【高中数学】1.1.2 空间向量的数量积运算高二数学新教材配套学案(人教A

1.1.2 空间向量的数量积运算

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 1、逻辑推理

2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点） 2、数学运算

3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点） 3、数学抽象

【自主学习】

1. 空间向量的夹角

→→

＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b

(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA

的 ，记作 ．

(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是 ，其中当〈a，b〉＝0

π

时，a与b ；当〈a，b〉＝π时，a与b ；当〈a，b〉＝时，a与b ．反

2

之，若a∠b，则〈a，b〉＝ ；若a∠b，则〈a，b〉＝ 。

2. 空间向量数量积

（1）概念：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

|a||b|cos〈a，b〉．

（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cos〈a，b〉= ,向量c称为向量a

在向量b上的投影向量。

（3）性质

a∠b∠ ， |a|

2

＝ ， |a|＝ ，cos〈a，b〉＝

（4）运算律

λ(a·b)＝ ，a·b＝ (交换律)． a·(b＋c)＝ (分配律)．

特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．

【小试牛刀】

1. 判断正错

(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )

(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( )

(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( )

(4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )

2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 ( )．

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a

22

＝b，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

【经典例题】

题型一 数量积的计算

注意：(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．

(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展

开，再利用a·a＝|a|及数量积公式进行计算．

2

例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

→→→→→→→→

·BA·BD·DC·CD. (1)EF

； (2)EF； (3)EF； (4)AB

[跟踪训练] 1 已知正四面体O—ABC的棱长为1.

→→→→→→

·OB)·(CA)；

； (2)(OA＋OB＋CB求：(1)OA

→→→

＋OB＋OC

|. (3)|OA

题型二 用数量积证明垂直问题

注意：（1）证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是

否垂直．

(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法

先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.

例2 如图所示，已知∠ADB和∠ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，

∠BAC＝60°.求证：BD∠平面ADC.

[跟踪训练] 2已知空间四边形ABCD中，AB∠CD，AC∠BD，那么AD与BC的位置关系

为_______．(填“平行”或“垂直”)

题型三 用数量积求角度

注意：求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉

a·b

＝，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量

|a||b|

的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题

例3 如图，已知正三棱柱ABC－A

1111

BC的各条棱长都相等，M是侧棱CC的中点，则异面直

线AB

1

和BM所成的角的大小是______．

[跟踪训练] 3 已知点O是正∠ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、

OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．

题型四 用数量积求长度

注意:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求

出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．

例4 如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA∠平面ABCD，并且PA＝6，则

PC的长为__________．

[跟踪训练] 4 在平行六面体ABCD－ABCD中，AB＝1，AD＝2，AA＝3，∠BAD＝90°，∠BAA

111111

＝∠DAA

11

＝60°，求AC的长．

【当堂达标】

1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )．

A．与

AB

A'C'

B．与

AB

C'A'

C．与

AB

A'D'

D．与

ABB'A'

2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )

A．97 B．97

C．61 D．61

3.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________．

4.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

5．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m∠n，则λ＝________．

6．如图，在正方体ABCD－ABCD中，M，N分别是棱CD，CC的中点，

11111

求异面直线A

1

M与DN所成的角。

7.在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB

＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．

→→

8．如图，正三棱柱ABC－ABC中，底面边长为2.

111

(1)设侧棱长为1，求证：AB∠BC；

11

(2)设AB与BC的夹角为

π

11

3

，求侧棱的长．

【参考答案】

【自主学习】

π

1.（1）夹角 〈a，b〉（2）[0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 0或π .

2

2. （1）|a||b|cos〈a，b〉 （2）

【小试牛刀】

1.√ × √ ×

2．B 【解析】 对于A，可举反例：当a∠b时，a·b＝0；

对于C，a＝b，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；

22

对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a∠(b－c)．

【经典例题】

→→→→→→→→

·BABD·BA|BD||BA|·cos〈BDcos 60°＝.

＝＝，BA〉＝例1 解 (1)EF

1111

2224

→→→→→

·BDBD·BD|BD|. (2)EF

＝＝＝

111

2

222

→→→→→→→→

·DCBD·DC|BD|·|DC|cos〈BDcos 120°＝－. (3)EF

＝＝，DC〉＝

1111

2224

→→→→→→→→→→→→→→→→→

·CD·(AD)＝AB·AD·AC||AD|cos〈AB||AC|cos〈AB(4)AB

＝AB－AC－AB＝|AB，AD〉－|AB，AC〉

＝cos 60°－cos 60°＝0.

→→→→

·OB||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝[跟踪训练] 1 (1)OA

＝|OA；

1

2

→→→→→→→→→→→→→→→

＋OB＋CB＋OB－OC＋OB－OC＋OB＋OB－2OC

)·(CA)＝(OA)·(OA)＝(OA)·(OA) (2)(OA

＝1＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋1－2×1×1×cos60°＝1；

22

→→→→→

＋OB＋OC＋OC＋OB＋1＋1＋21×1×cos60°×3＝6.

|＝(3)|OA)＝1

→

o(OA

2222

a·b

ab

（3）a·b＝0 a·a a·a（4）(λa)·b b·a a·b＋a·c

|a||b|

b

例2 【证明】 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝2.

→→→→→→→→→

·AC)·AC·AC·ACBD

＝(AD－AB＝AD－AB，

→→→→→→→→→→→

·AC·(AD)＝AD·AD·AC|·|AC|cos 60°

＝AD＋DC＝1，AB＝|AB由于AD

1

→→

·AC

＝0，即BD∠AC，又已知BD∠AD，AD∩AC＝A， ＝2×2×＝1.∠BD

2

∠BD∠平面ADC.

→→→→→→→→→→→→→

·BC)·(AC)＝AB·AC·AC·BD[跟踪训练]2解析 ∠AD

＝(AB＋BD－AB＋BD－AB－AB

2

→→→→→→

·(AC)＝AB·DC

－AB－BD＝0， ＝AB

∠AD与BC垂直．

→→→→→→

＝BB－BA，BM＝BC＋， 例3 90°【解析】 不妨设棱长为2，则AB

1

BB

111

2

→→

，BM〉＝＝＝0，

cos〈AB

1

[跟踪训练] 3

→→→→→

＝a，OB＝b，OC＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝，|a|＝|b|＝|c|＝1，OE＝＝设OA

111

(a＋b)，BFc－b，

222

→→

·BF(a＋b)·(c－b)＝(a·c＋b·c－a·b－|b|)＝(OE

＝＋－－1)＝－，

1111111111

2

2222224422

1

－

2

→→

2OE·BF

→→

，BF〉＝＝＝－，

∠cos〈OE

→→3

33

|OE||BF|

22

×

2

∠异面直线OE与BF所成角的余弦值为.

3

例4 7 【解析】∠＝＋＋，

PCDC

PA

AD

∠| |

PC

22222

＝ ·＝(＋＋ )＝| |＋| |＋| |＋2 ·＋2 ·＋2

PCPCDCDCDC

PAPAPAPA

ADADAD

ADAD

·＝6＋4＋3＋2||||cos 120°＝61－12＝49．∠PC＝7．

DCDC

222

→→→→

－BA）·（BC＋）（BB

1

BB

11

2

22×522×5

0－2＋2－0

-→→→-→

＝AB＋AD＋AA，

[跟踪训练] 4 解 因为AC

11

-→→→-→→→-→→→→→→→

22222

＝(AB)＋2(AB·AD·AA·AA)．

＋AD＋AA＝AB＋AD＋所以ACAA＋AB＋AD

11111

因为∠BAD＝90°，∠BAA

11

＝∠DAA＝60°，

-→

2

＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.

所以AC

1

→→-→

222

＝|AC||

，所以|AC＝23， 因为AC

111

-→

|＝23，即AC＝23.

则|AC

11

【当堂达标】

1. A 【解析】A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°．

2.C 解析|2a－3b|

222 22

＝4a－12a·b＋9b＝4×2－12×2×3×cos 60°＋9×3＝61，∠|2a－3b|＝61.

11

3． 【解析】 将|a－b|＝7化为(a－b)

82

2

＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

1

求得cos〈a，b〉＝

8

.

4．－13 【解析】 ∠a＋b＋c＝0，∠(a＋b＋c)

2222

＝0，∠a＋b＋c＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

3

222

＋1＋4

∠a·b＋b·c＋c·a＝－

＝－13.

2

3

5．－

2

【解析】 由m∠n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∠a＋(1＋λ)a·b＋λb＝0，

22

3

∠18＋(λ＋1)×32×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∠λ＝－.

2

6.解 以点D为原点，以DA，DC，DD为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－

1

xyz．设正方体的棱长为2，则

MAMA

11

＝(2，－1,2)，＝ (0,2,1)，·

DNDN

＝0，故异面直线A

1

M与ND所成角为90°．

→→→

＝AC－AB，

7.解 ∠BC

→→→→→→→→→→→→→→

·BC·AC·AB||AC|·cos〈OA||AB|·cos〈OA∠OA

＝OA－OA＝|OA，AC〉－|OA，AB〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，

→→

24－1623－22

OA·BC

→→

，BC〉＝＝＝

∠cos〈OA.

8×55→→

|OA||BC|

→→→→→→

＝AB＋BB，BC＝BB＋BC6. (1)证明 AB

.

1111

→→→→

·AB·BC∠BB∠平面ABC，∠BB

＝0，BB＝0.

111

→→→→

·BC·BC.

〉＝π－〈BA〉＝π－＝又∠ABC为正三角形，∠〈AB

π2π

33

→→→→→→→→→→→→→

·BC)·(BB)＝AB·BB·BC·BC∠AB

＝(AB＋BB＋BC＋AB＋BB＋BB

2

1111111

→→→→→

|·|BC|·cos〈AB

，BC〉＋BB＝－1＋1＝0， ＝|AB

2

1

∠AB∠BC.

11

→→→→→→→→→→

·BC|·|BC|·cos〈AB|＝|BC|. (2)解 结合(1)知AB

＝|AB，BC〉＋BB＝BB－1.又|AB

22

111111

→

2

－1

BB

1

→→

，BC〉＝＝，

1

∠cos〈AB

11

→2

2

2＋BB

1

→

|＝2，即侧棱长为2. ∠|BB

1

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术

原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题

目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时

间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，

解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.

先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分

题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准

确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取

得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一

般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.

缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行

一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不

上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探

索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一

开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自

明。理综求准求稳求规范

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先

易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转

换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家

由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生

物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，

先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能

作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，

在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一