22人教版高中数学新教材选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义

课标解读 课标要求 素养要求

1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于1.数学抽象——能通过瞬时变化率了

瞬时变化率的数学表达; 解导数的概念;

⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.直观想象——能根据图形和导数的

几何意义求切线斜率.

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一 平均变化率

对于函数𝑦=𝑓(𝑥) ,设自变量𝑥 从𝑥 变化到𝑥

000

+𝛥𝑥 ,相应地,函数值𝑦 就从𝑓(𝑥) 变

化到𝑓(𝑥

00

+𝛥𝑥) .这时,𝑥 的变化量为𝛥𝑥 ,𝑦 的变化量为① 𝛥𝑦=𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−

𝑓(𝑥) .

0

我们把比值 ，即 叫做函数𝑦=𝑓(𝑥) 从𝑥 到𝑥

𝛥𝑥𝛥𝑥𝛥𝑥

=+𝛥𝑥 的平均变化

率.

要点二 导数的概念与表示

如果当𝛥𝑥→0 时,平均变化率 无限趋近于一个 确定的值 ,即 有极限,则

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝛥𝑦

𝛥𝑦𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

00

称𝑦=𝑓(𝑥) 在 𝑥=𝑥 处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③ 𝑓

00

′

(𝑥) 或

𝑦|(𝑥)=lim=lim

′′

𝑥=𝑥0𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

0

，即𝑓 .

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

要点三 切线

如图,在曲线𝑦=𝑓(𝑥) 上任取一点𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)) ,如果当点𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)) 沿着曲线𝑦=𝑓(𝑥)

无限趋近于点𝑃

0000

(𝑥,𝑓(𝑥)) 时,割线𝑃𝑃 无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线

𝑃𝑇 称为曲线𝑦=𝑓(𝑥) 在点𝑃

00

处的④ 切线 .

自主思考

1.自变量的变化量𝛥𝑥 能否为0?

答案：提示 由平均变化率的定义可知,|𝛥𝑥| 可以很小,但是𝛥𝑥≠0 .

2.已知函数𝑦=2𝑥 ,当𝑥=𝑎,𝛥𝑥→0 时， 无限趋近于多少?

2

𝛥𝑥

答案：提示 当𝑥=𝑎 时，

𝛥𝑥𝛥𝑥𝛥𝑥

===2𝛥𝑥+4𝑎

∵𝛥𝑥→0,∴

𝛥𝑥

无限趋近于4𝑎

名师点睛

𝛥𝑦

𝛥𝑦2(𝑎+𝛥𝑥)−2𝑎2(𝛥𝑥)+4𝑎𝛥𝑥

222

𝛥𝑦

1.关于导数的概念的理解

基于瞬时速度与切线斜率的计算公式具有共同点,即瞬时速度是平均速度的极限,切线斜率是

割线斜率的极限,所以导数概念是瞬时速度与切线斜率的数学抽象与概括,表示为𝑓

′

(𝑥)=

0

lim=lim

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

𝛥𝑥𝛥𝑥

00

.

2.导数的物理意义与几何意义

（1）导数的物理意义就是位移时间函数𝑠=𝑠(𝑡) 在𝑡=𝑡 时刻的瞬时速度,同理也是速度时

0

间函数𝑣=𝑣(𝑡) 在𝑡=𝑡 时刻的瞬时加速度.

0

（2）导数的几何意义就是曲线𝑦=𝑓(𝑥) 在𝑥=𝑥 处的切线斜率.

0

割线斜率𝑘(𝑃切线斜率𝑘 （切点𝑃

000000000

(𝑥,𝑓(𝑥)),𝑃(𝑥+𝛥𝑥,𝑓(𝑥+(𝑥,𝑓(𝑥)) ）

𝛥𝑥))

𝑘==

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

𝑘

00𝛥𝑥→0

=𝑓(𝑥)=lim=

′

𝛥𝑥

lim

𝛥𝑥→0

𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

𝛥𝑥

𝛥𝑦

3.导数定义公式的两种等价形式

导数的定义公式为𝑓

′

(𝑥)=lim=lim

0𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

若令𝑥=𝑥

000𝑥→𝑥

+𝛥𝑥, 得𝛥𝑥=𝑥−𝑥, 于是𝑓(𝑥)=lim

′

0

互动探究·关键能力

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)

0

𝑥−𝑥

0

探究点一 变化率与导数的概念

精讲精练

例1已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3 ,则𝑓(−1)=1 ，的值为( )

A.1B.2C.3D.-3

答案： 𝐶

解析：因为𝑓(𝑥)=2𝑥+3 ,所以𝑓(−1)=1 ,

𝑓(−1)=lim

′

𝛥𝑥→0

=lim

𝛥𝑥→0

𝛥𝑥

𝑓(−1+𝛥𝑥)−𝑓(−1)

𝛥𝑥

2(−1+𝛥𝑥)+3−1

=lim2=2 ,

𝛥𝑥→0

所以𝑓(−1)+𝑓

′

(−1)=3 .

例2 （多选）下列关于函数𝑓(𝑥)=𝑥 的变化率的叙述正确的是( )

2

A.𝑓(𝑥) 在[1 ,2] 的平均变化率为1

B.𝑓(𝑥) 在𝑥=1 处的导数为2

C.𝑓(𝑥) 在𝑥=1 处的瞬时变化率为1

D.𝑓(𝑥) 在[𝑥

1212

,𝑥] 的平均变化率为𝑥+𝑥

答案： 𝐵 ; 𝐷

解析：因为函数𝑦=𝑓(𝑥) 在[𝑥

1212

,𝑥] 的平均变化率为===𝑥+𝑥

𝛥𝑦−𝑥𝑥𝑦−𝑦

𝛥𝑥𝑥−𝑥𝑥−𝑥

2

2

121

2121

所以函数𝑓(𝑥)=𝑥 在[1 ,2] 的平均变化率为1+2=3,故A错误,D正确;

2

函数𝑓(𝑥) 在𝑥=1 处的瞬时变化率即𝑓

′

(1)=lim=lim(2+𝛥𝑥)=2 ，

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

故B正确，C错误，故选BD

解题感悟

导数是瞬时速度与切线斜率的数学抽象,其本质是极限思想.解决导数问题运用了由“平

均变化率"逼近“瞬时变化率”的思想方法.

迁移应用

1.（2020辽宁省实验中学高二质检）函数𝑦= 在𝑥=1 到𝑥=3 之间的平均变化率为

𝑥

( )

A. B.−

33

C.− D.

33

答案：𝐶

11

22

1

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

𝛥𝑥

解析：当𝑥=1 时,𝑦= ,所以函数𝑦= 在𝑥=1 到𝑥=3 之间的平

=1 ;当𝑥=3 时,𝑦=

13𝑥

111

均变化率为 .故选C.

𝛥𝑦1

𝛥𝑥3−13

==−

1

−1

3

14

2.(★) （山东菏泽一中高二质检）已知曲线𝑦=

33

𝑥+1 上一点𝐴(1,) ,则点𝐴 处的切线斜

3

率等于 ,切线方程为 .

答案：1 ; 3𝑥−3𝑦+1=0

解析： 由𝛥𝑦=

(1+𝛥𝑥)−×1

33

33

11

=[1+3𝛥𝑥+3(𝛥𝑥)+(𝛥𝑥)]−

33

23

=𝛥𝑥+(𝛥𝑥)+(𝛥𝑥),

23

3

1

11

得

𝛥𝑥3

=1+𝛥𝑥+(𝛥𝑥),

2

则lim

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

0

探究点二 求函数在某点处的导数

𝛥𝑦14

𝛥𝑥33

𝛥𝑦1

=lim[1+𝛥𝑥+(𝛥𝑥)]=1 ,切线方程为𝑦−=𝑥−1 ,即3𝑥−3𝑦+1=

2

精讲精练

例求𝑦=2𝑥

2

+4𝑥 在𝑥=3 处的导数.

答案：∵𝛥𝑦=2(3+𝛥𝑥)

222

+4(3+𝛥𝑥)−(2×3+4×3)=2(𝛥𝑥)+16𝛥𝑥 ,

∴=2𝛥𝑥+16 ,

𝛥𝑥

即𝑦

′

|=16 .

𝑥=3

变式求𝑓(𝑥)=2𝑥 处的导数,并解方程𝑓

2′

+4𝑥 在𝑥=𝑥(𝑥)=0 .

00

2

答案： ∵𝛥𝑦=2(𝑥

0000

+𝛥𝑥)+4(𝑥+𝛥𝑥)−(2𝑥+4𝑥)=2(2𝑥+𝛥𝑥)𝛥𝑥+4𝛥𝑥 ,

2

0

𝛥𝑦

𝛥𝑥

𝛥𝑦

=2(2𝑥+𝛥𝑥)+4 ,

0

𝛥𝑦

∴lim=lim[2(2𝑥+𝛥𝑥)+4]=4𝑥+4 ，即𝑓(𝑥)=4𝑥+4

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→00000

𝛥𝑥

′

由𝑓

′

(𝑥)=0 ,得𝑥=−1 .

00

解题感悟

计算函数𝑦=𝑓(𝑥) 在𝑥=𝑥 处的导数通常有下列三个步骤:

0

（1）先计算函数值的增量：𝛥𝑦=𝑓(𝑥

00

+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

（2）再计算函数的平均变化率：

𝛥𝑥𝛥𝑥

=

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

00

𝛥𝑥𝛥𝑥

（3）最后计算极限：𝑓

′

(𝑥)=lim=lim

0𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

迁移应用

1.求函数𝑦=𝑥

2

+1 在𝑥=−3 处的导数．

答案： ∵𝛥𝑦=(−3+𝛥𝑥)

222

+1−[(−3)+1]=(𝛥𝑥)−6𝛥𝑥 ，

𝛥𝑦

𝛥𝑥

=𝛥𝑥−6 ，

𝛥𝑦

∴lim=lim(𝛥𝑥−6)=−6 ，

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

𝛥𝑥

∴𝑦|=−6 .

′

𝑥=−3

探究点三 导数的几何意义与应用

精讲精练

类型1 求函数的图象在某点处的切线斜率与切线方程

例1 函数𝑦=𝑥

2

+𝑥 的图象在点𝑃(1,2) 处的切线斜率为 ,切线方程

为 .

答案： 3; 3𝑥−𝑦−1=0

解析： 解法一：根据导数的几何意义,曲线𝑦=𝑥

2

+𝑥 在点𝑃(1,2) 处的切线斜率𝑘=

𝑦|=lim=lim(3+𝛥𝑥)=3

𝑥=1𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

′

(1+𝛥𝑥)+(1+𝛥𝑥)−2

2

𝛥𝑥

所以切线方程为𝑦−2=3(𝑥−1) ,即3𝑥−𝑦−1=0 .

解法二：设曲线𝑦=𝑥

2

+𝑥 在点𝑃(1,2) 处的切线斜率为𝑘 ,则切线方程为𝑦−2=𝑘(𝑥−1) ,

即𝑦=𝑘𝑥+2−𝑘 ,将其代入𝑦=𝑥

22

+𝑥 ,整理得𝑥+(1−𝑘)𝑥+𝑘−2=0 ,

依题意,𝛥=(1−𝑘)

22

−4(𝑘−2)=(𝑘−3)=0, 解得𝑘=3 ,

所以切线方程为𝑦−2=3(𝑥−1) ,即3𝑥−𝑦−1=0 .

变式 若本例函数不变,如何求此抛物线在顶点处的切线方程？过此抛物线顶点的切线有什

么特点？

答案：函数𝑦=𝑥

2

+𝑥 的图象是抛物线,顶点坐标为(−,−) ,

24

解法一：函数𝑦=𝑥

2′

+𝑥 的图象在顶点(−,−) 处的切线斜率𝑘=𝑦|=

24

𝑥=−

1

2

11

11

lim=lim(𝛥𝑥)=0

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

(−+𝛥𝑥)+(−+𝛥𝑥)−(−)

2

𝛥𝑥

111

224

1

，所以抛物线在顶点处的切线方程为𝑦=− .过此抛物线顶点的切线是水平的直线.

4

解法二：结合图象(图略)可知,抛物线在顶点处的切线是水平的直线,切线方程为𝑦=− .

4

1

解题感悟

导数的几何意义及其应用

1.曲线的切线与曲线至少有一个公共点,其中必有一个公共点是切点,所以曲线必过切点,切线

必过切点,斜率等于切点处的导数值.

2.若曲线的切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以化为一元二次方程,则可以运用一元

二次方程的根的判别式等于0求切线斜率.

类型2 求函数的图象过某点的切线斜率与切线方程

例2 已知函数𝑦=𝑥

3

−𝑥 的图象为曲线𝐶 .

（1）求曲线𝐶 在点(1,0)处的切线方程;

（2）求曲线𝐶 过点(1,0)的切线方程.

答案：（1）函数𝑦=𝑥

3

−𝑥 的图象在点(1,0)处的切线斜率为𝑘=lim=

𝛥𝑥→0

lim

𝛥𝑥→0

(1+𝛥𝑥)−(1+𝛥𝑥)−0

3

𝛥𝑥

𝛥𝑦

𝛥𝑥

=lim

𝛥𝑥→0

(1+𝛥𝑥)[2𝛥𝑥+(𝛥𝑥)]

2

𝛥𝑥

=lim(1+𝛥𝑥)(2+𝛥𝑥)=2 ,

𝛥𝑥→0

所以曲线𝐶 在点(1,0)处的切线方程为𝑦=2𝑥−2 .

3

（2）设函数𝑦=𝑥

3

−𝑥 图象上切点的坐标为𝑃(𝑥,𝑥−𝑥) ,则切线斜率为

00

0

𝑘=lim

𝛥𝑥→0

=lim

𝛥𝑥→0

3

−𝑥)[(𝑥+𝛥𝑥)−(𝑥+𝛥𝑥)]−(𝑥

000

3

0

𝛥𝑥

2

+3𝑥⋅𝛥𝑥+(𝛥𝑥)]−𝛥𝑥𝛥𝑥[3𝑥

2

0

0

𝛥𝑥

2

=lim[3𝑥+3𝑥⋅𝛥𝑥+(𝛥𝑥)−1]

𝛥𝑥→00

0

2

2

=3𝑥−1 .

0

3

2

所以切线方程为𝑦−(𝑥

00

−𝑥)=(3𝑥−1)(𝑥−𝑥) ,由于切线经过点(1,0),

00

333

222

所以0−(𝑥

000000

−𝑥)=(3𝑥−1)(1−𝑥) ，整理得2𝑥−3𝑥+1=0, 即2(𝑥−1)−3(𝑥−

00

1)=0,

2

所以2(𝑥

000000

−1)(𝑥+𝑥+1)−3(𝑥+1)(𝑥−1)=0, 所以(𝑥−1)(2𝑥+1)=0, 解得

0

2

𝑥=1 或𝑥=−

00

2

.

所以𝑃(1,0) 或𝑃(− .

,) ,所以切线方程为𝑦=2𝑥−2 或𝑦=−𝑥+

2844

1311

1

解题感悟

过点𝑃(𝑥

11

,𝑦) 求曲线的切线方程步骤：

（1）设切点坐标为𝑄(𝑥

00

,𝑦) ;

（2）求出函数𝑦=𝑓(𝑥) 在𝑥=𝑥 。处的导数𝑓

00

′

(𝑥) ;

（3）利用𝑄 在曲线上和𝑓 ,解出𝑥 及𝑓

′′

(𝑥)=𝑘,𝑦(𝑥) ;

0𝑃𝑄000

（4）根据直线的点斜式方程,得切线方程为𝑦−𝑦

000

=𝑓(𝑥)(𝑥−𝑥) .

′

迁移应用

1.求曲线𝑦=𝑥 上的哪一点的切线分别满足：

2

（1）平行于直线𝑦=4𝑥−5 ;

（2）垂直于直线2𝑥−6𝑦+5=0 ;

（3）倾斜角为135 ．

∘

答案： （1）𝑓

(𝑥)=lim=lim=2𝑥

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

′

𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)(𝑥+𝛥𝑥)−𝑥

𝛥𝑥𝛥𝑥

22

设𝑃(𝑥

00

,𝑦) 是满足条件的点．

因为切线与直线𝑦=4𝑥−5 平行,所以2𝑥

000

=4 ,得𝑥=2,𝑦=4 ,即𝑃(2,4) ．

（2）因为切线与直线2𝑥−6𝑦+5=0 垂直,所以2𝑥

000

⋅=−1 ,解得𝑥=−,𝑦=, 即

324

𝑃(−,) .

24

（3）因为切线与𝑥 轴成135 的倾斜角,故其斜率为-1,即2𝑥

∘

000

=−1 ,解得𝑥=−,𝑦=, 即

24

11

39

139

𝑃(−,) .

24

11

2.求过曲线𝑦= 上的点𝑃(2,

𝑥) 的切线方程.

3

33

18

答案：曲线𝑦= 在𝑥=𝑥 处的切线斜率为

3

𝑥

3

0

𝑘=lim=lim[3𝑥+3𝑥⋅𝛥𝑥+(𝛥𝑥)]=𝑥

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→00

8

3

11

3

(𝑥+𝛥𝑥)−𝑥

3

0

33

0

1

𝛥𝑥3

22

00

2

1

若点𝑃(2,

) 为切点,则切线的斜率为𝑘=2=4 ,

2

所以切线方程为𝑦−

=4(𝑥−2) ,即12𝑥−3𝑦−16=0 ;

3

33

2

若点𝑃(2,

333

) 不是切点,则设切点为𝑄(𝑥,𝑥), 由上述可知切线方程为𝑦−𝑥=𝑥(𝑥−

0

000

3

2

𝑥) ,由于该切线过点𝑃(2,) ，所以−𝑥=𝑥(2−𝑥)

00

333

00

3

2

整理得𝑥

00

−3𝑥+4=0, 所以(𝑥−2)(𝑥+1)=0 ，解得𝑥=−1 或𝑥=2 （舍去）,

0000

2

881

811

8

故切线方程为3𝑥−3𝑦+2=0 .

综上所述,所求切线方程为12𝑥−3𝑦−16=0 或3𝑥−3𝑦+2=0 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.函数𝑓(𝑥)=3𝑥+2 在𝑥=1 处的导数为( )

A.0B.2C.3D.5

答案： 𝐶

2.设函数𝑓(𝑥) 在𝑥=1 处的导数为2,则lim

𝛥𝑥→0

A. B.6C. D.

332

211

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

3𝛥𝑥

= ( )

答案： 𝐴

3.（★）已知函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象在𝑥=3 处的切线方程为3𝑥+𝑦−15=0 ,则𝑓(3)−

𝑓(3)= .

′

答案： 9

解析： 由于函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象在𝑥=3 处的切线方程为3𝑥+𝑦−15=0 ,所以切线斜率

𝑘=𝑓(3)=−3 ,切点坐标为(3,6),则𝑓(3)−𝑓(3)=6−(−3)=9

′′

4.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥+5 ,求𝑓

′

(−3) .

答案： 解法一：∵𝛥𝑦=[2(𝑥+𝛥𝑥)+5]−(2𝑥+5)=2𝛥𝑥 ,

∴=2 ,

𝛥𝑦

𝛥𝑥

𝛥𝑦

∴𝑓(𝑥)=lim=2 ,即𝑓(−3)=2

′′

𝛥𝑥→0

𝛥𝑥

解法二：因为函数𝑓(𝑥)=2𝑥+5 的图象是斜率为2的直线,该直线上每一个点处的切线都是

这条直线,所以𝑓

′

(−3)=2 .

素养演练

直观想象——利用数形结合法计算三角形的面积

1.求曲线𝑦= 和𝑦=𝑥 在它们交点处的两条切线与𝑥 轴所围成的三角形的面积．

2

𝑥

1

解析：审：已知曲线𝑦= 和𝑦=𝑥 有交点,在交点处的切线与𝑥 轴围成三角形,求该三角形

2

𝑥

1

的面积.

联：将曲线方程联立得方程组求交点坐标,利用导数定义求切线斜率和切线方程,也可以运用

判别式法求切线斜率,确定切线与𝑥 轴围成的三角形的顶点坐标再求面积.

答案：解法一：联立两曲线方程{

𝑦=𝑥,

𝑦=,

𝑥

2

1

𝑥=1,

解得{ 即交点坐标为(1,1)．

𝑦=1,

曲线𝑦= 在点(1,1)处的切线斜率为𝑦

|=① lim=lim=−1

𝑥=1𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

𝑥𝛥𝑥1+𝛥𝑥

1

1−1

′

1

−1

1+𝛥𝑥

所以曲线𝑦= 在点(1,1)处的切线方程为𝑦−1=−(𝑥−1) ,即𝑦=−𝑥+2 .

𝑥

同理,曲线𝑦=𝑥 在点(1,1)处的切线斜率为 𝑦

2′

|=lim=

𝑥=1𝛥𝑥→0

lim=lim(2+𝛥𝑥)=2 .

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

2𝛥𝑥+(𝛥𝑥)

2

𝛥𝑥

(1+𝛥𝑥)−1

22

𝛥𝑥

所以曲线𝑦=𝑥 在点(1,1)处的切线方程为𝑦−1=2(𝑥−1) ,即𝑦=2𝑥−1 .

2

两条切线与𝑥 轴所围成的图形如图所示（阴影部分）,

所以所求三角形的面积𝑆= .

×1×(2−)=

224

113

𝑥=1,

解法二：联立两曲线方程{ 解得{ 即交点坐标为(1,1)．

𝑦=1,

2

𝑦=𝑥,

设曲线𝑦= 在点(1,1)处的切线斜率为𝑘 ,切线方程为② 𝑦−1=𝑘(𝑥−1) ,即𝑦=𝑘𝑥+

𝑥

1

𝑦=,

𝑥

1

1−𝑘 ,

代入𝑦= ,得

=𝑘𝑥+1−𝑘 ,整理得𝑘𝑥+(1−𝑘)𝑥−1=0 ,

2

𝑥𝑥

11

依题意,得𝛥=(1−𝑘)

22

+4𝑘=(1+𝑘)=0, 解得𝑘=−1,

所以曲线𝑦= 在点(1,1)处的切线方程为𝑦=−𝑥+2 .

𝑥

同理,曲线𝑦=𝑥 在点(1,1)处的切线斜率为③ 2 ,

2

所以曲线𝑦=𝑥 在点(1,1)处的切线方程为𝑦−1=2(𝑥−1) ,即𝑦=2𝑥−1 .

2

两条切线𝑦=−𝑥+2 和𝑦=2𝑥−1 与𝑥 轴所围成的图形如图所示（阴影部分),

1

所以所求三角形的面积𝑆= .

×1×(2−)=

224

113

思：已知切点求曲线的切线方程的方法：

（1）如果切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以转化为一元二次方程,那么可以由根的

判别式等于零求切线斜率.否则,就利用导数的几何意义计算导数求得斜率.

（2）解题时要灵活运用函数图象或几何图形进行计算.

迁移应用

1.（2021山东枣庄高二质检）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥

2

−2𝑥+1 的图象为抛物线𝐶 ,点

𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)),𝑄(𝑥,𝑓(𝑥)) 为𝐶 上两个不同的点,以𝑃 为切点的切线为𝑙,𝑙

112211

的倾斜角为45 ,

∘

以𝑄 为切点的切线为𝑙 与𝑙 的交点为𝑀 .

212

,𝑙

（1）求点𝑃 的坐标与直线𝑙 的方程;

1

（2）若𝑓(𝑥 的方程与△𝑃𝑄𝑀 的面积.

122

)=𝑓(𝑥) ,求直线𝑙

答案：（1）依题意,切线𝑙 的斜率为𝑘=tan 45

1

∘

=1 ,

所以函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1) 在𝑥=𝑥 处的导数为1,得

2

1

𝑓(𝑥)=lim=lim(2𝑥+𝛥𝑥−2)=2𝑥−2=1

′

1𝛥𝑥→0𝛥𝑥→011

313113

242442

(𝑥+𝛥𝑥−1)−(𝑥−1)

11

22

𝛥𝑥

解得𝑥 ,则𝑓(𝑥 ,所以点𝑃 的坐标为( 的方程为𝑦− ,即𝑦=

111

=)=,) ,直线𝑙=𝑥−

𝑥−

4

.

（2）因为𝑓(𝑥

121122

)=𝑓(𝑥), 所以𝑃(𝑥,𝑓(𝑥)),𝑄(𝑥,𝑓(𝑥)) 两点关于直线𝑥=1 对称,所以

𝑄(,) ,如图,

24

11

5

抛物线𝐶 ：𝑓(𝑥)=(𝑥−1) 在点𝑄(

2′

2422

,) 处的切线斜率为𝑓()=2×−2=−1 ,所以切线

𝑙=−(𝑥−), 即𝑦=−𝑥+

2

的方程为𝑦−

424

显然,切线𝑙 与切线𝑙 互相垂直,△𝑃𝑄𝑀 为等腰直角三角形,∠𝑃𝑀𝑄=90

12

∘

,|𝑃𝑄|=1 ,所以△

𝑃𝑄𝑀 的面积为×1×=

224

.

111

113

1111

课时评价作业

基础达标练

1.已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥

2

+𝑥 ,则𝑓(𝑥) 从-1到-0.9的平均变化率为( )

A.3B.0.29

C.2.09D.2.9

答案： 𝐷

2.若一质点按位移时间方程𝑠=3+2𝑡 做直线运动,则在𝑡=3 s 时的瞬时速度是( )

A.1 m/s B.2 m/s

C.3 m/s D.4 m/s

答案： 𝐵

3.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥

2

+4𝑥 ,则𝑓(𝑥) 在𝑥=−1 处的导数为( )

A.1B.2

C.3D.4

答案： 𝐵

4.如图,函数𝑓(𝑥) 的图象在点𝑃(1,2) 处的切线为直线𝑙 ,且直线𝑙 经过原点,则𝑓(1)+𝑓

′

(1)

的值为( )

A.1B.2

C.3D.4

答案： 𝐷

5.设函数𝑓(𝑥) 的导数为𝑓

′

(𝑥) ,则lim= ( )

𝛥𝑥→0

A.𝑓

′′

(1) B.2𝑓(1)

C.

22

𝑓(1) D.−𝑓(1)

′′

答案：𝐶

6.已知𝑦=𝑥+4 ,则𝑦 =( )

√

′

11

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

2𝛥𝑥

A.𝑥+4 B.2𝑥+4

√√

C. D.

11

√√

𝑥+42𝑥+4

答案： 𝐷

解析：𝛥𝑦=𝑥+𝛥𝑥+4−𝑥+4 ,

√√

𝛥𝑦𝑥+𝛥𝑥+4−𝑥+4

𝛥𝑥𝛥𝑥

=

√

√

,

𝛥𝑦𝑥+𝛥𝑥+4−𝑥+4

𝛥𝑥𝛥𝑥

√

√

lim=lim

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

11

=lim=

𝛥𝑥→0

∴𝑦=

′

1

√

𝑥+𝛥𝑥+4+𝑥+42𝑥+4

√√

,

2𝑥+4

√

.

7.（多选）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)=3𝑥

2

−1 的图象上一点(1,1)及该点的邻近一点(1+𝛥𝑥,1+

𝛥𝑦) ,函数𝑓(𝑥) 在𝑥=1 处的瞬时变化率记为𝑓(1) ,则下列结论正确的是( )

′

A.

𝛥𝑥𝛥𝑥

=2+𝛥𝑥 B.=3(2+𝛥𝑥)

C.𝑓

′′

(1)=2 D.𝑓(1)=6

答案： 𝐵 ; 𝐷

解析：

𝛥𝑦3(1+𝛥𝑥)−1−2

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝛥𝑦

==3(2+𝛥𝑥) ,

2

𝛥𝑦

𝛥𝑥

𝑓(1)=lim=lim(6+3𝛥𝑥)=6

′

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

8.（多选）下列关于导数𝑓

′

(3) 的表示正确的是( )

A.𝑓

′

(3)=lim

𝑥→3

𝑓(𝑥)−𝑓(3)

𝑥−3

B.𝑓

C.𝑓

D.𝑓

′

(3)=lim

𝛥𝑥→3

′

(3)=lim

𝛥𝑥→0

′

(3)=lim

𝛥𝑥→0

答案： 𝐴 ; 𝐷

𝑓(3)−𝑓(𝑥)

𝑥−3

𝑓(3+𝛥𝑥)+𝑓(3)

𝛥𝑥

𝑓(3+𝛥𝑥)−𝑓(3)

𝛥𝑥

解析：𝑓 ,

′′

(3) 表示函数𝑓(𝑥) 在𝑥=3 处的瞬时变化率,即𝑓(3)=lim

𝛥𝑥→0

令𝑥=3+𝛥𝑥 ,得𝛥𝑥=𝑥−3 ,由𝛥𝑥→0 ,得𝑥→3 ,于是𝑓

′

(3)=lim=

𝛥𝑥→0

lim

𝑥→3

𝑓(𝑥)−𝑓(3)

𝑥−3

𝑓(3+𝛥𝑥)−𝑓(3)

𝛥𝑥

𝑓(3+𝛥𝑥)−𝑓(3)

𝛥𝑥

,故选AD

9.（多选）（2020山东济南一中高二期末）过点(2,0)作曲线𝑓(𝑥)=𝑥 的切线𝑙 ,则直线𝑙 的

3

方程可能为( )

A.𝑦=0 B.𝑥=0

C.12𝑥−𝑦−24=0 D.27𝑥−𝑦−54=0

答案： 𝐴 ; 𝐷

解析：∵𝑓(𝑥)=𝑥 ,

3

∴𝑓(𝑥)=lim=lim

′

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

𝛥𝑥𝛥𝑥

𝛥𝑦𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)

=lim[3𝑥+3𝑥𝛥𝑥+(𝛥𝑥)]=3𝑥

𝛥𝑥→0

222

3

2

设切点坐标为(𝑥

00

,𝑥) ,则𝑘=𝑓(𝑥)=3𝑥,

00

′

2

∴𝑘=𝑓(𝑥)=3𝑥=,

′

0

0

𝑥−2

0

0

𝑥−0

3

解得𝑥

00

=0 或𝑥=3 ,

当𝑥

0

=0 时,切线方程为𝑦=0 ;

当𝑥

0

=3 时,切点为(3,27),斜率𝑘=27 ,故切线方程为𝑦−27=27(𝑥−3) ,即27𝑥−𝑦−

54=0 .故选AD.

10.设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2 ,若𝑓

′

(1)=3 ,则𝑎= .

答案：3

11.如图,函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象在点𝑃 处的切线方程是𝑦=−𝑥+8 ,则𝑓(5)+

𝑓(5)= .

′

答案： 2

解析：由函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象在点𝑃(5,𝑓(5)) 处的切线方程是𝑦=−𝑥+8 ,得切线斜率𝑘=

𝑓(5)=−1 ,又由切点𝑃 既在函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象上又在切线上,得𝑓(5)=3 ,则𝑓(5)+

′

𝑓(5)=3−1=2 .

′

12.若𝑓(𝑥)=𝑥 的值为 ,若满足𝑓

3′′

,𝑓(𝑥)=3, 则𝑥(𝑥)=𝑥, 则𝑥 的值为 .

000

答案： ±1 ; ±

√

3

3

𝑓(𝑥+𝛥𝑥)−𝑓(𝑥)(𝑥+𝛥𝑥)−𝑥

000

𝛥𝑥𝛥𝑥

解析： ∵𝑓

′

(𝑥)=lim=lim

0𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

3

3

0

22

=lim[(𝛥𝑥)+3𝑥𝛥𝑥+3𝑥]=3𝑥=3 ,

𝛥𝑥→00

2

00

∴𝑥=±1 .

0

由𝑓 .

′22

(𝑥)=3𝑥=𝑥, 显然𝑥=1, 得𝑥=, 所以𝑥=±

00

33

13

√

素养提升练

13.函数𝑦=𝑥

2

+𝑥 在𝑥=1 到𝑥=1+𝛥𝑥 之间的平均变化率为( )

A.𝛥𝑥+2 B.𝛥𝑥+3

C.2𝛥𝑥+(𝛥𝑥) D.3𝛥𝑥+(𝛥𝑥)

22

答案： 𝐵

解析：𝛥𝑦=(1+𝛥𝑥)

222

+(1+𝛥𝑥)−1−1=(𝛥𝑥)+3𝛥𝑥 ,所以==𝛥𝑥+3 .

𝛥𝑥𝛥𝑥

14.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥

2′

+1 ,则𝑓(−1)−𝑓(−1) 的值为( )

A.0B.3

C.-6D.7

答案： 𝐷

解析：因为𝑓(𝑥)=2𝑥

2′

+1 ,所以𝑓(−1)=3 ,𝑓(−1)=lim

𝛥𝑥→0

=lim=lim(−4+2𝛥𝑥)=−4

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

2(−1+𝛥𝑥)+1−3

2

𝛥𝑥

𝑓(−1+𝛥𝑥)−𝑓(−1)

𝛥𝑥

𝛥𝑦(𝛥𝑥)+3𝛥𝑥

2

所以𝑓(−1)−𝑓

′

(−1)=3−(−4)=7 .

15.（2021山东日照一中高二质检）如图,函数𝑓(𝑥) 的图象是折线段𝐴𝐵𝐶 ,其中𝐴 ,𝐵 ,𝐶 的坐

标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则𝑓

′

(3)= ,lim= .

𝛥𝑥→0

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)

𝛥𝑥

答案：1; -2

解析： 由导数的概念和几何意义知,𝑓

′

(3)=𝑘==1 ,

𝐵𝐶

lim=𝑓(1)=𝑘==−2 .

𝛥𝑥→0𝐴𝐵

𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)0−4

𝛥𝑥2−0

1𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

4−0

6−2

′

𝑥−𝑎𝑥

16.设函数𝑓(𝑥)= ,求lim .

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)𝑓(𝑎+𝛥𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎𝛥𝑥

答案： 解法一：令𝑥−𝑎=𝛥𝑥 ,则𝑥=𝑎+𝛥𝑥 ,所以lim

𝑥→𝑎𝛥𝑥→0

=lim

=lim=lim=−

𝛥𝑥→0𝛥𝑥→0

11

−

𝑎+𝛥𝑥𝑎

𝛥𝑥𝑎(𝑎+𝛥𝑥)𝑎

2

.

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎𝑥−𝑎

11

−11

解法二：lim

𝑥→𝑎𝑥→𝑎

=lim=

11

−

𝑥𝑎

lim(−)=−

𝑥→𝑎

𝑥𝑎𝑎

2

.

17.求曲线𝑦=𝑥

2

+𝑥 过点𝑃(1,1) 的切线方程.

答案：解法一：设曲线𝑦=𝑥

2

+𝑥 过点𝑃(1,1) 的切线的斜率为𝑘 ,则切线方程为𝑦−1=

𝑘(𝑥−1) ,即𝑦=𝑘𝑥+1−𝑘, 代入𝑦=𝑥+𝑥, 整理得𝑥+(1−𝑘)𝑥+𝑘−1=0 ,依题

22

意,𝛥=(1−𝑘)

2

−4(𝑘−1)=(𝑘−1)(𝑘−5)=0 ,解得𝑘=1 或𝑘=5 ,所以切线方程为

𝑦=𝑥 或𝑦=5𝑥−4 .

2

解法二：由于曲线𝑦=𝑥

2

+𝑥 不过点𝑃(1,1) ,所以设切点坐标为(𝑥,𝑥+𝑥) ,根据导数的几

00

0

何意义,曲线𝑦=𝑥 处的切线斜率𝑘=𝑦

2′

+𝑥 在𝑥=𝑥|

0𝑥=𝑥

0

=lim

𝛥𝑥→0

2

+𝑥)(𝑥+𝛥𝑥)+(𝑥+𝛥𝑥)−(𝑥

000

2

0

𝛥𝑥

=lim(2𝑥+1+𝛥𝑥)=2𝑥+1

𝛥→000

22

所以切线方程为𝑦−(𝑥

00

+𝑥)=(2𝑥+1)(𝑥−𝑥) ,将点(1,1)代入,整理得𝑥−2𝑥=0 ,解

0000

得𝑥

00

=0 或𝑥=2 ,所以切线斜率𝑘=1 或𝑘=5 ,所以切线方程为𝑦=𝑥 或𝑦=5𝑥−4 .

创新拓展练

18.（2021山东济宁一中高二质检）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥− ,曲线𝑦=𝑓(𝑥) 在点(2,𝑓(2)) 处

𝑥

的切线方程为7𝑥−4𝑦−12=0 .

（1）求函数𝑓(𝑥) 的解析式;

（2）求证:曲线𝑦=𝑓(𝑥) 上任意一点处的切线与直线𝑥=0,𝑦=𝑥 所围成的三角形的面积为