初中函数

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不

同数值的量叫做变量，数值保持

不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有

两个变量x与y，如果对于x的

每一个值，y都有唯一确定的值

与它对应，那么就说x是自变

ⅡⅠ

量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子

叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值

的全体，叫做自变量的取值范

围。

3、函数的三种表示法及其优缺

点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时

可以用一个含有这两个变量及

数字运算符号的等式表示，这种

表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数

y的对应值列成一个表来表示函

数关系，这种表示法叫做列表

法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫

做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一

般步骤

（1）列表：列表给出自变量与

函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值

为坐标，在坐标平面内描出相应

的点

（3）连线：按照自变量由小到

大的顺序，把所描各点用平滑的

曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：一般

地，如果bkxy（k，b是常数，k0），

那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数bkxy

中的b为0时，kxy（k为常数，

k0）。这时，y叫做x的正比例

函数。

2、一次函数、正比例函数的图

像所有一次函数的图像都是

一条直线

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过

点（0，b）的直线(b是直线与

y轴的交点的纵坐标，即一次函

数在y轴上的截距)；正比例函

数kxy的图像是经过原点（0，0）

的直线。

3

、斜率：

12

12tan

xx

yy

k







①直线的斜截式方程，简称斜截

式

:y

＝

kx

＋

b(k

≠

0)

②由直线上两点确定的直线的

两点式方程，简称两点式

:

③由直线在x轴和y轴上的截距确

定的直线的截距式方程，简称截

距式：1

b

y

a

x

④设两条直线分别

为，1

l：11

ykxb

2

l：22

ykxb若

若12

//ll，则有1212

//llkk且

12

bb。

⑤点P（x0，y0）到直线

y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:

4、两点间距离公式（当遇到没

A

B

X

有思路的题时，可用此方法拓展

思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x

1

，y

1

）

点B坐标为（x

2

，y

2

）

则AB间的距离，即线段AB

的长度为2

21

2

21

yyxx

5、正比例函数和一次函数解析

式的确定

确定一个正比例函数，就是要

确定正比例函数定义式kxy（k0）

中的常数k。确定一个一次函数，

需要确定一次函数定义式bkxy

（k0）中的常数k和b。解这

类问题的一般方法是待定系数

法。

6、（1）一次函数图象是过

两点的一条直线，|k|的

值越大，图象越靠近于y

轴。

（2）当k>0时，图象过一、

三象限，y随x的增大而

增大；从左至右图象是上

升的（左低右高）；

（3）当k<0时，图象过二、

四象限，y随x的增大而

减小。从左至右图象是下

降的（左高右低）；

（4）当b>0时，与y轴

的交点（0，b）在正半

轴；当b<0时，与y轴

的交点(0,b)在负半轴。

当b＝0时，一次函数就

是正比例函数，图象是过

原点的一条直线

（5）几条直线互相平行

时，k值相等而b不相

等。

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数

x

k

y（k是常数，

k0）叫做反比例函数。反比例

函数的解析式也可以写成1kxy的

形式。自变量x的取值范围是

x0的一切实数，函数的取值范

围也是一切非零实数，也可写成

xy=k(k是常数，k≠0)

反比例函数中，两个变量成反

比例关系：由xy=k，因为k为常

数，k≠0，两个变量的积是定值，

所以y与x成反比变化，而正比

例函数y=kx(k≠0)是正比例关

系：由

x

y=k(k≠0)，因为k为不

等于零的常数，两个变量的商是

定值。

2、反比例函数y=

x

k(k≠0)的图

象的画法画图方法：描点

法。

由于双曲线的图象有关于

原点对称的性质，所以只要描出

它在一个象限内的分支，再对称

地画出另一分支。一定要注意：

k>0，双曲线两分支分别在第一、

三象限。k<0，双曲线两分支分

别在第二、四象限。(在每一象

限内，从左向右上升)．因此，

它的增减性与一次函数相反．反

比例函数与正比例函数的交点

关于原点对称。

特点：y=

x

k=kx-1(k≠0)中，

∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不

过原点且与两坐标轴永不相交。

但无限靠近x轴、y轴。画图时

图象要体现这种性质，千万注意

不要将两个分支连起来。

3、反比例函数的性质和图像

反

比

例

函

数

k

的

k>0k<0

符

号

图

像

y

O

x

y

O

x

性

质

①x的取值

范围是x0，

①x的取值

范围是

y的取值

范围是y0；

②当k>0

时，函数图

像的两个分

支分别

在第一、

三象限。在

每个象限

x0，

y的取值

范围是

y0；

②当k<0

时，函数图

像的两个分

支分别

在第二、

内，y

随x的增

大而减小。

四象限。在

每个象限

内，y

随x的

增大而增

大。

4、反比例函数解析式的确定

确定的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数

x

k

y中，只有一

个待定系数，因此只需要一对对

应值或图像上的一个点的坐标，

即可求出k的值，从而确定其解

析式。

5、反比例函数中反比例系数的

几何的意义

如下图，过反比例函数)0(k

x

k

y图

像上任一点P作x轴、y轴的垂

线PM，PN，则所得的矩形

PMON的面积

S=PMPN=xyxy

kSkxy

x

k

y,,

二次函数

1、二次函数的概念：一般

地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫

做x的二次函数。

)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一

般式。

2、二次函数的图像：二次函数

的图像是一条关于

a

b

x

2

对称的曲

线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法五

点法：

（1）先根据函数解析式，求出

顶点坐标，在平面直角坐标系中

描出顶点M，并用虚线画出对称

轴

（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴

的交点：

当抛物线与x轴有两个交点

时，描出这两个交点A,B及抛物

线与y轴的交点C，再找到点C

的对称点D。将这五个点按从左

到右的顺序连接起来，并向上或

向下延伸，就得到二次函数的图

像。

当抛物线与x轴只有一个或无

交点时，描出抛物线与y轴的交

点C及对称点D。由C、M、D

三点可粗略地画出二次函数的

草图。如果需要画出比较精确的

图像，可再描出一对对称点A、

B，然后顺次连接五点，画出二

次函数的图像

4.求抛物线的顶点、对称

轴的方法

（1）公式法：

a

bac

a

b

xacbxaxy

4

4

2

2

2

2

















，∴

顶点是），（

a

bac

a

b

4

4

2

2

，对称轴是直线

a

b

x

2



（2）配方法：运用配方的方法，

将抛物线的解析式化为

khxay2的形式，得到顶点为

(h,k)，对称轴是直线hx.

（3）运用抛物线的对称性：由

于抛物线是以对称轴为

轴的轴对称图形，对称轴

与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点

12

(,)(,)、xyxy（及y值相同），则

对称轴方程可以表示为：

12

2

xx

x





5.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小

①当0a时，抛物线开口向上，

顶点为其最低点；当0a时，抛

物线开口向下；顶点为其最高

点。a相等，抛物线的开口大

小、形状相同.a越大，图像

开口越小，a越小，图像开口

越大。

②平行于y轴（或重合）的直

线记作hx.特别地，y轴记作直线

0x.

（2）b和a共同决定抛物线对称

轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的

对称轴是直线

a

b

x

2

，

故：①0b时，对称轴为y轴；

②0

a

b（即a、b同号）时，对称

轴在y轴左侧；

③0

a

b（即a、b异号）

时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2

与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴

抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个

交点（0，c）：①0c，抛物线经过

原点;②0c,与y轴交于正半轴；

③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换

时，仍成立.如抛物线的对称轴

在y轴右侧，则0

a

b.

6、二次函数的解析式有三种形

式：

（1）一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，

（2）顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，

（3）交点式：当抛物线cbxaxy2与

x轴有交点时，即对应二次好方

程02cbxax有实根1

x和2

x存在时，根据

二次三项式的分解因式

))((

21

2xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转

化为两根式))((

21

xxxxay。如果没有交

点，则不能这样表示。几种特殊

的二次函数的图像特征如下：

函数开口对称顶点

解析

式

方向轴坐标

当0a

时

开口

向上

当0a

时

开口

0x（y

轴）

（

0,0）

0x（y

轴）

(

0,k)

(

h,0)

(

h,k)

向下(

a

bac

a

b

4

4

2

2

，)

7、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体

实数，那么函数在顶点处取得最

大值（或最小值），即当

a

b

x

2

时，

a

bac

y

4

42



最值。

如果自变量的取值范围是21

xxx，

那么，首先要看

a

b

2

是否在自变量

取值范围21

xxx内，若在此范围内，

则当x=

a

b

2

时，

a

bac

y

4

42



最值；若不在此

范围内，则需要考虑函数在21

xxx

范围内的增减性，如果在此范围

内，y随x的增大而增大，则当

2

xx时，cbxaxy

2

2

2

最大，当1

xx时，cbxaxy

1

2

1

最小；

如果在此范围内，y随x的增大

而减小，则当1

xx时，cbxaxy

1

2

1

最大，当2

xx

时，cbxaxy

2

2

2

最小。

8、二次函数的图象

函

数

二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，

图

像

a>0a<0

y

0

x

y

0x

性

质

（1）抛物线

开口向上，并

（1）抛物线

开口向下，并

向上无限延

伸；

（2）对称轴

是x=

a

b

2

，

顶点坐标是

（

a

b

2

，

a

bac

4

42）；

（3）在对称

轴的左

向下无限延

伸；

（2）对称轴

是x=

a

b

2

，

顶点坐标

是（

a

b

2

，

a

bac

4

42）；

（3）在对称

轴的左

侧，即当

x<

a

b

2

时，

y随x的

增大而减

小；在对

称轴的右

侧，即当

x>

a

b

2

时，

y随x的

侧，即当

x<

a

b

2

时，

y随x的

增大而

增大；在

对称轴

的右侧，

即当

x>

a

b

2

时，

增大而增

大，简记

左减右

增；

（4）抛物线

有最低

点，当

x=

a

b

2

时，

y有最小

y随x的

增大而

减小，简

记左增

右减；

（4）抛物线

有最高

点，当

x=

a

b

2

时，

值，

a

bac

y

4

42



最小值y有最大

值，

a

bac

y

4

42



最大值

9.抛物线的交点

（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点

为(0,c).

（2）抛物线与x轴的交点：二次

函数cbxaxy2的图像与x轴的

两个交点的横坐标1

x、2

x，

是对应一元二次方程

02cbxax的两个实数根.抛物

线与x轴的交点情况可以

由对应的一元二次方程

的根的判别式ac4b2判定：

①有两个交点

(0)抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴

上）(0)抛物线与x轴相

切；

③没有交点

(0)抛物线与x轴相离.

（3）平行于x轴的直线与抛物

线的交点

同（2）一样可能有0个交

点、1个交点、2个交点.

当有2个交点时，两交点

的纵坐标相等，设纵坐标

为k，则横坐标是kcbxax2的

两个实数根.

（4）一次函数0knkxy的图像l与

二次函数02acbxaxy的图像G

的交点，由方程组

cbxaxy

nkxy





2的解的数目来确定：①方

程组有两组不同的解时

l

与G有两个交点;②方程

组只有一组解时

l与G只

有一个交点；③方程组无

解时

l与G没有交点.

反比例函数0

k

yk

x

的图像与

二次函数02acbxaxy的图像

的交点，由方程组

2

k

y

x

yaxbxc













的解来确定。

（5）抛物线与x轴两交点之间

的距离：若抛物线cbxaxy2与

x轴两交点为00

21

，，，xBxA，由于

1

x、2

x是方程02cbxax的两个

根，故

a

c

xx

a

b

xx

2121

,