22人教版高中数学新教材选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程

课标解读 课标要求 素养要求

1.逻辑推理—能够推导出抛物线的标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.

准方程. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.

3.理解𝑝 的几何意义，并能解决简单的求抛物线的标2.数学运算—会根据条件求抛物线的

准方程问题. 标准方程.

教材研习

自主学习·必备知识

教材原句

1.抛物线的定义：

把平面内与一个定点𝐹 和一条定直线𝑙 （𝑙 不经过点𝐹 ）的距离① 相等 的点的轨

迹叫做抛物线.点𝐹 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的② 准线 .

2.抛物线的标准方程：

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

𝑦=2𝑝𝑥(𝑝>0)

2

𝑝𝑝

22

③ 𝐹(

,0) ④ 𝑥=−

𝑦=−2𝑝𝑥(𝑝>0)

2

⑤ 𝐹(−

,0) 𝑥 =

22

𝑝𝑝

𝑥=2𝑝𝑦(𝑝>0)

2

⑥ 𝐹(0,

22

) ⑦ 𝑦=−

𝑝𝑝

𝑥=−2𝑝𝑦(𝑝>0)

2

⑧ 𝐹(0,−

22

) 𝑦 =

𝑝𝑝

自主思考

1.平面内与一个定点𝐹(1,0) 和定直线𝑙:𝑥=1 的距离相等的点的轨迹是什么？

提示 由已知𝑙 经过点F，所以轨迹是过点F，且垂直于l的直线.

2.已知抛物线𝑦

2

=8𝑥 ，则焦点到准线的距离是多少？

提示 由已知得2𝑝=8 ，所以𝑝=4 ，根据𝑝 的几何意义，焦点到准线的距离是4.

3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？

提示 第三个和第四个.

名师点睛

1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题

（1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中一次式±2𝑝𝑥 ，±2𝑝𝑦 来确定

焦点位置，“𝑥 ，𝑦 ”表示焦点在𝑥 轴或𝑦 轴上，系数“±2𝑝 ”的正负确定焦点在坐标轴的正

半轴或负半轴上.

（2）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为𝑦

22

=𝑚𝑥(𝑚≠0) 或𝑥=𝑛𝑦(𝑛≠0) ，这样

可以减少讨论情况的种数.

2.与抛物线定义有关的常用结论

（1）抛物线𝑦 ，也称

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) 上一点𝑃(𝑥,𝑦) 到焦点𝐹(,0) 的距离|𝑃𝐹|=𝑥+

＞

000

22

𝑝𝑝

为抛物线的焦半径.（2）𝑦 .

2

=𝑎𝑥(𝑎≠0) 的焦点坐标为(,0) ，准线方程为𝑥=−

44

互动探究·关键能力

探究点一 抛物线的标准方程

𝑎𝑎

精讲精练

例 求适合下列条件的抛物线的标准方程.

（1）过点(−3,2) ；

（2）焦点在直线𝑥−2𝑦−4=0 上

答案：（1）设抛物线的标准方程为𝑦

22

=−2𝑝𝑥 或𝑥=2𝑝𝑦(𝑝0) ，将点(−3,2) 代入方程

＞

得2𝑝= 或2𝑝= ，∴ 所求抛物线的标准方程为𝑦

22

=−𝑥 或𝑥=𝑦 .

3232

4949

（2）当焦点在𝑦 轴上时，令𝑥=0 ，由方程𝑥−2𝑦−4=0 得𝑦=−2 ，∴ 抛物线的焦点

为𝐹(0,−2) ，设抛物线方程为𝑥

2

=−2𝑝𝑦(𝑝0) ，则由=2 得2𝑝=8 ，∴ 所求抛物线方

＞

2

𝑝

程为𝑥

22

=−8𝑦 ；当焦点在𝑥 轴上时，同理可得𝑦=16𝑥 .

综上所述，所求抛物线的标准方程为𝑥

22

=−8𝑦 或𝑦=16𝑥 .

解题感悟

求抛物线标准方程的两种方法：（1）当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线

的标准方程，由已知条件建立关于𝑝 的方程，求出𝑝 的值，进而写出抛物线的标准方程（.2）

当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为𝑦

22

=𝑚𝑥(𝑚≠0) 或𝑥=𝑛𝑦(𝑛≠0)) ，利用已

知条件求出𝑚 ，𝑛 的值，进而写出抛物线的标准方程.

迁移应用

根据下列条件，求抛物线的标准方程.

（1）焦点到准线的距离是6；

（2）准线方程为𝑦=− .

3

2

答案：（1）由已知得𝑝=6 ，因为焦点位置不确定，所以抛物线的标准方程为𝑦

2

=12𝑥 ，

𝑦=−12𝑥 ，𝑥=12𝑦 ，𝑥=−12𝑦 .

222

（2）因为抛物线的准线交𝑦 轴于负半轴，且 ，所以𝑝= ，所以所求抛物线的标准方

=

233

𝑝24

程为𝑥

2

=𝑦 .

3

探究点二 抛物线的定义及应用

8

精讲精练

类型1 求抛物线上的点与焦点的距离

例1已知𝐹 是抛物线𝑦

2

=𝑥 的焦点.

（1）若𝐴 ，𝐵 是该抛物线上的两点，|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=3 ，求线段𝐴𝐵 的中点到𝑦 轴的距离；

（2）若𝐴(𝑥 ，求𝑥 的值.

0000

,𝑦) 是抛物线上一点，|𝐴𝐹|=𝑥

4

答案：（1）由题意知抛物线的准线方程为𝑥=− .

4

|𝐴𝐹| ，|𝐵𝐹| 分别为𝐴 ，𝐵 到准线𝑙 的距离𝑑

12

，𝑑 （如图所示）.

1

5

则线段𝐴𝐵 的中点到准线的距离𝑑= ，

315

244

𝑑+𝑑3

12

22

=

∴ 线段𝐴𝐵 的中点到𝑦 轴的距离为−=

.

（2）因为|𝐴𝐹|= ，所以根据抛物线的定义可得𝑥 ，

444

𝑥+=|𝐴𝐹|=𝑥

000

解得𝑥

0

=1 .

解题感悟

根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可以实现点点距

与点线距的相互转化，从而简化某些问题.

类型2 求最值

例2（2021四川江油一中高二期中）已知直线𝑙 为抛物线𝑦

2

=8𝑥 的准线，抛物线上的点𝑀

到𝑙 的距离为𝑑 ，点𝐴 的坐标为(1,4) ，则|𝐴𝑀|+𝑑 的最小值是( )

A.17 B.4

√

515

C.2D.1+17

√

思路分析 设抛物线的焦点为𝐹 ，则𝐹(2,0) ，利用抛物线的定义可得|𝐴𝑀|+𝑑=|𝐴𝑀|+

|𝑀𝐹| ，当𝐴 ，𝑀 ，𝐹 共线时，|𝐴𝑀|+𝑑 取得最小值，由此求得答案.

答案：𝐴

解析：设抛物线𝑦

2

=8𝑥 的焦点为𝐹 ，则𝐹(2,0) ，准线方程为𝑥=−2 ，连接𝐹𝑀 ，𝑀𝐴 ，

由抛物线的定义知|𝑀𝐹|=𝑑 ，∴|𝐴𝑀|+𝑑=|𝐴𝑀|+|𝑀𝐹|≥|𝐴𝐹|=−2)

√(1

22

+(4−0)=

√√

17 ，当且仅当𝐴 ，𝑀 ，𝐹 三点共线时，取“=”号，∴|𝐴𝑀|+𝑑 的最小值为17 .

解题感悟

在抛物线中求解与焦点有关的两点间的距离和的最小值问题时，往往用抛物线的定义进行转

化，即化折线为直线解决最值问题.

迁移应用

1.（2021北京房山高二期末）设抛物线𝑥

2

=8𝑦 的焦点为𝐹 ，点𝑀(𝑥,3) 在抛物线上，则

0

抛物线的准线方程为 ； |𝑀𝐹|= .

答案：𝑦=−2 ; 5

解析：因为抛物线的方程为𝑥

2

=8𝑦 ，所以准线方程为𝑦=−=−=−2 ，|𝑀𝐹|=3+=

222

5 .

2.已知抛物线𝑦

2

=2𝑥 的焦点是𝐹 ，点𝑃 是抛物线上的动点，点𝐴(3,2) ，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹| 的

最小值为 ，此时𝑃 点的坐标为 .

答案： ; (2,2)

2

解析：如图，作𝑃𝑁⊥𝑙 于𝑁 （𝑙 为准线），作𝐴𝐵⊥𝑙 于𝐵 ，

7

𝑝4𝑝

则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝑁|≥|𝐴𝐵| ，

当且仅当𝑃 为𝐴𝐵 与抛物线的交点时，取等号，

∴(|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|)=|𝐴𝐵|=3+=

min

.

22

17

此时𝑦

𝑝𝑝

=2 ，代入抛物线方程得𝑥=2 ，

∴𝑃 点的坐标为(2,2).

探究点三 抛物线的实际应用

精讲精练

例 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为

保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有

0.5米.

（1）以抛物线的顶点为原点𝑂 ，其对称轴所在的直线为𝑦 轴，建立平面直角坐标系，求该

抛物线的标准方程；

（2）若行车道总宽度𝐴𝐵 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.

答案：（1）根据题意可设该抛物线的标准方程为𝑥

2

=−2𝑝𝑦(𝑝0) ，

＞

结合图象，可得点𝐶 的坐标为(5,−5) ，

又点𝐶(5,−5) 在抛物线上，所以5 ，

2

=−2𝑝×(−5) ，解得𝑝=

2

5

所以该抛物线的标准方程为𝑥

2

=−5𝑦 .

（2）设车辆高为ℎ 米，则|𝐷𝐵|=ℎ+0.5 ，

故𝐷(3.5,ℎ−6.5) ，将𝐷 点的坐标代入方程𝑥

2

=−5𝑦 ，得ℎ=4.05 ，

所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米.

解题感悟

求抛物线实际应用的五个步骤：（1）建立适当的坐标系;（2）设出合适的抛物线的标准方

程;

（3）通过计算求出抛物线的标准方程;（4）求出需要的量;（5）还原到实际问题中，从而

解决实际问题.

迁移应用

1.（2020广东深圳高二期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在𝑙 时，拱顶高于水面2 m ，水

面宽为4 m ，当水面宽为25 m 时，水面下降了( )

√

A.5 m B.2 m

√

C.1 m D.

2

 m

答案：𝐷

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为𝑥

2

=𝑎𝑦(𝑎0) ，由点

＜

(2,-2)在抛物线上，得𝑎=−2 ，所以抛物线方程为𝑥

2

=−2𝑦 ，当水面宽为25 m 时，设拱

√

顶高于水面ℎ𝑚 ，

1

由点(5,−ℎ) 在抛物线上，得ℎ= ，故水面下降了

√

22

 m .

51

2.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36 m ，则此时欲

经过桥洞的一艘宽12 m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( )

A.6 m B.6.5 m

C.7.5 m D.8 m

答案：𝐷

解析：根据题意，画出抛物线如图所示：

设宽度为36 m 时，与抛物线的交点分别为𝐴 ，𝐵 ，当宽度为12 m 时，与抛物线的交点为

𝐶 ，𝐷 ，抛物线的标准方程为𝑥=−2𝑝𝑦(𝑝0) ，

2

＞

由题意可知2𝑝=36 ，则抛物线的方程为𝑥

2

=−36𝑦 ，故𝐴(18,−9) .当宽度为12 m 时，设

𝐶(6,𝑎) ，代入抛物线的方程可得6=−36𝑎 ，解得𝑎=−1 ，

2

所以直线𝐴𝐵 与直线𝐶𝐷 的距离ℎ=(−1)−(−9)=8𝑚 ，即船体两侧的货物距离水面的最

大高度应不超过8 m .

评价检测·素养提升

1.抛物线𝑥

2

=8𝑦 的焦点坐标是( )

A.(0,2)B.(0,-2)

C.(4,0)D.(-4,0)

答案：𝐴

解析：由抛物线的方程𝑥

2

=8𝑦 知，抛物线的焦点在𝑦 轴的正半轴上，所以2𝑝=8 ，=2 ，

2

所以焦点坐标为(0,2).故选A.

2.已知抛物线𝑦

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) ，若点𝐴(2,−4) 在抛物线上，则点𝐴 到焦点的距离

＞

为 .

𝑝

答案： 4

解析：把点(2,-4)代入𝑦

2

=2𝑝𝑥 ，得16=4𝑝 ，即𝑝=4 ，从而抛物线的焦点坐标为(2,0)，

故点A到焦点的距离为4.

3.若抛物线𝑦

2

=−2𝑝𝑥(𝑝0) 上有一点𝑀 ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求点𝑀 的

＞

坐标.

答案：由抛物线的方程𝑦 .

2

=−2𝑝𝑥(𝑝0) ，得其焦点坐标为(−,0) ，准线方程为𝑥=

＞

22

设点𝑀 到准线的距离为𝑑 ，则𝑑=|𝑀𝐹|=10 ，即

2

−(−9)=10 ，得𝑝=2 ，

故抛物线的方程为𝑦

2

=−4𝑥 .由点𝑀(−9,𝑦) 在抛物线上，得𝑦=±6 ，

𝑀𝑀

故点𝑀 的坐标为(-9,6)或(-9,-6).

课时评价作业

基础达标练

𝑝

𝑝𝑝

1.（2021江苏连云港高二期中）焦点为(02) 的抛物线的标准方程是( )

，

A.𝑥

22

=8𝑦 B.𝑥=4𝑦

C.𝑦

22

=4𝑥 D.𝑦=8𝑥

答案：𝐴

2.（2021北京延庆高二期中）设抛物线𝑦

2

=4𝑥 的焦点为𝐹 ，准线为𝑙 ，𝑃 是抛物线上的

一点，过𝑃 作𝑃𝑄⊥𝑥 轴于𝑄 ，若|𝑃𝐹|=3 ，则线段𝑃𝑄 的长为( )

A.2 B.2C.22 D.32

√√√

答案：𝐶

3.（2021江西南昌十中高二期中）若抛物线𝑦

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) 上的点𝐴(𝑥,42) 到其焦点的

＞

0

√

距离是点𝐴 到𝑦 轴距离的3倍，则𝑝 等于( )

A.2B.4

C.6D.8

答案：𝐷

4.（多选题）已知抛物线𝑦

2

=10𝑥 ，则下列说法中正确的是( )

A.焦点在𝑦 轴上

B.焦点在𝑥 轴上

C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)

答案：B; D

5.（2021北京人大附中高二期中）已知抛物线𝑦

=−12𝑥 的焦点与双曲线−=1 的一

𝑎4

个焦点重合，则𝑎= ( )

A.5 B.13 C.5D.25

√√

√

2

𝑥𝑦

22

答案：𝐶

6.（2021山东泰安高二期中）已知抛物线𝐸 ：𝑦

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) 的焦点为𝐹 ，𝑂 为坐标原点，

＞

𝑂𝐹 为菱形𝑂𝐵𝐹𝐶 的一条对角线，另一条对角线𝐵𝐶 的长为2，且点𝐵 ，𝐶 在抛物线𝐸 上，

则𝑝= ( )

A.1B.2 C.2D.22

√√

答案：𝐵

7.（2021北京丰台高二期末）已知抛物线𝐶:𝑦

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) 的焦点为𝐹 ，准线为𝑙 ，点𝑀 在

＞

抛物线𝐶 上，点𝑁 在准线𝑙 上，且𝑀𝑁⊥𝑙 .若|𝑀𝐹|=8 ，∠𝑀𝐹𝑁=60 ，则𝑝 的值为( )

∘

A.8B.4C.2D.1

答案：𝐵

8.（2021安徽淮南一中高二期中）已知抛物线𝐶:𝑦

2

=2𝑝𝑥(𝑝0) 的焦点为𝐹 ，准线为𝑙 ，

＞

且𝑙 过点(-3,2)，𝑀 在抛物线𝐶 上，若点𝑁(2,4) ，则|𝑀𝐹|+|𝑀𝑁| 的最小值为( )

A.2B.3C.4D.5

答案：𝐷

9.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.

（1）抛物线的焦点是双曲线16𝑥

22

−9𝑦=144 的左顶点；

（2）抛物线的焦点𝐹 在𝑥 轴上，直线𝑦=−3 与抛物线交于点𝐴 ，|𝐴𝐹|=5 .

答案：（1）将双曲线的方程化为标准形式，可得其左顶点为(-3,0)，故可知抛物线的焦点为

(-3,0)，由此设抛物线的标准方程为𝑦

2

=−2𝑝𝑥(𝑝0) ，则−=−3 ，得𝑝=6 ，故抛物线

＞

2

𝑝

的标准方程为𝑦

2

=−12𝑥 .

（2）由题意设抛物线的标准方程为𝑦

2

=2𝑛𝑥(𝑛≠0) ，因为𝐴(𝑚,−3) 在抛物线上，所以

(−3)=2 nm ，由|𝐴𝐹|=5 ，得𝑚+=5 ，解得𝑛=1 或9，所以抛物线的标准方程为

2

2

𝑦=2𝑥 或𝑦=18𝑥 .

22

素养提升练

𝑛

10.（2021湖南长沙长郡中学高二期中）苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双

塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，

两栋建筑第八层由一条长60 m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m 处各有一窗户，

两窗户的水平距离为30 m ，如图2，则此抛物线的顶端𝑂 到连桥𝐴𝐵 的距离为( )

A.180 m B.200 m C.220 m D.240 m

答案：𝐵

解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为𝑥

2

=−2𝑝𝑦(𝑝0) ，

＞

由题意设𝐷(15,ℎ) ，𝐵(30,ℎ−150) ，

15=−2𝑝ℎ,

2

则{

2

30=−2𝑝(ℎ−150),

解得ℎ=−50 ，𝑝=2.25 ，所以此拋物线的顶端𝑂 到连桥𝐴𝐵 的距离为50+150=200𝑚 .

11.（多选题）已知抛物线𝐸:𝑥

222

=4𝑦 的焦点为𝐹 ，圆𝐶:𝑥+(𝑦−1)=16 与抛物线𝐸 交

于𝐴 ，𝐵 两点，点𝑃 为劣弧𝐴𝐵 上不同于𝐴 ，𝐵 的一个动点，过点𝑃 作平行于𝑦 轴的直线

𝑙 交抛物线𝐸 于点𝑁 ，则下列四个命题中正确的是( )

A.点𝑃 的纵坐标的取值范围是(23,5)

√

B.|𝑃𝑁|+|𝑁𝐹| 等于点𝑃 到抛物线准线的距离

C.圆𝐶 的圆心到抛物线准线的距离为2

D.△𝑃𝐹𝑁 周长的取值范围是(8,10)

答案：B; C; D

解析：圆𝐶:𝑥

22

+(𝑦−1)=16 的圆心为(01) ，半径𝑟=4 ，与𝑦 轴正半轴的交点为(0,5).

，

抛物线𝐸:𝑥

2

=4𝑦 的焦点为𝐹(0,1) ，准线方程为𝑦=−1 ，

联立圆的方程和抛物线的方程可得𝐴 ，𝐵 两点的纵坐标均为3，所以点𝑃 的纵坐标𝑦

𝑃

∈

(3,5) ，故A中命题错误；

由抛物线的定义可得|𝑃𝑁|+|𝑁𝐹| 等于点𝑃 到抛物线准线的距离，故B中命题正确；

圆𝐶 的圆心到抛物线准线的距离为2，故C中命题正确；

△𝑃𝐹𝑁 的周长为|𝑃𝐹|+|𝑃𝑁|+|𝑁𝐹|=𝑟+𝑦+1=𝑦+5∈(8,10) ，故D中命题正确.

𝑃𝑃

12.（2021江西南昌江西师大附中高二期中）设𝐹 为抛物线𝑥

2

=24𝑦 的焦点，𝐴 、𝐵 、𝐶 为

该抛物线上三点，若𝐹 是三角形𝐴𝐵𝐶 的重心，则|𝐹𝐴|+|𝐹𝐵|+|𝐹𝐶|= .

答案：36

解析：抛物线𝑥

2

=24𝑦 的焦点为𝐹(0,6) ，准线方程为𝑦=−6 ，

设𝐴(𝑥

112233

,𝑦) ，𝐵(𝑥,𝑦) ，𝐶(𝑥,𝑦) ，

由𝐹 是三角形𝐴𝐵𝐶 的重心得

所以𝑦

123

+𝑦+𝑦=18 ，

由抛物线的定义可知，|𝐹𝐴|+|𝐹𝐵|+|𝐹𝐶|=(𝑦

123

+6)+(𝑦+6)+(𝑦+6)=36 .

创新拓展练

𝑦+𝑦+𝑦

123

3

=6 ，

13.某抛物线型拱桥水面的宽度20 m ，拱顶离水面4 m ，现有一船宽9 m ，船在水面上高

3 m .

（1）建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程；

（2）试问：这条船能否从桥下通过？请说明理由.

命题分析 本题考查了抛物线方程的求法，抛物线中在实际问题的应用.

答题要领 （1）设抛物线为𝑥 ；（2）将𝑥= 代

2

=−2𝑝𝑦 ，将(10,-4)代入即可求得𝑝=

入，求得对应的纵坐标，再结合船高与限高即可判断.

259

22

详细解析（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为𝑦 轴（向上）建立如图所示的平面直角坐标

系.

设拱桥所在抛物线的方程为𝑥

2

=−2𝑝𝑦(𝑝0) ，

＞

因为点(10,-4)在抛物线上，

所以10 ，

2

=−2𝑝⋅(−4) ，解得𝑝=

25

2

所以拱桥所在抛物线的标准方程为𝑥

2

=−25𝑦 .

（2）当𝑥= 时，𝑦=− ，所以此时限高为4−3 ，所以能通过.

2100100100

=

＞

解题感悟 本题解题关键在于合理建立模型，根据待定系数法求解.

98181319