中国传统文化与古代数学关系(附:《九章算法》)

中国传统⽂化与古代数学关系（附：《九章算法》）

数学作为⼀门重要的⼯具性学科,是⼈类长期实践,思考的智慧结晶。它作为⼈类⽂明的⼀个组成部分，和⼀定的社会历史发展

⽔平相适应；它作为⼀种⽂化现象，⼜受到整个⽂化结构的影响。在古代的东⽅很早就孕育和发展了数学。中国是四⼤⽂明古

国之⼀，也是数学的发源地之⼀，由于地域、⽂化等特点，中国古代数学与欧洲数学存在着巨⼤的差别。这不仅表现在对理论

与计算的偏重上，还表现在数学与社会关系的处理上。欧洲数学注重理论的逻辑推演和系统的建⽴，⽽与之相对，中国数学注

重算法的研究和知识的现实可⽤性。这些特点使得中国数学在很长⼀段时间⾥成就位居世界之⾸。本⽂将从物质⽂化，制度⽂

化和精神⽂化三个⽅⾯就中国古代数学的发展进⾏讨论。关键词：

中国古代数学、算法，实⽤性、物质⽂化、制度⽂化、精神⽂化

§1 物质⽂化：封建经济对中国古代数学的影响

众所周知，中国⾃古以来就是⼀个农业⼤国。中国的⼤部分地区⽓候适宜，降⽔充沛，⾮常适于耕种，因⽽在中国古代近

2000多年的历史中，农业⼀直占据着统治地位。因此中国的古代⽂化的经济基础基本上是农业经济。这种情况决定古代中国

的物质⽂化是农业⽂化。中国古代数学也与农业经济有着密切的关系。⾃给⾃⾜的封建经济对中国古代的数学发展的影响主要

见于数学的实⽤性和算术性。

§1.1

实⽤主义

中国古代的数学和数学家是⾮常务实的，数学家们强调数学的实⽤性。即数学应当服从并服务与农业⽣产活动。古代数学家研

究数学的动机主要在于满⾜国计民⽣的需要，注重的是数学的实际功⽤，这就决定了中国古代数学研究的实⽤特征，富有务实

精神。《九章算术》是中国最古⽼的经典著作，也是中国古代数学的巅峰之作，⾃它之后的中国古代数学家所研究的数学问题

都来⾃于此书。书有九章，包含246个问题。都和农业⽣产有关，九章分别是⽅⽥（⼟地测量）、粟⽶（百分法和⽐例）、衰

分（⽐例分配）、少⼴（减少宽度）、商功（⼯程审议）、均输（征税）、盈不⾜（过剩与不⾜）、⽅程（列表计算的⽅

法）、勾股（直⾓三⾓形）。这些问题都是⽤来解决农⽥的测量、粟⽶的称量，农业⽔利⼯程的测算等。《五曹算经》是⼀部

为地⽅⾏政⼈员所写的应⽤算术，全书五卷，有⽥曹、兵曹、集曹、仓曹、⾦曹五个部分。⽥曹卷的主题是⽥地⾯积的量法；

兵曹算术⼤都是军队的给养问题；集曹问题和《九章算术》粟⽶章问题相仿；仓曹解决粮⾷的征收、运输和储藏问题；⾦曹问

题以丝绢、钱币等物资为对象，是简单的⽐例问题。秦九韶关于数学的实⽤性论述更为具体。“周教六艺，数实成之，学⼠⼤

夫，所从来尚矣.起⽤本太虚⽣⼀，⽽周流⽆穷。⼤则可以通神明，顺性命，⼩则可以经实务，类万物，返容以浅近窥哉。

”（《数书九章》)

§1.2 算术性

农业的发展对中国古代数学的算术性提出了新的要求。中国古代数学中的算数曾在⼀段时间内领先世界。算筹和算盘的发明就

是很好的佐证。算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221

年），⼀直到算盘发明推⼴之前都是中国最重要的计算⼯具。按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表⽰⽅法为：个位⽤纵

式，⼗位⽤横式，百位再⽤纵式，千位再⽤横式，万位再⽤纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以⽤算筹表⽰

出任意⼤的⾃然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每⼀位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫⽆疑问，

这样⼀种算筹记数法和现代通⾏的⼗进位制记数法是完全⼀致的。随着农业⽣产技术的不断发展，算筹已不能满⾜需要，故⽽

⼜发明了算盘。⼤概在宋元时期，算盘问世。算盘最⼤的特点是设有横梁，

上⼀珠当5，下⼀珠当1，具有“随⼿拨珠便成数，珠动则数出”的优点。与之相应的，中国古代数学家还发明了⼀套珠算⼝诀，

⼝诵⼿拨，⼗分⽅便。算盘在计算器发明之前，⼀直是⼈们计数的最好⼯具。

§2 制度⽂化：中央集权和官僚体制对中国古代数学的影响

⾃秦始皇⼀统中国之后，在两千多年的封建社会⾥，中国社会所实⾏的制度是君主专制的中央集权制度、以宗法制为根本的家

族制度、较为完善的官僚制度。⾃给⾃⾜的⾃然经济中分散的家族和农民需要有⾼⾼在上、君临⼀切的中央集权的君主专制制

度的统治。在这种社会制度的影响和作⽤下，形成中国古代稳定的上下尊卑等级秩序的⽂化⼼理。主要特点是静态的、和解

的、⾃然的、消极的⼼理特点。造成安于现状的⽣活⽅式、⼯作⽅式、管理⽅式。思想僵化、调和持中，这种⽂化⼼理使得数

学只停留在实⽤上。没有就数学⽽数学，使数学⾃⾝的规律没有得到完善。在君主专制，宗法制和官僚体制之下，古代中国⼈

强调对君主、对家长、对长官的绝对服从和绝对忠诚。这就抑制了中国古代数学的发展，限制了数学家的⾃由思想。因此我们

看到，中国古代数学虽然辉煌，但其所涉及的范围只是局限于⾃然数的计算，换⾔之，中国古代数学只是在为君主和官员们的

统治做⼀定的服务。“在古代东⽅的全部数学中甚⾄找不到⼀个我们今天称之为‘证明’的例⼦，代替论证的只有程序的描述，所

讲授的内容只是‘如此这般地做’，⽽且也不是以⼀般规则的形式提出来，只不过是在⼀系列特殊情况下的应⽤⽅法。”这段话虽

有失偏颇，但也道出中国古代数学的特征。中国古代对数学的发展并没有很⾼的重视，因此也没有专职的数学家。中国古代的

数学家⼤多是有功名在⾝的官员。隋朝开始的科举制度也扼杀了⼤批在数学研究上具有不凡才华的⼈。在科举制度中数学不是

要考的课程，为“学⽽优则仕”⽽奋⽃的⼈们，⾃然不会将数学当作主修课程来学习。另外，农业经济的贫困使得没有多少⼈来

的数学的轰动效应。“勾股定理”在我国商⾼的时代就应⽤⽐西⽅的毕达哥拉斯发现早600年，但由于我们没有给出严格的数学

证明，这个定理在现在还认为是毕⽒的成果，称为“毕⽒定理”。墨⼦的极限理论也没有引起⾜够的重视，后来西⽅数学传⼊我

国时才知西⽅极限思想和⿊⼦的思想是⼀致的。在这种社会制度下，中国古代强调集体利益，不强调个⼈名誉和利益。因⽽，

有许多的数学著作难以找到其本来作者。例如《九章算术》成书于东汉时期，该书内容⼗分丰富，系统总结了战国、秦、汉时

期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也⾸先记录了盈不⾜等问题，“⽅

程”章还在世界数学史上⾸次阐述了负数及其加减运算法则。遗憾的是，我们⾄今也不知道是哪位数学家整理编著了这样⼀部

巨著。

§3 精神⽂化：儒家思想对中国古代数学的影响

儒家⽂化是中国传统⽂化的主流，儒家思想对我国古代的学科设置、科技发展、⽂化教育和政治经济产⽣重⼤影响。在儒家思

想价值的影响下，我国古代数学家研究数学的动机不仅仅是对数学的探索，更主要是满⾜国计民⽣的需要，注重数学的实际功

⽤，中国古代数学家会通过经邦济世⾓度去思考数学问题。

§3.1 经世致⽤

儒家思想是我国的主流思想，他们承认数学在实践中的作⽤，对数学与其他基于也做了认真的研究，但他们认为数学是“⼩

道”，也就是为君道服务的，数学教育的⽬标是为其他领域学科服务的。孔⼦说：“知⽽弗为，莫如勿知”，讲究联系实际，主张

应⽤。这些思想对我

国数学的发展产⽣了很⼤的影响，使得中国数学以实⽤性和发展算法为特征。⽐如在中国古代解⽅程这⼀块，充分体现了以实

际应⽤为主这⼀主导思想。我国古代数学的主要⽬标不是定理，也没有具体的定理和公理，我们的⽬的是解决形形⾊⾊的问

题，主要表现在解⽅程上。这在前⽂中关于中国古代书⾜额的实⽤主义⾥也已说明，此处不在赘述。

§3.2 天⼈合⼀的整体思维

儒家思想⾮常重视天⼈合⼀的境界，⽽中国古代的数学家⼤多⼜是儒家学者。所以中国古代的数学也体现了天⼈合⼀的思想。

数学⽂化的源头是天理，天意的研究。中国古代数学由于受“易学象数学”伦理的影响，是形与数结合在⼀起的数学，它是以计

算为主并使⽤算具、算器的数学。天⼈合⼀说最早起源于我国最古⽼的百科全书——《易经》。在中国的天⼈合⼀思想形成的

认识论与⽅法论中，数与字的关联关系是体的动静与性的分类科学。所以，每个数都表达⼀个属性的体系，简单的说是体现了

⼤系统与⼩个体的统⼀关系和相互作⽤。通过对数学史的研究,可以看出很多数学基础理论并不是单纯的数学问题。如果

把“⼈”与“天”关系看成数学计算与哲学理论关系来看的话，那么“天⼈合⼀”就很好的渗透在数学的实践和理论之中。“天⼈合

⼀”是中国传统思维——整体思维的最典型的理论形式，强调天和⼈的联系不可分割。在中国古代数学中，整体思维⽅法是通

过直观表现出来的。中国古代数学中的⾯积、体积公式和⼏何定理的证明⼏乎都采⽤了“出⼊相补”原理。“出⼊相补”深深地扎

根与中国⽂化的精神之中。“出⼊相补”是中国古代数学独特的证明⽅法，是借助辅助形体构造完整的直观的⼏何图形，并揭⽰

构成整体的各局部图形之间的某些逻辑关系的⽅法，但并不涉及到概念的性质。

§3.3 儒学与古代数学教育

儒家⽂化是中国古代教育的主流。《周礼》就有“九数”和“六艺”之说。《周礼》⾔：“保⽒掌谏王恶⽽养国⼦以道，乃教之六

艺：⼀⽈五礼，⼆⽈六乐，三⽈五射，四⽈五御，五⽈六书，六⽈九数。”这就是古代教育必须学习的礼、乐、射、御、书、

数六门功课，“九数”是指“数”学这门功课有九个细⽬。在孔⼦以后的两千多年中,特别是⾃汉武帝实施董仲舒建议的“罢黜百家,

独尊儒术”的政策以后，儒家思想成为中国封建⽂化的正统。“独尊儒术”对数学教育产⽣了重要影响。“经世致⽤”成为数学教育

的⼀⼤特点；另外，儒学讲经兼教数学,教育儒学化、经学化的⼀个直接结果是数学成为教育的重要内容,“汉儒⽤数理讲《周

易》,经书兼讲天⽂历法数学,因之数学成为儒学⼀部分”。在这样的⽂化背景下，古⼈⾃⼩学习儒家经典，儒家经典成为古代⽂

化的载体，是培养有道德的⼈的教科书。儒家经典同时也是古代科举考试的重要内容，要进⼊仕途，就必须学习儒家经典。古

代的中国数学家当然也不例外。在其成长的过程中，不论社会交往以及学术交往，⼤都处于儒家⽂化的氛围之中，免不了与儒

⼠交往。从家庭成员到⽼师，以⾄朋友同事，总会有儒家学者，或者有儒家背景的⽂⼈学⼠。以⾄于在他们的科学研究中，或

是包含着对儒学的研究，或是运⽤了儒家经典的知识，或是蕴涵着儒家的情怀。总结：

中国传统⽂化中的物质⽂化，制度⽂化和精神⽂化都对古代中国数学的发展起到⼀定的或积极或消极的影响。这也使得中国的

数学发展在世界上独树⼀帜，⾃成⼀体。⾃从20世纪以来，中国的数学已经融⼊了世界数学的⼤家庭⾥，中国数学的发展必

将为世界数学做出更⼤的贡献。