数的起源与发展

数的起源与发展

摘 要：

数，从我们懂事开始，就天天和我们打交道的对象，但是你知道数是

怎样产生，又是如何发展成为今天这个模样的吗？数是人类文明的伟大创造，人

类在长期的实践中，由于生活的需要产生了数。在人类几千年的发展历程中，人

类对数的认识一步步深入，到现在数已经涉及到社会的各个领域，本文旨在介绍

数的起源，数的发展的几个阶段，以及数的衍生。

关键词：

数 起源 发展 远古时期 罗马时期 筹算 0的引进

阿拉伯数字

正 文：

（一）数的起源

数是一个神秘的领域，人类最初对数并没有概念.但是，生活方面的需要，

让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。

数究竟产生于何时，由于其年代久远，我们已经无从考证。不过可以肯定的

一点是数的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家

提供的证据,人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。

1。数的概念的产生

原始时代的人类，为了维持生活他们必须每天外出狩猎和采集果实.有时他

们满载而归，有时却一无所获；带回的食物有时有富余,有时却不足果腹。生活

中这种数与量上的变化，使人类逐渐产生了数的意识。在那个时候，他们开始了

解有与无，多与少的差别，进而知道了一和多的区别.然后又从多到二、三等单

个数目概念的形成,是一个不小的飞跃。随着社会的进一步进步和发展，简单的

计数就是必须的了，一个部落集体必须知道它有多少成员或有多少敌人，一个人

也必须知道他的羊群里的羊是不是少了.这样，人类的祖先在与大自然的艰难搏

斗中，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生

了数的概念。

数的产生，标志着人类的思维逐步由事件的直观思维走向形式或抽象思维.

但当代科学界多称为数量的形式思维，标志着人们的思维由朴素的“低级”思维

向“高级"思维发展.无疑，由此就形成了认识的差别性。实际上，形式思维在于

笼统性，事件的直观思维在于事件的具体性。显然，“低级、高级"的区分，是将

“事件的具体性”深层次性贬低的错误认识.因为任何将物质或事件的深层次性

揭示清楚的分析，无疑具有本质性;而形式的笼统性，只能停留在表面的一般性。

所以，将形式的数量分析称为“高级”性，是来自毕达哥拉斯学派的认识观，尔

后流行的“量化可比性是科学的唯一标准”的由来.无疑，“数或数量”来自物质

或事件的计量，尔后扩展为计时、编序或丈量土地面积、计算财富等日常生产和

生活的需要。正如英国哲学家伯特兰•罗素所说：“当人们发现一对雏鸡和两天之

间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”最早发明的数是自然数。

但也局限于分辨一、二等数量的增多.当人们用自己的十个手指记数不敷应用时，

便开始采用“石头记数"、“结绳记数”和“刻痕记数"等记数方法.

2.计数方法

考古证据表明，虽然地区和民族之间存在差异,但在采用计数方法时,都不约

而同地使用过“一一对应"的方法.关于这个方法，在我国还有一则流传已久的笑

话：从前，有个目不识丁的大财主,请了一位教书先生来教他儿子识字.第一天，

先生在纸上画了一横，说,这是“一".第二天，先生在纸上画了两横，说:，这是

‘二’。第三天，先生在纸上画了三横，说,这是‘三'。财主的儿子学到这儿,便

把笔一扔，跑过去对他爹说:“识字真是太容易了，我已经全学会了"。财主自然

十分高兴，便把先生辞退了。过了几天，财主要请一位姓万的亲戚到家里做客，

就让儿子写一份请帖.谁知财主左等右等，从早上一直等到晌午,还不见请帖送来，

他只好亲自上房去催。儿子看见父亲来了,便埋怨地说“天下姓氏那么多,偏偏拣

个姓‘万’的.从早上到现在，我才画了五百多划，离一万还远着呢……。”这虽

然是一则笑话，但这种画杠的方法曾经被多个民族所采用。关于这个一一对应的

方法，可以举出许多别的例证,如一些美洲的印第安人通过收集每个被猎杀者的

头皮来计数他们杀敌的数目；一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他

们所捕野猪的数目；居住在乞力马扎罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女,习惯

在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。几乎所有的人都常常扳着指头计数较

小的数目.1937年，人们在捷克斯洛伐克发现了一根大约三万年前的狼桡骨，上

面刻有许多横划。在我国北京郊区周口店的山顶洞人遗址中,考古学家发掘出了

四根带有磨刻痕迹的骨管，发现它们已有一万多年的历史了。结绳记数(或记事）

的方法，也曾经被许多民族所使用。比如,南美印加人的结绳办法就是在一条较

粗的绳子上,拴住很多颜色各异的细绳，再在细绳上打不同的结，根据绳的颜色，

结的大小和位置，来代表不同事物的数目。在记数史上，继结绳和刻画之后,人

们开始用语言来表述一定的数目。最初，这些数目都是和一定的具体对象联系的，

没有一定的次序。南美的卡马尤拉部落人把中指一词作为数词三，所以他们也把

三天说成中指天.在马来亚语和阿兹特克语中数词一、二、三在字面上指的是一

块石头、两块石头、三块石头；在南太平洋纽埃岛人的语言中，这三个数词在字

面上的意思是一个果子、两个果子、三个果子;而爪哇语中这三个词的意思则是

一颗谷粒、两颗谷粒、三颗谷粒。也许是因为人的手和脚都各有五个指（趾)头

的缘故吧，人们常常把手或脚与数字五联系起来。新几内亚东南部的巴希亚部落

人，把99说成四个人死去了，两只手废弃了，一只脚坏掉了，你能试着解释上

面的这段话吗?

（二）数的发展历程

数的发展总体可以分为远古时期、罗马时期、筹算、0的引进和阿拉伯数字

这五个阶段。

1。第一阶段----— 远古时期：

远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难:如何表示一棵树、两

只羊等等。而在当时并没有符号或数字表示具体的数量，所以他们主要以结绳记

事或在石头上刻痕迹的方法计数.

原始人是小禽兽的狩猎者和果实和根茎的收集者.历史学家们为了方便，把

人类从诞生时起到公元前3000年冶金的城市文明出现在中东、印度和中国为止

的这一时期称之为石器时代.像所有的历史时代一样，石器时代不是静止的。社

会和文明在时间的长河中变化，以适应变化着的世界。历史学家们又将石器时

代细分为旧石器时代、中石器时代和新石器时代三个时期来刻画这种变化.

旧石器时代（大约公元前5000000-10000年)时，智人从动物进化而来，并

且发展了石器时代的基本的社会经济结构。在中石器时代（大约公元前

10000-7000年）石器时代的狩猎者（收集者）经济典型化了。在新石器时代（大

约公元前7000—3000年），石器时代开始向铜器和铁器时代转变，那时人们开

始把狩猎者(收集者)的社会转变为最古老形式的农业和畜牧业的社会.旧石器

时代是从人类存在以前的世界向狩猎者社会的过渡。新石器时代则是从狩猎者

社会向农业社会的过渡.

石器时代这个时期,科学和智力的进展很有限。这并不是因为像有些人说的

石器时代的人脑子笨.在公元前20000年,大草原的狩猎者们在发展包括工具制

造、语言、宗教、艺术、音乐和商业在内的文明上费了不少的功夫。数学和科

学的进步，无论如何都曾受到那时候的社会和经济结构的制约。因为在石器时

代从事狩猎比从事农业的人多.他们不得不依据兽类的流动和自然成长的果实

和硬果的季节可利用性在季节变化时迁徙。他们只能把小的、易于运输的工具、

衣服和其它个人的东西带走。在狩猎者（收集者）的社会里，没有放冶金用的

大设备和大量藏书的房子；因此,石器时代的人不发展金属工具和书写语言.没

有城市，因为在大草原上,每一百平方英里只能为四十人左右提供可以充饥的食

物。在一个常很短暂的狩猎者的生命中，总是忙忙碌碌，没有空暇去思考哲学

或科学的问题。确实，有些很基本的科学成就是石器时代取得的。石器的人彼

此交易，并且他们需要记载在狩猎中得到的那份；这两种活动都需要计算和初

步的科学思考。有些石器时代的人，像北美印第安人就曾用绘画文字历法记录

了几十年的历史。他们只有最原始的记数制，直到大规模的农业发展起来了,

才需要复杂得多的算术.

石器时代的人们生活是艰辛的，那时候的人太忙了，不可能停下来发展科

学.在公元前3000年以后，人口密集的农业公社出现在非洲的尼罗河,中东的底

格里斯河和幼发拉底河,以及中国的黄河的两岸。这些公社发展文明,科学和数

学在这里才得以开始发展。

2.第二阶段--——罗马数字

大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为

计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；

表示五个物体就伸出一只手;表示十个物体就伸出两只手。这种习惯人类一直沿

用到今天。人们在交谈中，往往就是运用这样的手势来表示数字的。当时，罗马

人为了记录这些数字,便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；要表示一只

手时,就写成“Ⅴ"形,表示大指与食指张开的形状;表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”

形,后来又写成一只手向上,一只手向下的“Ⅹ",这就是罗马数字的雏形。

后来为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百.C是拉丁字“century”

的头一个字母,century就是一百的意思.用符号M表示一千.M是拉丁字“mille"

的头一个字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成为符号L，表示五

十。用字母D表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍.这样,罗

马数字就有下面七个基本符号：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ(10）、L（50)、C（100）、

D(500）、M（1000）。

罗马数字与十进位数字的意义不同,它没有表示零的数字,与进位制无关。罗

马数字因书写繁难，所以后人很少采用，但现在有的钟表的表面仍然用它来表示

时刻数。此外，在书稿章节及科学分类时也有采用罗马数字的.在中文出版物中，

罗马数字主要用于某些代码,如产品型号等。计算机 ASCⅡ码收录有合体的罗马

数字1～12。

3.第三阶段-—--筹算

筹算是中国古代使用算筹进行十进位制计算的程序.算筹和筹算属于不同范

畴，前者是计算器具，后者是计算算术程序。

筹算具体出现时间和数的产生一样已然不可考，但根据典籍记录和考古发

现，至少在战国初年筹算已经开始出现.它使用的是中国商代发明的十进位制计

数，可以很方便地进行四则运算以及乘方,开方等较复杂运算,并可以对零、负数

和分数作出表示与计算.从战国时期一直到明朝被珠算取代之前，筹算不但是中

国古代进行日常计算的方法,更是中国古代数学家研究数学时常用的计算器具,是

中国古代各种重要数学发明的基础，开创了中国古代以计算为中心的机械化数学

体系，与古希腊以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一

千多年世界数学的主流。

筹算在公元6世纪由中国传入朝鲜半岛和日本。七世纪的印度数学，分数中

的分子在上，分母在下,与中国同分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度

的学绝大部分来源于中国.后来筹算的乘除法传入印度，成为土盘算法。9世纪初

至10世纪，又经印度传入阿拉伯，这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作,

诸如《印度算术原理》,其土盘算式虽然用阿拉伯数字表示，但其十进位制概念，

分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算雷同，

有的还用空格“0”表示“0”，和筹算一模一样.有学者认为,中国古代的筹算，通

过丝绸之路传入印度、阿拉伯,促成印度－阿拉伯数字体系。

算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位

数字或分数的系统.单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2,5根棍表

示5如图上。但从6至9数字的表示，不是并排6至9根筹棍，而是采用同位五

进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图.这已蕴含算盘雏

形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相应数字的横码。大于9的数字，则用

十进制表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十

位数值左的位置，代表百位数,如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示

法,在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30,在百位放置筹数2，

代表200，总数即二百三十一（231）.《孙子算经》云：凡算之法：先识其位，

一从十横，百立千僵,千十相望，万百相当。

筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2,3，1并排排列，有

可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，先民发明了每隔一位交替使用竖码

横码，即个位竖码,十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以

完全避免误读了。

4。第四个阶段—-——0的引进

如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，

“0"已经传入罗马.大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”这个数字

的。这时，罗马有一位学者从印度计数法中发现了“0”这个符号。他发现，有

了“0”,进行数学运算非常方便。他非常高兴,还把印度人使用“0”的方法向大

家做了介绍。这件事不久就被罗马教皇知道了。当时，教会的势力非常大，而且

远远超过皇帝。教皇非常愤怒，他斥责说,神圣的数是上帝创造的，在上帝创造

的数里没有“0"这个怪物.如今谁要使用它，谁就是亵渎上帝！于是,他下令，把

那位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他再也不能握笔写字。就这样，“0”

被那个教皇命令禁止了。尽管罗马皇帝禁止“0”的出现,但“0”的出现，谁也

阻挡不住。后来,“0”在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.

筹算数码中开始没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示

为“┴ ╥ ”。数字中没有“零”，是很容易发生错误的.所以后来有人把铜钱摆

在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。不过多数人认为，“0”这一

数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人.他们最早用黑点（·)表示零，后

来逐渐变成了“0”。

说起“0”的出现，应该指出，我国古代文字中，“零”字出现很早.不过那

时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思.如“零头”、“零星”、

“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字

的引进。“105”恰恰读作“一百零五”，“零"字与“0"恰好对应，“零”也就具有

了“0”的含义。

0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代

叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字）。0这个数据说是由印度人在约公元5世

纪时发明,在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运

算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明

的0符号便可以写出所有数字……"由于一些原因,在初引入0这个符号到西方

时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数

字会使很多算式、逻辑不能成立（如除以0),甚至认为是魔鬼数字,而被禁用.直至

约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同,才使西方数学有快速发展。

关于0的出现还有另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老

的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空)的位置。

约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫。玛格

蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数.遗憾的是，他并没

有提到以命位记数法来进行计算的实例.也有的学者认为,0的概念之所以在印度

产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想.公元733

年,印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介

绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。

这套记数法后来又传入西欧.

5、第五个阶段————阿拉伯数字

阿拉伯数字就是现今国际通用的数字。阿拉伯数其实字应该称为印度数字，

公元3世纪，印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字。最古的计数目大概至

多到3，为了要设想“4”这个数字，就必须把2和2加起来,5是2加2加1，3

这个数字是2加1得来的，大概较晚才出现了用手写的五指表示5这个数字和用

双手的十指表示10这个数字。这个原则实际也是数学计算的基础。罗马的计数

只有到Ⅴ(即5）的数字,Ⅹ（即10）以内的数字则由Ⅴ（5）和其它数字组合起来。

Ⅹ是两个Ⅴ的组合,同一数字符号根据它与其他数字符号位置关系而具有不同的

量。这样就开始有了数字位置的概念，在数学上这个重要的贡献应归于两河流域

的古代居民，后来古鳊人在这个基础上加以改进，并发明了表达数字的1,2，3，

4,5，6，7，8,9，0十个符号，这就成为今天记数的基础。八世纪印度出现了有

零的符号的最老的刻版记录,当时称零为首那。

公元500年前后,随着经济、文化以及佛教的兴起和发展，印度次大陆西

北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位。天文学家阿叶彼海特在简化数字方

面有了新的突破：他把数字记在一个个格子里，如果第一格里有一个符号，比如

是一个代表1的圆点，那么第二格里的同样圆点就表示十，而第三格里的圆点就

代表一百.这样,不仅是数字符号本身，而且是它们所在的位置次序也同样拥有了

重要意义。以后,印度的学者又引出了作为零的符号.可以这么说,这些符号和表示

方法是今天阿拉伯数字的老祖先了.

两百年后,团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族,建立了东起印度,

西从非洲到西班牙的阿拉伯帝国。后来,这个伊斯兰大帝国分裂成东、西两个国

家.由于这两个国家的各代君王都奖励文化和艺术，所以两国的首都都非常繁荣，

而其中特别繁华的是东都—-巴格达，西来的希腊文化，东来的印度文化都汇集

到这里来了.阿拉伯人将两种文化理解消化,从而创造了独特的阿拉伯文化。

大约700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地区,他们吃惊地发现：被征服地区

的数学比他们先进。于是设法吸收这些数字。771年,印度北部的数学家被抓到了

阿拉伯的巴格达，被迫给当地人传授新的数学符号和体系，以及印度式的计算方

法(即现在用的计算法).由于印度数字和印度计数法既简单又方便，其优点远远超

过了其他的计算法，阿拉伯的学者们很愿意学习这些先进知识，商人们也乐于采

用这种方法去做生意。 后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10

世纪，又由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其他国家。公元1200年左右,欧洲的

学者正式采用了这些符号和体系。至13世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契

的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15世纪时这种现象已相当普遍.

那时的阿拉伯数字的形状与现代的阿拉伯数字尚不完全相同,只是比较接近而

已，为使它们变成今天的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的书写方式，又有许

多数学家花费了不少心血。

阿拉伯数字起源于印度，但却是经由阿拉伯人传向四方的，这就是后来人们

误解阿拉伯数字是阿拉伯人发明的原因。正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最

终被国际通用的关键节点,所以人们称其为“阿拉伯数字"。阿拉伯数字由0，1，

2,3，4，5，6，7,8，9共10个计数符号组成.由于它们书写方便,一直被沿用至今.

(三）数的衍生

发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数全都是自然数.但随着生产、生活的

需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时,5个人分

4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲

早1400多年,自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。

随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、

前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正

整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数。

后来，又有学者发现了一些无法用有理数表示的数。有这样一个故事：一个

叫希帕索斯的学生画了一个边长为1的正方形。设对角线为x，根据勾股定理

x^2=1^2+1^2=2,可见对角线是存在的，可它是多事呢？又该怎样表示它呢? 希帕

索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数.寝室,这就是后来人

们发现的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小

数,所以用根号“”来表示.无理数和有理数统称为实数。除了实数以外,后来

人们又发现了虚数和复数，数这个大家庭在不断地扩大。

参考文献：

《人文数学导引》 萧昌建 编著 西南交通大学出版社 2006年04

月第1版

《“格数”与数量公理:数量与数理定律的形式比》 吴勇著 2009

《享受数学 数学珍惜闻趣题选粹》 唐国庆 编著 2004

《人文数学引导》 萧昌建 编著 2006

《中外数学拾零》 姬小龙 刘夫孔 编著 2004