4.6中国古代数学的辉煌成就

中国古代数学的辉煌成就

一、最早运用勾股定理

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫

做股，斜边叫做弦。据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前

1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连

接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。《周髀算

经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，

正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日

益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而

观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故

此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，

则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上

进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“„„商高，陈

子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周

髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，

再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地

用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬

至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我

们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，于是用太阳的斜高和勾

股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际

相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的

观测精神，是我们应该学习的。”这就是勾股定理的最早的运用，尤

其在3000多年前，更是非常了不起的成就。而在西方，勾股定理被

称为毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）定理。没有史料可以说

明毕达哥拉斯得到和证明了这一定理。通过二十世纪对在美索不达米

亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前

一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。

据传说，有次毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的餐会，这位主

人豪华宫殿的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上

桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。但这位善于观察和理解的数学家

却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖。毕达哥拉斯不只是欣赏

磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是 拿了画笔并且

蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他

发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇.... 于

是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正

方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之

和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的

平方恰好等于另两边平方之和„„那一顿饭，这位古希腊数学大师，

视线都一直没有离开地面。

即便是按此传说推算，我们在运用勾股定理上无疑都是最早的。

当然对勾股定理的演绎证明，我们可能要晚一些。中国最先完成勾股

定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，证明的技巧与前面

的传说如出一辙。

二、最早的数学著作和八元数模型

数与形是数学研究的基本对象。从这一点上看，成书于西周(约

公元前11世纪—前256)前期的《易经》是我国古代在人类数学史上

的伟大创举。《易经》是历史上有文字记载以来第一本数学著作。比

成书于公元前三世纪古希腊欧几里得的《几何原本》至少早三百年。

《易经》是我国数学发展史的渊源。三国时期的数学家刘徽(约

225--295)认为，数学来源于伏羲画八卦，八卦的基本原理是“作九

九之术以合六爻之变”，由此他“观阴阳之割裂，总算术之根源”，而

为《九章算术》作注。

最近，又发现，八卦图中的每一个卦图代表一个八元数的乘法算

式，于是我们可以在古老的伏羲八卦和西方人1845年才发现的八元

数之间建立数学意义上的同构。即在两者之间，建立一一对应，而且

这种对应保持乘法运算。对应次序浑然天成且不能随意改变。我们的

结论是：在同构意义下，八卦图就是八元数。八卦图可以看成是八元

数的“量子化”或“数学模型”。

三、最早使用位置计数法和应用十进制

所谓位置计数法是指同一个数字由于它所在位置的不同而有不

同的值。例如，327中，数字3表示三百，2表示二十。用这种方法

表示数，不但简明，而且便于计算。采用十进位置制计数法，以我国

为最早。在殷墟甲骨文就已经对此作了记载，它用9个数字、四个位

置值的符号，可以表示出大到上万的自然数，已经有了位置制的萌芽。

到春秋战国时期，便已能熟练地应用十进制的算筹记数法，这种方法

和现代通用的二进制笔算记数法基本一致，这比所见最早的印度（公

元595年）留下的十进制数码早一千多年。

四、最早提出负数的概念

中国的数学专著《九章算术》，是世界上杰出的古典数学著作之

一，这本书中就已引入了负数概念。这比印度在公元7世纪左右出现

的负数概念，约早六百多年。欧洲人则在10世纪时才对负数有明确

的认识，比中国要迟一千五百多年。

五、最早系统地论述了分数运算

成书不晚于公元前2世纪西汉时期的中国最早的数学著作《周髀

算经》中，已用到了相当繁杂的分数运算，并记载源于周朝时期的商

高。发展到公元前1世纪，经过张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦

代以来的数学知识编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》

章中，提出了完整的分数运算法则。从后来刘徽所作的《九章算术注》

可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分

（分数减法）、乘分（分数乘法）、约分（分数除法）的法则，与我们

现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、

平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙

述分数的著作。

分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这

种算法起源于印度。实际上，印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开

始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。

而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使

与刘徽的时代相比，我们也要比印度早400年左右。

六、最早提出联立一次方程的解法

中国最早提出联立一次方程组的解法，也是在《九章算术》中出

现的。同时还提出了二元、三元、四元、五元的联立一次方程组的解

法，这种解法和现在通用的消元法基本一致。在印度，多元一次方程

的解法最早出现在7世纪初印度古代数学家婆罗门笈多（约在公元

628年）的著作中。至于欧洲使用这种方法，则要比中国迟一千多年

了。

七、最早论述了最小公倍数

在世界上，中国最早提出了最小公倍数的概念。由于分数加、减

运算上的需要，也是在《九章算术》中就提出了求分母的最小公倍数

的问题。在西方，到13世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述

了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年了。

八、最早研究不定方程

中国最早研究不定方程的问题，也是在《九章算术》这部名著中，

书中提出了解六个未知数、五个方程的不定方程的方法，要比西方提

出解不定方程的丢番图大概早三百多年。

九、最早运用极限概念

大约在公元3世纪，中国数学家刘徽在他的不朽著作《九章算术

注》中，讲解计算圆周率的“割圆术”和开方不尽根问题，以及讲解

求楔形体积时，最早运用了极限的概念。虽然欧洲在古希腊就有关于

这一概念的想法，但是真正运用极限概念，却是在公元17世纪以后

的事了，这要比中国大约要晚一千四百多年。

十、最早得出有六位准确数字的π值

圆周率π是数学和其它自然科学中经常使用的一个重要常数。一

位德国的数学家评论到：历史上一个国家所算得的圆周率的精确程

度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志。

公元前2000年左右，古巴比仑尼亚人最早定出π的比较精确的

值为π= 3+1/8 = 3.125。

公元前500年左右，古希腊人定出π= 3.1416。

公元前200年间，阿基米德用圆外切与内接正多边形的周长逐步

逼近圆的周长，求得

33

111



。

717

公元前150 年左右，另一个古希腊数学家托勒米用弦表法，以 1

度的圆心角所对的弦长的 360 倍再除以圆的直经，也定出π

=3.1416。

我国则迟至东汉初年(公元前 100 年) 仍在普遍使用周三径一

的古率。直到三国时代(公元 200 年间)，数学家刘徽首创割圆术，

得到 3.1410<π<3.1427。

继刘徽之后，我国南北朝时期的数学家祖冲之在世界上第一次得

到3.1415926< π<3.1415927。这一惊人的纪录，直到德国人奥托在

公元1573年也获得这个近似分数值，可是比祖冲之已迟了一千一百

多年。祖冲之还发现现今称为祖率的π的近似值335/113（即

3.1415926），比欧洲早1000多年。

1949年，两个美国人斯密司和伦奇，把π计算到小数点后1120

位，他们成为用笔算求π值的世界冠军。

1766年，德国数学家兰伯特证明了π是无理数。一百多年后，

又一位德国数学家林德曼进一步证明了π是超越数。

十一、最早创立增乘开方法和创造二项式定理的系数表

中国最早创立了“增乘开方法”和“开方作法本源”。公元11

世纪中叶的中国数学家贾宪，是他最早创了“增乘开平方法”和“增

乘开立方法”。这一方法具有中国古代数学的独特风格。贾宪提出的

方法，可以十分简便地推广到任意高次幂的开方中去，并可用来解任

意高次方程。他的方法比西方的类似的“鲁斐尼－霍纳方法”要早

770年。同时贾宪的“开方作法本源”图，实际上给出了二项式定理

的系数表，比法国数学家帕斯卡所采用的相同的图（被称为“帕斯卡

三角形”）要早五百多年。

十二、最早提出高次方程的数值解法

中国南宋的伟大数学家秦九韶，在《数书九章》（公元1247年）

中最早提出了高次方程的数值解法，秦九韶在贾宪创立的“增乘开方

法”的基础上，加以推广并完善地建立了高次方程的数值解法，比欧

洲与此相同的“霍纳法”要早八百多年。

十三、最早发现“等积原理”

在中国，“等积原理”是南北朝时的杰出数学家祖冲之和他的儿

子祖暅共同研究的成果。他们在研究几何体体积的计算方法时，提出

了“缘幂势既同，则积不容异”的原理，这就是“等积原理”。所指

的意思是：“等高处平行截面的面积都相等的二个几何体的体积相

等”。这一发现，要比西方数家卡瓦列利发现这个原理时，大约早一

千一百多年。

十四、最早发现二次方程求根公式

二次方程的求根公式也是中国最早发现的。中国古代数学家赵

爽，在对中国古典天文著作《周髀算经》做出注解时，写了一篇有很

高科学价值的《勾股圆方图》的注文，在此文中赵爽在讨论二次方程

xcxa

22

-2+= 0时，用到了以下的求根公式：

x



2c(2c)4a



22

2

这个公式与我们今天采用的求根公式是很相似的。赵爽这一发

现，比印度数学家婆罗门笈多（公元628年）提出的二次方程求根公

式要早许多年。

十五、最早引用“内插法”

早在公元6世纪，中国古代天文学家刘焯为了编制历法，首先引

用了“内插法”，亦即现在代数学中的“等间距二次内插”。这个方法，

直到17世纪末，才被英国数学家牛顿所推广，但已是时隔一千一百

多年以后的事了。

十六、最早用符号表示未知数并运用消元法解多元高次方程

组

中国宋元时期数学发展中最深刻的动向是代数符号化的尝试，这

就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的

记号表示未知数，从而列出方程、求解方程。中国宋代数学家李冶在

《测圆海镜》（1248年）中论述了170个用天元术（即列方程解一元

高次方程的方法）解直角三角形的容圆问题，《测圆海镜》是我国现

存最早对天元术进行系统叙述的著作。公元1303年，中国元代数学

家朱世杰在其所著《四元玉鉴》等著作中，把李治总结的“天元术”

推广成为“四元术”，创造了用消元法解二、三、高次方程组的方法，

这是世界上最早运用消元法解高次方程组的例子。在西方，法国数学

家皮兹于1764年给出初步方案，直到1779年出版的《代数方程的一

般理论》才对这一问题做出系统的叙述，即便是朱世杰都比他要早近

五百年。

十七、最早研究解同余式组的问题

南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“大衍求一术”，他

对求解一次同余式组的算法作了系统的介绍，与现代数学中所用的方

法很类似，这是中国数学史上的一项突出的成就。实际上在秦九韶推

广了闻名中外的中国古代数学巨著《孙子算经》中的“物不知数”题，

取得的解法被称为“中国剩余这理”，就是在这一方面的重要成就。

他的这项研究成果比在18、19世纪欧洲伟大数学家欧拉和高斯等人

对这一问题的系统研究，要早五百多年。

例如 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数

之余二，问物几何？

解 3，5，7都是素数。

3与5的最小公倍数为15，用7除余1，故取30；

5与7的最小公倍数为35，用3除余2，故取35；

7与3的最小公倍数为21，用5除余1，故取63。

相加得128，减去105（3，5，7的最小公倍数）得23，即为所求。

十八、最早研究高阶等差数列并创造“逐差法”

早在北宋时期，数学家沈括（公元1030－1904）就创立了与高

阶等差数列有关的“隙积术”；南宋末期数学家杨辉亦研究了高阶等

差数列，并提出了“垛积术”；到了元朝，优秀的天文学家和数学家

郭守敬（公元1231--1316）在以他为主编著的《授时历》中，就用

高阶等差数方面的知识，来解决天文计算中的高次招差问题。朱世杰

则在其所著的《四元玉鉴》（1303）一书中，把中国宋、元数学家在

高阶等差级数求和方面的工作更向前推进了一步，对这一类问题得出

了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他创造了“招差法”（即

“逐差法”），在世界数学史上第一次得出了包括有四次差的招差公

式。在欧洲，首先对招差术加以说明的是格列高里（1670），在牛顿

的著作中（1676－1684）方才出现了招差术的普遍公式，朱世杰比他

们约早了四百年。

例如：求证 。



innn

2

(1)(21)

i1



n

1

6

解 由 可得

(i1)i3i3i1

332

，

(n1)13i3

n



23

i1



n

n(n1)



2

整理即得所证。

完全类似地可递推求 。



i

m

i1



n

十九、最早使用小数

刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，

即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。到公元 1300年

前后，元代刘瑾所著《律吕成书》中，已将106368.6312写成

把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到

1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进。所

以，我们完全可以自豪地宣称：中国是世界上最先使用小数的国家。

二十、最早产生二进制思想

2进制是17世纪德国的数学家莱布尼兹最早明确提出的。但其

思想萌芽却可追溯到公元前一千年左右成书的我国圣典著作《易经》。

易经中的符号系统实际上就是2进制的符号系统。这还是莱布尼茨首

先看出来的，对此他非常激动，甚至表示愿意加入中国籍。

二十一、最早记载幻方

标志着中华民族远古文化的洛书（传说最早记载于五、六千年以

前，大禹治水时在洛水一带发现的刻有图纹的龟甲）至今仍像一颗璀

璨的明珠，堪称数学史上的一绝。洛书就是三阶幻方。而在国外，幻

方出现在2世纪。我国要早二、三千年。

二十二、最早开展数学教育的国家

我国的甲骨文(公元前1100年左右)中早就有关于数学教育的记

载。早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从6

岁或10岁就教数数及计算了。这无疑表明，中国是最早开展数学教

育的国家了。而希腊就算从最早的泰勒斯(公元前625年？～公元前

547年？)算起，也要晚500年左右。

中国数学只是在近几百年才落伍了。我国也是在近几百年由“中

心大国”衰落成为“发展中国家”的。 自1978年中国实行改革开放

的基本国策以来，我国取得了举世瞩目的成就。我国的综合经济实力

和科技水平大幅度提高。在我国现代数学史上，初步形成了复兴中国

数学的新局面。在复兴中国传统数学文化、建立具有我国特色的数学

学派这方面，吴文俊教授已为我们做出了榜样。吴文俊教授于40年

代因在代数拓扑学与微分拓扑学方面取得的世界先进水平的结果而

获得1956年的国家自然科学的一等奖。1956年当选为中国科学院学

部委员（现称为院士）。1976年粉碎“四人帮”后，年近花甲的吴文

俊教授，在对中国古代数学研究的基础上，开拓了机械化数学的崭新

领域。中国数学不再是沿袭他国的主题、问题与方法，从而引起了国

际数学界对我国的数学研究工作的日益密切的注意。1986年，吴文

俊教授在国际数学家大会上作关于中国数学史的报告，引起广泛的兴

趣。把中国古代辉煌的数学成就推向了世界。

我们有五千年的文明史，我们的数学曾经非常地辉煌过。我们当

代人有责任、有义务为复兴我国传统数学文化进而使我国的数学水平

再度辉煌于世界而努力。