中国二次型研究的开拓者数学家柯召

中国二次型研究的开拓者——数学家柯召

柯召，数学家，数学教育家。长期在四川大学任教，曾

任该校校长多年。研究领域涉及数论、组合数学与代数学。

在二次型、不定方程领域获众多优秀成果。

柯召，字惠棠。1910年出生在浙江温岭一个平民家里。

父亲柯伯存在当地一家小布铺中当店员，母亲是家庭妇女，

家境窘迫，勉强度日。柯召5岁时，父亲即教他认字，训教

甚严。1921年，柯召11岁，本已可升中学，因年幼，父亲

便让他在家乡读了一年私塾，从此打下了良好的古汉文基

础。1922年，入杭州安定中学读书，1926年毕业。同年考

入厦门大学预科，1928年升入厦门大学数学系。学满两年后，

他希望转学到师资力量更强的清华大学。为筹学费，他去教

了一年中学。1931年，通过考试转学到清华大学算学系。当

时，在系里任教的有熊庆来、孙光远、杨武之、胡坤陞等，

和柯召一起听课的有陈省身、华罗庚、许宝騄、吴大任等。

华罗庚是系里的职员，陈省身和吴大任是研究生，柯召和许

宝騄是本科生。后来，这五人都成了著名的数学家。1933年，

柯召以优异成绩毕业。当时的清华大学淘汰率极高，他们那

一届毕业时仅剩他和许宝騄二人，都是在三年级转学来的。

杨武之是美国芝加哥大学博士，中国早期从事现代数论研究

的学者，柯召和华罗庚都受他指导，师生情谊很深。课余时

间，柯召常去老师家中下围棋。杨武之的儿子杨振宁当时还

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年幼，常站在一旁观棋。

1933年，柯召应姜立夫的聘请，去天津南开大学数学系

当助教。当时南开大学数学系只有他一个助教，任务很重，

他工作孜孜不倦，做得十分出色。

1935年，他考上了中英庚款的公费留学生，去英国曼彻

斯特大学深造，在导师L.J.莫德尔(Mordell)的指导下研究

二次型，在表二次型为线性型平方和的问题上，取得优异成

绩，并应邀在伦敦数学会作报告，受到当代著名数学家G.H.

哈代(Hardy)的好评。这是中国人首次登上伦敦数学会的讲

台。1937年，由哈代和莫德尔主考，柯召获得博士学位。接

着，他在曼彻斯特大学数学系工作一年，指导一位英国学生

取得硕士学位。在英国3年，柯召学习刻苦、工作勤奋，为

他毕生从事数学的教学和研究打下了坚实的基础。到1938

年为止，才华横溢的柯召，在《数论学报》、《牛津数学季刊》、

《伦敦数学会杂志》、《伦敦数学会会报》等国际一流杂志上

发表了10多篇极为出色的论文，除了包括二次型方面的一

系列深刻工作外，还包括了中国最早的代数数论和数的几何

方面的研究成果。

当时，在曼彻斯特大学聚集了一批数论新秀，他们当中除

柯召外，还有P.爱尔特希(Erdos)、H.达文波特(Davenport)、

K.马勒(Mahler)等人，后来他们都成了国际上的著名数学

家。柯召与爱尔特希在曼彻斯特大学期间合写了3篇重要论

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文，结下了深厚的友谊，持续至今。52年后，爱尔特希在《四

川大学学报》为庆祝柯召80寿辰出版的专辑上发表文章，

满怀深情地回忆和柯召在英国同窗的美好日子。

1938年夏，柯召不顾老师莫德尔的再三挽留，满怀报国

之心，毅然回到正受日本侵略军蹂躏的祖国。他和留英的李

华宗都来到了成都，受聘为四川大学教授，讲授代数和几何

方面的课程。翌年夏，他任四川大学数学系主任。这时，为

躲避日本侵略军的空袭，四川大学由成都迁往峨嵋。尽管抗

战大后方条件极为艰苦，他仍坚持教书育人，积极从事科学

研究;在此期间他与李华宗合作，进行了矩阵代数方面的研

究。特别是他主持数学系之后，很注意科研工作和学生能力

的培养，除课堂教学外，定期举办全系的学术讨论会。在四

川大学校史上有这样一段记载：“1938—1942年在峨嵋期

间，数学系每周设专题研究课，召集全系师生作集体研究，

各人阐述自己的研究心得，共同讨论，这种专题研究十分吸

引人……它造就了一批在数学上锐进不已的人材。”他和李

华宗合作的论文，以及和他的学生朱福祖合作的二次型方面

的论文，都是这个专题研究课的产物。

1946年，柯召应聘到重庆大学数学系任教授。那时物价

暴涨，货币贬值，教员生活非常清苦，柯召仍孜孜不倦从事

教学工作，精心讲授“群论”、“数论”等课程，深受学生

中华人民共和国建立后，柯召继续在重庆大学任教。1953

年，他调回四川大学任教至今。在这40余年间，他以满腔

的热情投入教学和科研工作，为国家培养了许多优秀数学人

材，在科研上硕果累累。与此同时，他还先后担任了四川大

学教务长、副校长、校长、数学研究所所长等职，作为学术

带头人和学校负责人，他卓有成效地抓了几个重要方面的工

作：努力提高教学质量，积极开展基础理论研究，发展应用

数学，培养一批高水平的人材，等等。

柯召一贯重视提高教学质量，反对“注入式”的教学方

法，主张搞教学的人要积极开展科学研究，使讲课深入浅出，

富有启发性。他自己以身作则，对待教学工作认真负责，从

上基础课“高等代数”到讲授选修课“数论导引”，均一丝

不苟，讲解生动，极富启发性，深受学生的欢迎。他还重视

教材建设，中华人民共和国成立初期，翻译出版了A.Γ.

库洛什(Kypoш)的《高等代数教程》、A.и.马尔采夫

(Mалъцев)的《线性代数学》以及ф.P.甘特马赫尔

(гантмахер)的《矩阵论》等，前二种教材被当时

各大专院校数学系普遍采用，为数学教育的发展作出了贡

献。1981年，他与魏万迪合作编写出版了《组合论》(上

册);1986—1987年，他和孙琦合作出版了《数论讲义》，这

些教材的出版，受到广大读者和国内外同行的好评。

柯召非常重视基础理论研究。1955年，他带领一些青年

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教师和学生，在线性型的最大不可表数的问题上，作了不少

工作。同时，他在二次型方面继续发表了一些优秀论文。特

别在60年代，他在不定方程方面，得到一系列极为出色的

结果。在组合数学方面，与爱尔特希、T.拉多(Radó)

合作，发表了著名的爱尔特希-柯-拉多定理。他主张科研工

作要持之以恒，不能停顿，他说，“研究工作不怕慢，只怕

站”。他长期参加并指导有多名中青年教师参加的数论讨论

班，鼓励大家敢于向难度大的问题挑战。他用袁枚的一首诗

来表达他对科学研究的深切体会：“但肯寻诗便有诗，灵犀

一点是吾师，夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。”他说：

“对科学研究确有此种境界，肯下功夫，总会有收获，灵感

之来源于刻苦，能灵活运用，可以得出很好的结果。”

柯召很重视数学的应用工作。早在50年代初期，他就在

四川大学数学系提出要发展微分方程、概率统计和计算数学

这三个有重要应用价值的数学分支。60年代初，他曾亲自参

加线性规划的推广和应用工作。1972—1973年，他不辞辛苦

地同一些中青年教师一道，到四川的沪州、广元、峨嵋、成

都等地去推广优选法，举办讲座。1974-1975年，他亲自编

写了国内第一部组合论讲义，作为部队学员培训班的教材。

他支持他的学生魏万迪从事组合数学的研究，支持孙琦、郑

德勋等开展快速数论变换的研究，使得四川大学在这两个方

面都取得了不少好成绩。80年代初，他又积极带领四川大学

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数论组的教师从事国防应用数学的研究，开拓数论应用的新

领域，为社会主义现代化服务，取得了丰硕的成果。

柯召认为：“大学的设备，不如师资重要，西南联合大学

就是证明。它的设备不行，还是培养出了杨振宁、李政道等

多位杰出学者，其原因是西南联合大学的师资力量很强。”

因此，他热心于培养学生，提携优秀人材，反对论资排队。

50年代以来，他培养过的许多学生，例如陈重穆、陆文端、

张同、郑德勋、魏万迪、谢盛刚、孙琦、李德琅等，如今都

已成长为我国数学教学和研究队伍中的骨干力量。

柯召是最早的中国科学院数理学部委员之一，长期担任中

国数学会的领导工作，直至1983年第4届全国数学大会改

任为名誉理事长。他于1963年和1978年，两度参加了制定

国家发展规划的工作，为中国数学事业的发展做了大量的重

要工作。他还担任过国务院学位委员会第一届学科评议组成

员，国家教委教材编审组“代数、数论”组成员，《数学学

报》编委，《数学年刊》副主编等多种职务。

柯召还是一位社会活动家。1950年，他参加了九三学社，

历任九三学社中央常委、副主席、参议委员会副主任，九三

学社四川省主委，四川省政治协商会议副主席，四川省科学

技术协会副主席、名誉主席等职。柯召是第1至第7届的全

国人民代表大会代表。

从30年代到80年代，柯召发表了上百篇卓有创见的论文，

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其中不少论文从结果到方法在国际上都产生了重大影响，具

有重要的学术价值。

中国二次型研究的开拓者

从30年起，柯召在表二次型为线性型平方和的问题方面，

在二次型表为不可分解型之和以及二次型的等价分类等问

题上，作了一系列重要工作，他是中国二次型研究的开拓者。

1.表平方和问题。

设

是一个整系数正定二次型，Rn表示最小的i，j=1正整数

rn，使得对一个任给的n元二次型f，存在rn个线性型

这里Q表示有理数域。寻求Rn的工作始于E.G.H.兰道

(Landau)和莫德尔。1937年，莫德尔证明了Rn≤n十3。

1937年，柯召对Rn≤n十3给出了一个简洁的证明，并于

1938年证明了Rn=n十3，从而彻底解决了这一问题。这是

他在二次型方面的第一个重要工作。

1940年，他还证明了对于任给的非定n元么模二次型f，

存在εi=±1和线性型Li，使得

2.不可分问题。

设f是一个整系数正定二次型，如果f不能表成二个整系

数非负二次型的和，我们称f是n元不可分解型。1937年，

莫德尔证明了对于n≤5，不存在不可分解型，而在n=8时

有这样的型存在。柯召和爱尔特希证明了n≥12时，除开

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n=13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使这一问题

得以基本解决。1958年，柯召证明了不存在13元不可分解

型。

3.类数问题。

设Cn，1，代表n元正定么模二次型的类数。C.埃尔米特

(Her-mite)证明了n≤7时，Cn，1=1。1937年，莫德尔证

明了C8，1=2。1938年，柯召证明了n=9，10，11时，Cn，

1=2。同年，他和爱尔特希证明了对适当大的n，Cn，

1≥2√n。1958年至1960年，他先后证明了C12，

1=C13，1=3，C14，1=4，C15，1=5，以及C16，1≥8，并

且找出了每一个类的代表型。

这些结果，至今仍具有重要的学术价值。1988年，在日

本召开的国际信息论会议上，两位获奖人中的一位——美国

数学家N.J.A.斯托勒(Stoane)，对一位中国代表谈到柯召

30年代有关二次型的论文时说：“我很惊异中国人那么早就

已作出了巨大的成就。”斯托勒还请这位代表带信向柯召致

意：“我拜读了您1938年关于二次型的论文，棒极了。”

对不定方程的突出贡献

柯召从30年代起，就潜心研究不定方程，对这个领域的

贡献十分突出。

1.爱尔特希猜想的否定。

1938年，爱尔特希猜想：不定方程xxyy=zz (1)无整数解

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x>1，y>1，z>1。1940年，柯召用极其精湛的初等

方法证明了当(x，y)=1时，方程(1)无x>1，y>1，z>1

的整数解;但当(x，y)>1时，有无穷多组解

时至今日，50多年过去了，爱尔特希对这一美妙的结果

仍然赞叹不已。爱尔特希说：“柯给出的无穷多组解使我十

分惊奇，也许这就是方程的全部解。”事实上，方程(1)有

无其他的解?方程(1)有无奇数解?这是两个至今仍未解决的

问题。

2.M.维尔纳(Werner)猜想的证明。

维尔纳猜想：不存在3个有理数，它们的和为1，它们的

乘积也是1。即不定方程

x十y十z=xyz=1无有理数解。

这一猜想在很长时间内使数学家们束手无策。这一猜想等

价于不定方程

x3+y3+z3-xyz=0，(x，y，z)=1

无xyz≠0的整数解。1960年，柯召以其扎实的代数数

论功底，证明了这一猜想。近年来，不定方程x十y十z=xyz=1

已推广到各种代数数域，引出一系列深刻的工作。

3.柯氏定理，卡塔朗猜想的重大突破。

1842年，法国数学家E.C.卡塔朗(Catalan)提出一个猜

想：8和9是仅有的二个大于1的连续整数，它们都是正整

数的乘幂。这一著名的猜想，在很长一段时间内，甚至连“是

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否有3个连续整数，它们都是正整数的乘幂;以及方程x2=yn

十1(n>3，xy≠0)是否有正整数解”都未解决。1962

年，柯召以极其精湛的方法解决了这两个难度很大的问题。

他证明了不存在3个连续数都是正整数的乘幂，以及证明了

方程x2=yn十1在n>3时无xy≠0的正整数解。这是

研究卡塔朗猜想的重大突破。莫德尔的专著《不定方程》(The

Diophantine Equations)中把柯召关于方程x2-1=yn的结果

称为柯氏定理。特别是，他在证明这个定理时，提出了计算

雅可比(Jacobi)符号来研究不定方程的方法，这里n是奇数，

p、q是不同的奇素数。1977年，G.特尔加尼亚(Terjanian)

对偶指数费马大定理第一情形的证明，以及1983年，A.罗

特基维奇(Rotkiwicz)在不定方程中所取得的一系列重要结

果，都用到柯召的方法和思想。

爱尔特希-柯-拉多定理

设S是一个有限集，|S|=n，AiS，|Ai|≤k，n≥2k，

AAj，|A∩Aj|≠0，1≤i

柯召在治学上一贯是非常勤奋、刻苦和严谨的。他长期担

任重要的社会工作和行政职务，除了教学任务，还能在科研

上不断写出高质量的论文，实非易事。他非常善于利用时间。

50年代到60年代，他常在旅途中进行科研，有的论文就是

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在火车上构思的。1974年，他被自行车撞伤，为此卧床近2

个月，而那份组合论讲义就是养伤期间在病榻上完成的。在

年过八旬后，他仍经常花大量时间审阅稿件和做评论论文的

工作，关心数论的发展。1990年4月，《四川大学学报》(自

然科学版)为庆祝柯召80寿辰出版了专辑，共发表了献给柯

召80寿辰的论文38篇，包括爱尔特希、格雷厄姆、R.蒂德

曼(Tijdeman)，以及王元、陈景润、万哲先、潘承洞等一批

国内外著名数学家撰写的优秀论文，充分表明他在数学界享

有的崇高声誉。他的学术成就和品格，得到了人们的敬重。

1990年4月12日，四川大学和四川省科学技术协会联合举

行了庆祝柯召80寿辰暨执教60年大会，有数百人出席，大

会收到全国各地贺电、贺信上百件，人们怀着崇敬的心情，

回顾他几十年来所走过的成功和艰难的道路，颂扬他为发展

祖国的数学事业所做的无私奉献。正如中国科学院、国家科

学技术委员会的贺信中所指出的：“数十年来，柯召教授热

爱社会主义祖国，忠诚人民的教育事业，努力献身国家的科

学事业，为我国的教育事业和科学技术事业作出了重大贡

献。”

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