中国古代数学的具体成就

中国古代数学的具体成就

一、圆周率

魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆

术”），求得π的近似值3.1416。

汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等於10的开方（约为

3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃

（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。

公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和

真正的值相比，误差小於八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。

二、割圆术

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率

的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思

熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为

三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接

正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，

他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好

些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极

限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆

周率的计算指出了一条科学的道路。

刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率

为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的

数据。刘徽把“割圆术”推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发

展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，

终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达

于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数

值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托

和荷兰的安东尼兹在１６世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。

公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内

接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或

157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。

刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失

矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610

年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利

用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法

发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称

道。

三、十进位值制记数法

这是我国古代劳动人民一项非常出色的创造。十进，就是以十为基数，逢十进一

位．位值这个数学概念的要点，在于使同一数字符号因其位置不同而具有不同的数值。

例如同样是2，在十位就是20，在百位就是200；又如4676这个数，同一个6在右数

第一位表示的是个位的6，在右数第三位则表示600。

我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。商代的甲骨文和西周的钟鼎文，

都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等字的合文来记10

万以内的自然数。这种记数法已含有明显的位值制意义，只要把千、百、十和又的字

样取消，便和位值制记数法基本一样了。

十进位值制记数法给计算带来了很大的便利，对我国古代计算技术的高度发展产

生了重大影响。它比世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古

希腊所用的计算方法要优越得多。印度则一直到公元6世纪还用特殊的记号表示二十、

三十、四十„„等十的倍数，7世纪时才有采用十进位值制记数法的明显证据。

十进位值制记数法，是我们祖先对人类文明的一项不可磨灭的贡献。马克思称赞

它是“最妙的发明之一”。英国著名科技史专家李约瑟博士评价说：“如果没有这种

十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

四、算经十书

在中国古代算书中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏

侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10

部算书，被称为“算经十书”。其中阐明“盖天说”的《周髀算经》，被人们认为是

流传下来的中国最古老的既谈天体又谈数学的天文历算著作。它大约产生于公元前2

世纪，但它所包含的史料，却有比这更早的。其中提到的大禹治水时所应用的数学知

识，成为现存文献中提到最早使用勾股定理的例子。

五、勾股定理

据《周髀算经》记载：“故折矩以为句广三，股 四，径隅五。既方其外，半之

一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下

者，此数之所 由生也。”

这段话的意思是：将矩的两直角边加以折算成一定的比例， 短直角边长（句）3，

长直角边长（股）4，弦就等于5， 得成3、4、5(如右图)。句（即勾）、股平方之和

为25，这称为积矩。大禹所用的治天下（指治水）的方法，就是从这些数学知识发展

出来的。

在世界数学史上，一般把勾股定理归功于公元前5世纪左右发现它的古希腊数学

家毕达哥拉斯，因为他提出了定理的一般形式的叙述和证明，我国则稍晚。但实际上，

商高关于勾股定理的认识，要比毕达哥拉斯早得多。《周髀算经》成书于公元前2世

纪左右，所记载的周公与商高问答的事是在公元前11世纪左右。这个事实证明我国

古代数学家独立地发现并应用了勾股定理的一般情形，要比外国早得多。

六、（测高、深、远的方法）测量太阳高度

陈子是周代的天文算学家，荣方是当时天文算学家的爱好者。在陈子教给荣方的

各种数据计算的具体方法中，我们可以发现在二千六七百年前，我国对勾股定理的应

用已达到十分熟练的程度。

陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一8

尺高的标竿，观其影长为6尺。然后，测量者向难移动标竿，每移动1000里，标竿

的影长就减少1寸。据此可设想，当标竿的日影减少六尺，则标竿就向南移动了60000

里，而此时标竿恰在太阳的正下方。据勾股定理和相似形原理可算得：测量者与太阳

的距离为10万里。

据记载，古希腊第一个自然哲学家泰勒斯也曾利用日影测出金字塔的高。他的方

法是由一根立竿的影长和同时测得的金字塔的影长算出了金字塔的高度。泰勒斯被称

为西方的“测量之祖”。泰勒斯的这一工作与陈子的工作大致在相同的时期，然而陈

子的方法要比泰勒斯的方法水平高得多，泰勒斯只利用到相似三角形的知识，而陈子

除了能利用相似三角形的性质外，还能熟练地运用勾股定理。

七、祖冲之、祖暅父子

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了

一步。根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小

数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为

355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图

（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基

础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势

既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出

同一定理。祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

八、等间距二次内插公式。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学

馆及科举制度有关。在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经

十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。所以当时

的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。公元600年，隋代刘焯在制订

《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》

中将其发展为不等间距二次内插公式。

九、秦九韶的高次方程数值解法

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”

加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的

解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦

九韶还对一次同余式理论进行过研究。

十、杨辉三角和剁积术

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”

求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归

捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授

时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三

角的两个公式。

十一、珠算

明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠

算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国

古代数学进一步发展的主要原因之一。