[资料]中国数学史

中国数学史

中国数学史

1. 中国数学从公元前后至公元 14 世纪，先后经历了三次发展高潮，

即 ___________ 、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中 ___________

时期达到了中国古典数学发展的顶峰。

3.1 《周髀算经》与《九章算术》 1. 《史记》“夏本纪”记载说：

夏禹治水，“左规矩，右准绳”，这里的规是指 ________ ，矩则是

指 _____________ 。

2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著 ( ) 。

A. 《考工记》 B. 《墨经》 C. 《史记》 D. 《庄

子》

3. 在现存的中国古代数学著作中，《 ________ 》是最早的一部。卷

上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了 ________ 的一般形式。

4 中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《 ______ 》，中国历史上

最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的 ______ 。

5 《九章算术》是从先秦至 ___________ 的长时期里经众多学者编

撰、修改而成的一部数学著作。

6 、“九数”是指：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、

赢不足、旁要。

7 、《九章算术》就是从九数发展来的。

8 《九章算术》 " 方田 " 、 " 商功 " 、 " 勾股 " 三章处理几何

问题。其中 " 方田 " 章讨论 _________ ， " 勾股 " 章则是关于

_________ 。

9 《九章算术》的“少广”章主要讨论（ ）。

A. 比例术 B. 面积术 C. 体积术

D. 开方术

10 《九章算术》内容丰富，全书共有 ________ 章，大约有 ________

个问题。

11. 世界上讲述方程最早的著作是 ( )

A. 中国的《九章算术》 B. 阿拉伯花拉子米的《代数学》 C. 卡

尔丹的《大法》 D. 牛顿的《普遍算术》

12 《九章算术》中 " 方程术 " 的关键算法是 "__________" ，实

质上这就是我们今天所使用的解线性联立方程组 的

___________ 。

简答题 《周髀算经》 ( 作者，成书年代，主要成就 )

简答题 赵爽在《勾股圆方图》中是如何证明勾股定理的？

古典算法 (10 分 ) 《九章算术》中的 “ 方程术 ” ，其关键算法

是 “ 遍乘直除 ” 。请利用该 “ 方程术 ” 解答下面的问题：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾

三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实

二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？

3.2 从刘徽到祖冲之 1. 刘徽数学成就中最突出的是 ________ 和

________ 。

2. 我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫 术，用来计

算面积和体积的一条基本原理是 ---- 原理。

3. 在中算史上，刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算

得的 “ 徽率 ” 是 ( ) 。

A.3.1 B.3.14 C.3.142 D.3.1415926

4" 幂势既同，则积不容异 " 的原理，其现代汉语意思是

_________ ， _________ 。是我国古代数学家 ____________ 首先

明确提出的，在我国现行教材中叫做 _________ ，在西方文献中称

_________ 。

5. 世界上第一个把 π 计算到 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 的

数学家是 ( )

A. 刘徽 B. 祖冲之 C. 阿基米德 D. 卡瓦列利

6 祖冲之父子的主要数学成就是_ 圆周率计算和球体积公式 .

7 祖冲之的代表作是（ ）

A. 《考工记》 B. 《海岛算经》 C. 《缀术》 D. 《缉

古算经》

8 祖冲之著《缀术》，关于圆周率的计算，他的“密率”（355/113）

在世界上有着独特的地位。关于球体积的计算，他指出“牟合方盖”

与球体积之比才是圆与方的比。更正了《九章算术》中关于球体积与

外切等高圆柱体体积之比等于圆率与方率之比（ ：4）的错误。

9 、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”，求出牟合方盖的体积，

给出了球体积的正确公式。

10 我国的数学教育有悠久的历史， ____ 代开始在国子监中设立

“算学”， ____ 代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。

11 下列数学著作中不属于 “ 算经十书 ” 的是 ( ) 。

古算经》

12. 我国古代十部算经中年代最晚的一部 ( )

A. 《数书九章》 B. 《五经算术》 C. 《缀术》 D. 《缉

A. 《孙子算经》 B. 《张邱建算经》 C. 《缉古算经》

D. 《周髀算经》

名词解释 1. 牟合方盖2.阳马 3祖氏原理

. 简述 祖冲之生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。

简述 《算经十书》是指：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》、

《五曹算经》、《缉古算经》。

试述 祖氏父子在我国数学史上的重要地位和贡献。

论述题 （10分）试述刘徽在我国数学史上的重要地位和贡献。论述

题（10分）

3.3 宋元数学 1 贾宪的高次开方法称为 ___________ 开方法，可适

用于开任意高次方，而与此相联系的 " 贾宪三角 " ，在西方文献中

则称为 "___________ 三角 " 。

2 北宋数学家贾宪，构造贾宪三角的“增乘方求廉法”是个创举。

3 “贾宪三角”实际上是将整指数二项式 ，n=0、1、2„的展开式的

系数由上到下排成三角数表。

4 、增乘方求廉法可以直接推广到开方程序中，这就是增乘开方法，

它是贾宪最大的贡献。《详解九章算法细草》中贾宪设开 4次方问题。

5 中国剩余定理是求解 一次同余组 的理论，发端于《孙子算经》

的“物不知数”问题，由宋代数学家 秦九韶 完善。

6 隋代杰出的天文学家刘焯编写哪部著作时，创用等间距二次内插法

公式（ A ）

A ．〈皇极历〉 B．〈大衍历〉 C．〈数书九章〉 D．〈议

古根源〉

7 . 我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是 ( )

A. 秦九韶 B. 杨辉 C. 朱世杰 D. 贾宪

8 元代杰出的数学家和数学教育家朱世杰的著作是（B ）

A ．《算学启蒙》和《九章算术》 B．〈算学启蒙〉和〈四元玉鉴〉

C ．〈四元玉鉴〉和〈九章算术〉 D．〈算经十书〉和〈四元玉鉴〉

9 《四元玉鉴》突出的数学创造有招差术 垛积术和四元术 .

简答题 简述我国宋元时期的数学成就.

简答题 1 什么是天元术？用天元式表示方程

简答题 2 什么是四元式？用四元式表示方程

名词解释: 中国剩余定理的内容是什么？

古典算法 (10 分 ) 请利用“中国剩余定理”解决下面的问题：今有

物，不知其数。五、五数之，剩二；七、七数之剩三；九、九数之，

剩五。问物几何？

1 、中国传统数学的突出成就主要有哪些？

（ 1 ）筹算、筹算与十进位制计数法；（ 2 ）分数理论：（ 3 ）率

的理论；（ 4 ）正负数的加减乘除法则；（ 5 ）线性方程租解法；（ 6 ）

设未知数列方程及高次方程数值解法；（ 7 ）多元高次方程组解法

（ 8 ）高阶等差级数求和（ 9 ）一次同余式解法（ 10 ）勾股定理、

重差理论（ 11 ）无穷小分割和极限思想证明面积和体积公式（ 12 ）

珠算技术等。

2 、中国最早的计算工具是算筹。

3 、中国古代的测绘工具是规、矩。

4 、算筹计数法：

5 、“九数”是指：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、

赢不足、旁要。

6 、《九章算术》就是从九数发展来的。

7 、《墨经》是诸子百家中阐述自然科学理论和学说最丰富的著作。

8 、《墨经》中的几何定义：

平行线：“平，同高也”——两线间高相等，叫平。

同长：“同长，已正相尽也”——如果两条线段重合，就叫同长。

中点：“中，同长也”——到线段两端的距离相同的点叫中点。

圆：“圆，一中同长也”。——到一中心距离相同的图形叫圆。

直：“直，参也”——以三点共线定义直。

点：“端，体之无厚，而最前者也”——点不可分。

“端，是无间也”。——点，没有空隙。

9 、《墨经》中的逻辑思想十分丰富：“小故，有之不必然，无之必

不然。大故，有之必然。”大故是“充分条件”，小故是“必要条件”。

10 、《墨经》中的无限分割思想：

端：通过无限分割，而最终分到一个无可再分的“端”。

11 、“一尺之棰，日取其半，万事不竭”。出自《庄子 . 天下篇 》 。

12 、《周易》中所包含的数学思想有：

（ 1 ）组合数学的萌芽（ 2 ）二进制（ 3 ）坐标系思想。

13 、《周髀算经》 是中国最早的一部天文、数学著作。

14 、勾股定理出自《周髀算经》。

15 、赵爽在《勾股圆方图》中是如何证明勾股定理的？

16 、《九章算术》的主要内容以及历史地位及其影响？

主要内容为：“方田”章、“粟米”章、“衰分”章、“少广”章、

“商功”章、“均输”章、“赢不足”章、“方程”章、“勾股”章。

（ 1 ）《九章算术》在中国数学史上的地位和影响

① 《九章算术》为中国古代数学著作提供了编撰创作的范例和样板。

② 《九章算术》已经建立了中国古代数学的基本框架。

③ 《九章算术》奠定了中国古代数学教育体系的基础，形成了中国

古代数学教育内容体系的特点：开放的归纳应用体系和算法化的内

容。

（ 2 ）《九章算术》在世界数学史上的地位和影响

① 《九章算术》决定了世界数学研究重心由地中海沿岸的希腊地区

转换到了太平洋西海岸的华夏大地。

② 《九章算术》标志着数学研究的对象和成果形态的改换，对世界

数学的发展起着十分重大的作用。

17 、《九章算术》提出了一系列完整的分数运算法则：

合分术——分数加法法则；减分术——分数减法法则；乘分术——分

术乘法法则；经分术——分数除法法则。

此外，还有课分术——比较分数大小的方法；平分术——求分数平均

值的办法。

18 、《九章算术》中的“更相减损求等”法与欧几里得《几何原本》

求最大公约数发基本一致。用“更相减损求等”法求 49 和 91 的最

大公约数。

19 、赢不足算法的方法论意义是什么？

赢不足是我国古代独立的创造，是指也是 RMI 的表现：即给定一个

含有目标原象 x 的关系结构 S ，如果能找到一个可定映映射 ，将 S

映入或映满 S* ，则可从 S* 通过一定的数学方法（定映手续）把目

标映射 X*= （ x ）确定出来，进而通过反演 又可把 x= (x*) 确定

出来，这样原来的问题就得到了解决。

20 、最早的不定方程问题出自《九章算术》。

21 、刘徽的主要贡献表现在哪些方面？

（ 1 ）刘徽发展了《九章算术》中“率”的概念，提出律师算法之

“纲纪”，发展了出入相补原理；（ 2 ）解决了若干多变形面积和多

面体体积问题，证明了勾股、测望的若干公式；他发展了重差方法，

解决若干可望不可及的复杂测望问题；（ 3 ）在证明圆面积公式和锥

体体积公式时，他引入了无穷小分割和极限的思想，他把四面体体积

看成解多面体体积问题的核心，将多面体体积理论建立在无穷小分割

的基础上的思想，与现代数学的思想相契合；（ 4 ）它在中国首次提

出了计算圆周率近似值的正确方法，求出了 =157/50 （又称徽率）

和 =3927/1250 两个圆周率。（ 5 ）他发展了截面积原理，以此证明

了各种圆体的体积公式，并批评了《九章》中所使用的球体体积公式

的错误，他设计了牟合方盖，为正确解决球体体积开辟了道路；（ 6 ）

对于开方不尽的情形，他创立了求微数的方法，开十进小数之先河；

（ 7 ）刘徽还愿借墨家的思想，提出了若干数学概念的含义，克服

了以往纯粹靠约定俗成的局面，他提出了若干推理，既有归纳推理，

也使用演绎推理，这些都是难能可贵的。

22 、中算家们考察的各种数量关系中，最基本、最重要的就是“率”。

率是中算许多理论的基础和算法的源泉，可以说，不懂得率就无法理

解中国古代数学的特点。

23 、最基本算法程序原理——齐同。

24 、刘徽建立了正负数的运算法则。

25 、刘徽对“方程”机械化程序的贡献：

（ 1 ）刘徽的互乘相消程序（ 2 ）刘会对“方程”解法程序的理论

贡献（ 3 ）正负数的引入是“方程”算法机械化的结果。

26 、印度到 7 世纪的婆罗门笈多才开始认识负数，比《九章》晚了

约 700 年。

27 、刘徽的“割圆术”证明圆面积公式：刘徽说“割之弥细，所失

弥少，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

28 、科学推求圆周率： 。

29 、刘徽还用无穷小分割和极限方法证明了一条极为重要的原理：

“刘徽原理”：即由一个堵分成的阳马和鳖臑，其体积之比为 2 ：

1 。

30 、百鸡问题出自《张丘建算经》，是世界著名的不定方程问题。

“今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一，凡百钱买鸡百

只，问鸡翁、母、雏各几何？”

依术列出方程：

《张丘建算经》认识到这是个不定问题，并给出了（ 4 ， 18 ， 78 ），

（ 8 ， 11 ， 81 ），（ 12 ， 4 ， 84 ） 三组解，是其全部正整

数解。

31 、 13 世纪意大利菲波那契的《算法之书》，中世纪阿拉伯的阿尔 .

卡西的《算术之钥》都有百鸡问题。

32 、“物不知数”问题出自《孙子算经》，又叫《孙子问题》。

原文：今有物，不知其书。三、三数之，剩二；五、五树枝，剩三；

七、七数之，剩二。问物几何？

这是一个相当于解同余式组的问题。设 N 为所求之物数，问题的现

代形式为： N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7), 亦即求适合于上式的最小

正整数 N ， N 为 23 。

33 、 中国剩余定理的内容是什么？

34 、“雉兔同笼”（现通称“鸡兔同笼”）问题出自《孙子算经》。

问题原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔

几何？答：雉 23 ，兔 12 。

35 、祖冲之著《缀术》，关于圆周率的计算，他的“密率”（ 355/113 ）

在世界上有着独特的地位。关于球体积的计算，他指出“牟合方盖”

与球体积之比才是圆与方的比。更正了《九章算术》中关于球体积与

外切等高圆柱体体积之比等于圆率与方率之比（ ： 4 ）的错误。

36 、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”，求出牟合方盖的体

积，给出了球体积的正确公式。

37 、名词解释：牟合方盖

38 、《算经十书》是指：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙

子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》、《五

曹算经》、《缉古算经》。

39 、北宋数学家贾宪，构造贾宪三角的“增乘方求廉法”是个创举。

“贾宪三角”实际上是将整指数二项式 ， n=0 、 1 、 2„ 的展开

式的系数由上到下排成三角数表。

40 、增乘方求廉法可以直接推广到开方程序中，这就是增乘开方法，

它是贾宪最大的贡献。《详解九章算法细草》中贾宪设开 4 次方问题。

41 、秦九韶在数学上的贡献是在 1247 年完成的《数学大略》 18 卷，

明代后期该书改名为《数书九章》，内容包括一次同余式解法。《数书

九章》是中世纪世界数学史上的光辉著作。

42 、秦九韶在前人开方法的基础上提出了正负开方数，他的成果比

西方同类解法早近 600 年。正负开方数作为《数书九章》的杰出成

果之一，他把贾宪的开方数原理推广到开高次方并改善计算程序的结

果。

43 、秦九韶在《孙子算经》“物不知数”题的基础上，提出了“大

衍求一术”与“大衍总数术”，分别解决模数两两互素与不互素的情

况，从而完整地解决了一次同余问题，这一世称“中国剩余定理”的

成就，比西方同类解法早 500 多年。可以说，秦氏的大衍总数术几

乎达到了统一的机械化算法的要求。

44 、秦九韶给出已知三角形三边之长求其面积公式

面积 = [ 小斜 大斜 — ]

这与希腊的海轮公式等价： 。如下图：

a 大斜

b 中斜

C 小斜

45 、杨辉的数学学习思想和方法有哪些？

（ 1 ）“须则实有”。这一学习思想占有很重要的地位。（ 2 ）循

序渐进，步步为营。（ 3 ）精讲多练，注重启发、引导。（ 4 ）熟读

精思，算中明理。（ 5 ）熟能生巧，融会贯通，灵活运用所学知识。

46 、金元时期著名数学家李冶 1248 年著《测圆海镜》 12 卷， 1259

年又写成《益古演段》 3 卷。《测圆海镜》是最早使用“天元术”的

著作。

47 、从历史上看，数学（特别是代数学）的表述方式最初都是文辞

式的，当数学发展到一定阶段，其表述方式相应发展成两类模式：符

号式和位置式。

48 、元代著名数学家朱世杰著有《算学启蒙》和《四元数鉴》。他的

包含任意高次差的招差公式，是世界数学史上的首创。他的著作《四

元数鉴》则是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个世纪最

杰出的数学著作之一”。“四元”是指天、地、人、物。

49 、十六世纪后欧洲出现了符号代数，相比之下，我国的方向、位

置性质和符号就显得落后了。

50 、朱世杰创造的四元消法是一套完整的一般性的消未知数的程序，

是他的主要贡献，四元高次方程组的解法也代表了当时世界范围内方

程组理论的最高水平。朱世杰的算法，被现代数学家吴文俊直接继承

和发展，成为机械化证明的代数基础。

51 、“吴文俊消法”即是以“天元术”、“四元术”为基础创造发

展来的，是将中国传统数学的构造性和机械化思想以及几何代数化方

法应用于当代数学前沿——几何定理机器证明研究的结果。

52 、明代中期以后，珠算代替筹算是计算技巧的一大进步。一些算

书也以应用数学为其重要内容，如吴敬的《九章算法比类大全》，这

时期还比较注重了工艺技术所需的数学。

53 、我国科学家徐光启与意大利传教士利玛窦共译欧氏《几何原本》

前六卷，《几何原本》后来成为明清两代数学家必读的数学书。

54 、梅文鼎被誉为“历算第一家”。以他为中心形成梅氏数学家族。

55 、以筹算为基础的机械化算法体系有哪两种必然的发展方面？

（ 1 ）筹算运演工具在运演操作中被改进或被创新。（ 2 ）算法的

改革。

56 、珠算在明代得到广泛应用，珠算和算盘，既是一种优越的计算

工具，又是一种好的教具和学具。

57 、“几何”这一术语出自徐光启翻译的《几何原本》，徐光启将西

方三角学和测量学引入我国。

58 、李善兰被誉为“中国近代科学的先驱”，他创立了“尖锥术”，

与伟烈亚力合作翻译出版了《几何原本》后九卷以及《代数学》、《代

微积拾级》，《代微积拾级》是中国出版的第一部微积分译作，后又译

了《奈端数理》（即牛顿《自然哲学的数学原理》）。 1868 年，李善

兰受聘任天文算学总教习。

59 、什么是“天元术”？用天元式表示方程 25X2 + 280X - 6805

=0

“天元术”是“立天元为某某”，这相当于“设 x 为某某”，“天

元一”就表示未知数，这是我国古代列方程的方法。

60 、祖冲之父子的数学成就是什么？

（1） 沿用刘徽的“割圆术”算出了圆周率的上下限，即

3.1415926 （纳数） < д< 3.1415917( 盈数 ). ）

（2） 确定了圆周率分数形式的近似值，约率 22/7 ，密率

355/113

（3） 运用“开立圆术”，从计算“牟合方盖”体积突破，

以“祖氏原理”为基础，推导出球体积公式： V=

61 、中国古代算筹计数法表示数

3704_____________ ,40659________________.

62 、祖冲之父子的主要数学成就是 _ 圆周率计算 和球体积公式 .

63 、《四元玉鉴》突出的数学创造有招差术 垛积术 和四元术 .

64 、简述刘徽的数学成就 .

（1） 割圆术：首先用圆内接正多边形逐步逼近圆，刘徽从

圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形

的周长和面积。刘徽计算到 192 边形，得到著名的“徽率”，化成

分数是 157/50 。

（2） 体积理论。刘徽的体积理论主要包括“阳马术”和球

体积公式的证明。刘徽在一个立方体内做两个互相垂直的内切圆柱，

这两个圆柱的相交部分，刘徽称为“牟合方盖”。他的方法成为祖冲

之父子在球体积的证明上取得突破的先导。

65 、简述我国宋元时期的数学成就 .

（1） 贾宪创造了“增乘开方法”

（2） 秦九韶的“正负开方术”

（3） 秦九韶的“大衍总数术”和“大衍求一术”

（4） “招差术”

（5） “垛积术”

（6） “天元术”

（7） “四元术”

附：山东省 2008 年普通高等教育专升本统一考试数学史试卷（ 50

分）

一、填空题（ 10 分，每题 2 分）

1. 在现存的中国古代数学著作中， 是最早的一部。

2. 解析几何的发明要归功于法国的数学家

和 。

3. 获得菲尔兹奖的美籍华人数学家是 。

4. 最早最系统的发表了自己的关于非欧几何的研究成果。

5. 我国的著名数学家 在机器证明数学问题上进行了卓有

成效的工作。

二、简答题（ 10 分）

列举几何《原本》的五条公设，五条公理。

三、论述题（ 30 分，每题 15 分）

1. 简述刘徽主要的数学成就。

2 ．简述牛顿对微积分的创立所做的贡献。