数学典故

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谜语：‚无处不在，到处可见‛

谜底：空气（数学）

1．赛场上的记分牌、考卷成绩、身高、年龄、体重；

2．各种形状，长长、圆圆、弯弯曲曲、方方正正；

3．垂直、对称、成比例、有顺序；

4．加、减、乘、除、乘方、开方、指数与幂；

5．代表顺利的、吉祥的、破碎的、永无止境的数；

6．传奇人物：

圆周率精确到小数点后七位数字的祖冲之；

攀登数学高峰、摘取数学皇冠明珠的陈景润；

7．国王赏麦、爱因斯坦记数、李白斟酒、岳家军点兵、国王择臣、

武松数念珠等故事。

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◆‚6‛----备受宠爱的数字

1．它属于美神维纳斯，象征美满的婚姻；

2．宇宙之所以完美，是因为上帝创造它花了6天时间；

3．它的因数有4个：1、2、3、6，除6外其它三个都是它的真因数，

把1、2、3加起来正好等于6；

所以它是一个完全数；还有28；

一万到四千万之间完全数不过5个。到1952年发现的完全数共

有12个。

◆黄金分割----最均匀美丽的比例

1：1.618

1．人的肚脐是人体总长的黄金分割点;

人的膝盖是人体肚脐到脚跟的黄金分割点；

2．名画—‚拾穗者‛的构图。

◆‚+、-、×、÷、=‛

公元1489年，德国人威德曼用‚+‛、‚-‛表示加减运算；

1631年，英国人威廉〃奥特用‚×‛表示乘法；

1630年，英国人约翰比尔发明‚÷‛；

雷科德发明‚=‛

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◆圆周率的故事

1．祖冲之、七位、世界第一，保持了一千年；

‚历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度可以作为衡量这

个国家当时数学发展水平的一个标志‛

2．1427年，阿拉伯数学家阿尔〃卡西、16位；

1596年，荷兰数学家卢道夫、35位；

1990年，计算机4.8亿位；

2002年12月6日，东京大学，12411亿位。

◆‚0‛

罗马数字没有0；

五世纪时，‚0‛从东方传到罗马，当时教皇非常保守，认为罗马

数字可以用来记任何数目，已足够用，就禁止用‚0‛，一位罗马

学者的手册介绍了0和0的一些用法，教皇发现后，对它施以酷

刑。

◆以‚规‛、‚矩‛度天下之方圆

山东省嘉祥县一座古建筑石室造像中，有两位古代神化中我们远

古祖先的形象，一位是伏羲，一位是女娲。

伏羲手中物体就是规，与圆规相似；

女娲手中物体叫矩，呈直角拐尺形。

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◆‚几何学‛

原意：‚土地丈量‛

1．五千多年前，古埃及尼罗河每年都要泛滥洪水，淹没农田，洪

水带来的泥土覆盖在田地上，使田界无法辨认，当洪水退后，要

重新丈量土地，于是产生了最早的几何学；

2．几何学：根据许多定义和公理，思考为什么，并一一证明出定

理的一门学问。

◆任何人的生日数字连起来，如1879年3月14日，写成1879314重

新排列，任意构成一个不同数（如3714819），用大数减去小数，得

一差，把差中各数加起来，如果是两位数，再加起来，最后结果是

9。

◆国王赏麦

印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人—本国宰相，宰相

就对国王说：‚陛下，请您在这张棋盘的第一个小格里赏给我一

粒麦子，第二个小格里两粒麦子，第三个格里四粒麦子，以后每

小格赏给的比前一格多一倍，六十四格放满了，也就是我要的奖

赏了‛。国王以为很简单，可结果发现把全印度，甚至全世界的

麦子拿来也供应不了宰相的要求。

2+2+2+……+2=2-1=18446744（粒）

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◆‚负数‛

最早认识和应用负数的国家----中国

2000年前，《九章算术》中，以卖出粮食的数目为正（可收钱）、

买入粮食的数目为负（要付钱）的入仓为正、出仓为负的思想。

这些思想西方比中国晚八九百年。

◆罗马数字：

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、XX、XXX、

XL、L、LX、LXX、LXXX、XC、

C、M

中国数字：

一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、二十、三十、

四十、五十、六十、七十、八十、九十、

百、千

◆整数和偶数一样多----一一对应

如：-5与-10、-4与-8、1与2，反之4与2、-100与-50

◆小数是中国人首先发明和使用的。

◆古印度人对数学的贡献被称为佛掌上的‚明珠‛。

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◆‚破碎数‛----分数

1．七世纪，有个数学家曾算出一道八个分数相加的题，被认为干

了一件了不起的大事；

2．很长一段时间，欧洲数学家编写课本时，都把分数运算单独叙

述，许多学生遇到分数后就会心灰意懒，不愿学习了；

3．德国人到现在为止，形容某人陷入困境，还常引用一句古老的

谚语，说他‚掉进分数里去了‛；

4．十七世纪西方，在计算机3/5+7/8+9/10+12/20时，用8000作公分

母，而我国2000多年前已知道；

5．我国最早的数学著作，汉朝初《算数学》；

6．公元263年，刘徽《九章算术》中‚分数除法就是将除数的分

子、分母颠倒与被除数相乘‛；

欧洲1489年，才由维特曼提出相似法则，比刘徽晚1200多年。

◆

S=X-1+“（X-1）/4”-“（X-1）/100”+“（X-1）/400”+C

X： 公元的年数；

C： 从这一年元旦算起到这天为止（包括这一天）的日数；

“ ”：表示括号内取整数部分

求出的S，再用7除，恰能除尽，则这一天周日，余1，则这一

天周一，依此类推。

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◆‚百羊问题‛

一牧羊人赶羊，又一过路人牵一肥羊从后面跟了上来，问道：‚你

赶来的这群羊大概有一百只吧‛！牧羊人答：‚如果这群羊加上一

倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的四分之一，

连你牵的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只‛。问这群羊共

几只？

X+X+1/2X+1/4X+1=100

X=36

◆毕达哥拉斯定理

1．在直角三角形里，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。

2．相传毕达哥拉斯发现定理后高兴得不得了，宰了100头牛庆贺多

天，他认为，宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数之比，除

此之外，就不再有别的东西了；

他的学生希伯斯算出边长为1的正方形对角线长度为√2， 而

√2既不是整数，也不是整数之比，他告诉了他的老师毕达哥拉

斯，毕达哥拉斯惊骇极了，他做梦也没有想到自己最得意的一项

发明竟招来一位神秘的“天外来客”，毕达哥拉斯无法解释这一现

象，又不敢承认√2是一个新的数，因为他的全部‚宇宙‛理论

都奠定在整数基础上，他下令封锁这一消息，不准希伯斯再谈论

√2，并且警告他说：不要忘记入学时立下的誓言。

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◆看谁的金币多

美国物理学家W〃纽科姆提出，至今未解决。

一个外星人来到地球，他叫欧米加，他可以准确地预言每一个人

在面临‚两个里挑一个‛时会选择哪一个。

他用两个箱子检验了许多人，箱子A是透明的，总是装100个金

币，箱子B是不透明的，它要么装10000个金币，要么空着。他

告诉每个受试者，有两种选择，一种是拿走两个箱子，可以获得

其中的东西，可是当我预计到你这样做时，我就让B空着，你只

能得100个金币；另一个选择是只拿一个箱子B，如果我预计到

你这样做时，我就放进箱子中10000个金币，你能全部得到它。

一个男孩子决定只拿B箱，理由是：每次他预计对了，凡拿两个

箱子的人只能得到100个金币，所以我只拿B箱，可得10000金币。

一个女孩子决定拿两个箱子，理由是：欧米加已经做完他的预言，

并且已经离开了，箱子不会变了，如果是空的，仍是空的，若有

则仍有，可得10100个金币，若B是空的，而她只拿了B箱，则

什么都没有，两个都拿了，至少可得100个金币，在这种情况下，

她拿两个箱子都比拿一个箱子多得100个金币。

◆若一个人每分钟能数100个数，每天数8小时，每周数5天，一

个月约数到100万，80年多一点的时间能数到10亿。

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◆丢番图的墓志铭

代数学之父的古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一首诗，既代表

他的生平，又是对他最好的纪念。

墓中

长眠着一个伟大的人物----丢番图

他一生的六分之一时光，是童年时代 14） （

又度过了十二分一岁月后，他满脸长出了胡须（21）

再过了七分之一年月时，举行了花烛盛典 33） （

婚后五年得一贵子 38） （

可是不幸的孩子

他仅仅活了父亲的半生时光

就离开了人间 80） （

从此作为父亲的丢番图

在悲伤中度过了四年后，结束了自己的一生 84） （

X=1/6X+1/12X+1/7X+5+1/2X+4

X=84

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◆蜜蜂的智慧

1．在数学上，若用正多边形去铺满整个平面，这样的正多边形只

能有三种，即正三角形、正方形、正六边形；

2．蜜蜂的蜂房由许多个正六棱柱状的蜂巢组成，蜂巢一个挨一个，

紧密排列着，中间没有一点空隙；

3．法国天文学家马拉尔第亲手测量了许多蜂巢，发现：每个正六

边形蜂巢的底都是由三个全等的菱形拼成的，而且每个菱形的钝

角都等于109°28′锐角为70°32′。

◆‚洛书‛

相传，在大禹治水年代，陕西的洛水常泛滥，所以每当洪水泛滥

的季节来临前，人们抬着猪羊去河边祭神，每一次等人们摆好祭

品，总有一个大乌龟从河中爬出来，慢吞吞绕祭品转一圈，大乌

龟走后，河水又照样泛滥，后来人们开始留心大乌龟，发现龟壳

有9大块，横数三行，竖数三行，每一块壳上都有几个小点点，

正好凑成从1到9的数字，可是谁也弄不懂什么意思，有一年，

大乌龟又爬上岸，忽然一个看热闹的小孩惊奇的叫了起来：‚多

有趣，这些小点点无论是横加、竖加、斜加算出来都是15‛。人

们想，河神大概是每样祭品都要15份，赶紧抬来15头猪、15头

羊，河水再也不泛滥了。乌龟壳上这些点点后来被称为‚洛书‛，

而像这样具有奇妙性质的图案叫‚幻方‛，‚洛书‛只是其中一种。

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◆数学黑洞‚西西弗斯串‛

1．在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯串被罚将一块巨石推到

一座山上，但无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前滚

下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串由此

得名。

2．任取一个数，如35962，数出这个数中的偶数个数、奇数个数及

所有数字个数分别为2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（5位数），

用这三个数再任意组成一个数235，对235重复上述程序，就会

得123，将123再重复进行，仍得123，对这个程序和数的‚宇宙‛，

123就是一个数学黑洞，这就是数学黑洞‚西西弗斯串‛。

◆‚幻方‛

1．清朝，张潮构造出一个幻方--‚龟文聚六图‛，图中的24个数

起到了40个数的作用，使各6边形中诸数之和都等于75；

2．欧洲著名数学家欧拉由前64个自然数组成，每列或每行的和都

是260，而半列或半行的和又都等于130，最有趣的是这个幻方的

行列数正好与国际象棋棋盘相同，按马走‚日‛字规定，根据这

个幻方里数的排列顺序，马可以不重复地跳遍整个棋盘，所以这

个幻方叫‚马步幻方‛。

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◆数学的‚软工具‛

1．有一个两人游戏：桌上放一堆火柴，由两人轮流从这堆火柴里

每次取走1～3根，谁取走这堆火柴的最后一根，谁就是胜者。

若原先是1、2或3根火柴，谁先谁赢；

若原先是4根火柴，则后者赢。

因此，若某人能在取火柴后留下马根，就一定获胜，而若在取后

留下8、12、16、20……，也一定获胜，即每次取火柴后留下4N

根火柴，定会获胜。

2．象这样从个别的、简单的情况出发，通过实验推论得出结论，

然后再总结出一个一般性结论，这种方法叫归纳法，它称为逻辑

方法，也称为数学的‚软工具‛，同时也包括演绎法、综合法、

类比法、分析法等。

3．归纳法归纳出来的规律不一定成立

从前有一个地主，请先生教他儿子写字，先生教他临摹，写一划

教：‚这是一字‛，写两划又教‚这是二字‛，写三划告诉他‚这

是三字‛，地主儿子一看太简单，于是告诉父亲他已经全部学会，

可以辞退先生。一天地主请姓万的人喝酒，让儿子写帖，儿子从

早到晚都在写，仍没有写完，还抱怨要写一万个一划太累了。

这说明简单归纳会犯错。

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◆纪塔娜女神的智慧

在非洲流传一个古老的神话：一个酋长要分给纪塔娜女神一块土

地，这块土地可以用一张灰鼠皮围起来，酋长十分得意，他认为：

一张灰鼠皮本来就很小，用它能围出多大一块土地？

纪塔娜女神接过鼠皮后，把它剪成很细的皮条，连成一条长皮绳，

她用皮绳靠海岸线围成一块很大的半圆形土地，结果分得一块很

大的土地，酋长连呼吃亏。

◆奇怪的遗嘱

相传一位老人临终立下遗嘱，规定3个儿子可分掉他17头牛，

但规定老大得总数的1/2，老二得总数的1/3，老三得总数的1/9，

大家想半天仍未解决。

一天有个老农牵头牛经过，听说后，想了一会，说道：‚我把这

头牛借给你们，分完后再把这头牛还给我就行了‛。

结果，老大分到9头牛，老二分到6头牛，老三分到2头牛，还

剩一头牛正好归还。

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◆托尔斯泰最欣赏的一道数学题

‚一些割草人在两块草地上割草，大草地的面积比小草地大一

倍，上午，全体割草人都在大草地上割草，下午他们对半分开，

一半人留在大草地上，到傍晚时把剩下的草割完，另一半人到小

草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割完，这一小块第二天由一

个割草人割完，假定每半天劳动时间相等，每个割草人工作效率

相等，问共有多少割草人‛？

托尔斯泰年轻时发现的算术解法：

‚大草地上，因为全体割了一上午，一半人又割了一下午才割完，

所以把大草地面积看作1，一半人半天时间割草面积为1/3，在小

草地上另一半人曾工作了一个下午，这样他们在半天时间的割草

面积也是1/3，则第一天割草总面积为4/3，剩下面积应为小草地

面积1/2减去1/3，剩1/6，这一小块第二天由1人割完，说明每人

每天割草1/6，则（4/3）÷（1/6）=8（人）‛

◆勾股定理

勾股定理在《九章算术》中的表述：‚勾股术曰：勾股各自乘、

并，而开方除之，即弦‛。

即c=√a+b，又有a = √c-b、b=√c-a

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◆中国古代数学著述

1.春秋前的萌芽：

⑴‚隶首作数‛、‚结绳记事‛、‚刻木记事‛；

⑵殷商甲骨文中已有13个记数单字，最大的数是‚三万‛最小的

数是‚一‛；

⑶已经蕴含有十进位置值制萌芽；

⑷伏羲创造了画圆的‚规‛和画方的‚矩‛，也传说黄帝的臣子倕

（chuí垂）是‚规矩‛和‚准绳‛的创始人，大禹治水时，禹便

‚左准绳‛，‚右规矩‛，《周髀（bì婢）算经》记载了商高答周公

问，提到用矩测望高深广远；

⑸春秋时期，人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分

数。

2.战国至两汉数学框架的确立：

⑴《周髀（bì婢）算经》

①以数学方法阐述盖天说的天文著作；

②记载了商高答周公问，其中有勾股定理的特例：3+4=5；

222

③记载了陈子答荣方问，其中有用勾股定理及比例算法测太阳高远

及直径的内容。

⑵《九章算术》

①基本框架：‚九数----方田、粟米、差分、少广、商功、均输、

方程、赢不足、旁要‛；

②集先秦到西汉数学知识之大全；

③西汉张苍、耿寿昌收集秦朝焚书的遗残，加以整理删补，成为《九

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章算术》。

3.魏晋至唐初数学理论体系的建立：

⑴刘徽的《九章算术注》；

⑵赵爽的《周髀算经注》；

⑶《孙子算经》：‚河上荡杯‛、‚鸡兔同笼‛、‚物不知数‛；

⑷张丘建《张丘建算经》：‚百鸡问题‛；

⑸祖冲之和儿子祖暅（gèng更）之（一作祖暅，生平不详）《缀术》；

⑹北周甄鸾《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》；

⑺唐初王孝通《缉古算经》；

⑻《算经十书》----《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、

《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》（《数术记遗》）。

4.唐中叶至宋元数学的高潮:

⑴韩延《算术》（《夏侯阳算经》）；

⑵贾宪《黄帝九章算经细草》；

⑶沈括《梦溪笔谈》；

⑷刘益《议古根源》；

⑸秦九韶《数学九章》；

⑹杨辉《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、

《田亩比类乘除捷法》；

⑺李冶《测圆海镜》、《益古演段》；

⑻朱世杰《算学启蒙》、《四元玉鉴》；

⑼《丁巨算法》；

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⑽贾亨《算法全能集》； 改进乘除捷算法的著作

⑾何平子《详明算法》；

5.明清----从衰落到艰难的复兴

⑴吴敬《九章算法比类大全》；

⑵程大位《算法统宗》；

⑶利马窦与徐光启合译《几何原本》；

⑷梅文鼎《梅氏丛书辑要》；

⑸《数理精蕴》；

⑹李善兰（开展现代数学研究的第一位中国数学家）

《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》；

⑺《代微积拾级》----中国第一部微积分学译著；

⑻《代数术》、《微积溯源》、《三角数理》、《决疑数学》（中国第一

部概率论译著）；

⑼《椭圆正术解》、《级数回求》、《垛积比类》、《考数根法》。

◆百鸡问题

《张丘建算经》中提出了一个不定问题，即世界数学史上著名的

百鸡问题：‚今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱

一，凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？‛

X + Y + Z =100

5X+3Y+1/3Z=100

百鸡问题对阿拉伯、欧洲数学产生了巨大的影响。13世纪意大利

菲波那契的《算法之书》、15世纪阿拉伯的阿尔〃卡西的《算术

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之钥》都有百鸡问题，显然源于中国。

◆‚耗子穿墙‛

两只老鼠想见面，可是隔着一堵墙，于是它们齐声喊到：‚咱们

一起打洞吧！‛接着，找一处紧对的缝打起洞来了。这两只老鼠

一大一小，头一天各打进墙内一尺。大鼠越干越有劲，以后每天

的进尺都增加一倍；小鼠越干越累，以后每天的进尺却都是前一

天的一半。现在知道墙壁厚五尺，问几天后它们才能会面？各打

穿几尺？（等比级数、‚盈不足术‛）

（第一日，大、小鼠各打1尺，共计2尺；

第二日，大鼠打2尺，小鼠打0.5尺，共计2.5尺，差0.5尺；

第三日，大鼠打4尺，小鼠打0.25尺，共计4.25尺，多3.75尺。

二日不足，三日则盈，需用0.5÷4.25=2/17(日)，共用2又2/17日。

◆‚雉兔同笼‛

‚今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几

何？‛（初学代数的典型入门题）

X+Y =35 X=23

2X+4Y=94 Y=12

◆‚河妇荡杯‛

‚今有妇人河上荡杯，津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有

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客。’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，

四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何。’‛

（X/2+X/3+X/4=65 X=60）

◆‚中国剩余定理‛或‚孙子定理‛

若某数N分别被D、D、…D除得的余数为R、R、…R ，

12N12N

则N可以表示为下式： N=KR+KR+…+KR-ql

1122NN

K----D、D、D、…D的公倍数，且被D除得的余数为1；

1234N1

K----D、D、D、…D的公倍数，且被D除得的余数为1；

2134N2

……

q----根据题意确定的整数（正或负）

l----D、D、D、…D的最小公倍数，且D、D、…D互质。

123N12N

◆‚物不知数‛

‚今有物不知数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、

七数之，剩二。问物几何？‛

◆‚数不知总‛

‚今有数不知总，以五累减之无剩，以七百十五累减之剩十，以

二百四十七累减之剩一百四十，以三百九十一累减之剩二百四十

五，以一百八十七累减之剩一百零九，问总数若干？‛

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◆‚余米推数‛

‚问：有米铺诉被盗，去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左

壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、

乙、丙三人，甲称当夜摸得马勺，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢

得木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩舀入袋，将归

食用，日久不知数。索到三器，马勺满容一升九合，木履容一升

七合，漆碗容一升二合。欲知所失米数，计赃结断，三盗各几何？‛

列不定方程：

2X+Y=M

3Y+Z=M

4Z+W=M

5W+U=M

6U+X=M

◆‚周公问数‛

《周髀算经》首页：昔者，周公问于商高曰‚窃闻乎大夫善数也，

请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，

请问数安从出？‛

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◆‚五家共井‛

‚今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一

绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不

足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？‛

算题选译

♥

今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二

日，甲乃发长安。问几何日相逢?(甲从长安出发，需五天时间到

达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安。现在乙从齐出发两

天后，甲才从长安出发。问几天后两人相遇?)

♥

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税

一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。

问本持金几何?(某人拿金子过五个关口，第一关收税二分之一，

第二关收三分之一，第三、四、五关分别收税四分之一、五分

之一、六分之一。一共被收税正好一斤重。问原来拿多少金子?)

♥

今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺。问径几何?(有一根圆木被埋在墙里，不知它有多粗。用锯

锯1寸深，锯道长1尺。问圆木的直径是多大?)

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♥

今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次

日转多七人。每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升。问

筑堤几日?(官府派遣民夫1864人去修堤，第一天派64人，以后

每天增7个人。每人每天发3升米，共发403石9斗2升米。

问共修堤几天?)注：用总人数算出天数，再用总米数算出天数，

互相对照。

♥

或问乙出(圆城)南门，东行七十二步而止，甲从乾隅南行六百步

望乙，与城参相直。城径几何步?(乙从

圆城的南门出去，即往东走，走72步时

站下；甲从‚乾‛角(见图)往南走600

步，看到乙时视线正好贴城边。问圆城

的直径是多少步?)

♥

今有邑方十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出。乙东出；甲

南出，出门不知步数，邪向东北磨邑，适与乙会。率甲行五，

乙行三。问甲、乙行各几何?(有一座十里见方的城，正东、正西、

正南、正北都开门。甲、乙都从城中心出发。乙出东门；甲出

南门，不知道走多远，转朝着东北方向走去，路线贴着城边，

正好会到乙。甲与乙的速度比是5比 3。问甲、乙分别走了多

远路?)

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♥

今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百

九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良

马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何?(好马和劣马

同时从长安出发去齐。齐离长安 3000里。好马第一天走193里。

以后每天增加13里；劣马第一天走97里，以后每天减少半里。

好马先到达齐，再往回走去迎劣马。问共走多少天两马相遇?两

马各走多少里?)

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今有望清渊，渊下有白石。偃矩岸上，今勾高三尺，斜望水岸，

入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩于上，

其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，

入上股二尺二寸。问水深几何?(现在想测量一处清水坑，坑底有

一块白石。在岸上竖立一把矩，矩的短边高3尺。从这边端点

往对岸看去，视线交矩的长边于 4.5尺处；向白石看去，交矩

的长边于2.4尺处。再设一把矩于它的上

面，两矩之间距离为4尺。再从这把矩的

短边端点斜看对岸和白石，视线交矩的长

边分别于4尺和2.2尺处。问水有多深?)画

草图如下。

♥

今有人举取他绢，重作券，要过限一日息绢一尺，二日息二尺，

如是息绢日多一尺。今过限一百日。问息绢几何?(债主拿借方的

绢做抵押品，债务过期一天要纳利息1尺绢，过两天利息是2

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尺，这样，每天利息增多1尺。过期 100天，共纳利息多少尺

绢?)

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今有三女各刺文一方，长女七日刺讫，中女八日半刺讫，小女九

日太半刺讫。今令三女共刺一方，问几何日刺讫?(有三个女子各

绣一块花样，长女用7天时间绣完，次女用8天半绣完，小女

用9又2/3天绣完。现在三个女子一起来绣一块花样，得用多少

天时间绣完?)

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假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下

袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四

百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五

尺，限五日役台毕……问台广、高、袤各几何?(假设太史官要建

造一座长方台形的观象台，下底的宽、长都大于上底的宽、长。

上、下宽差2丈，上、下长差4丈，上底的长与宽差3丈，高

比上底宽多11丈。甲县派 1418人，乙县派3222人参加建台，

夏季施工，每人每日能筑 75立方尺，限5日完成。求台的宽、

高、长。)

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或问城(圆城)南有槐树一株，城东有柳树一株。甲出北门东行，

丙出西门南行，甲、丙、槐、柳悉与城参相直。既而丙就柳行

五百四十四步，至柳树下；甲就槐行四百二十五步，至槐树下。

城径几何步?(圆城的南门外有一株槐树，东门外有一株柳树。甲

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出北门即往东走。丙出西门就往南走，当他们站下时，发现两

人所站的位置与槐树、柳树在一条直线上，这直线紧贴城边过

去。然后，丙朝柳树方向走，走544步到柳树下；甲朝槐树走

去，走425步到槐树下。问圆城的直径是多少步?)

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钱一百，买温柑、绿橘、扁橘共一百枚。只云：温柑一枚七文，

绿橘一枚三文，扁橘三枚一文，问各买几何?(用 100文钱买温

柑、绿橘、扁橘共100枚。说是温柑1枚卖7文钱，绿橘1枚

卖3文钱，扁橘3枚卖1文钱。问三种水果各买几枚?)

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今有城，不知大小，去人远近。于城西北隅而立四表，相去各六

丈，令左两表与城西北隅南北望参相直。从右后表望城西北隅，

入右前表一尺二寸。又望西南隅，亦入右前表四寸。又望东北

隅，亦入左后表二丈四尺。问城去左后表及大、小各几何?(有一

座城，不知有多大，离人有多远。在它的西北角立四根杆，各

杆间距离为6丈，左边两杆与城西北角南北方向成直线。从右

后杆看城西北角，视线通过杆间连线离右前杆1尺2寸处。又

看西南角，则离右前杆4寸处。再看东北角，离左后杆2丈4

尺处。问城离左后杆有多远?城有多大?)

提示：根据题意，知道城是矩形的；按图，A、B、C、D为杆，

BE=12寸，BF=4寸，DG=240寸，

求DK=? HK =? HL=?其中古人

的前后左右和东西南北画法如图

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中方向所示。

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假令有勾弦相乘幂一千三百三十七、二十分之一，弦多于股一、

十分之一。问股多少?(如果勾、弦的乘积为 1337又1/20，弦比

股大1又1/10，那么，股是多少呢?)

♥

醇酒每斗七贯，行酒每斗三贯，醨酒三斗直一贯，今支一十贯，

买酒十斗。问各几何?(好酒l斗卖7贯，一般的酒1斗卖3贯，

薄酒3斗价值1贯，现在用10贯钱买 10斗酒。问每样各买多

少?)

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今有股弦较除弦和和，与直积等。只云勾弦较除弦较和与勾同。

问弦几何?(股弦差除‚弦与勾股和的和‛等于矩形面积

(a+b+c)/(c-b)=ab，又勾弦差除‚弦与勾股差的和‛等于勾（c+b-a）

/（c-a）=a。那么，弦是多少呢?)注：分别用a、b、c表示直角三

角形中的勾、股、弦。

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问临水城台，立高三丈，其上架楼。其下址侧脚阔二尺。护下排

沙下桩，去址一丈二尺。外桩露土高五尺，与址下平。遇水涨

时，浸至址。今水退不知多

少，人从楼上栏杆腰串间，

虚驾一竿出外，斜望水际，

得四尺一寸五分，乃与竿端

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参合。人目高五尺。欲知水退立深，涸岸斜长自台址至水际各

几何?(参看《临台测水图》：水边有一座城台，台高AB=3丈，

在上面建楼。在护坡上打桩，离台脚 CB=1丈2尺，露出地面

CD=5尺，顶端与台脚齐平。涨水时，水位达到台脚高。现在不

知道水退去多少，有一个人从楼上栏杆空隙挑出一根竿子，竿

的顶端与台脚构成铅直方向，望到水边，视线通过竿的顶端，

这时，人站立的地方离竿的顶端AE=4.15尺，眼睛离楼面的高度

FE=5尺。求水退去的深度，以及台脚至水边的斜长。)注：题中

第四句‚其下址侧脚阔二尺‛是多余的。

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问有急足三名，甲日行三百里，乙日行二百五十里，丙日行二百

里。先差丙往他处下文字，既两日，又有文字遣乙追付；已半

日，复有文字续令甲赶付乙。三人偶不相及，乃同时俱至彼所。

先欲知乙果及丙，甲果及乙，得日并里，次欲知彼处去此里数

各几何。(有三名快递员，甲一日能走300里，乙一日能走250

里，丙一日能走200里。先派丙去别处送文件，走了两天后，

又有文件，就差遣乙去追丙，以便交给丙；又过了半天，再有

文件，令甲追乙，以便交给乙。因为三个人会不到一起，干脆

就都到目的地去。已知三人各到达目的地的时刻与各起程的时

刻相同(即每人到达目的地所走的时间都是‚整数‛日)，问：乙

用几天时间追到丙?甲用几天时间追到乙?从出发点至目的地的

全程是多少里路?)

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今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺。今有绢七匹，欲减买

紫草，还自染余绢。问减绢、买紫草各几何? (用一匹绢能买紫

草30斤，30斤紫草能染25尺绢。现在有 7匹绢，准备去买紫

草来染剩下的绢。问：要拿多少绢去买紫草?买多少斤紫草?)(按

古法：1匹等于4丈)

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韩 信 点 兵

我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部

下报三次数，第一次按1～3报数，第二次按1～5报数，第三次按

1～7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样

韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷

算”、‚隔墙算‛、‚秦王暗点兵‛等。

这种问题在《孙子算经》中也有记载：‚今有物不知其数：三

三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?” 它的意

思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个

5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些

物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方

数学家把它称为‚中国剩余定理‛。到现在，这个问题已成为世界

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数学史上闻名的问题。

到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零

五便得知。

用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5

除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15。最后把这些乘积

加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。

《孙子算经》中这个问题的算法是：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105－105＝23

所以这些物品最少有23个。

根据上面的算法，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，

否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗？

这是因为，被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。

被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；

所以，这三个数的和15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，

被5除余3，被7除余2的性质。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整数是 15×2＝30；

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被3、7整除，而被5除余3的最小正整数是 21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整数是 70×2＝140。

于是和数15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，

被7除余2的性质。但所得结果233（30＋63＋140＝233）不一定是

满足上述性质的最小正整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数

105的若干倍，直至差小于105为止，即 233－1o5－105＝23。所以

23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。

我国古算书中给出的上述四句歌诀，实际上是特殊情况下给出

了一次同余式组解的定理。在1247年，秦九韶著《数书九章》，首

创“大衍求一术”，给出了一次同余式组的一般求解方法。在欧洲，

直到18世纪，欧拉、拉格朗日（lagrange，1736～1813，法国数学家）

等，都曾对一次同余式问题进行过研究；德国数学家高斯，在1801

年出版的《算术探究》中，才明确地写出了一次同余式组的求解定

理。当《孙子算经》中的“物不知数”问题解法于1852年经英国传教

士伟烈亚力（wylie alexander，1815～1887）传到欧洲后，1874年德国人

马提生（matthiesn，1830～1906）指出孙子的解法符合高斯的求解定

理。从而在西方数学著作中就将一次同余式组的求解定理称誉为

“中国剩余定理”。

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