第二类曲线积分

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第二类曲面积分的计算方法

赵海林张纬纬

摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积

分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.

关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形

式

1引言

曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用

着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必

须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面

积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有

一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当

困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法

的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第

二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更

加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.

2预备知识

2．1第二型曲面积分的概念

2.1.1流量问题(物理背景)

设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)vxyzPxyziQxyzjRxyzk,

∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量.

若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量

coscoscosnijk

则



若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量.

(1)分割

将任意分成小块(1,2

ii

SinS…,),同时代表其面积.

(2)近似

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(,,)

iiiii

MS

，

以点

i

M处的流速()i

i

vvM和单位法向量in分别代替

i

S上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过

i

S指定侧的流量的近似值：





(1,2,ii

i

Svnin…,).

(3)求和





1

n

ii

i

i

vnS





(4)取极限

1

0

1

max{},=.

limn

ii

inii

T

i

TSvnS







设的直径则

这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.

2.1.2定义

,PQRSST设为定义在双侧曲面上的函数,在所指定的一侧作分割它，，

max

1,21

TS,S,{}

nini

nSSTS



把分为个小曲面分割的细度，…，的径

max

1

}{

ini

TS



的直径，

,,

S

yzzxxy

iiii

SSS分别表示在三个坐标面上的投影区域,

.SS

ii

的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z

.S

xy

iii

SxoySz在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,

.S

xy

ii

xoyS他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点

,

(,)

iii



.

若0

lim

1

T

n

i

P





,

(,)

iii



yz

i

S

0

lim

1

T

n

i

Q





,

(,)

iii



zx

i

S

0

lim

1

T

n

i

R





,

(,)

iii



xy

i

S

存在，

,

.ST(,)SPQR

iiii

且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数，，

S在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

或者

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(,,)(,,)(,,)

SSS

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

.

S据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为

S(,,)vPQR在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

(,(,,),(,,),(,,))SPxyzQxyzRxyz又若，空间的磁场强度为则通过曲面的磁通量

(,,)(,,)(,,)

S

HPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

SS若以表示曲面的另一侧，由定义易得

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy





(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

2．2第二型曲面积分的性质

性质1(方向性)设向量值函数v在定向的光滑曲面S上的第二型曲面积分

存在.记S为与S取相反侧的曲面，则v在S上的第二型曲面积分也存在，且成立

SS

vndSvndS



.注意这个等式两边的n是方向相反的.

性质2（线性性）若

iii

S

PdydzQdzdxRdxdy(1,2,ki…，)存在，则

有

111

()()()

kkk

iiiiii

iii

S

cPdydzcQdzdxcRdxdy





=

1

k

iiii

i

S

cPdydzQdzdxRdxdy





，

其中

i

ci12k（，，，）是常数.

性质3(曲面可加性)若曲面S是由两两无公共内点的曲面块

12

,,S

k

SS…，所组成，

且

(,,)(,,)(,,)

i

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdyi1,2k（，）

存在，则有

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(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

1

(,,)(,,)(,,)

i

k

i

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy







2.3第二型曲面积分的数量表达式

(,,){(,,),(,,),(,,)}AxyzPxyzQxyzRxyz设

{cos,cos,cos},n则

(,,)(coscoscos)AxyzndSPQRdS

.dSS其中是曲面的面积元素

记

{cos,cos,cos}{,,}dSndSdSdSdSdydzdzdxdxdy

，

称

dS

为曲面

.S的面积微元向量则

,AndSAdSPdydzQdzdxRdxdy

从而

SS

AndSPdydzQdzdxRdxdy

.

即

(,,)

SS

AxyzndSPdydzQdzdxRdxdy

，

dydz是dS在yoz面上的投影；

dzdx是dS在zox面上的投影；dxdy在dS在xoy面上的投影.他们的取值可正、

可负、也可为零.如当cos0时，dxdy取符号.

特殊形式：

(,,)

S

Pxyzdydz称为P对坐标,yz的曲面积分；

(,,)

S

Qxyzdzdx称为Q对坐标,zx的曲面积分；

(,,)

S

Rxyzdxdy称为R对坐标,xy的曲面积分.

2.4介绍两类曲面积分之间的联系

与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设

S为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行.

因而有

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0

1

lim

(,,)(,,)

xy

n

iiii

T

i

S

RxyzdxdyRS







(1)

由曲面面积公式

1

cos

i

xy

i

S

Sdxdy



，其中是曲面

i

S的法线方向与z轴正向

的交角，它是定义在

xy

i

S上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以是锐角.又由S

是光滑的，所以cos在闭区域

xy

i

S上连续.应用中值定理，在

xy

i

S内必存在一点，使

这点的法线方向与z轴正向的夹角

i

满足等式

1

cosxy

ii

i

SS



或

cos

xy

iii

SS.

于是(,,)(,,)cos

xy

iiiiiiiii

RSRS.n个部分相加后得

11

(,,)(,,)cos

xy

nn

iiiiiiiii

ii

RSRS



(2)

现在以

cos

i



表示曲面

i

S在点(,,)

iii

xyz的法线方向与z轴正向夹角的余弦，则由

cos的连续性，可推得当0T时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到

(,,)(,,)cos

SS

QxyzdzdxQxyzdS(3)

这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为.因

而cos也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.

同理可证：

(,,)(,,)cos

SS

PxyzdydzPxyzdS

(,,)(,,)cos

SS

QxyzdzdxQxyzdS

(4)

其中,分别是S上的法线方向与x轴正向和与y轴正向的夹角.一般地有

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]

S

PxyzQxyzRxyzdS

（5）

coscoscos这样在确定余弦函数,,之后，由(3),(4),(5)式，

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.便建立了两种不同类型曲面积分的联系

3介绍第二型曲面积分的多种计算方法

在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、

也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。

这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区

域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之

有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面

投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes公式求解，利用积分区间对

称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.

3.1直接利用定义法进行计算

若(,,)Rxyz在光滑有向曲面:Sz,,,

xy

zxyxyD上连续,则

(,,)dd

S

Rxyzxy存在,且有计算公式:

Rx,y,zdxdyR[,,z,dd

xy

SD

xyxyxy





其中

xy

D表示S在xoy面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“”号，

取下侧时取“”号.这一公式表明，计算曲面积分(x,y,z)dxdy

S

R时，只要把其中变量

z换为表示∑的函数(,)zzxy，然后

xy

D在S的投影区域上计算二重积分，并考虑到符

号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.

类似地，如果曲面的方程(,)yyzx，则

(,,)[,(,),]

zx

SD

QxyzdzdxQxyzxzdzdx

如果曲面∑的方程为(,)xxyz,则

(,,)[(,),,]

yz

SD

PxyzdydzPxyzyzdydz

例1计算积分：

S

xyzdxdy

其中S是球面2221xyz在第一、八卦限的部分，取球面外侧.(如图1)

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解设S

12

,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:

1

∶

1

z=221xy

2

∶

2

z=—221xy

它们在xoy面上的投影区域

xy

D都是单位圆在第一象限的部分.

∴

S

xyzdxdy

1

xyzdxdy



+

2

xyzdxdy





22221(1)

xyxy

DD

xyxydxdyxyxydxdy

2221

xy

D

xyxydxdy

1

32

2

00

2cossin1drrdr





2

15



图1

计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按

一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口

诀：“一代二投三定向”.请看下例：

例2计算:

2

S

Ixdydz+2ydzdx+2zdxdy，

其中曲面S为球面2221xyz限于220xyx，0z内的部分外侧

(如图2).

解对于2

S

xdydz，要将S投影到yoz面上，且S方程表示

为221xyz,取前侧,由222221,0xyzxyx，消去x得

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21yzz，因此投影区域yz

D

：—z21zyz21z

，于是

2

S

xdydz

222(1)

yz

D

yzdydz

211

22

00

2(1)zzdzyzdy

3

1

23

2

0

3

21

2[(1)(1)]

3

zzzzdz

38

105



计算2

S

ydzdx,要将S投影到zox面上，此时S方程表示为

221yxz(不是单值的)，再把S分为左片(即0y的部分)且取左侧和右片

(即0y的部分)且取右侧，S在zox面上投影域为

zx

D：1x≤z≤21x(注

意投影区域不是一条曲线)，因此

2

S

ydzdx

2

S

ydzdx

左

2

S

ydzdx

右

222(1)

zx

D

xzdzdx+222(1)

zx

D

xzdzdx

0

对于2

S

zdxdy,要将S投影到xoy面上，投影域为

xy

D：220xy，此时S方

程应为221zxy，且取上侧，于是2

S

zdxdy=222(1)

xy

D

xydxdy=

cos

2

2

00

5

2(1)

32

drrdr



，故

385

10532

I.

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图2

3.2利用参数方程的计算方法

如果光滑曲面S由参数方程给出：

:(),()()DSxxuvyyuvzuvuv，，，z，），（，.

若在D上各点他们的函数行列式

(,)(,)(,)

,,

(,)(,)(,)

yzzxxy

uvuvuv





不同时为零，则分别有

(,)

((,),(,),(,))

(,)

SD

yz

PdydzPxuvyuvzuvdudv

uv









(1)

(,)

((,),(,),(,))

(,)

SD

zx

QdzdxQxuvyuvzuvdudv

uv







(2)

(,)

((,),(,),(,))

(,)

SD

xy

RdydzRxuvyuvzuvdudv

uv







(3)

注(1),(2),(3)三式中的正负号分别对应曲面S的两个侧，特别当uv平面的正方向

对应于曲面S所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

(,)

((,),(,),(,))

(,)

D

yz

Pxuvyuvzuvdudv

uv









(,)

((,),(,),(,))

(,)

D

zx

Qxuvyuvzuvdudv

uv









(,)

((,),(,),(,))

(,)

D

xy

Rxuvyuvzuvdudv

uv









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(4)

例如若S为：

,()zzxyxyD，，

，则S可以看成参数为,xy的参数方程确定的曲面，

则由于

(,)(,)(,)

,,1

(,)(,)(,)xy

yzzxxy

zz

xyxyxy







，

所以

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

(,,(,))()(,,(,))()(,,(,))

xy

D

PxyzxyzQxyzxyzRxyzxydxdy

由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用

的方法更简便.

下面举例说明：

例1计算

3

S

xdydz，

其中S为椭圆面

222

222

1

xyz

abc

的上半部分并选取外侧.

解把曲面表示为参量方程：

sincos,sinsin,cosxaybzc

(0,02)

2



.

由(1)式有

3333sincos,

SD

xdydzaJdd





其中

cossinsincos

(,)

sin0

(,)

bb

yz

J

c















=2sincosbc，

积分是在S的正侧进行.由上述的注，(4)式右端正号，即

3

S

xdydz

3332sincossincos

D

abcdd





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2

354

2

00

sincosabcdd





3

2

5

abc

例2计算积分

3

222

2()S

xdydzydzdxzdxdy

xyz





，

S为曲面

22(2)(1)

1

5169

zxy

的上侧.

解取,uvz，则22cosxRz，22sinyRz，zz

取S为曲面

22(2)(1)

1

5169

zxy

的下侧.则

3

222

2()SS

xdydzydzdxzdxdy

xyz









2222

333

2

2222

0

2222

cossin

sincos0

cossin1

R

R

RzRzz

RRR

dRzRzdz

zz

RzRz





















2

0

1R

R

ddz

R





.

4.

从而

3

222

2()S

xdydzydzdxzdxdy

xyz





2.

例3计算

S

yzdzdx

其中S是球面2221xyz

的上半部分并取外侧为正向.

解1S可表示为221zxy(,)xyD

其中

22{(,):1}Dxyxy

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由于积分按S上侧进行，且

(,)

(,)

xy

J

xy







=

10

01

=1，故(4)式应取正号，

而

(,)

(,)

zx

B

xy







2222

2

11

10

xy

xyxy







221

y

xy

所以

S

yzdzdx22

22

1[]

1

D

y

yxydxdy

xy







2

D

ydxdy

21

32

00

sindrdr



4





解2由于S可表示为sincos,sinsin,cosxyz，

0,02

2





sin0

(,)

coscossinsin

(,)

zx

J

















2sinsin

所以

S

yzdzdx

2

2

00

sincoscosdJd





2

32

2

00

sincossindd





4





本例计算虽然简单，但不难看出用公式(4)计算时不必对S分划并讨论符号代之

以在zox平面上二重积分.

例4计算

222

S

Ixdydzydzdxzdxdy

其中，S是球面2222()()()xaybzcR，且设积分是沿球面外侧.

解S可表示为

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sincos,sinsin,cos,xaRybRzcR

0,02.

由于在第一象限积分按上侧积分，而J=2sincosR

0，故(4)应取正号.

2

1

S

Izdxdy

2

2

00

(cos)dcRJd



22223

0

2(sincos2cossinsincos)RccRRd



38

3

Rc



因为

2

2222

00

(sincos)sincos

S

xdydzdaRRd

=

38

3

Ra

类似可求得2

3

S

Iydzdx=

38

3

Rb

，所以

3

123

8

()

3

R

IIIIabc



.

3.3单一坐标平面投影法

设光滑曲面S：(,)zzxy,(,)

xy

xyD（

xy

D是S在xoy平面上的投影区域），

函数(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz在S上连续，(,)zzxy在

xy

D上具有一阶连续

偏导数，则

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

[(,,)()(,,)()(,,)]

xy

xy

D

PxyzzQxyzzRxyzdxdy，

当S取上侧时，上式右边取正号；当S取下侧时，上式右边取负号.

若S的方程为xxyyyx,z，z，，也有类似的公式：

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

[(,,)(,,)()(,,)()]

yz

yz

D

PxyzQxyzxRxyzxdydz；

当S取前侧时，上式右边取号；当S取后侧时，上式右边取负号.

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第14页共25页

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy

[(,,)()(,,)(,,)()]

xz

Dzx

PxyzyQxyzRxyzydzdx.

当S取右侧时，上式右边取正号；当S取左侧时，上式右边取负号.

例1计算积分

()()()

S

yzdydzzxdzdxxydxdy，

其中S为圆锥面222xzy介于0,0yhz部分的上侧.

解S的方程为22yxz，取左侧，则

原式()()()()()

xz

S

yzyzxxyydzdx

22

()()

[()]

S

xyzzxy

zxdzdx

xz









2()

S

zxdzdx

2

0

2

2coshdrrdr











3

4

3

h.

例2求

()()()

S

yzdydzzxdzdxxydxdy，

其中S为锥面22zxy(0)zh部分的正侧.

解S：22zxy(0)zh，则

22

x

x

z

xy





，

22

y

y

z

xy





.

又S在平面上的投影D：222xyh.因为S取下侧，所以

2222

2222

[()()()]

D

xy

Iyxyxyxxydxdy

xyxy









2()

D

xydxdy

0

最后一个等号用到二重积分的对称性质.

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第15页共25页

3.4分项投影法

分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：

SSSS

PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy

分别将右式三项投影到,,yozzoxxoy平面上，由于

,,

yzzxxy

SDSDSD

PdydzPdydzQdzdxQdzdxRdxdyRdxdy

分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似

复杂，实则简单，非常实用.

计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个

完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向

性等性质以简化计算.

例1计算积分

S

yzdydzzxdzdxxydxdy，

其中S是四面体0xyzaa，0,0,0xyz的表面，外法线是正

向.

解这是三个第二型曲面积分之和.首先计算第二型曲面积分

S

xydxdy，而

曲面S是由四个有向的三角形区域：

BOCCABCAOBOA上，下，后，左组成.其中BOC（后)与

COA左在XY坐标面的面积微元0dxdy，ABCAOB上，下在XY坐标面

的投影都是三角形区域00Dxyxya，，围成，从而

((((SABCAOBBOCCOA

xydxdyxydxdyxydxdyxydxdyxydxdy

上）下）后）左）

00

DD

xydxdyxydxdy.

0

同理可得

0

SS

yzdydzzxdzdx，

于是

0

S

yzdydzzxdzdxxydxdy.

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第16页共25页

例2计算第二型曲面积分

()()()

S

Ifxdydzgydzdxhzdxdy，

其中S是平面六面体(0,0,0)xaybzc的表面并取外侧为正向，

(),(),()fxgyhz为S上的连续函数.

解记

1

:Sxa（前侧为正向），

2

:0Sx（后侧为正向)

积分()

S

fxdydz在另外四个曲面上的积分为零，故

()()(0)[()(0)]

yzyz

SDD

fxdydzfadydzfdydzbcfaf

由于变量的对称性，类似可得

()[()(0)],

S

gydzdxacgbg

()[()(0)],

S

hzdxdyabhch

所以

()()()

S

Ifxdydzgydzdxhzdxdy

[()(0)][()(0)][()(0)]bcfafacgbgabhch

3.5利用高斯公式（Gauss)化为三重积分的方法

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲

面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式.

定理：设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数,,PQR在V上

连续，且有一阶连续偏导数，则

()

VS

PQR

dxdydzPdydzQdzdxRdxdy

xyz







，

其中S取外侧，上式称为高斯公式.

例1计算曲面积分

()[2sin()](3)xy

S

Ixyzdydzyzxdzdxzedxdy，

其中S为曲面1xyzyzxzxy的外侧面，外法线为正向.

解由题意得知，

,2sin(),3xyPxyzQyzxRze，

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第17页共25页

利用高斯公式，1,2,3

PQR

xyz







，则

()(123)6

VVV

PQR

Idxdydzdxdydzdxdydz

xyz







.

其中，V为S包围的区域zxy作旋转变换

,,.uxyzvyzxwzxy则V为S包围的区域1uvw，而

V是一个对称的八面体，它在uvw平面的第一卦限部分为1uvw及坐标平面

0,0,0uvw所围成的区域，且有

111

(,,)

1114

(,,)

111

uvw

xyz











，

(,,)11

(,,)

(,,)4

(,,)

xyz

J

uvw

uvw

xyz











.

所以

1

1111

66812.

4432

uvw

Idudvdw





例2设()fu有连续导数，计算

333

11

[()][()]

S

yy

xdydzfydzdxfzdxdy

zzyz

，

其中S为0z的锥面2220xyz与球面2221xyz，2224xyz所围立

体的表面外侧(如图所示).

解因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面S为闭

曲面，考虑用高斯公式.

∵3Px，3

1

()

y

Qfy

zz

，3

1

()

y

Rfz

yz

在所围区域V上满足高斯公式的条

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第18页共25页

件（0z的点不在V内)，故有

2'2'2

22

11

[3()3()()3]

V

yyy

IxfyfzdV

zzyzz



2223()

V

xyzdV

223sin

V

rrdrdd

22

4

2

000

3sinddrdr





93

(22).

5



3.6利用两类曲面积分之间的联系

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]

S

PxyzQxyzRxyzdS

只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的），就可以

求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看

下例：

例1计算积分

()()()

S

Iyzdydzzxdzdxxydxdy，

其中S为半球：2222xyzRx，(0)z被柱面222xyrx，(0)R截下的

部分.(如图所示)

解S的法向量为：{,,)nxRyz，方向朝上，单位化得：

222222222

{,,}

()()()

xRyz

n

xRyzxRyzxRyz







{,,}

xRyz

RRR





所以

cos

xR

R





，cos

y

R

，cos

z

R

.

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第19页共25页

由两类曲面积分之间的关系式，有

()()()

S

Iyzdydzzxdzdxxydxdy

()()()]

S

xRyz

yzzxxydS

RRR





()

S

zydS

积分曲面关于0y对称，所以

0

S

ydS

2cos

xy

SSSD

zdSRdSRdxdyRdxdyRr，

2IRr

例2计算

[(,,)][(,,)][3(,,)]

S

Ixfxyzdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，

其中(,,)fxyz为连续函数，S是平面21xyz在第四象限部分的上侧(如图所

示).

解因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看

能否消去抽象函数.

S：21xyz，S上任一点法向量的方向余弦为

211

cos,cos,cos

666



由第一类与第二类曲面积分的关系，有

{[(,,)]cos[(,,)]cos[3(,,)]cos}

S

IxfxyzfxyzyfxyzzdS

211

{[(,,)][(,,)]()[3(,,)]}

666

S

xfxyzfxyzyfxyzzdS

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第20页共25页

1

(2)

6

S

xyzdS

1

6

S

dS

1

6

6

xy

D

dxdy

xy

D

dxdy

11

1

22



1

4



例3计算闭曲面积分：

333

S

xyz

dydzdzdxdxdy

rrr

，

其中222rxyz，S是球面2222xyza外侧表面.

解本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更为

方便.因为球面外侧法向量{2,2,2}nxyz，其方向余弦

cos,cos,cos

xyz

rrr

，

由第一、二类面积分的关系，得

333

S

xyz

dydzdzdxdxdy

rrr



333

{coscoscos}

S

xyz

dS

rrr



222

2

1

(coscoscos)

S

dS

r



2

1

S

dS

r



2

1

S

dS

a



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2

2

1

4a

a



4

注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算.

3.7利用

Stokes

公式化为第二型曲线积分

斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的

积分之间的联系.

定理：设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数,,PQR在S（连

同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则

()()()

SL

RQPRQP

dydzdzdxdxdyPdxQdyRdz

yzzxxy







，

其中S的侧与L的方向按右手法则确定.

若0diw，则存在向量势a,使得vrota，故

()()()

C

SS

vndrotandads.

其中S为以C为边界线的分片光滑曲面，且S指定侧的单位向量n与C的环行方向

构成右手系.

例1计算

()

S

rotand，

其中S是球面222+y9xz的上半部分，C是它的边界，223ayixjzk.

解边界曲线C为0z平面内一圆229xy，则

2()()23

CC

S

rotandadydxxdyzdz.

令3cos,3sin,0xyz，则

原式=

22

22

00

2(9sin)39cos9dd

.

3.8利用积分区间对称性的计算方法

若积分曲面S关于,,xyz具有轮换对称性，则

(,,)

S

fxyzdydz

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第22页共25页

(,,)

S

fyzxdzdx

(,,)

S

fzxydxdy

1

(,,)(,,)(,,)

3

S

fxyzdydzfzxydxdyfyzxdzdx.

若曲面S关于(xoyyozzox或)平面对称，且S在(xoyyozzox或)平面上半空间

的部分曲面

1

S取定为上侧(前侧或右侧)，在(xoyyozzox或)平面下半空间的部分曲

面

2

S取定为下侧(后侧或左侧)，则

(,,)0

S

fxyzdxdy，(,,)fxyz关于z为偶函数，

(,,)

S

fxyzdxdy=

1

2(,,)

S

fxyzdxdy，(,,)fxyz关于z为奇函数；

(,,)0

S

fxyzdydz，(,,)fxyz关于x为偶函数,

(,,)

S

fxyzdydz=

1

2(,,)

S

fxyzdydz，(,,)fxyz关于x为奇函数；

(,,)0

S

fxyzdzdx，(,,)fxyz关于y为偶函数,

(,,)

S

fxyzdzdx=

1

2(,,)

S

fxyzdzdx，(,,)fxyz关于y为奇函数.

例1求第二型曲面积分

111

S

dydzdzdxdxdy

xyz

，

其中S为椭球面

222

222

1

xyz

abc

的外侧.

解注意到被积曲面关于,,xyz具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分，

则有

111

S

dydzdzdxdxdy

xyz

=

123

III，

令

2222

12

2222

3

2222

11

2222

11

11SS

xyxy

abab

dxdydxdy

Idxdydxdy

zz

xyxy

cc

abab









则

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第23页共25页

22

22

3

22

1

22

2

1xy

ab

Idxdy

xy

c

ab







.

作广义极坐标变换cosxar，sinybr；则

Jabr

，

12

3

2

00

214

.

1

ab

Iabrddr

cc

r









由轮换对称性知

1

4

S

dydzbc

I

xa



，

2

4

S

dzdxac

I

yb



，故

123

4()

bcacab

III

abc

.

3.9第二型曲面积分的向量计算形式

据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系：

[coscoscos],

SSS

PdxdzQdzdxRdxdyPQRdSAndS

A={P,Q,R}{cos,cos,cos}n其中，为有向曲面S上点(,,)xyz处的单

位法向量，dS是曲面的面积微元，正好符合第二型曲面积分的物理意义.又因为两

个向量值函数的数量积An是一个数值函数，所以

S

AndS是第一型曲面积分，当

曲面S方程为(,)zfxy上侧时，单位法向量为

，曲面面积微元为221()()

ff

dxdy

xy







，这就是说在此

计算过程中，计算量较大的因子221()()

ff

xy







肯定要被约去，实际不需要计算，

所以第二曲面积分

(,,)(,,)(,,)

S

PxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy

()()

xy

D

ff

PiQjRkijkdxdy

xy









xy

D

AndS

整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小.

例1求

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3

222

2

,

()S

xdydzydzdxzdxdy

I

xyz









其中S为球面2222xyzR的外侧.

解此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算，则需要计算六个二重积

分，较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求，被积函数的分母在原点等于零，

不能直接对球体2222xyzR和它的边界S运用高斯公式，因此需要以原点为中

心，某个充分小的正数为半径作球面2222:Sxyz



，内侧为正，用V



表示

球面2222xyzR与球面2222:Sxyz



围成的空间区域.对空间区域

V



和它的边界

SS



，运用高斯公式，最后可化为

33

222222

22()()SS

xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy

I

xyzxyz







，

还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便.

3

222

2()

SS

xdydzydzdxzdxdy

IAndS

xyz







，

其中

3

222

2

1

()

()

Axiyjzk

xyz





，

222

1

()nxiyjzk

xyz





，

3

2222

222

2

1

()()

()

()

S

S

xdydzydzdxzdxdy

Ixiyjzkxiyjzkdxdy

xyz

xyz











222

2

22

11

44

xyR

dxdyR

RR







利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分

计算，避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定，且计算过程运

算量较大的因子221()()

ff

xy







可以不需计算，所以其显著优点是物理意义明

确，计算过程简单，适用于所有的第二型曲面积分的计算，值得掌握.

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