高二数学必修3(B版)_学科教研:基于高中新教材的概率学习

基于高中新教材的概率学习

摘 要：先从新课标对概率教学的要求、初高中新教材内容的衔接及新旧教材的比较

等方面介绍了高中新教材中的概率内容．再从概率的随机思想、概率的学科特点和概

率与统计的联系等方面阐述了对概率教学的理解和认识．最后针对学生学习概率中的

难点及对概率内容的认识，进行了一些教学方法的研究和思考．

关键词：概率教学；高中新教材；新课标；随机思想

Abstract：Start new curriculum requirements on the probability of teaching, new teaching

materials for middle and high school articulation and comparison of old and new materials

such as introducing a new high school textbook content in the probability. Then the

probability of a random thought from the probability of subject characteristics and

probability and statistics links on the probability of the aspects of understanding and

knowledge of teaching. Finally, the probability of the difficulties in learning and

understanding of the content on the probability, for a number of teaching methods of study

and reflection.

Keywords: probability teaching; new high school textbooks; new curriculum; random

thoughts

1 引言

新课程标准的实施，带来了变革、争议和探索，促使着教育不断向前发展，也给我们

的教学实践提出了新的要求．教师只有做到激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自

主创新能力，引领学生把学习活动和实践活动结合起来，才能达到教师少教，学生多

学的目的．

[1]

概率是研究随机现象的一门数学学科．随着社会经济的发展，它们在科学技术与人类

实践活动中正在发挥着越来越大的作用和影响，从而引起了大家的重视．但是学生在

学习掌握本章的内容时普遍感到概念比较抽象，思维难于开展，解决问题时很难寻到

切入点，难于掌握解决问题的方法等．针对学生概率学习中的难点，本课题尝试进行

一些教学方法的研究和思考．

[2]

2 高中新教材中概率内容的教材分析

2.1新课标对概率内容的教学要求

本章要求课时数为8课时；对于随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，概率的意

义，频率与概率的区别，互斥事件的概率加法公式，随机数的意义几方面的要求是了

解；对于古典概型及其概率计算公式的要求是理解；对于列举法计算一些随机事件所

含的基本事件数及事件发生的概率的要求是会用；对于几何概型的意义的要求是初步

体会．

[3]

新课标明确要求：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义；鼓励学

生动手实验；学会把一些实际问题化为古典概型；教学中不要把重点放在“如何计数”

上；还要求鼓励学生尽可能的使用计算器、计算机来处理数据，更好的体会统计思想

和概率的意义．

2.2初高中概率内容的衔接

知识的发生和发展始终处于动态的变化之中，如果我们的认识仅仅局限在初中概率所

介绍的狭小范围内，那就很难把握知识的全貌，因而也就难以真正把握高中概率的本

应于后两个层次的认识水平．简单地说，义务教育阶段的统计与概率的教学目标主要

是要对统计与概率有定性的认识．而高中阶段统计与概率的教学目标则要在定性认识

的基础上对统计与概率达到初步的定量认识．

[4]

本章主要研究两个重要的概率模型——古典概型和几何概型，并在此基础上通过实验、

计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率．与过去的教材相比，新课程淡化了

繁琐的概率运算，把对概率模型的研究作为教学的重点，其根本目的就是要培养学生

应用所学知识解决实际问题的能力，破解一直困扰多年的“掐头去尾烧中段”的难题．新

课程的另一突出变化是增加了“随机数的含义应用”，这样的安排重在培养学生的动手

能力，同时也是为了更好地与前两章所学的算法初步和统计部分的内容相互衔接，以

增强知识的系统性和结构性．

2.3新旧教材的比较

原《试验》中“概率”的内容包括随机事件的概率；等可能性事件的概率；互斥事件有

一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；独立重复试验．《新课标》中的内

容包括随机事件；两个互斥事件的概率加法公式；基本事件空间；古典概型及其概率

计算公式，计算随机事件的基本事件数及事件发生的概率；随机数的意义，运用模拟

方法估计概率，初步体会几何概型的意义．

[5] ,[6]

2.3.1课程内容设计的变化

《新课标》中考虑到学生的年龄特点，把本章放在“统计”一章的后面、“计数原理”的

前面，在没有学习排列、组合知识的情况下，这样对涉及到的概率的某些计算要求有

所降低，没有在大量计数方面做过高的要求，而是深入浅出的给出了概率的定义，通

过基本事件空间这一概念，从研究基本事件的个数入手来处理古典概型问题，其中大

量使用集合语言表述概率问题，用类似于文氏图的方法来表示随机事件之间的关系，

这是新教材的一大亮点，给学生以形象，直观的感受．

几何概型是教材新增的内容，它利用事件的几何度量（长、面积、体积等）的比，有

效地解决了无限个基本事件的概率问题．几何概型与初中的平面几何有着密切的联系，

区域和子区域的几何度量就要用到初中的平几和高中立几中的有关面积、体积的

A

计算，知识点涉及到方程的解，相似三角形，直线方程等有关知识，学生学起来背景

不陌生，容易接受，同时由于几何概型与其它学科有密切的联系，因此以后将会出现

许多比较新颖的几何概型的题目，应引起我们的重视．

[7]

2.3.2课程知识定位的变化

《新课标》注重知识与现实的联系，力图把死板的课本知识转化为生动的实践知识．在

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几何概型中增加了随机数的含义与应用，充分体现了新课标中知识循序渐进、螺旋式

上升的这一特点．

《新课标》与原《试验》相比，更注重知识的连续性和学生认知的循序渐进性。学生

在初中接触过概率，并且能说出简单随机事件发生的概率，在模块3中，教材在系统

地学习了统计的基础上引入了古典概型这一概念，用集合的观点给出了事件的基本空

间的定义，以及学会确定某一事件中的基本事件及其个数，从而得出基本事件发生的

概率．又给出了事件的并和交的概念，教学中可以与集合中的子集、并集、补集加以

类比，并通过集合中元素的个数公式

card(AB)card(A)card(B)card(AB)

去理解公式

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

，

这样从很大程度上降低了概率入门的难度．教材紧扣古典概型的有限性和等可能性，

在求事件发生的概率时，先列出事件的基本事件空间和事件A所包含的基本事件数，

增强了可操作性、直观性．学生易于掌握和操作，提高了学生的学习兴趣．另一方面，

教材中给出的例题和实际生活联系密切，例如：必修3，第113页的思考：“有人说既

然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定

是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？”用学生熟悉的抛掷硬币

[5]

为例，增加了学生学习概率的兴趣．

3 对高中新教材概率教学的理解和认识

3.1转变数学观念以确立随机思想

很长一段时期以来，学生的认识主要局限于对具有因果关系的确定性事物的把握．尽

管学生在义务教育阶段以及辩证法学习过程中已经接触了一些偶然性与必然性的知

识，但学生对偶然性与必然性的了解还比较肤浅，仅仅停留在定性甚至是感性认识的

水平之上．而概率是揭示偶然世界规律性的科学，它所研究的随机现象是偶然的，但

又有一定的规律性，偶然中蕴涵着必然；它总是通过对事件外显数据的研究，达到对

事件本质的把握；学生通过高中概率的学习可以从定量和理性的层次上更深入地认识

偶然性与必然性的本质．现在，概率和确定性科学一样，已成为我们认识和改造自然、

社会的一种不可缺少的科学方法，掌握概率能够帮助我们有效的解决现实世界中的许

多问题，认识到概率的思维方式和确定性思维方式的差异，这就是随机观念．这种充

满辩证思想的新观念和认识客观世界的新视角，是学生应该建立的观念，也是概率教

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学的主要目标．因此，为了学好概率，有必要打破原有思维方式的束缚，克服过去片

面强调确定性的倾向．作为教师，应该采取各种途径和方法尽量缩短这一过程，努力

帮助学生克服学习中的各种障碍以尽快实现这一转变．

首先，教师应经常向学生介绍包含随机现象的实例．比如百年一遇的洪涝灾害、每年

数以万计的交通事故、气候的瞬息万变、股票价格的波动起伏等现象．其次，在介绍

一些重要结论时，要不断提醒大家注意体会其中的随机性．比如，抛掷硬币正面和反

面向上的概率都是0.5，但可能一个班的所有学生抛100次正面向上的概率都不是0.5，

这就是结果的随机性．

3.2消除错误认识以培养随机思想

由于学生过去接触的主要是确定性事物，对于不确定性事物的认识非常有限，学生头

脑中有关统计与概率的认识大都来自于个体的一些零碎的、不成熟的经验，尽管现在

义务教育阶段已经增加了统计与概率的内容，但其教学目标定位于感性和定性认识的

水平，因此学生对许多问题还无法进行理性判断，往往只能借助于已有的经验或前概

念（学生在未学习严格定义之前就有的概念）来进行判断．他们常常会使用可能性、

随机、运气、机会、公平等词汇，并根据他们对这些词汇的理解来处理或表达随机问

题．但事实上，他们对随机的理解有些是错误的，这些错误的理解将会对他们高中统

计与概率的学习产生负面影响．例如，有8个人欲通过抓阄方式决定谁取得某物，为

此设有8个阄，其中只有一个阄是有物的阄，8个人依次从中抓取．对此类问题有不

少人相信，先抓阄的人比后抓阄的人得到此物的可能性大．但是，概率的确定却不依

赖直觉，通过概率论严格的推理可以证明：在抓阄过程中，不论先抓还是后抓，抓到

的概率是相同的．需要进一步指出的是，在高中阶段，有些学生即使在学过了统计与

概率，但在碰到具体问题时，仍然不会或不善于应用已经学过的概率知识进行定量地

分析，往往还习惯于借助经验和直观来解决问题，他们以前对随机现象问题的一些错

误认识仍然根深蒂固．因此，在教学中，教师应注意经常了解和纠正学生对概率已有

的错误经验（潜概念）．可以通过实验来说明，比如，利用应用软件在计算机上模拟掷

硬币、掷骰子、随机投针等实验，可以迅速检验结论的正确性，帮助学生澄清头脑中

的一些模糊认识，加深学生对有关结论的理解．

概率有3个显著的特点：直观性、实践性和应用性．

[4]

3.3.1直观性

需要注意的是，对于直观的理解，绝不能仅仅狭隘地理解为图形．除图形外，它还包

括各种实物、模型、表格等，甚至也不排斥能较直观地揭示问题本质的语言和符号等．由

于概率和现实的联系十分密切，其概念与方法有非常深厚的直观背景．因此，加强直

观教学对学习本学科就显得十分重要．第一，直观性可以促使学生更好地理解概率的

概念和理论．第二，直观性有助于学生发现解决问题的途径和方法．对于一些重要公

式，若能着重理解它们的意义，并设法用图形表示出来，就只需记住图形，而不必死

记硬背公式了．例如，事件的关系和运算、概率的基本性质等都可以用“文氏图”来表

示．

3.3.2实践性

概率是一门实践性很强的学科．在教学过程中，教师可以引导学生通过抛掷硬币、大

头针和骰子等大量重复试验来帮助学生形成概率意识．通过“做一做”不仅可以丰富学

生对等可能事件的体验，增加对概率背景的认识，而且可以积累大量的活动经验，更

深刻地领会概率的思想方法；同时，还可以培养学生的动手能力．因此，在教学中教

师应该尽可能提供更多的机会让学生主动地探索现实生活与科学领域中的随机事件，

并选择运用实验、模拟、推理等方法体会事件发生的可能性大小，从而真正领会概率

的本质．

3.3.3应用性

概率来自于实践，又服务于实践．现在，概率已广泛地应用于生产、生活和社会等各

个领域．因此，在课程实施过程中，不仅要让学生掌握统计与概率的理论知识，更重

要的是培养学生的应用能力．不论是讲授新概念还是新方法，我们都要从现实背景出

发来讲清它们在解决实际问题时的应用．如在介绍古典概型和几何概型时，可以介绍

“晚会礼物问题”“生日问题”“值的估计问题”等．再比如，概率这一概念较为抽象，但

像药品的有效率、投篮的命中率、学生的出勤率等术语，就为大家比较熟悉．在讲课

中，若先由这些术语过渡到频率，再引出概率的统计定义，学生就容易理解了．

3.4密切关注统计以揭示内在联系

本章的概率与前一章的统计是紧密相连的，是统计知识的自然扩展和进一步深化．概

率与统计是同一事物的两个方面：求事件的概率是从局部考虑问题，而求随机变量的

分布规律和数字特征是从全局上考虑问题．概率的特点是先提出数学模型，然后去研

究它的性质、特征和规律性．统计则是以概率为基础，通过对随机现象的观察并利用

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概率运算所取得的数据来建立数学模型，从而做出分析．没有概率就缺少刻画和分析

统计数据的数学模型；没有统计，概率就失去了具体模型和对象．因此，在教学中应

注重两者的联系，把它们之间的这种辩证关系体现出来．

还应指出，在中学阶段对概率与统计的关系认识还只是初步的，在讲了随机变量以后，

就可以对它们之间的关系认识得更清楚了．事实上，统计里的总体可以看成随机变量，

总体的分布可以看成相应的随机变量的概率分布，总体的平均数和方差可以看成相应

的随机变量的平均数（数学期望）和方差．例如，射手射中某一环数的概率是局部问

题，而全面考察各环数的概率则是涉及随机变量的分布列的全局问题了．这也是统计

学可以建立在概率理论基础上来进行研究的原因所在．

[4]

4 概率教学方法的研究

4.1引导学生认识随机现象，让学生加深对概率意义的理解

概率是研究随机现象规律的科学．什么样的现象叫随机现象呢？它是指在相同的条件

下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出

现．随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复

实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性．概率教学的核心问题是让学

生了解随机现象与概率的意义．如果在概率课程中只是要求学生处理已经采集好的随

机问题的有关数据，学生往往习惯地把这些数据当作是确定的数进行处理，事实上他

们的随机观念并没有得到发展．要使学生建立随机概念，必须通过设计学生熟悉而感

兴趣的实际问题，让他们亲临原始的随机环境，亲自试验和收集随机数据，使他们在

活动中逐步丰富对概率的认识，积累大量的活动经验，体会随机现象的特点．

4.2处理好概率与统计的关系，让学生将概率统计有机结合起来

统计与概率是密不可分的：一方面，概率论是现代统计学的根据．统计总是需要通过

对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受

不确定因素影响做出错误判断的概率； 另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复

经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分

析的结果作出判断与预测；进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事

件发生的可能性．

4.3引导学生开展课题研究，增强学生应用概率解决问题的意识和能力

学以致用是新课程的一大特征．虽然教材中未提及研究性课题，但由于概率与现实生

活存在着非常密切的联系，教师应积极引导学生开展与概率相关的课题研究。如学校

周围交通堵塞情况的调查，对自己所喜欢的体育比赛的研究，从概率角度看赌博与摸

彩的异同点等，为学生创设独立思考与合作交流相结合的探究情景。作为学生学习活

动的引导者和帮助者，教师应尽可能采用“质疑—猜测—交流—验证”的教学模式，让

学生主动地发现问题、解决问题，深化用概率解决实际问题的意识，并以此来培养他

们的创新精神．在教学中可设计以下问题，要求学生通过合作探究完成．例：某食品

公司为新产品问世拟举办促销活动，方法是买一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是黄、

白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同．另有一只棱长约为30 cm密封良

好且不透光的长方体木箱（木箱上方可容一只手伸入），该公司拟按中奖率1%设大奖，

其余99%则为小奖，大奖奖品的价值为400元，小奖奖品的价值为2元，请你按公司

的要求设计一个摸彩方案．本题并不要求计算中奖概率，而是在给定的中奖率条件下

设计摸奖的方案．因此本题是个开放性问题，可以有多种构思，可谓“一果多因”，学

生们通过集思广益，能力合作，提出多种方案．到底哪种方案切实可行，请同学们根

据顾客的摸彩心理继续探究．这是一次从理论到实践，又从实践回到理论的尝试，在

一步一步的探究中，深化了学生用概率知识解决实际问题的意识与能力，同时也感受

到教学的工具性与实性．从另一个层面来说，这样的学习素材有助于培养学生的创新

思维，发展创新能力．教师在教学时要给学生充分的思考时间与合作交流的机会，使

学生在交流的过程中发展自己的思维,应力争做到教学内容开放、教学方法开放、学生

的学习方式也开放．

[8]

4.4注重信息技术，让学生学会使用计算机解决概率问题

随着社会实践的发展，概率越来越多地应用于自然科学、技术科学、国民经济及军事

技术等各个部门，而遇到的随机数学模型也越来越复杂和多元化，所涉及的计算与随

机试验也较为复杂庞大，在教学中也同样会遇到此类问题．为了使我们的课堂教学更

加直观、准确、生动、全面，在教学中我们可以充分利用现代信息技术为我们的教学

提供服务．计算器可以处理复杂的数据，计算机可以大大提高数据整理和显示的效果，

在建立、记录和研究信息方面，为学生提供了一个良好的工具，可以使学生有充足的

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时间来研究现实世界中的问题，理解统计的思想方法．当学生对一个随机现象进行实

验时，计算机可以产生足够的模拟结果，使学生理解随机现象的特点．因此，对于有

条件的地方，要充分开发和利用计算机的作用，发挥其在处理数据和进行概率模拟实

验中的作用．

[8]

总之，在教学过程中应使学生真实地参与，使他们面对着要解决的问题，主动地设计

方案、收集数据、处理数据、制定决策，为证实自己的观点而寻求论据，与他人进行

讨论与交流，这些都将使他们真正达到学习概率统计的目的．

结束语

本次课题研究，笔者只是对湖南地区新教材中概率的学习研究，教学方法也是相对应

的．至于其他地区是否类似未作调查研究．最后希望本次课题研究对以后的概率教学

能有所帮助．

参考文献

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