(新人教A)高二数学同步辅导教材棱锥、多面体及其欧拉公式

高 二 数 学

（第26周）

主讲教师：徐 瑢

【教学内容】

棱锥、多面体及其欧拉公式 4、简单多面体：在一种特定的连续变形中，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。

【教学目标】

1、理解棱锥、正棱锥的概念，掌握一般棱锥的性质和正棱锥的性质，掌握正棱锥的直观图的画法，能分析、

论证多面体内的线面关系，并用辅助直角三角形求得长度、角度，了解棱锥的侧面积与全面积概念及其计算， 例1、若正六棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，求侧棱长与斜高。

掌握棱锥的体积公式及应用。 解：如图在正六棱锥S—ABCDEF中，过S作底面的垂线SO，连AO则O为正

2、理解凸多面体、正多面体及简单多面体的概念，掌握欧拉公式的证明和简单应用。 六边形ABCDEF的中心，AO为SA在底面上的射影。∴∠SAO=60°，∠SOA=90°，

【知识讲解】

一、棱锥

1、棱锥的概念：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2、一般棱锥的性质

①底面是多边形

②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形

③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和顶点到底面距离的比。截面面积和底

面面积的比等于上述相似比的平方。

3、正棱锥的概念 评述：正棱锥中有四个直角三角形，如本例中的Rt△SAO、 Rt△SOM、Rt△SAM、Rt△AOM，它们把正棱锥

底面是正多边形、顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 的诸元素联系在一起，掌握四个直角三角形是解决正棱锥计算问题的关键。

正棱锥在实际中应用较多，掌握正棱锥的定义必须把握上述两点，并且缺一不可。另外还应加深对正多边形中心的

理解。对于正多边形，它的内心、外心、重心、垂心是重合的，重合后的点记为正多边形的中心。外心是多边形各边上垂

直平分线的交点，到多边形各个顶点的距离相等，即外接圆半径；内心是多边形各内角平分线的交点，到多边形各边的距

离相等，即内切圆半径；重心是多边形各边上中线的交点，把中线分为长度比为2∶1的两段；垂心是多边形各边高线的

交点。只有正多边形才有中心。

4、正棱锥的性质

（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影

也组成一个直角三角形，这两个重要的三角形可解决棱锥的绝大多数求值问题。

5、正棱侧的侧面积公式

正棱锥的底面周长是C，斜高是h＇，那么它的侧面积是，全面积等于侧面积与底面积之和。

1

2

Ch



一般棱锥的侧面积可由各侧面面积相加而得。

6、锥体的体积公式：

如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积是，高是，则它的体积是：．

Sh

VSh

锥体

1

3

二、多面体

1、 多面体概念：若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，

两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

2、凸多面体概念：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多

面体叫做凸多面体。

一个多面体至少有四个面。多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。

3、正多面体的概念：一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的

棱的图多面体，叫做正多面体。正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面

体。

5、欧拉公式：简单多面体的面数、棱数和顶点数满足欧拉公式：

FE

VVFE2

【例题讲解】

S

又OA=AB=a，∴SA=2a，过O作OM⊥AB于M，连SM，则OM为SM在底面上

射影，由三垂线定理的SM⊥AB，∴SM为斜高，，

OMOAa

33

22

F

E

A

O

3aSO

∴在Rt△SMO中，

SMSOOM

22

M

D

B

C

a(3a)a

315

42

22

。

例2、已知正四棱锥的高为h，侧面等腰三角形的顶角为2θ，求棱锥的侧

P

面积。

分析：由正棱锥的侧面积公式知，，其

SCh4ah2ah

11

正四棱锥

22



h＇

中a为底面边长，h＇为斜高，故关键是求h＇和a。

解：作PO⊥平面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，连OB，过O作

D

C

OE⊥BC于E，连PE，由三垂线定理得PE⊥BC，设PE=x，

O

E

在Rt△PBE，∠BPE=θ，BE=xtgθ，在Rt△OBE中，∠OBE=45°∴OE=BE=xtg

A

B

θ，在Rt△POE中，由勾腰定理得x=h+xtgθ,∴，

2222

x

2

h

2

1tg

2



SCh2ABPE22OEPE

侧

1

2



22

4xtgx4tgx4tg



2

h4htg



1tg1tg

22





例3、棱锥的底面积为150cm，平行于底面的截面面积为54cm，若底面和截面的距离为14cm，求这棱锥

22

P

的高。

E

D

1

1

A

C

解：设原棱锥的高为h，由棱锥的性质知 ，即

S

截

(h14)

2

1

1

B

Sh



2

底

1

D

E

C

A

B

(h14)54

2

h150

2



解得h=35

故棱锥的高为35cm。

评述：棱锥平行于底面的截面的性质有着广泛的应用，尤其在解决有关棱台的上、下底的面积问题时常用此

结论。

例4、如图，设正三棱锥v—ABC的底面长为a，侧棱长为2a，过点A作与侧棱VB、VC相交的截面AEF，求

截面周长的最小值。

分析：截面周长即截面△AEF三边之和，将三棱锥的侧面沿一条斜棱展开，△AEF三边长度不变，故可借助

于侧面展开图求解。

解：由侧面展开图可知，△AEF周长的最小值即为线段AA＇之长。 评注 本题充分应用了正棱锥的性质，在正棱锥中有三个直角三角形及一个等腰三角形在计算中起重要作用，

v

A

v

F

F

E

F'

E

E'

A

C

C

B

A

B

在侧面展开图中，∴AB=BC=CA＇，∠ABC=∠A＇CB，∵△ABE＇∽△vBA，vA:AE＇=AB=BE＇=vB:BA，∴vB=2BA，

∴vA＝2AE＇∴AE＇=a，AB=2BE＇，，

vEvBBEa



3

2

又∴又，∴,即截面用比的最

EF:BCvE:vBAFAEa



EFaAAAEEFFAa



311

44

小值为。

11

4

a

例5、已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，侧面与底面所成角为60°，求它的

高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值．

解： 如图作SO⊥底面于O，由正三棱锥的定义知O是△ABC的中心，连结CO并延

长交AB于D，连SD则CD⊥AB∵SO⊥底面，OD是SD在底面上的射影∴SD⊥AB，

∠SDC是侧面与底面所成二面角的平面角，∠SDC＝60°∵△ABC是边长为a的正三角形

作BE⊥SC于E，连结AE∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACE，CE＝CE∴△BCE≌△ACE∴∠AEC＝∠BEC＝90°∴∠AEB

是正三棱锥两相邻侧面所成二面角的平面角．

又∵BC·SF＝SC·BE

它们分别是高、斜高和底面边心距构成的直角三角形，高、侧棱、底面的外接圆半径构成的直角三角形，斜高、

侧棱、底边的一半构成的直角三角形，以及含有相邻两个侧面所构成二面角的平面角的三角形(如△ABE)．

例6、已知正四棱锥的底面面积为S，侧面积为Q，求棱锥的体积．

分析 关键是求出棱锥的高，由斜高、斜高在底面上射影和高组成直角三角形，可求得高．

解 如图设正四棱锥V—ABCD的底面边长为 a，高为h．作VO⊥底面ABCD，O是垂足，则O是

底面正方形ABCD的中心．作OE⊥BC于E，连结VE，则由三垂线定理得VE⊥BC，VE是正四

棱柱的斜高．

在Rt△VOE中

评述 用字母表示已知量，并引用中间量，在计算时要注意准确性． 定理，求出三内角的余弦值为正；二是证明垂心O在△ABC内．(3)因AB是△PAB，△ABC，△ABO的公共边，

例7 三棱锥P—ABC的底面三角形的边长AB=6cm，侧面PAB的面积为12cm2，侧棱PC垂直于底面且与侧面PAB成30°

角，求此三棱锥的体积．

分析 关键是求得棱锥的高PC和底面三角形ABC的面积．

解 如图过C作CD⊥AB于D，连结PD，∵PC⊥面ABC，CD是PD在底面ABC上的射影，∴PD⊥AB

在△PCD中．作CO⊥PD于O

∴CO⊥AB又∵AB∩PD于O∴CO⊥平面PAB∠CPD即PC与侧面PAB所成的角．

例6、已知三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直(如右图)．求证：

(1)顶点P在底面ABC内的射影O是△ABC的垂心；

(2)△ABC是锐角三角形；

分析 (1)要证AO⊥BC，只需证PA⊥BC即可；(2)要证△ABC为锐角三角形，一般可有两条途径：一是应用余弦

所以只要证PD=DC·DO即可．(4)可由(3)推出．

2

因PO⊥平面ABC，所以AO是PA在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理，得AO⊥BC．同理可得BO⊥

AC．故O是△ABC的垂心．

(2)设PA=x，PB=y，PC=z，由(1)知△PAB，△PBC，△PCA均为直角三角形，于是AB=x+y，BC=y+z，CA=z+x．故

222222222

有

同理，∠BCA，∠BAC为锐角．故△ABC为锐角三角形．

(3)连CO并延长CO交AB于D．连PD．

由(1)知△PDC为直角三角形，由射影定理知，PD=DC·DO，于是

2

(4)由(3)知，

S

CAO

上述三式相加得

评注： 我们还可以有以下结论：

(i)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．

(ii)若三棱锥的侧棱都相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；若三棱锥的侧棱与底面所成的角都相

等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；若三棱锥的顶点在底面上的射影到三条侧棱的距离相等，则

顶点在底面上的射影是底面三角形的外心．

(iii)若三棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心；若三棱锥的侧

棱与底面相邻的两条边成等角，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心；若三棱锥的高和侧面成等角，则

顶点在底面上的射影是底面三角形的内心；若三棱锥的顶点在底面上的射影到三个侧面的距离相等，则其射影

是底面三角形的内心．

例7、已知：凸多面体的各面都是四边形，求证：

FV2

证明：因为这个凸多面体的每个面都是四边形，所以每个面都是四条边，又因为多面体相邻两面的两条边合为

一条棱，故有：代入欧拉公式，得：，即

E2F

4F

2

FV2F2FV2

评注：可考虑各面为三角形、各面为五边形得多面体的情形。

例8、已知简单多面体的每个面都是五边形，每个多面角都是三面角，求它的面数，顶点数和棱数。 12、设棱锥的底面是相邻两边的长为6cm和8cm的距形，它的侧棱长都是13cm，则它的高等于____，它的

解：设这个简单多面体的面数为、棱数为和顶点数为，则满足欧拉公式：，

FE

VVFE2

设这个多面体有k个面角，则, ，，代入欧拉公式的，

FEV

kkk

523

k60,F12,V20,E30

所以，这个多面体有12个面，20个顶点，30条棱。 14、一个三棱锥的底面是直角三角形ABC，∠C=90°，AB=10cm，侧面SBC、SAB都垂直于底面，且二面角，

【一周一练】

1、下列判断不正确的是 （ ）

（A）棱锥的各侧面都是三角形

（B）棱锥的底面可以是任意凸多边形

（C）棱锥的顶点在底面上的射影必在底面多边形内 15、正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成60°角，过底面一边作与底面成30°角的截面，求截面面积。

（D）棱锥的侧棱中至多有一条与底面垂直

2、满足下列哪一个条件的棱锥必是正棱锥 （ ）

（A）侧面都是等腰三角形

（B）底面是正多边形 16、正方形ABCD的边长为a，把正方形对角线AC翻折，使平面DAC⊥平面BAC，连结BD得三棱锥D—ABC，

（C）底面是正多边形，且侧棱与底面所成角相等 求三棱锥D—ABC的侧面积．

（D）对角面是全等的正三角形

3、一个正四棱锥中截面面积是Q，它的底面边长是 [ ]

4、过一个棱锥的三等分点作平行于底面的两个截面，那么这两个截面与底面的面积之比为

（ ）

（A）1:2:3 （B）1:4:9 （C） （D）1:2:6

1:2:3

5、在三棱锥的四个面中，直角三角形的最多可有 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

6、三棱锥P—ABC的侧棱与底面所成角相等，O是P在底面上的射影，则下列判断不一定正确的是

（ ）

（A）O是△ABC的中心 （B）PA=PB=PC

（C）OA=OB=OC （D）O是△ABC的外心

二、填空题

7、棱长为1的正八面体的对角线长为 。

8、已知正六棱锥的底面边长是，侧棱长为，则它的高为 ______，斜高为 _____，侧棱与底面所

4353

33

成角的余弦值是 _______，侧面与底面所成角的正弦值为 _______。

9、如图，已知正四棱锥S—ABCD的侧面和底面所成的角为

60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则

S

二面角S—BC—E为 _____度。

10、正方体的棱长为a，以它的上底面中心和下底面各边中

F

E

点为顶点的四棱锥的侧面积是 __。

11、若三棱锥，S—ABC的侧棱两两垂直，侧面SAB、SBC、

D

C

SAC的面积分别为、、，则底面积为 _______。

23

62

26

A

B

侧面积等于____．

13、一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V和面数F满足关系式 __ ___。

三、解答题

A—SB—C是30°，侧面SAC与底面所角为60，求棱锥的全面积。

17、求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数四偶数。

【一周一练答案】

一、选择题

题号

1 2 3 4 5 6

答案

C C D B D A

二、填空题

7、 8、，，， 9、30° 10、

2

37

4

21

3a

2

5

7

2

11、 12、, 13、

63

12cmV2F4

24(1017)cm

2

三、解答题

14、 15、

75(13)cm

2

3

2

8

a

16、设E为AC的中点，连DE，BE．则∠DEB＝90°，又AC

17、证明略。