2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册6.2.4组合数 同步课时练

6.2.4 组合数

（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好

取到1件次品的不同方法数共有（）

112011

A BC D

．．．．

CCCCCC

347473349

1201

CCCC

347347

【答案】A

【分析】根据组合的基本概念求解.

【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,

任取件，则恰好取到件次品的不同方法数共有

21.

CC

347

23

22022··

．（春浙江高二校联考阶段练习）（）

C+C=

56

11

A B C D

．．．．

25

【答案】B

3035

40

【分析】根据组合数公式直接求解即可.

23

【详解】

CC+102030

56

54654

.

21321

x3x6

32022··x=

．（春辽宁葫芦岛高二兴城市高级中学校联考阶段练习）已知，则（ ）

CC

3434

A．3或10 B．3 C．17 D．3或17

【答案】A

【分析】根据组合数的性质求解即可

x3x6

【详解】因为，故或，

CC

3434

x3x6

x3x634

即或

x3x10

二、多选题

4．（2022·高二课时练习）下列问题中，属于组合问题的是（）

A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛

B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能

C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法

D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法

【答案】AC

【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列

问题；无顺序就是组合问题,.

【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；

B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样

的，存在顺序区别；

C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；

D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，

三、填空题

01234

52023·______

．（高二课时练习）计算：．

CCCCC

44444

【答案】16

【分析】利用组合数公式进行计算即可

443432

01234

116CCCCC1

【详解】

44444

121321

n2

62022··______.

．（秋广东江门高二台山市华侨中学校考期中）若，则

C15

n

n

【答案】6

【分析】根据组合数的性质及公式，可得，求解即可

22n

CC15

nn

【详解】解：，得，

nn1



15

.

2

nn1



nn30

2

2

n6n530



，解得或（舍去），

n6

n5

34

72022··

．（秋上海黄浦高二上海市向明中学校考期末）若，则正整数的值

P6Cn4

nn



n

是．

______

【答案】7

【分析】根据排列数，组合数公式解决即可.

34

【详解】由题知，，

P6Cn4

nn



所以，

n(n1)(n2)6

所以，解得，

n(n1)(n2)(n3)

4321

n3

1

n7

4

2x1x

82022··x________

．（秋河北唐山高二校考期末）若，则正整数的值是．

CC

1111

【答案】1或4

【分析】解方程2x－1＝x或2x－1＋x＝11，即得解.

2x1x

【详解】解：∵，

CC

1111

∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．

经检验，x＝1或x＝4满足题意.

12

92022··_________

．（秋山东潍坊高二统考阶段练习）若，则．

CC15

mm

m

【答案】5

【分析】利用组合数公式，列式求解作答.

【详解】依题意，，即，因，解得，

m15

所以

m5

.

m(m1)

mm300

2

mN,m2



m5

2

x2x1

102022· ·___________

．（秋上海崇明高二统考期末）已知，则方程的解是．

xN

CC

55

【答案】1或2##2或1.

【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.

x2x1

【详解】因为，，

CC

55

xN

所以由组合数的性质得或，

x2x1

5x2x1

解得或，

x1

x2

34

112022··________

．（秋浙江高二校联考期中）已知，则．

CC

mm

m

【答案】7

rnr

【分析】根据组合数性质分析即可

CC

nn

.

rnr

【详解】因为，故

CC

nn

m347

.

x12x3

122023·______

．（高二课时练习）设，则．

xN



CC

2x3x1

【答案】4或7或11

【分析】先由组合数的意义判断出或或，分别代入求解

x2x4

x3

.



2x3x1

【详解】由组合数的意义可知：，解得：



2x4

.

x12x3



又，所以或或

xNx3



x2x4

.

x12x311

当时，；

x2

CCCC4

2x3x113

x12x323

当时，；

x3

CCCC347

2x3x134

x12x335

当时，

x4

CCCC10111

2x3x155

.

108

n

132023·______

．（高二课时练习）若，则的值为．

CC

nn

C

20

【答案】190

【分析】根据组合数公式计算即可得到答案

108

【详解】因为即，化简得，

CC

nn

n!n!





n8n9109

10!n10!8!n8!



因为为大于等于的整数，所以，

n

10

n18

n182

所以

CCC190

202020

2019

2

14．（2023·高二课时练习）从某学校的8名毕业生中任意选派5名去参加某会议，毕业生甲

必须被选派的不同方案有______种．

【答案】35

【分析】毕业生甲必须被选派，即从7人中选4人，计算得到答案.

4

【详解】毕业生甲必须被选派的不同方案有种

C35

7

.

四、解答题

15．（2021秋·广东广州·高二统考期末）平面内有A，B，C，D，E共5个点．

(1)以其中2个点为端点的线段共有多少条？

(2)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

【答案】

(1) (2)

10

20

【分析】（1）由题意，根据组合数的定义以及计算，可得答案；

（2）由题意，根据排列数的定义以及计算，可得答案；

（1）

以平面内，，，，中的个点为端点的线段的条数，就是从个不同元素中取出

ABCDE252

2

个元素的组合数，即以个点为端点的线段条数为．

2

C

5

10

54

12

（2）

以平面内，，，，中的个点为端点的有向线段的条数，就是从个不同元素中取

ABCDE25

2

5420

．出个元素的排列数，即以个点为端点的有向线段条数为

22

A

5

16．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期中）解下列不等式或方程

xx2

6AA

88

(1)

(2)

117



mmm

CC10C

567

【答案】

(1) (2)m=2

x8

【分析】（）先求出，解不等式得到，从而得到答案；（）先得到，

12

2x8

7x12

0m5

解方程得到或，舍去不合题意的根

m21

2.

（1）



0x8

由题意得：，解得：，



2x8

0x28



xx2

A6A

88

，即，

8!8!

6



8x!8x2!

解得：，结合，可得：

7x12

2x8

x8

（2）

117



mmm

，则，

0m5

CC10C

567

即，

m!5m!m!6m!m!7m!



7



5!6!107!

解得：（舍去）或

m21

2

17．（2023·高二课时练习）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，

使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？

【答案】种

1360

【分析】将这30个数按除以3后的余数分为三类，分两种情况进行求解，再相加即可.

【详解】把这个数按除以后的余数分为三类：，，

303

A3,6,9,,30B1,4,7,28



C2,5,8,,29



，

每个集合各有10个元素．三个数的和为3的倍数的取法分两类：

3

①在同一个集合中取三个数，有

3C

10

种取法；

②在每个集合中各取一个数，有



C

1

10

种取法．

3

31

C3C1360



1010

由分类加法计数原理，共有种不同的取法．

3

18．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面．

(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？

(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？

【答案】(1)120个 (2)210个

【分析】（1）（2）根据组合数的计算即可求解.

【详解】（）个点确定一个平面，且任意点不共面，所以从个点中任选个点即可

134103

3

构成一个平面，因此所有的平面个数为（个）；

C120

10

（）任意点不共面，所以从个点中任选个点即可构成一个四面体，因此所有的四面

24104

4

体个数为（个）；

C210

10

192023·nN

．（高二课时练习）有个人，每个人都以同样的概率被分配到个房间中



nN

的任意一间去，分别求下列事件的概率．

(1)指定的n间房中各有一人；

(2)恰有n间房，其中各有一人；

(3)

指定的某间房中恰有人．

mmn



【答案】

(1)

Cn!

n

(2)

N

n

N

n!

N

n

CN1

m



(3)

n

N

n

nm

【分析】（）分别求出每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去和

1N



nN

指定的间房中各有一人的情况数量，即可得到指定的间房中各有一人的概率

nn

（）分别求出每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去和恰有间

2Nn



nN

房，其中各有一人的情况数量，即可得到恰有间房，其中各有一人的概率

n

（）分别求出每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去和指定的某

3N



nN

间房中恰有人的情况数量，即可得到指定的某间房中恰有人的概率

mmnmmn



【详解】（1）由题意

每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去，有种方法，

N



nN

N

n

指定的间房中各有一人，恰有种方法，

n

n!

∴指定的n

间房中各有一人的概率为：

P

1

（2）由题意及（1）得

每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去，有种方法，

N



nN

N

n

恰有间房，共有种选法，其中各有一人，有种方法，

n

C

N

n!

Cn!

n

∴恰有n

间房，其中各有一人的概率为：

P

2

N

n

N

n

n!

N

n

（3）由题意及（1）（2）得

每个人都以同样的概率被分配到个房间中的任意一间去，有种方法，

N



nN

N

n

指定的某间房中恰有人，则其他房间有人

mmn



nm

从总人数中抽取人，有种选法，剩下的人选择剩下的房间有

mmn



C

n

nm

N1



N1

m

nm

种方法，

m

CN1



∴指定的某间房中恰有

mmn



人的概率为

P

3

n

N

n

nm

【能力提升】

一、单选题

1．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进

行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环

小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支

球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设

没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（）

A．51 B．42 C．39 D．36

【答案】D

【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，

分别求出所需比赛场次，即可得出答案.

【详解】先进行单循环赛，有场，

5C=30

4

2

胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行

淘汰赛，

6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，

最后个班再进行单循环赛，由场

3.

C=3

3

所以共打了场

30+3+3=36

.

2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）因为疫情防控的需要，某校高二年级4

名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视

商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不

同的安排方法有（）种．

A．34 B．816 C．216 D．210

【答案】B

【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解

另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．

【详解】从人中任选人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，

73

C

7

C

3

则巡视商户的人中至少一名男教师安排方法有种，

3

CC34

73

4

另外人去不同的个小区测量出入人员体温的安排方法有种．

44

A24

4

3

2

3

33

则这名教师不同的安排方法有种．

7

3424816

3．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）中国空间站的主体结构包

括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实

验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）种

A．450 B．72 C．90 D．360

【答案】A

【分析】根据分类计数原理结合平均分组以及不平均分组运算求解.

【详解】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为的三组，共有种；

123

CCCA360

6533

222

CCC

642

3

A90

3

种；第二种：分人数为的三组，共有

222

A

3

3

1233

所以不同的安排方法共有种，

360+90=450

二、填空题



5

42023·x

．（高二单元测试）设表示不超过的最大整数，如，．对于给定的



x



22



1



4