新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册优秀学案(知识点考点汇

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案

第一章 空间向量与立体几何 ........................................................................................................ - 2 -

1.1 空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -

1.1.1 空间向量及其线性运算 ...................................................................................... - 2 -

1.1.2 空间向量的数量积运算 .................................................................................... - 16 -

1.2 空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 ................................................................................... - 38 -

1.3.1 空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -

1.3.2 空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -

1.4 空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 -

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 ........................................................ - 59 -

第1课时 空间向量与平行关系 ........................................................................ - 59 -

第2课时 空间向量与垂直关系 ........................................................................ - 69 -

1.4.2 用空量研究距离、夹角问题 ............................................................................ - 79 -

章末总结 ............................................................................................................................... - 97 -

第二章 直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -

2.1 直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -

2.1.1 倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 -

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 .......................................................................... - 121 -

2.2 直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -

2.2.1 直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -

2.2.2 直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -

2.2.3 直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -

2.3 直线的交点坐标与距离公式 ..................................................................................... - 154 -

2.3.1 两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -

2.3.2 两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -

2.3.3 点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -

2.3.4 两条平行直线间的距离 .................................................................................. - 163 -

2.4 圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -

2.4.1 圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 -

2.4.2 圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 -

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 ................................................................................. - 188 -

2.5.1 直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -

2.5.2 圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -

章末复习 ............................................................................................................................. - 208 -

第三章 圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -

3.1 椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -

3.1.1 椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -

3.1.2 椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -

第1课时 椭圆的简单几何性质 ...................................................................... - 234 -

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 ...................................................... - 244 -

3.2 双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -

3.2.1 双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -

3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................. - 267 -

3.3 抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -

3.3.1 抛物线及其标准方程...................................................................................... - 281 -

3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................. - 291 -

章末复习 ............................................................................................................................. - 303 -

全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

学 习 目 标 核 心 素 养

1.理解空间向量的概念．(难点)

2.掌握空间向量的线性运算．(重点)

3.掌握共线向量定理、共面向量定理

及推论的应用．(重点、难点)

1.通过空间向量有关概念的学习，培养学

生的数学抽象核心素养.

2.借助向量的线性运算、共线向量及共面

向量的学习，提升学生的直观想象和逻

辑推理的核心素养.

国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然

后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念

来表示这个过程？

图1 图2

如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实

际发生的位移是什么？又如何表示呢？

1．空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度或模：空间向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，

→→

也可记作：AB，其模记为|a|或|AB|.

2．几类常见的空间向量

名称 方向 模 记法

零向量 任意

单位向量 任意

相反向量 相反 相等

相等向量 相同 相等 a＝b

0 0

1

a的相反向量：－a

→→

AB的相反向量：BA

3.空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

空间向量的

运算

加法

减法

→→→

OB＝OA＋OC＝a＋b

→→→

CA＝OA－OC＝a－b

加法运算律

①交换律：a＋b＝b＋a

②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运

算．

当λ>0时，λa与向量a方向相同；

当λ<0时，λa与向量a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

②运算律

a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.

b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？

[提示] 没有关系．

4.共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些

向量叫做共线向量或平行向量．

(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l

的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存

在实数λ使a＝λb.

(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意

→

一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP＝λa.

5．共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充

要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.

→

(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使AP＝

→→→→→→

xAB＋yAC或对空间任意一点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC.

思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？

→→→→

111

(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝OA＋OB＋OC，

333

则点P与点A，B，C是否共面？

[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面

的两个向量，因此一定是共面向量．

11111

→→→→→→→→→→

(2)由OP＝OA＋OB＋OC得OP－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)

33333

→→→

11

即AP＝AB＋AC，因此点P与点A，B，C共面．

33

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )

(2)相等向量一定是共线向量． ( )

(3)三个空间向量一定是共面向量． ( )

(4)零向量没有方向． ( )

[提示] (1)× 若b＝0时，a与c不一定平行．

(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．

(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可

以是不共面的．

(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．

2．如图所示，在四棱柱ABCD-ABCD所有的棱中，可作为直线AB的方

111111

向向量的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

D [共四条AB，AB，CD，CD.]

1111

→→

3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，AB＝λBC，则λ＝________.

5

→→

－ [因为C在线段AB上，所以AB与BC方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，

3

5

故λ＝－.]

3

→→

13

4．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－

22

→→

DE－AD化简的结果为________．

→→→→→→

13

0 [延长DE交边BC于点F，连接AF，则有AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD

22

→→→→→→

13

＋DF＝AF，故AB＋BC－DE－AD＝0.]

22

【例1】 (1)给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；

→→

③在正方体ABCD-ABCD中，AC＝AC；

111111

④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.

其中正确命题的序号是________．

空间向量的有关概念

→

(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量AA′

→

相等的向量有________；与向量A′B′相反的向量有________．(要求写出所有适合

条件的向量)

→→→→→→→

(1)②③④ (2)BB′，CC′，DD′ B′A′，BA，CD，C′D′ [(1)对于①，向量a与

b的方向不一定相同或相反，故①错；

对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；

→→

对于③，根据相等向量的定义知，AC＝AC，故③正确；

11

对于④，根据相等向量的定义知正确．

→→→→→

(2)根据相等向量的定义知，与向量AA′相等的向量有BB′，CC′，DD′.与向量A′B′

→→→→

相反的向量有B′A′，BA，CD，C′D′.]

解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．

(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．

①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这

一点说明了共线向量不具备传递性．

②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不

仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.

[跟进训练]

1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )

①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

②平行且模相等的两个向量是相等向量；

③若a≠b，则|a|≠|b|；

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．0 B．1 C．2 D．3

B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正

确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；

当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相

等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]

→

为向量AC的有( )

1

空间向量的线性运算

【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，下列各式中运算结果

1111

→→→

①(AB＋BC)＋CC；

1

→→→

②(AA＋AD)＋DC；

11111

→→→

③(AB＋BB)＋BC；

111

→→→

④(AA＋AB)＋BC.

11111

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(2)已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下

列各式中x，y，z的值．

→→→→

①OQ＝PQ＋yPC＋zPA；

→→→→

②PA＝xPO＋yPQ＋PD.

[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体

→→→→

中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC＝AB＋AD＋AA.

11

(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．

→→→→→→

(1)D [对于①，(AB＋BC)＋CC＝AC＋CC＝AC；

111

→→→→→→

对于②，(AA＋AD)＋DC＝AD＋DC＝AC；

111111111

→→→→→→

对于③，(AB＋BB)＋BC＝AB＋BC＝AC；

1111111

→→→→→→

对于④，(AA＋AB)＋BC＝AB＋BC＝AC.]

111111111

→→→→→→

1

(2)[解] ①如图，∵OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)

2

→→→

11

＝PQ－PC－PA，

22

1

∴y＝z＝－.

2

②∵O为AC的中点，Q为CD的中点，

→→→→→→

∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ，

→→→→→→

∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD，

→→→→

∴PA＝2PO－2PQ＋PD，∴x＝2，y＝－2.

1．空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，

灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，

务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结

果．

2．利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平

行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

[跟进训练]

2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，

→→→

则MG－AB＋AD等于( )

3

→→→→

A．DB B．3MG C．3GM D．2MG

2

→→→→→→→→

B [MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB

→→→→→

＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.]

共线问题

→→

【例3】 (1)设e，e是空间两个不共线的向量，已知AB＝e＋ke，BC＝5e

12121

→

＋4e，DC＝－e－2e，且A，B，D三点共线，实数k＝________.

212

(2)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分

→→

别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．

[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．

→→

(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN表示成λCE的形式，再根据向量共线的

充要条件求解．

→→→→

(1)1 [AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋ke)＋(5e＋4e)＋(e＋2e)＝7e＋(k＋6)e.

12121212

→→

设AD＝λAB，则7e＋(k＋6)e＝λ(e＋ke)，

1212



λ＝7

所以，解得k＝1.]





λk＝k＋6

(2)[解] 法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形

→→→→→→→

11

ABEF都是平行四边形，所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

11

→→→→→→→→→

又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，以上两式相加得

22

→→

CE＝2MN，

→→→→

所以CE∥MN，即CE与MN共线．

法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.

→→→→→

∴CE＝AE－AC＝2AN－2AM

→→→

＝2(AN－AM)＝2MN.

→→→→

所以CE∥MN，即CE与MN共线．

证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．

→→

(1)存在实数λ，使PA＝λPB成立．

→→→

(2)对空间任一点O，有OP＝OA＋tAB(t∈R)．

→→→

(3)对空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．

[跟进训练]

→→

3.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E在AD上，且AE＝2ED，F在对角

11111111

→→

2

线AC上，且AF＝FC.

11

3

求证：E，F，B三点共线．

→→→

[证明] 设AB＝a，AD＝b，AA＝c，

1

→→→→

2

因为AE＝2ED，AF＝FC，

111

3

→→→→

22

所以AE＝AD，AF＝AC，

11111

35

→→

22

所以AE＝AD＝b，

1

33

222222

→→→→→→→→→

AF＝(AC－AA)＝(AB＋AD－AA)＝a＋b－c，所以EF＝AF－AE＝a

11111

555555

2

422



－b－c＝.

1555



a－b－c

3



22

→→→→

又EB＝EA＋AA＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，

11

33

→→

2

所以EF＝EB，所以E，F，B三点共线.

5

[探究问题]

1．什么样的向量算是共面向量？

[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量．

2．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？

→→→

[提示] (1)存在有序实数对(x，y)，使得AP＝xAB＋yAC.

→

(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得OP＝

→→→

xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)．

→→

(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA∥BC.

向量共面问题

3．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，

试判断p，m，n是否共面．

[提示] 设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋

y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.



x＋y＝3，

因为a，b，c不共面，所以



－x＋y＝2，



x－y＝1，

即p，m，n不共面．

而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，

→

【例4】 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足OM

111

→→→

＝OA＋OB＋OC.

333

→→→

(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断M是否在平面ABC内．

→→→

[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA＝xMB＋yMC；(2)

→→→→

根据(1)的结论，也可以利用OM＝xOA＋yOB＋zOC中x＋y＋z是否等于1.

→→→→

[解] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM，

→→→→→→

∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，

→→→→→

∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，

→→→

∴向量MA，MB，MC共面．

→→→

(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三

点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．

→→→→→→

111

1．[变条件]若把本例中条件“OM＝OA＋OB＋OC”改为“OA＋2OB＝

333

→→

6OP－3OC”，点P是否与点A、B、C共面．

→→→→→→→→→

[解] ∵3OP－3OC＝OA＋2OB－3OP＝(OA－OP)＋(2OB－2OP)，

→→→→→→

∴3CP＝PA＋2PB，即PA＝－2PB－3PC.

根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面．

→→→→

2．[变条件]若把本例条件变成“OP＋OC＝4OA－OB”，点P是否与点A、B、

C共面．

→→→→

[解] 设OP＝OA＋xAB＋yAC(x，y∈R)，则

→→→→→→

OA＋xAB＋yAC＋OC＝4OA－OB，

→→→→→→→→

∴OA＋x(OB－OA)＋y(OC－OA)＋OC＝4OA－OB，

→→→

∴(1－x－y－4)OA＋(1＋x)OB＋(1＋y)OC＝0，

→→→

由题意知OA，OB，OC均为非零向量，所以x，y满足：



1－x－y－4＝0，



1＋x＝0，



1＋y＝0，

显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．

3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？

→→→

111

[解] (1)由题意知，OP＝OA＋OB＋OC.

632

111

∵＋＋＝1，∴点P与点A、B、C共面．

632

→→→→

(2)∵OP＝4OA－OB－OC，而4－1－1＝2≠1.

∴点P与点A、B、C不共面．

解决向量共面的策略

→→→→→→→

1若已知点P在平面ABC内，则有AP＝xAB＋yAC或OP＝xOA＋yOB＋zOCx

＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活

进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

1．一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不

仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．

→→→→

2.OP＝OA＋xAB＋yAC称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

→→→

3．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB＝λBC(或AB

→→→→

＝λAC)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC＝tOA＋(1－t)OB”来证明A，B，

C三点共线．

→

4．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝

→→

xMA＋yMB，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点

都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．

5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量

有无穷多个，它们的方向相同或相反．

6．向量p与向量a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，

若a与b共线，则不成立．

1．下列条件中使M与A，B，C一定共面的是( )

→→→→

A．OM＝2OA－OB－OC

→→→→

111

B．OM＝OA＋OB＋OC

532

→→→

C．MA＋MB＋MC＝0

→→→→

D．OM＋OA＋OB＋OC＝0

→→→→→→

C [由MA＋MB＋MC＝0得MA＝－MB－MC，故M，A，B，C共面．]

→→→

2．已知正方体ABCD-ABCD，若点F是侧面CD的中心，且AF＝AD＋mAB

11111

→

－nAA，则m，n的值分别为( )

1

1111

A．，－ B．－，－

2222

1111

C．－， D．，

2222

1111

→→→→→→→→→

A [由于AF＝AD＋DF＝AD＋(DC＋DD)＝AD＋AB＋AA，所以m＝，n

2222

11

1

＝－，故答案为A.]

2

122



1

a－b＋c



3．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.

2

323



5971310510



110



23

＋－3

aa＋b－c [原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝

62622323



5310



759

＋b＋c＝a＋b－c.]



1－＋6－＋－3

223

626



4．给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.

其中正确命题的序号为________．

④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，

向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以

相等，故③错；只有④正确．]

5．设两非零向量e，e不共线，且ke＋e与e＋ke共线，求k的值．

121212

[解] ∵两非零向量e，e不共线，且ke＋e与e＋ke共线，∴ke＋e＝t(e

121212121

＋ke)，则(k－t)e＋(1－tk)e＝0.

212

∵非零向量e，e不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.

12

1.1.2 空间向量的数量积运算

学 习 目 标 核 心 素 养

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.

2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、

运算律及计算方法．(重点)

3.掌握投影向量的概念．(重点)

4.能用向量的数量积解决立体几何问

题．(难点)

1.通过学习空间向量的数量积运算，培养

学生数学运算的核心素养.

2.借助投影向量概念的学习，培养学生直

观想象和逻辑推理的核心素养.

3.借助利用空间向量数量积证明垂直关

系、求夹角和距离运算，提升学生的逻

辑推理和数学运算核心素养.

→→

已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB

＝θ叫做向量a与b的夹角．

如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos θ叫做a与b的

数量积(或内积)

类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样

来定义呢？

1．空间向量的夹角

(1)夹角的定义

→→

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB

叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)夹角的范围

空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向

量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；

π

当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.

2

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，

记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

(2)常用结论(a，b为非零向量)

①a⊥b⇔a·b＝0.

②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|.

2

a·b

③cos〈a，b〉＝.

|a||b|

(3)数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

交换律 a·b＝b·a

分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c

思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？

(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？

[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.

(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．

3．投影向量

(1)投影向量

在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利

b

用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量

|b|

c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos

a

〈a，b〉.

|a|

(2)向量a在平面β上的投影向量

向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，

→→

垂足分别为A′，B′，得到向量A′B′，则向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这

→

时，向量a，A′B′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

(2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c⇒b

k

＝c，a·b＝k⇒b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．

a

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等． ( )

(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． ( )

(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． ( )

(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|－4|b|． ( )

22

[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(教材P练习T改编)在正三棱柱ABC-ABC中，若AB＝BB，则AB与

8111111

BC所成角的余弦值为( )

1

3131

A． B． C． D．

8448

→→→→→→→→

B [令底面边长为1，则高也为1，AB＝AB＋BB，BC＝BC＋CC，∴AB·BC

111111

1

→→→→→→→→

＝(AB＋BB)·(BC＋CC)＝AB·BC＋BB·CC＝1×1×cos 120°＋1＝，

1111

2

2

→→

又|AB|＝|BC|＝2.

11

1

2

1

∴cos〈AB，BC〉＝＝.故选B.]

11

4

2×2

3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

A [由题意知，p·q＝0，p＝q＝1.

22

所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p＋p·q－2q＝3－2＝1.]

22

ππ

4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋

36

b＋c的模是________．

17＋63 [因为|a＋b＋c|＝(a＋b＋c)

22

＝|a|＋|b|＋|c|＋2(a·b＋a·c＋b·c)

222



13

＝1＋4＋9＋2＝17＋63，



0＋1×3×＋2×3×

22



所以|a＋b＋c|＝17＋63.]

→→

＝60°，则AB·CD等于( )

空间向量数量积的运算

【例1】 (1)如图，三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC

A．－2 B．2 C．－23 D．23

(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC

→→→→

＝3，G为△ABC的重心，求OG·(OA＋OB＋OC)的值．

→→→→→→→→→→→→

(1)A [∵CD＝AD－AC，∴AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝0－

2×2×cos 60°＝－2.]

→→→→→→

1

(2)[解] OG＝OA＋AG＝OA＋(AB＋AC)

3

→→→→→

1

＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]

3

111

→→→

＝OB＋OC＋OA.

333

→→→→→→→



111

→→→

∴OG·(OA＋OB＋OC)＝·(OA＋OB＋OC)



333

OB＋OC＋OA



111

→→→

＝OB＋OC＋OA

333

222

11114

＝×2＋×3＋×1＝.

3333

222

在几何体中求空间向量的数量积的步骤

1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.

4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.

[跟进训练]

1．在长方体ABCD-ABCD中，AB＝AA＝2，AD＝4，E为侧面AABB的

1111111

中心，F为AD的中点，求下列向量的数量积：

11

→→→→

(1)BC·ED；(2)BF·AB.

11

→→→

[解] 如图，设AB＝a，AD＝b，AA＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a

1

＝0.

1

→→→→→

(1)BC·ED＝BC·(EA＋AD)＝b·(c－a)＋b＝|b|＝4＝16.

1111

22

2

1

→→→→→→

(2)BF·AB＝(BA＋AF)·(AB＋AA)＝c－a＋b·(a＋c)＝|c|－|a|＝2－2＝0.

1111

2

2222

利用数量积证明空间垂

直关系

【例2】 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB