中国古代圆周率的发展

中国古代圆周率的发展

圆周率，一般用来表示，它是圆的周长与它的直径的比值（也

是圆的面积与它的半径的平方的比值），它的值，即这两个长度

之间的比值，不取决于圆周的大小，也就是说，不管一个圆的周

长是大是小，的值都是恒定不变的.它约等于3.14159265，是一

个无理数.在平时的计算中，我们通常用3.14来代表圆周率，它

是计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值.

1、中国古代对圆周率的研究

中国古代最早关于圆周率的记载的古书是《周髀算经》，里

面有“径一周三”的记载，人们计算圆周率的方法是测量，设想

一个古代的轮子，让轮子在路面上滚一整圈，测量一下滚动的距

离和直径，可以发现比值略大于3，这个过程不需要复杂的测量

仪器，一根绳子就足够了，用绳子量一下轮子的直径（可以打个

结做标记），然后再用绳子去量滚动的距离，可以得到一个粗略

的结果：

1.1刘歆对圆周率的早期研究

刘歆（公元前50年～公元23年），字子骏，是西汉后期的

著名学者.刘歆较早开始研究圆周率在公元1～5年，刘歆受王莽

之命仿周礼制铜斛，其中就涉及到了圆周率.据《隋书律历志》

第十六卷记载，便有“律嘉墨斛，方尺而圆其外，兆旁九厘五毫，

幂百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗”的说法。

这个量器呈圆柱形，其横截面是圆形，圆内的正方形边长为

一尺。根据圆的面积公式可算出其圆周率为：

1.2 张衡――第一个从理论上求得圆周率的人

张衡（78～139），字平子，汉族，南阳西鄂人。在数学方

面，人们知道的主要在于他对圆周率的研究。张衡所获圆周率的

精密度不及前人，但是他求圆周率的思路，开辟了一个新方向。

事实上，在张衡以前，无论是《周礼?遂人》中有关器具如何制

作的规定还是刘歆对王莽嘉量的制作，都只靠实测而完成，亦即，

全靠实测来修正古率，从来没有人企图从理论上求出圆周率的

值。可以说，只有张衡才是第一个从理论上求出圆周率的人。后

来的刘徽正是沿着他的道路而获得成功的。

1.3 刘徽的割圆术

刘徽（约公元225年～295年），汉族，是三国时期魏国的

著名数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，自幼攻读《九章

算术》，发现其中有不少不尽人意之处，于是决心为《九章算术》

作注.在注述中表现了很多创见，为中国数学的发展做出重要的

贡献，特别值得称道的是他对圆周率的研究。他在《方田》章“圆

田术”的注释中指出“周三径一”的谬误，并批评说：“然世传

此法，莫肯精窍，学者踵古，习其谬失。”为了求出较为精确的

圆周率，他发明了割圆术，其做法是：

首先给出半径为一尺的圆内接正多边形边长的递推公式：

（1）

以及面积公式： （2）

然后依次求得S6，S12，S24，S48，S96和S192，再利用不

等式（刘徽不等式）

（3）

求得圆周率的近似值为

刘徽只算到了圆内接正九十六边形的边长，故而他求得的圆

周率为：

刘徽的研究很大程度上借鉴了张衡的研究。牛顿曾经说过

“我之所以取得伟大的成就是因为我站在巨人的肩膀上”，刘徽

也是站在张衡的肩膀上才取得成功的，刘徽的割圆术打开了精确

求圆周率的方便之门。

1.4 祖冲之――圆周率精密计算第一人

祖冲之，字文远（公元429―500年）他是南北朝时期杰出

的数学家和天文学家，祖冲之最主要的数学成就就是对圆周率的

计算，他得到这样的两项成果：

（1）圆周率的小数近似值：

（2）圆周率的分数近似值：

为纪念他的数学贡献，现在把称为“祖率”。

2.中国古代圆周率对世界的影响

第一个向西方全面介绍中国古代数学文献和数学成就的是

19世纪英国来华传教士，著名的汉学家怀利（1815―1887）；

第一个对中国数学家关于圆周率研究成果做全面介绍的是日本

数学史家三上义夫（1875―1950）。在1910年三上义夫就在数

学史专业杂志上发表论文介绍中国数学家在圆周率方面的成就。

1913年出版的英文杂志《中日数学发展史》中，三上义夫专章

论述了中国数学家的有关结果。

20世纪80年代后，中国数学领域的西方研究者逐渐增加，

中国的圆周率历史得到许多西方数学史家的深入研究，祖冲之等

人的成果将永载数学史册，激励国人为在21世纪把中国建设成

数学大国而努力。