(新人教A)高二数学同步辅导教材排列、组合和概率

高二数学同步辅导教材

（第35讲）

主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)

一、本讲进度

第十章排列、组合和概率

排列组合的综合问题

二、主要内容

较复杂的排列组合问题的求解思路。

三、学习指导

1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理

解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分

组边排列。

排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是

解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。

2、排列组合的常见模型有“捆绑法”、“插空法”、错位法“、”分组分配“等。

集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，

画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。

四、典型例题

例1、 有6本不同的书，按下列方式分配，分别有多少种分配方式？

（1）按一组1本，一组2本，一组3本分成三组；

（2）按一人1本，一人2本，一人3本分成甲、乙、丙三人；

（3）均分成三组；

（4）均分成甲、乙、丙三人。

解题思路分析：

本题是分组分配问题，是排列组合的混合题。处理此类问题的关键是正确判断组间是排

列还是组合问题即是有序还是无序。

（1）由于各组内元素不同，所以组间无法交换，属组间组合问题，其分法种数由分步计

数原理得：

N=CCC=60（种）

653

（2）本题分成三组后，分配给甲、乙、丙三个不同的人，属于组间排列问题。第一步分

组，方法有CCC，第二步分配，方法有A种，由分步计数原理，分法种数为：

6533

N=CCCA=360（种）

6533

（3）因分组后，组与组交换不形成新的方法，属于组间组合问题，在分组基础上去序即

1233

1233

123

可，分法共有：

N=15



CCC

642

222

A

3

3

评注：此题属“均匀分组”题型，其分法种数是在分组的基础上，除以组数的排列数。

（4）此题与（1）题题型相同，分法种数：

N=CCC=90（种）

642

评注：注意（3）、（4）两种题型的差异。

例2、有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其中甲必须站在第一行，乙、丙

必须站在第二行，问有多少种不同的排法？

解题思路分析：

法一：从特殊位置着手。第一步排第一行：从甲、乙、丙外的6人中选出3人与甲排第

一行，有CA种排法；第二步排第二行，将其余5人排在第二行，有A种排法，由分步计数

645

原理，共有N=CAA（种）排法。

645

法二：从特殊元素着手，第一步甲排第一行，有A种排法；第二步排乙、丙于第二行，

4

有A种排法。因排两行与排一行本质相同，故第三步排所剩6人，有A种排法，由分步计数

56

原理，共有排法：

N=AAA种

456

评注：解法一体现了先组合再排列的原则，这是处理排列、组合问题的常用思路。

例3、将4个不同的球放入4个不同的盆子内

（1）共有几种放法？

（2）恰有一个盆子未放球，共几种放法？

（3）恰有一个盆子内有2球，共几种放法？

（4）恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？

解题思路分析：

（1）把球作为研究对象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四种放法，故由分步计

数原理，共有4=256（种）；

（2）问题即为“4个球放入三个盆子，每个盆子内都要放球，共有几种放法？”

第一步是把4只球分成2，1，1三组，共有C种放法；

4

第二步把3组球放入三个盆子中去（作全排列），有A种；

4

由分步计数原理，共有N=CA（种）

44

评注：第二步应是A，而不是A，因还要选从四个盆子中选三个盆子，然后作全排。

43

（3）仔细审题，认清问题的本质。“恰有一盆子内入2个球”即另三个盆子放2球，也即

另外3个盆子恰有一个空盆，因此，“恰有一个盆子放2球”与“恰有一个盆子不放球”是等

价的。

（4）先取走两个不放球的盆子，有C种取法；其次将4球分两类放入所剩2盆；第一类

4

均匀放入，有CC种放法；第二步按3，1分组放入，有CCA种放法。故有

42412

22312

2

33

23

3

2

4

126

26

1

345

345

222

N=C(CC+CCA)=84（种）。

442412

例4、现有印有0，1，3，5，7，9六个数字的六张照片，如果允许9可以作6使用，那

么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数（首位数不为零）。

解题思路分析：

从特殊元素着手，对三位数是否合9或0分类讨论。第一类，9在内，0不在内。先从除

0，9外的四个数字中取两个，再将三个数作全排列，因9可以作6用，最后还要乘以2（在

每一种情况下，把9看成6，得一个新数），由分步计数原理，共有CAA种；第二类，9和

432

0同时在内。先从除0，9外的四个数字中选1个，再排0，9及取出的数字，最后再将9作6

使用，共有CAA=32（种）；第三类，所取数字中不含9，再根据是否含0讨论，有A+CAA=48

4224422

（种）。

由分类计数原理共有72+32+48=152（种）。

例5、用0，1，2，3，4五个数字组成各位数字不重复的五位数，若按由小到大排列，试

问：（1）42130是第几个数？（2）第60个数是什么？

解题思路分析：

（1）要知道42130是第几个数，只要知道比它小的有几个数，就基本解决了。根据数的

大小比较的原则，比42130小的数可以分成如下几类：

1□□□□，2□□□□，3□□□□型的；

40□□□，41□□□型的；

420□□型的；

4200□型的。

各类的数分别有CA，CA，CA，CA个，所以比42130小的数有

34231211

CA+CA+CA+CA=87个，42130是第88个。

34231211

（2）万位1的数，即1□□□□型的数，有A=24个；

4

万位为2的，同样有A=24个；

4

万位为3的也有24个，所以第60个数是万位为3的这一类数中的第12个数，再具

体分类：

30□□□型的有A=6个；

3

31□□□型的有A=6个

3

所以，第12个数是31□□□型的数中最大的一个即为31420。

评注：此类题型称为字典式排列问题，解题的关键在于根据题意正确地进行分类，分类

的关键是采用类似查字典的方法，从高位向低位，一位一位地考察各位上所取数字的可能性。

例6、5个成年人，2个小孩，排成一排，两头都是成年人，每个小孩两边都是成年人，

且其母女俩一定要相邻的排法有多少种？

解题思路分析：

某母女俩一定相邻，同时与这个女孩相邻的还应有一个成年人，因此第一步从除这位母

亲以外的4个成年人中选1人，准备排在这个女孩旁边，有C种选法；第二步选出的这个人

4

1

3

3

4

4

14131211

14131211

1123212

232

222312

与那位母亲排在女孩两侧，有A种方法；第三步，把“母女、另一成年人”这个三人小组看

2

成一个整体（因为小组左右位置全是成年人，所以可以看成一个成年人），与其余3个人做全

排列，有A种方法；第四步，让另一个小孩插入四个成年人之间的三个间隔中的一个，有A

43

种方法。由分步计数原理，共有CAAA=576（种）方法。

4242

评注：前边已强调先满足特殊元素成特殊位置的方法，本题的条件较多，因此优先考虑

的应是条件最强的要求，或者是谁最特殊就优先满足谁，这样有利于把问题简化。如本题构

成特殊的3人小组后，问题就转化为“4个成年人与1个排成一排，两头必是成年人的排法有

多少？”

例7、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，

为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？

解题思路分析：

“不小于”意味着大于或等于，由此进行分类讨论：

第一类，A、B间隔6垄，有（1，8），（2，9），（3，10）三种，每一种A、B交换，共有

CA种；

32

第二类，A、B间隔7垄，有（1，9），（2，10）两种，每种CA种；

22

第三类，A、B间隔8垄，有（1，10）一种，再交换A、B，有A种。

2

由分类计数原理，共有CA+CA+A=12（种）

32222

例8、由-1，0，1，2，3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=ax+bx+c的系数。

（1）开口向上的抛物线有几条？

（2）开口向下的抛物线有几条？

（3）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？

（4）与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？

（5）与x轴负轴至少有一个交点的抛物线有多少条？

解题思路分析：

（1）a>0，b、c可任意选，有CA=36（条）；

34

（2）a<0，a只能取-1，b、c有A种选法，共有A=12（条）；

44

（3）a>0且c≠0，共有CCC=27（条）；

333

（4）ac<0，当a>0，c<0时，a、b、c分别有C、C、C种选法；当a<0，c>0时，a、b、

331

c有C、C、C种选法，共有CCC+CCC=18（条）；

133331331

（5）“与x轴负半轴至少有一个交点”包含三种情形：

第一类，与x轴正负半轴各有一个交点，由（4）知共有18条；

第二类，过原点与x轴负半轴有一个交点，c=0，ab<0，a、b有A种选法；

3





c0





b

第三类，与x轴负半轴有两个不同交点，则



0



a

c



a

0



2

111111111

111

111

22

12

2

12122

2

12

12

1241

41

2

∴ b=3，a、c∈{1，2}，有A条

2

由分类计数原理，共有18+A+A=26条

32

22

2

同步练习

（一）选择题

1、将6件不同的产品分别装入两个相同的袋子里，要求每袋至少有一件，则不同的装法

数是

A、21 B、31 C、41 D、62

2、将四名教师分配到三个班级去参加活动，要求每班至少一名的分配方法有

A、72种 B、48种 C、36种 D、24种

3、从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数字中任取2个，

组成数字不重复的五位数的个数是

A、AA B、CACA C、CCA D、AA

545554 54556

4、编号为1，2，3，4的四种不同的种子，在三块不同的土地上试种，每块地上试种一

种，其中1号种必种，则不同的试种方法有：

A、24种 B、18种 C、12种 D、96种

5、用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字且大于20000又不是5的倍数

的整数有：

A、96个 B、78个 C、72个 D、36个

6、现有男女学生共8人，从男生中挑选两人，女生中挑选一人分别参加数学、物理、化

学三种竞赛，共有90种不同选法，那么男女生人数分别是：

A、男生2人，女生6人 B、男生3人，女生5人

C、男生5人，女生3人 D、男生6人，女生2人

7、从1到9这9个数字中任取两个作为底和真数，构成对数logb，则这些对数值中不

a

同值的个数有：

A、53个 B、55个 C、57个 D、72个

8、将9人排成3排，每排3人，要求甲在第二排，乙与丙在第三排，则所有的不同排法

数是：

A、3CCA B、CCA C、AAA D、CC(A)

643336336333

9、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连

且顺序不变）的不同排列共有：

A、120个 B、480个 C、720个 D、840个

10、书架上原有6本书，再放上3本，但要求原有的相对顺序不变，则不变方法有：

A、504种 B、210种 C、24种 D、12种

（二）填空题

11、从1到9这9个数字中任选3个排成没有重复数字的三位数，要求个位上的数字大

2131261261233

32332232532

于十位上的数字，这样的三位数共有__________个。

12、从5个男乒乓球运动员和4个女乒乓球运动员中选出2男、2女进行乒乓球混合双打，

则不同的分组方法有__________种。

13、某班有同学30人，暑假时约定互通一封信，互通一次电话，则共写信________封，

共打电话________次。

14、由6，7，8，9，0这五个数字组成没有重复数字的五位数，按从小到大的顺序排列，

那么67890是这个数列的第________项。

15、有编号为1，2，3，…，10的10只灯，为了节约用电，可以将其中三只大灯关掉，

但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，则满足条件的关灯方法有________

种。

（三）解答题

16、某产品有4只次品，6只正品，每只产品均不同且可区分，若每次取出

一只测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被

发现的不同情况共有多少种？

17、图为某市A及四郊B、C、D、E的区域地图，现有五种颜色，每区域只

能用一种颜色涂，问有多少种不同的涂色方法，使每相邻两块不同颜色？

18、6项不同的工程，由4个工程队分别承包，每个工程队至少承包一项，且6项工程全

部被承包，则不同的承包方式共有多少种？

19、从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1

号、2号小麦品种不能在试验田甲上种植，则共有多少种不同的种植方案？

20、有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余3人既会英语又会日语，现从

中选6人，安排3人翻译英语，3人翻译日语，则不同的安排方法有多少种？

参考答案

（一） 选择题

1、B。 将6件产品分成三组：（1，5），（2，4），（3，3），分别有C、C、种

66

C

6

3

A

2

2

12

C

6

3

A

2

2

方法，共有装法数C+C+=31（种）

66

23

12

2、C。 CC=36（种）

43

3、C。 先选再排，第一步选有CC种，第二步五个数字全排有A种

545

4、B。 CA=48

33

5、B。 分成2□□□□，3□□□□，4□□□□，5□□□□四类，有78个

132

6、B。 设男生n人，则9，n=3

CCA

n8n3

23

325

7、A。

8、C。 甲、乙、丙之外的6人排三排与排一排的全排列数相同

9、B。 CA=480（个）

64

10、A。 =504（种）

A

9

9

A

6

6

A

3

9

34

（二） 填空题

11、 252 =252

1

3

P

9

2

222

22

12、 120 CCA=120（种）

542

13、 870 ， 435 A=870,C=435

3030

14、 10

15、 20 插空法 C=20（种）

6

（三） 解答题

16、CCA=576（种）

444

17、A+CC·2CA+CA=420（种）

5553253

18、6项工程分4份，有（3，1，1，1），（2，2，1，1）两解分法，共有=1560

（种）

19、对是否选1号及2号进行分类讨论：

第一类，没有选1号和2号：A=24种

4

第二类，选1号不选2号：CAC=72（种）

433

第三类，选2号不选1号：CAC=72（种）

433

第四类，同时选出1号和2号：CAA=72（种）

432

∴ 共有24+3×72=240（种）

20、以是否选只会日语的人为标准，有CCC+CCC+CC=55（种）

23523433

21312333

232

331

331

4

5411233

314

3

(C)A

34

64

2211

CCCC

6421

22

AA

22