一． 填空题（共40分）
1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为
r，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维Г空间
中的一个代表点表示。
2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为
Ω，则每一微观状态出现的概率为（ 1/Ω ），系统的熵为
（ kln Ω ）。
3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相
容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 ≤ fs ≤ 1。
4．玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件(或e <<1) 或e
- α
α
>>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。
ll
5．给出内能变化的两个原因，其中
（ ）项描述传热，（ ）项描述做功。
llll
daad
ll
dUadda
llll
6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升
高 ）；如果温度足够低，则会发生（ 玻色——爱因斯坦凝聚 ）。
这时系统的能量U＝（0），压强p＝（0），熵S＝（0）。
000
7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为
1
222
(ppp)axbx
xyz
2
2m
，粒子的平均能量为（2kT－
b/4a ）。
2
8．当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系
统的量子关联效应会很强。
9．如果系统的分布函数为ρ，系统在量子态s的能量为E，用ρ和E
ssss
表示：系统的平均能量为（ ），能量涨落为
EE
ss
s
（ ）（如写成也得分）。
ss
(EE)
2
E(E)
22
s
10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρ具有特
s
点（ dρ/ dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时ρ
s s
也满足归一化条件。
二．计算证明题（每题10分，共60分）
1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，
3ω，。。。， 而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：
（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的
条件是什么？
（2）根据公式计算每种分布的微观态数Ω；
a
l
N!
a
l
a!
l
l
l
（3）确定各种分布的概率。
解：能级： ε， ε， ε， ε，…
1234
能量值： 0， ω， 2ω，3ω，…
简并度： 1， 1， 1， 1，…
分布数： a, a, a, a, …
1234
分布要满足的条件为：
a
l
aN6
l
l
aE3
ll
l
满足上述条件的分布有：A：
a5,0,0,1,0,...
l
B：
a4,1,1,0,0,...
l
C：
a3,3,0,0,0,...
l
6!
16;
5!1!
6!
130;
各分布对应的微观态数为：
B
4!1!1!
6!
120
C
3!3!
A
所有分布总的微观态数为：
6302056
ABC
p/6/560.107;
AA
各分布对应的概率为：
p/30/560.536;
BB
p/20/560.357;
CC
2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以
看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。
（1）求单粒子的配分函数Z；
1
（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx， y到y
＋dy内，动量在到＋， 到＋内的分子数dN；
ppdpppdp
xxxyyy
（3）写出分子按速度的分布；
（4）写出分子按速率的分布。
解：（1）单粒子的配分函数
1A
(pp)
xy
22
2m
zedxdydpdp(2mkT)
1xy
22
hh
（2）
dNee
()
dxdydpdpdxdydpdp
xyxy
hZh
22
N
1
（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为
m
2kT
m
dNN()e(vv)dvdv
vxyxy
22
2kT
（4）有（3）可得分子按速率的分布为：
2N()evdvN()evdv
mm
2kTkT
mvmv
22
2kT2kT
3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε＝－ε
1
0200
，ε＝ε，其中ε大于零且为外参量y的函数。求：
（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说
明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；
（2）系统的内能和热容量；
（3）极端高温和极端低温时系统的熵。
解：（1）单粒子的配分函数为：
Zeeeee
1
l00
12
l
Nee
1
0
处于基态的粒子数为：
NN;
1
00
Zee
1
Ne
2
0
N;Ne
00
处于激发态的粒子数为：
2
Zee
1
温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：
N
2
ee
kT
0
0
Ne
1
e
kT
0
0
极端高温时：ε《kT，, 即处于激发态的粒子数与处于基
0
态的粒子数基本相同；
极端低温时：ε》kT，, 即粒子几乎全部处于基态。
0
N
2
1
N
1
N
2
0
N
1
（2）系统的内能：
lnZ
1
ee
00
00
UNNln(ee)N
0
00
ee
N
0
2
U1Uee
00
2
热容量：
C()())1(
VVV
22
00
TkTkTee
（3）极端高温时系统的熵：
Sklnkln2Nkln2
N
极端低温时系统的熵：=0
S
4．对弱简并的非相对论费米气体，求：
（1）粒子数分布的零级近似f与一级修正项Δf；
0 1
（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正
量均正比于。
e
解：费米气体分布函数为：
f
（1）
fee(1e)ee
22
1
e1
1
1e
，
fefe
01
22
（2）
D()dCVd
N
e
N
1
2
fD()deCVd
fD()d
eCVd
1
0
22
1
2
1
2
U
e
U
fD()d
fD()d
1
0
5．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，
（1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ的意
0
义；
（2）证明：T＝0K时电子的平均能量，简并压强；
00
3
5
pn
00
2
5
（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。
f
1
（1）μ表示T＝0K时电子的最能
0
量。电子从ε＝0的能级开始，先占
据低能级，然后占据高能级，遵从泡
利不相容原理。
μ
000
T=0
0
f = 1 (ε < μ); f =
0
ε
0 (ε > μ)
0
13
22
(2)
U3
00
N5
pnnn
0000
fD()dCVdd
fD()d
CVdd
000
0
00
11
22
0
00
2U2UN2232
3V3NV3355
111
（）；f （＝）；f （）f
(3)T>0K时:
222
T>0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对C
V
有贡献，设这部分电子的数目为N， 则。每一电子对C
effV
NN
eff
kT
的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv的贡献为
CkNN()()()
Veff
e
33kkT3NkkT3NkkT3NkT
2222kT2T
ff
C
V
e
1T
晶格的热容量为Cv＝3Nk，
0(T:1010)
f
45
C2T
Vf
6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简
UU
0
/kT
i
1e
，式中的求和遍及正频率ωi，内能的表达式为：
i
所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。
（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加
以简单说明；
（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；
（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T。
3
解：（1）爱因斯坦模型： N个分子的振动简化为3N同频率（ω）的
1
简谐振动，每个振子的能级为；
n(n)
2
德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子
的频率不同，且有上限ω，.
D
D()dBd
2
(2) 爱因斯坦模型: ;
Zee
1l
ln
l
1
(n)
2
e
2
1e
U3NlnZ
Ue
2
/kT
C()3Nk()
VV
TkT(e1)
/kT2
高温时：
e1/kT,e1,C3Nk
/kT/kT
V
（3）
3N3N
1
2e1
UUUUB()d()
000
i1
3N
i
e1e1e1kT
i
/kT
D
0
BkT(/kT)
33
4
D
/kT/kT
0
上式的第二项与T的4次方成正比，故
CT
V
3
中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）
学年第 学期 试题名称 ： 共 页 第
页
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