浅谈高中数学课标教材“解析几何”的内容、要求与特点

浅谈⾼中数学课标教材“解析⼏何”的内容、要求与特点

“解析⼏何”是⾼中数学的经典内容。回顾近⼆⼗年的⾼中数学课程教材改⾰，1997年前，“解析

⼏何”单独成册《平⾯解析⼏何》，与《代数》（下册）同时开设，在⾼⼆两个学期完成，约50

课时（包括选学内容“参数⽅程、极坐标”，约14课时）。1997年后，《全⽇制普通⾼级中学数

学教学⼤纲》（以下简称《⼤纲》）“解析⼏何”教材包括两章内容：“第七章 直线和圆的⽅程”“第

⼋章 圆锥曲线⽅程”，以及“研究性学习课题与实习作业 线性规划的实际应⽤”，共43课时。

《普通⾼中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中“解析⼏何”内容包括必修课程·数学

2中的“平⾯解析⼏何初步”，选修课程·系列1的选修1-1或系列2的选修2-1中的“圆锥曲线与⽅

程”，以及系列4中的“选修4-5 坐标系与参数⽅程”。依据《标准》的要求、教材在编写时的思考

以及各地教学的实际情况，本⽂所说的“解析⼏何”只包括“平⾯解析⼏何初步”和“圆锥曲线与⽅

程”（选修2-1），共34课时。

⽬前《标准》把“内容与要求”合在⼀起写，虽然表述容易，但有些内容不明确，教还是不教，难

以把握，弹性很⼤。具体到教材的编写，不同版本的教材存在⼀定的差异。因此本⽂⾸先明

确“解析⼏何”的主要内容，在此基础上，再谈具体的教学要求，最后概述“解析⼏何”教材的主要

特点。希望对实验区教师了解教材，进⾏教学有⼀定的帮助。

⼀、解析⼏何的主要内容

依据《标准》和编写《普通⾼中课程标准实验教科书·数学》A版时的思考和实践，我们认为“解

析⼏何”的主要内容是：

1．直线与⽅程

直线的倾斜⾓和斜率。过两点的直线斜率公式。

两条直线平⾏与垂直的条件。

直线的点斜式⽅程。直线的斜截式⽅程。直线的两点式⽅程。直线的⼀般式⽅程。

直线的斜截式⽅程与⼀次函数。

两条直线的交点坐标。

两点间的距离公式。点到直线的距离公式。

两条平⾏直线间的距离。

2．圆与⽅程

圆的标准⽅程。圆的⼀般⽅程。

直线与圆的位置关系。圆与圆的位置关系。

直线与圆的⽅程的简单应⽤。

3．圆锥曲线与⽅程

椭圆及其标准⽅程。椭圆的简单⼏何性质。

双曲线及其标准⽅程。双曲线的简单⼏何性质。

抛物线及其标准⽅程。抛物线的简单⼏何性质。

直线与圆锥曲线的位置关系。

曲线与⽅程、⽅程与曲线。求曲线的⽅程。

圆锥曲线的简单应⽤。

需要说明的是，《标准》把⼆元⼀次不等式表⽰平⾯区域、简单的线性规划及其应⽤等内容放

在《普通⾼中课程标准实验教科书·数学5》A版“第⼆章 不等式”的内容中，强调不等式是刻画现

实世界不等关系的数学模型、解决优化问题的重要⼯具之⼀，突出不等式的应⽤价值。⽽这些

内容在《⼤纲》教材第⼆册（上）的“第七章 直线和圆的⽅程”中，是直线⽅程内容的⼀部分，在

直线⽅程的基础上，引出⼆元⼀次不等式、平⾯区域和线性规划等内容。

另外，⾼中数学课标教材“解析⼏何”不包括两条直线所成的⾓、圆的参数⽅程、椭圆的参数⽅程

等内容。

⼆、解析⼏何的教学要求

主要内容明确后，下⾯就是教学要求。教学要求把握的是否恰当，直接影响课堂教学质量和效

益。

现在⼀个普遍的现象是，教学要求偏⾼，很多学校和教师搞⼀步到“位”。教学和学习脱离正常的

轨道，忽视知识螺旋上升的安排，违背学⽣循序渐进的学习规律，结果学⽣课业负担过重，教

师“课业”负担也很重。

解析⼏何的教学要求是：

1．直线与⽅程

①在平⾯直⾓坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的⼏何要素。

②理解直线的倾斜⾓和斜率的概念，经历⽤代数⽅法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜

率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平⾏或垂直。

④根据确定直线位置的⼏何要素，探索并掌握直线⽅程的⼏种形式（点斜式、两点式及⼀般

式），体会斜截式与⼀次函数的关系。

⑤能⽤解⽅程组的⽅法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平⾏直线间的距离。

2．圆与⽅程

①回顾确定圆的⼏何要素，在平⾯直⾓坐标系中，探索并掌握圆的标准⽅程与⼀般⽅程。

②能根据给定直线、圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能⽤直线和圆的⽅程解决⼀些简单的问题。

3．圆锥曲线与⽅程

（1）圆锥曲线

①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作⽤。

②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准⽅程、⼏何图形及

简单性质。

③了解双曲线的定义、⼏何图形和标准⽅程，知道双曲线的有关性质。

④能⽤坐标法解决⼀些与圆锥曲线有关的简单⼏何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问

题。

⑤通过圆锥曲线的学习，进⼀步体会数形结合的思想。

（2） 曲线与⽅程

结合已学过的曲线及其⽅程的实例，了解曲线与⽅程的对应关系，进⼀步感受数形结合的基本

思想。

对于《标准》“说明与建议”部分提到的⼀些内容，在教材编写过程中，教材做了⼀定的弹性处

理，⼀定要把握好它们的教学要求。

教学中，⽼师经常说的圆锥曲线的“第⼆定义”、圆锥曲线的离⼼率与统⼀⽅程，尽管是⾮常经典

的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第⼆定义”在教材相关

部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第⼆定义”。在拓展性栏⽬“信息技术应⽤ ⽤《⼏

何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应⽤ ⽤《⼏何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给

出了上述两种圆锥曲线的“第⼆定义”，但是作为选学内容。

圆锥曲线都是平⾯上⼀个动点到⼀个定点和它到定直线的距离的⽐是常数的点的轨迹。试想，

在平⾯上给出⼀个定点和⼀条定直线（定点不在定直线上），⼀个动点到这个定点和它到这条

定直线的距离的⽐⽆⾮是三种情况：等于1、⼤于1、⼩于1，因此它们有统⼀的定义、统⼀的⽅

程。这是⼀个⾮常美妙的结论。这个⽐我们称之为圆锥曲线的离⼼率，这个定义称之为圆锥曲

线的统⼀定义。按照圆锥曲线的统⼀定义，我们可以建⽴它们的统⼀⽅程。在教材中我们安排

了⼀个拓展性栏⽬“探究与发现 圆锥曲线的离⼼率与统⼀⽅程”，供学有余⼒的学⽣学习参考。但

是这些不作为基本要求，属于选学内容，⼀定要认真把握。

另外，我们讨论的圆锥曲线的⽅程都是标准⽅程，并利⽤它们的标准⽅程研究它们的性质。⾮

标准形式的圆锥曲线⽅程不是⽬前研究的内容，不要给学⽣补充这⽅⾯的内容。

三、解析⼏何的主要特点

经典的解析⼏何内容如何在传统的基础上编出新意，是我们在编写过程中考虑最多的⼀个问

题。这部分内容除全⾯贯彻本套教材提出的“思想性”“问题性”“联系性”等特点外，还希望通过教材

呈现⽅式的改进，推动教师教学⽅式和学⽣学习⽅式的改进，努⼒编出新意。

下⾯概括的七个主要特点，是我们尝试编出新意的⼏个⽅⾯。

1. 明确解析⼏何的基本思想⽅法：解析法（坐标法）；突出⽤⽅程研究曲线，⽤代数⽅法研究

曲线的⼏何性质；强调解析⼏何解决问题的程序性和普适性；⾃始⾄终贯穿曲线与⽅程、⽅程

与曲线的关系

解析⼏何的基本思想⽅法是解析法（坐标法）；突出⽤⽅程研究曲线，⽤代数⽅法研究曲线的

⼏何性质。在《普通⾼中课程标准实验教科书·数学2》A版中⾸先建⽴直线、圆这两种平⾯上最

简单的⾮封闭图形与封闭图形的⽅程，然后通过它们的⽅程，研究它们的⼏何性质，主要是直

线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时⼈们从纯粹⼏何学的观点研究了这种与圆密切相关的

曲线，知道了它们的⼀些主要⼏何性质，包括圆锥曲线的切线、圆锥曲线的光学性质、离⼼率

等等。它们的性质是圆的⼏何性质的⾃然推⼴。但是这种研究，技巧性很强，不是普适的⽅

法。17世纪初期，笛卡⼉发明了坐标系，⼈们开始在坐标系的基础上，⽤代数⽅法研究圆锥曲

线，也就是我们常说的解析⼏何的基本思想⽅法：解析法（坐标法）。这种思想⽅法的基本特

点是程序性和普适性。说其程序性，是指解析⼏何解决⼏何问题的“三步曲”：

第⼀步：建⽴适当的平⾯直⾓坐标系，⽤坐标和⽅程表⽰问题中涉及的⼏何元素，将平⾯⼏何

问题转化为代数问题；

第⼆步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成⼏何结论。

说其普适性，是指⼀旦确定直线、圆及圆锥曲线的⽅程，那么它们的主要⼏何性质，如位置关

系、距离、夹⾓等，原则上可由这些曲线的⽅程通过代数运算唯⼀确定和解答。⽽综合法处理

这些⼏何性质时，有时需要很强的技巧，“就事论事”。

在直线与⽅程、圆与⽅程的内容中，我们渗透了曲线与⽅程、⽅程与曲线的关系，学⽣对“曲线

与⽅程”“⽅程与曲线”有了⼀定程度的认识。在这个基础上，《普通⾼中课程标准实验教科书·数

学 选修2-1》A版中明确提出“曲线与⽅程”“⽅程与曲线”的关系。随着椭圆、双曲线、抛物线三种

圆锥曲线的学习，通过它们的⽅程研究它们的简单⼏何性质，学⽣可以不断体会“曲线与⽅

程”“⽅程与曲线”的关系。这种关系贯穿解析⼏何的始终，学⽣对它的体会，是⼀个长期反复的

过程。在《普通⾼中课程标准实验教科书·数学 选修1-1》A版中虽然没有明确提出“曲线与⽅

程”“⽅程与曲线”的关系，但在给出每种圆锥曲线的标准⽅程之前，都渗透了“曲线与⽅程”“⽅程与

曲线”的思想。

从⼤的范围看，“曲线与⽅程”“⽅程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它⽤

数及其运算为⼯具，在平⾯直⾓坐标系下，⽤代数⽅法研究⼏何问题，是数形结合的重要⽅

⾯。

2．抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不变量，建⽴轨迹的⽅程

轨迹是由动点运动形成的曲线（或⼏何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保

持不变的量，由此我们建⽴轨迹的⽅程。通过轨迹的⽅程，判断轨迹的形状，研究轨迹的⼏何

性质。

圆、椭圆、双曲线、抛物线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化过程中，保持某种“距

离”不变，其中圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆是到两个定点的距离的和等于定长

的点的集合，双曲线是到两个定点的距离的差的绝对值等于定长的点的集合，抛物线是到定点

的距离等于到定直线的距离的点的集合。

直线是平⾯上最简单的图形之⼀，两点确定⼀条直线。尽管我们已经知道，⼀次函数

的图象是⼀条直线，但从解析⼏何的⾓度看，其⽅程的建⽴还需要⼀个过程，我个⼈的感觉，

⽐圆、圆锥曲线的⽅程建⽴稍显复杂。从函数的⾓度出发，我们是由⼀次函数的解析式

画出它的图象：直线，但它研究的是数量关系，图象是它的直观载体。现在，我们已知直线建

⽴其⽅程，就要寻求动点在变化过程中的不变量，这个不变量不是距离，⽽是⾓度。为此，在

引⼊直线的⽅程前，我们先介绍直线的倾斜⾓和斜率，倾斜⾓是表⽰直线倾斜程度的量，斜率

进⼀步把直线的倾斜程度量化。这样，我们⾸先建⽴直线的点斜式⽅程，在此基础上，再建⽴

直线的两点式、⼀般式⽅程。

3．介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进⼀步改进教材的呈现⽅式。注意引⼊的过程，并对过

程进⾏分析。在过程的分析中引导学⽣⾃主探索，从分析每种曲线的典型⼏何特征⼊⼿，选择

适当的平⾯直⾓坐标系，建⽴每种曲线的⽅程

在直线和圆的⽅程的建⽴过程中，我们都是由确定直线和圆的⼏何要素出发，点和直线的倾斜

⾓唯⼀确定⼀条直线，定点和定长唯⼀确定⼀个圆，把这些⼏何要素代数化，最后⽤⽅程的形

式表⽰出来。

三种圆锥曲线的⼏何特征更明显。在椭圆的学习过程中，我们从圆出发，给出“探究”栏⽬，通过

把细绳的两端分开，让学⽣观察轨迹的形状，建⽴与已有知识的联系与区别。由画图的过程，

探究形成轨迹的动点满⾜的⼏何条件，展现曲线的典型⼏何特征。在此基础上，给出具有这种

典型⼏何特征的轨迹的正式名称：椭圆。通过观察椭圆的形状，引导学⽣建⽴适当的直⾓坐标

系，⽤点的坐标表⽰距离，建⽴椭圆的标准⽅程。

这种写法，意在突出知识的发⽣、发展过程，引导学⽣⾃主学习探索，既动⼿⼜动脑，获得体

验。在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“⽅程”，形成理性

认识。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的⼏何特征与椭圆不同，但其引⼊过程

以及标准⽅程的建⽴过程，都是与椭圆相类⽐展开的。

4．在三种圆锥曲线的简单⼏何性质的研究中，从直观⼊⼿，⽤代数⽅法研究它们的⼏何性质，

注意代数⽅法与⼏何直观相结合

直线和圆的⼏何性质⽐较简单，主要是⽤它们的⽅程研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位

置关系。⽽对圆锥曲线的简单⼏何性质给予了更多的关注。圆锥曲线的简单⼏何性质主要包

括：圆锥曲线的范围、对称性、顶点、离⼼率、渐近线等。

⽆论是从⼏何直观的⾓度看，还是⽤代数⽅法研究，圆锥曲线的范围、对称性、顶点的研究都

⽐较容易。圆锥曲线的离⼼率，双曲线的渐近线相对复杂。抛物线⽐较特殊，它是离⼼率为1的

圆锥曲线，是直接⽤离⼼率定义的⼀种圆锥曲线。

别。

直线的斜截式⽅程虽然与⼀次函数的形式是⼀致的，都体现了数形结合，但是它们反映的是直

线的不同侧⾯。⼀次函数的图象是直线，函数研究的是两个数集之间的对应关系，它的出发点

是数集和对应法则；直线的⽅程是⼆元⼀次⽅程，可以表⽰为⼀次函数的形式，它的出发点是

直线这个图象，我们寻求它的代数表⽰：⽅程。从外延来讲，⽅程的概念很宽泛，函数的解析

式都可以表⽰为⽅程的形式；从内涵来说，函数的内涵⾮常丰富，⽅程不⼀定是函数。

在《普通⾼中课程标准实验教科书·数学 选修2-1》A版中的“圆锥曲线与⽅程”⼀章安排了选学内

容“探究与发现 为什么⼆次函数的图象是抛物线”。对抛物线来说，作为⼀类⼏何对象，它具有典

型的⼏何特征；同时也是⼆次函数的直观载体。尽管是不同的研究对象，但是这个“探究与发

现”揭⽰了两类不同研究对象之间的关系。抛物线是曲线（或图象），我们既可以从函数（或分

段函数）的⾓度研究它，也可以从⽅程的⾓度研究它。但是两者之间是有区别的，函数是⾮空

数集之间的⼀种对应关系，体现的是⼀种数量关系，图象是函数的⼀种表现形式；⽽⽅程是从

曲线的⼏何特征出发，建⽴的曲线⼏何特征的代数关系表达式，⽤⽅程研究曲线，是解析⼏何

的思想。

最后，对于

型的⼆次函数（或抛物线）来说，我们可以运⽤导数这个⼯具，通过建⽴

型的⼆次函数的切线⽅程，严格证明它的光学性质：“从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线

上的⼀点反射后，反射光线平⾏于抛物线的轴，反之亦然。”

（2）线性回归与直线的⽅程

当统计中两个有关联变量的数据以散点图的形式呈现在平⾯直⾓坐标系中时，这些散点之间具

有⼀定的相关关系。如果这些散点近似在⼀条直线附近，我们说这些散点具有线性相关关系。

尽管这种相关关系是不确定的，但它们可以⽤确定的直线⽅程进⾏回归。这时我们建⽴了变量

之间的相关关系与确定的直线⽅程之间的联系。进⼀步说，建⽴了统计与解析⼏何之间的联

系，这种联系能够使学⽣体会到直线⽅程的具体应⽤。

（3）线性规划与直线的⽅程

线性规划的内容过去常常安排在直线的⽅程中，作为直线⽅程内容的延伸和拓展。现在《标

准》把⽤⼆元⼀次不等式表⽰平⾯区域、简单的线性规划等内容放在《普通⾼中课程标准实验

教科书·数学5》A版“第⼆章不等式”中，强调⼆元⼀次不等式是刻画现实世界不等关系的数学模

型，是处理优化问题的重要⼯具之⼀。

我们知道，⼆元⼀次不等式是点的集合。我们由⼆元⼀次不等式的形式⾃然联想到⼆元⼀次⽅

程，⼆元⼀次⽅程也是点的集合，⽽且这些点在⼀条直线上。因此，⼆元⼀次不等式表⽰的点

⾃然在这条直线之外。实际上，⼆元⼀次不等式表⽰的是平⾯上的区域。在确定⼆元⼀次不等

式表⽰平⾯区域时，我们应⾸先建⽴与⼆元⼀次不等式对应的⼆元⼀次⽅程表⽰的直线。这

样，线性规划表⽰的不等关系与直线⽅程表⽰的相等关系紧密地联系在⼀起。

6．实例丰富，注重实际背景和应⽤

本套教材⼀个鲜明的特点是“讲背景、讲思想、讲应⽤”，解析⼏何也不例外也不例外。特别是圆

锥曲线进⼀步加强了现实⽣活的联系。

实际上，圆锥曲线很早就与⼈类⽣活、⽣产以及科研有着紧密的联系。在章引⾔中，说明三种

圆锥曲线都是⽤不垂直于圆锥的轴的平⾯截圆锥⾯得到的。改变截⾯与圆锥轴线的夹⾓，可以

得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引⼊，⽬的是使学⽣了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材

的正⽂中，还多次提到⾏星运⾏轨道、发电⼚冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜⾯等

等。

在教材的拓展性栏⽬中，我们还安排了“探究与发现 为什么截⼝曲线是椭圆”“阅读与思考 圆锥曲

线的光学性质及其应⽤”（这些内容⾮常有趣，运⽤导数可以给出严格的证明）等。安排⼤量的

实例，注重实际背景和应⽤的⽬的是让学⽣感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的

重要作⽤。

7．重视信息技术⼯具的作⽤

信息技术⼯具在解析⼏何的学习中有较⼤的⽀持作⽤，发挥的空间也较⼴阔。在教材中，我们

安排了很多“信息技术应⽤”的内容。

（1）利⽤信息技术⼯具向学⽣演⽰平⾯截圆锥的过程，通过改变截⾯与圆锥轴线的夹⾓，得出

不同的圆锥曲线。信息技术⼯具的使⽤可以加深学⽣对圆锥曲线的直观认识。

（2）运⽤信息技术⼯具的“运动变化过程中保持⼏何关系不变”的特点，⾮常容易探索动点轨迹

的形状。⼀⽅⾯，信息技术⼯具为我们创造了⼀个实验、发现、猜想的环境，在动态演⽰中，

观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想；另⼀⽅⾯，当我们求出轨迹的⽅程

后，可以⽤信息技术⼯具帮助我们进⾏直观验证轨迹的形状，加深对⽅程所表⽰的曲线形状的

理解。