数学二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】

1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内

在联系.

2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求

记忆），能灵活地将公式变形并运用．

3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉

性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

【要点梳理】

要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

要点诠释：

(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当

及时才成立；

(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的

二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运

用公式的关键.如：；

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们

的内在联系如下：

2

sin22sincos()S





22

2

2

2

cos2cossin()

2cos1

12sin

C















2

2

2tan

tan2()

1tan

T













22

,SC





2

T

2

k





()

42

k

kZ





2

42

2



4



3

3

2



2

cos

2

sin2sin





11

sin2sincos()

222nnn

nZ















中，当TCS,,

要点二：二倍角公式的逆用及变形

1．公式的逆用

；．

．

．

2．公式的变形

；

降幂公式：

升幂公式：

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、

换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之

间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.

【典型例题】

类型一：二倍角公式的简单应用

例1．化简下列各式：

（1）；（2）；（3）．

【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）．

（2）．

（3）．

【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二

倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．

举一反三：

2sincossin2

1

sincossin2

2



2222cossin2cos112sincos2

2

2tan

tan2

1tan











21sin2(sincos)

22

1cos21cos2

cos,sin

22









221cos22cos,1cos22sin

(),2()()

4sincos

22



22sincos

88





2

tan37.5

1tan37.5





2sin

2

2



23

2



4sincos22sincos2sin

2222





2222

2

sincoscossincos

888842











22

tan37.512sin37.5123

tan75

1tan37.521tan37.522







【变式1】求值：（1）；（2）；（3）

．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=．

类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值

例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

【思路点拨】解这类题型有两种方法：

方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．

方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．

【答案】

【解析】方法一：

．

∴

方法二：原式

．

【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特

征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还

应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我

们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则

．

cossincossin

12121212











22cos1

8





2

2tan75

1tan75





3

2

2

2

3

22

3

cossincos

121262





2

cos(2)cos

842





3

tan150tan(18030)tan30

3





sin2

sin

2cos









sin2

cos

2sin









1

16

sin20sin50sin70

sin10sin50sin70

2cos10







sin20cos20sin50sin40sin50sin40cos40

2cos104cos104cos10







sin801

8cos108







1

sin10sin30sin50sin70

16



1

cos20cos40cos80

2



2sin20cos20cos40cos80

4sin20







sin40cos40cos80sin80cos801sin1601

4sin202sin2016sin2016







sin0

1

1

sin2

coscos2cos4cos2

2sin

n

n

n













举一反三：

【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．

【解析】原式

．

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式

例3．化简下列各式：

(1)

【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分

析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)

(2)

【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起

到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理

式的化简和运算．

例4．（2015秋安徽阜阳期末）已知，且

（1）求的值；

（2）求的值．

【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos，tan，然后通过二倍角公式转化，分

子分母同除cos2，代入tan，即可求出值．

（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan的值求解即可．

【答案】（1）6；（2）7

【解析】（1）由又，∴，

∴

2sin20cos20cos40cos80

cos20cos40cos80

2sin20







2sin40cos40cos802sin80cos80

4sin208sin20







sin160sin201

8sin208sin208







4sin1)2(

2coscos1

2sinsin











tansin2cos2

.tan

)cos21(cos

)cos21(sin

cos2cos

cossin2sin

2coscos1

2sinsin

2

































4sin1

.2cos2sin|2cos2sin|)2cos2(sin2cos2cos2sin22sin222

22sin22cos1,cos22cos1

2)cos(sinsin21cossin22sin，从而

0

2





3

sin

5



22sinsin2

cos2







5

tan()

4





22sinsin2

cos2











3

sin

5

0

2





4

cos

5



3

tan

4



22

22

2sinsin22sin2sincos

cos2cossin











（2）

举一反三：

【变式1】（1）的化简结果是．

（2）已知，且α∈(，π)，则的值为．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）原式=

=

=

=

（2）因为，且α∈(，π)，所以，原式=．

类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用

【高清课堂：倍角、半角公式370633例2】

例5．求值：

（1）已知，求．

（2）已知，求．

【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）

=

=

3

2

2sin2tan

4

6

3

cossin1tan

1()

4













53

tantan1

5tan1

44

tan()7

53

41tan

1tantan1

44





















1sin6

3

sin

5



2



2

sin2

cos





sin3cos3

3

2



1sin3cos3

2(sin3cos3)

|sin3cos3|

sin3cos3

3

sin

5



2

4

cos

5



2

2sincos353

2()

cos542







3

sin()

1225



cos()

6





sin()

4

m





sin2

7

25

221m

cos()coscos2

66122













212sin

122











9

12

25



=

（2）=

=

=

【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间

的联系，考查公式运用和变换的技巧．

举一反三：

【变式1】已知，且，求，，的值．

【答案】

【解析】由，得，

即，∴

由，得，

∴．

即．

整理得．

解得或（舍去）．

∴．

∴．

【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．

【变式2】（2016天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，

7

25

sin2cos(2)

2



212sin

4



















212sin

4













221m

1

sincos

3



0sin2cos2tan2

8

9



17

9



817

17

1

sincos

3

2

1

(sincos)

9



1

12sincos

9



8

sin22sincos

9



1

sincos

3



1

cossin

3



2

2

1

cossin

3











22

12

1sinsinsin

93



29sin3sin40

117

sin

6







117

sin

6







2

2

11717

cos212sin12

69















sin2817

tan2

cos217













15

sin

4



（1）求cos2的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为是第二象限角，，

所以，．

（2）又是第二象限角，故．

所以．

类型五：二倍角公式的综合应用

【高清课堂：倍角、半角公式370633例3】

例6．已知，求：

（1）f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）f(x)的单调区间．

【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．

【答案】（1）（2）单增区间单减区间

【解析】

（1）原式=

=

=

则当即时，

（2）f(x)的单调递增区间为：，则

f(x)的单调递减区间为：，则



sin()

6





7

8



351

8





15

sin

4



2

157

cos212sin12

168





151

cos1

164



15311351

sin()()

642428









22()sin2sincos3cosfxxxxx

sin()Axk

22

|,

8

xxkkz













3

,,

88

kkkz













5

,,

88

kkkz













1sin2cos21xx

sin2cos22xx

2sin(2)2

4

x





22,

42

xk





|,

8

xxkkz













max

()22fx

222

242

kxk





3

,,

88

xkkkz













3

222

242

kxk





【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及

的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式

，．，

．（2）扩角降幂公式，．

例7．已知向量，，求函数．

（1）求的最大值及相应的x值；

（2）若，求的值．

【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中

的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为，，

所以．

因此，当，即时，取得最大值．

（2）由及得，两边平方得，

即．因此，．

举一反三：

【变式1】（2015秋朝阳区期中）已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的单调递减区间．

【答案】（1）2π；（2），k∈Z．

【解析】（1）由已知可得：．

5

,,

88

xkkkz













sin()yAx

2

1sinsincos

22













2

1sinsincos

22













21cos2cos

2





21cos2sin

2



2

1cos2

cos

2







2

1cos2

sin

2









(1sin2,sincos)xxxa(1,sincos)xxb()fxab

()fx

8

()

5

f

cos22

4













21

3

()

8

xkkZ





16

25

(1sin2,sincos)xxxa(1,sincos)xxb

22()1sin2sincos1sin2cos22sin21

4

fxxxxxxx











22

42

xk





3

()

8

xkkZ





()fx

21

()1sin2cos2f

8

()

5

f

3

sin2cos2

5



9

1sin4

25



16

sin4

25



16

cos22cos4sin4

4225













2()23sincos2cos

222

xxx

fx

4

[2,2]

33

kk





()3sincos12sin()1

6

fxxxx





所以f（x）的最小正周期为2π．

（2）由，k∈Z，

得，k∈Z．

因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．

（1）求角A的大小；

（2）求函数（x∈R）的值域．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题意，得，

，．

由A为锐角得，．

（2）由（1）知，

所以．因为x∈R，所以sinx∈[－

1,1]．

因此，当时，有最大值，当sinx=－1时，有最小值－3，所以所求函数

的值域是．

3

22

262

kxk





4

22

33

kxk





4

[2,2]

33

kk





(3,1)n

()cos24cossinfxxAx

3

3

3,

2









3sincos1mnAA

2sin1

6

A











1

sin

62

A











66

A





3

A





1

cos

2

A

2

2

13

()cos22sin12sin2sin2sin

22

fxxxxxx









1

sin

2

x

()fx

3

2

()fx()fx

3

3,

2







