高中数学_分类加法基本原理与分步乘法计数原理教学设计学情分析教材分

教学设计§1.1 分类加法计数原理与

分步乘法计数原理（第一课时）

学习目标

1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；

2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；

3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.

重点；归纳的得出理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理

难点：正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确的区分“分类”与

分步“

课前热身

某班有男三好甲乙丙三人，女三好A,，B二人，

（1） 从中任选一人，上台领奖，有几种选法？

（2） 若选男女各一人参加座谈会，有几种选法？

新知探究

问题（1）

一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会

用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .

设计目的

:选择学生身边的素材作为新课引入的实例,利用简单的熟悉的问题情境激发学

生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。

新知：分类计数原理－加法原理：

如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有

m

n

种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.

mn

推广：如果完成一件工作有类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2

类方案中有种不同的方法，……..第办法有种方法那么，完成这件工作共

nm

1

mnm

2类n

有( )种不同的方法.

设计目的

:学生通过具体事例的分析、计算，找到规律，用自己的语言表述出来，锻

炼了学生的概括能力。

※ 典型例题

例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，

具体如下：

A大学 B大学

生物学 数学

化学 会计学

医学 信息技术学

物理学 法学

工程学

那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?

变式：

如果C大学强项专业有金融专业，新闻学，人力资源学，这名同学可能的专业选择

共有多少种?

问题2

；从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C

村，不同的路线有 条.

问题3：用前6个大写英文字母和九个阿拉伯数字，以的方式给教

1~9

A,A,,B,B,

1212

室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？

新知

分步乘法原理

:完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步

m

有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。

n

mn

推广n个1

：:完成一件工作需要步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有

m

mnm

2步n

种不同的方法，.。。。。。。。。 完成第有种方法.那么，完成这件工作共有

( )种不同方法。

例3.

(课本P例3)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3

5

层放2本不同的体育书.

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（3）从书架上任取本不同的书，有多少种不同的取法？

2

例4.要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问

共有多少种不同的选法？

设计目的:让学生感知完成一件事，可以分类去解决，或者分步去解决。

当堂检测

1．

一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第

2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ;

2.

从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B村到C村

的路线有 条．

3

. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

4. 甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名 现准备推选两名来自不同班的三好学生去

参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法

5.ABp

集合=｛1，2，3｝，集合=｛-1, -2，3，4｝，从 A、B 中各取1个元素作为点(x,y)

（1）可以得到多少个不同的点？

（2）这些点中，位于第一象限的有几个？

课堂小结

1.分类加法原理与分步乘法原理的区别和联系？

2.应用时合理区分步与分类。

设计目的:前后呼应，用已学知识解决提出的问题，达到学以致用的目的。

学生学情分析：

1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定

的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最

近发展区”。

2.可能学习障碍分析

正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类

用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小学

就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果

的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计

数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具体地说就是把完成一件事的

方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有

一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。因此，把本节课的教学

难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原

理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。

３.突破难点分析

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，

该怎样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有

些事需要多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分

步。为此，设计了两个小组活动来让学生体会

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突

破

4、教学策略分析：

本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。为了贴近学生实际

生活，激发学生学习兴趣，在创设情境和例题的选用上，选择了学生所熟悉的校

园生活事例

本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法进行教学。利用多

媒体显示问题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体

现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认

知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规

律。

效果分析

本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法进行教学。利用多

媒体显示问题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体

现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认

知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规

律。

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，

该怎样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有

些事需要多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分

步。为此，设计了两个小组活动来让学生体会。

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突

破

本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。为了贴近学生实际

学生在小组合作交流中，对问题的理解可以得到互补完善。从学生回答问题

和学生间的相互评价中，使老师更多地了解学生的理解程度。

教材分析.

一．

两个计数原理的地位和作用：

分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的

基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。

这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与

方法贯穿于本章的始终。

二、教学目标设置：

1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分

析和解决一些简单的应用问题。

2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计

数问题，使学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在

解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。

3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良

好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分

析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联

系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学

生合作交流的意识和能力。

三 .重点难点

重点；

归纳的得出理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理

难点：正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确的区分

“分类”与分步“

测评练习

课前热身

某班有男三好甲乙丙三人，女三好A,，B二人，

（3） 从中任选一人，上台领奖，有几种选法？

（4） 若选男女各一人参加座谈会，有几种选法？

当堂检测

1．

一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第

2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ;

2.

从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B村到C村

的路线有 条．

3

. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

4. 甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名 现准备推选两名来自不同班的三好学生去

参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法

5.ABp

集合=｛1，2，3｝，集合=｛-1, -2，3，4｝，从 A、B 中各取1个元素作为点(x,y)

（1）可以得到多少个不同的点？

（2）这些点中，位于第一象限的有几个？

课后反思

通过复习古典概型引入，让学生认识到新旧知识的联系，以及学习计数原理得必要性。通

过实例引入激发学生学习兴趣。对完成一件事情的含义的理解是难点，对学生的思维是一个

挑战。故在概括两个原理时，由具体问题分层次地引入，给学生提供思考的素材，而把抽象

概括的主动权交给了学生。这样做总体很好，整节课学生都能在参与中有所学，达到新课程

所关注的“让不同学生在数学上得到不同的发展”的要求。

另外教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力

也初步形成，但由于年龄及数学基础等原因，思维尽管活跃、敏捷，却注意力分散，缺乏冷

静、深刻，因而片面、不够严谨。

由于原理比较简单，其发现过程易于组织成师生互动的教学活动，故教学方法以启发学生

观察思考分析讨论为主，两个原理的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法，让学

生经历知识的形成、发展过程，帮助学生认识数学的本质。另外，采用多媒体辅助教学，直

观呈现素材，激发学生兴趣，提高教学效率。

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质，体

现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实

事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

课标分析

分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解

决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思

想与方法贯穿于本章的始终。

计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计

数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是

学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学

生的抽象能力和逻辑思维能力。

（1）理解分类加法计数原理，要注意以下三点：

①清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的

具体所指；

②解决“分类”问题用分类加法计数原理．需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完

成事件通过途径A，就不必再通过途径B就可以完成，每类办法都可以完成这件事．注意

各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏；

③每个问题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是，每一种方法必属于某一类（不

漏），任意不同类的两种方法是不同的（不重复）．

（2）理解分步乘法计数原理，要注意以下三点：

①清楚完成“一件事”的含意，即知道完成一个事件，在每个题中需要经过哪几个步骤；

②“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，

不妨称此为“相关事件”．要注意各步骤之间的连续性；

③每个问题中，标准不同，分步也不同．分步的基本要求是完成一件事，必须且只需连续做

完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．

要从一些学生感兴趣的问题引入本章学习，让学生了解计数的应用价值，体会学习本章

的必要性，从而激起他们进一步研究的兴趣。