲数与式(一)

1.1数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的

相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的

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距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和

数b之间的距离．

例1解不等式：x??x?3＞4．

练习

1．填空题：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若a?b，则a?b（b）若a?b，则a?b

（c）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2；

（2）完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（2）立方差公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（3）三数和平方公式(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)；

（4）两数和立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；

（5）两数差立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3．

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对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．

练习

1．填空题：

（1）1

9a2?1

4b2?(1

2b?1

3a)（）；

（2）(4m?)2?16m2?4m?()；

(3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?()．

2．选择题：

（1）若x2?1

2mx?k是一个完全平方式，则k等于

）（

1211m（c）m2（D）m24163

22（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）（A）m（b）2

（A）总是正数（b）总是负数

（c）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的

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式子称为无理式.例如

3a

2b

?2x?

1，x2?

y2等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母

（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代

数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

等等．

一般地，

b与b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母

中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化

因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法

进行，运算中要运用公式?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先

写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法

与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根

式．

2

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?a,a?0,?a,a?0.?

例1将下列式子化为最简二次根式：?a??

（1

（2

a?0)；（3

x?0)．

例2

(3．

例3试比较下列各组数的大小：

（1

（2

.

篇二：20XX年最全的初高中数学衔接教材

第一讲数与式

1.1数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的

相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?

|a|??0,a?0,

??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的

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距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和

数b之间的距离．练习

1．填空：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝

________.2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若a?b，则a?b（b）若a?b，则a?b（c）若a?b，则a?b（D）

若a?b，则a??b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2；

222

（2）完全平方公式(a?b)?a?2ab?．b我们还可以通过证明得到下列一

些乘法公式：

23

（1）立方和公式(a?b)(a?ab?2b)?3a?；b

23

（2）立方差公式(a?b)(a?ab?2b)?3a?；b

2222

（3）三数和平方公式(a?b?cc)?a?b?c2?(ab?bc?；)a

3323

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（4）两数和立方公式(a?b)?a?3ab?3a2b?；b

332（5）两数差立方公式(a?b)?a?3ab?3a2b?．b对上面列出的五个公

式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：

(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．练习

1．填空：

121211

a?b?(b?a)（）；9423

22

（2）(4m?)?16m?4m?()；

（1）

(3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?()．2．选择题：

1

mx?k是一个完全平方式，则k等于（）2

1212122

（A）m（b）m（c）m（D）m

416322

（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）

（1）若x?

2

（A）总是正数（b）总是负数

（c）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

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1.1.3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的

式子称为无理式.例如

3a

2b

2?

x?

1，x2?

y22

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母

（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代

数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互

为有理化因式

，例如

与

一般

地，

b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母

的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和

分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法

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进行，

?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通

过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，

应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a??

?a,a?0,

?a,a?0.?

例1将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

a?0)；（3

x?0)．

例2

(3．

例3试比较下列各组数的大小：

（1

（2

例4

化简：20XX?20XX．

例5化简：（1

；（2

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例6

已知x?练习

1．填空：（1

?x?1)．3x2?5xy?3y2的值．y?

＝_____；

（2

?(x?x的取值范围是；

（3

）?_____；（4

）若x?

2．选择题：

?成立的条件是（）?

（A）x?2（b）x?0（c）x?2（D）0?x?2

3

．若b?，求a?b的值．

4．比较大小：24（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如分式

AA

的式子，若b中含有字母，且b?0，则称为分式．当m≠0时，bb

A

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具有下列性质：b

AA?m?；bb?mAA?m?．bb?m

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

a

m?n?p

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

c?d

n?p5x?4Ab

??例1若，求常数A,b的值．

x(x?2)xx?2

解得A?2,b?3．

111

例2（1）试证：（其中n是正整数）；??

n(n?1)nn?1111???（2）计算：；1?22?39?10

1111????．（3）证明：对任意大于1的正整数n，有2?33?4n(n?1)2

c

例3设e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

a

练习

1．填空题：

对任意的正整数n，2．选择题：

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111

)；?(?

nn?2n(n?2)

2x?y2x

?，则＝（）x?y3y

546

（A）１（b）（c）（D）

455

x?y

3．正数x,y满足x2?y2?2xy，求的值．

x?y

1111???...?4．计算．1?22?33?499?100

习题1．1

若

1．解不等式：

(1)x??3；(2)x?3?x?2?7；(3)x??x?1?6．

２．已知x?y?1，求x3?

y3

?3xy的值．3．填空：

（1）(218

(2

19＝________；

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（2

?2，则a的取值范围是________；

（

3

?________．

1．2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组

分解法，

另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再

将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘

积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1xx1－1－2－ay－1

1xx16－2－by－2图1．2－3图1．2－1图1．2－4图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2

－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得

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x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by)（4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

（1）x3?9?3x2?3x；（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．（2）

2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6=2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?

y?2)(x?y?3)．

或

2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6

=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6=(2x?y?2)(x?y?3)．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三

项式

xy

图1．2－5

－11

ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x2?2x?1；（2）x2?4xy?4y2．

练习

1．选择题：

多项式2x?xy?15y的一个因式为（）（A）2x?5y（b）x?3y（c）x?3y

（D）x?5y2．分解因式：

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（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；

2

2

篇三：初高中数学衔接教材

第一讲数与式的运算

一、乘法公式

【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca【例1】

计算：(x?

2

12x?)2

3

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公

式2】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方和公式)请同学用文字语言表述公式

2.【例2】

计算：(a?b)(a2?ab?b2)

我们得到：

【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为

乘法公式．【例3】计算：

（1）(4?m)(16?4m?m)

（3）(a?2)(a?2)(a?4a?16)

4

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22

2

2

3

3

（2）(m?

151111

n)(m2?mn?n2)225104

（4）(x?2xy?y)(x?xy?y)

22222

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构

是否满足乘法公式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数

和1、2、3、4、?、10的

立方数，是非常有好处的．

2

【例4】已知x?3x?1?0，求x?

3

1

的值．x3

说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求

值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换

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的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了

“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知a?b?c?0，求

111111

a(?)?b(?)?c(?)的值．bccaab

说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：

a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)

3

3

3

2

2

2

二、根式

a?0)叫做二次根式，其性质如下：

【例6】化简下列各式：

(1)

说明：

?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取

值分类讨论．【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为

正数）：

(1)

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(2)

x?1)

(2)

(3)??

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，

因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整

式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式

开出来；②分母中有根式(

)或被开方数有分母(

．这时可将其化

(

)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化

为有理式，

采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(

为有理化因式)．

2

2

【例8】计算：

(1)??1)(1??2

(2)

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说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式

的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例9

】设x?

y，求x3?y3的值．

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运

算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时

整体代入可简化计算量．

三、分式

当分式

AA

的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简

常用以下两种方法：bb

x

1?xx?

1x?

x

(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．

【例10】化简

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐

步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质

AA?m

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进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．?

bb?m

x2?3x?96xx?1

??【例11】化简

x2?279x?x26?2x

说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项

式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简

分式或整式．

四、多项式除以多项式

做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零

（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），

要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=

除式?商式+余式

A组

1??a成立的条件是(

A．a?0

b．a?0

)

c．a?0)c．－９

2

D．a是任意实数

2．若x?3|x?6|的值是(A．－３3．计算：

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2

b．３D．９

(1)(x?3y?4z)

(2)(2a?1?b)?(a?b)(a?2b)

(3)(a?b)(a?ab?b)?(a?b)

222

(4)(a?4b)(a?4b?ab)

14

22

4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：

(1)

(2)a