中国剩余定理

长江师范学院数学史课程论文

论述中国剩余定理的形成及对教育的影响

摘要

：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中

国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高

中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思

想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。

关键词

：中国剩余定理（孙子定理） 数学教学 影响

引言

随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。

在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，

均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问

题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。

如果说，一部中国数学发展史像一条渊远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉

煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都

知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定

理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是

由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800

年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，

很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。

1、中国剩余定理的简介及形成

在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数

学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一

枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同

形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的

成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪

的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传

本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公

元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定

理。又称中国剩余定理。

一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩

二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，

除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：

“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，

并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之

剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。

1

长江师范学院数学史课程论文

在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，

他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，

他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3

报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报

之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自

己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》

对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于：

（1 ） 没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；

（2 ） 模数仅限于两两互质的正整数，未涉及一般情况；

（3 ） 未能进一步探究同余式（组）有解的条件等理论问题。

因此，后人把这一命题及其解法成为“孙子定理”主要是推崇《孙子算经》在这一类问题的

处理上时间领先，其实想方法的成熟，还有待提高。为了解决这一类“孙子问题”中的不足，

秦九韶从孙子定理中推广了“孙子问题”的解法形成了“中国剩余定理”。 秦九韶（秦九

韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，干公元1247

年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次

同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义

的成就。秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步

骤。秦的方法，正是前述的剩余定理。）提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学

概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。直到此时，由《孙子算经》“物不知数”

题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定

理”的高度。 这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”

的一次同余式解法。

后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗

指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如

下特性：也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、

7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，

2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出

发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。应用上述推理，可以完

全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、

a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n），

只需求出一组数K，使满足1（mod ai）（i=1、2、……n），那么适合已给一次同余

组的最小正数解是P是整数，M=a1×a2×……×an），就是现代数论中著名的剩余定

理。

印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元六世纪到十二世纪，他们发展了一

种称为“库塔卡”的算法，用来求解和一次同余式等价的不定方程组。“库塔卡”法出现在

孙子算法之后，印度数学家婆罗门复多（七世纪）、摩柯吠罗（九世纪）等人的著作中，都

有和物不知数题相同的一次同余问题。这当然不是要借此断言“库塔卡”法一定受到了孙子

算法的影响，但是有人（如万海依等）硬说中自的“大衍求一术”来源于“库塔卡”，就是

毫无根据的妄说了。万海依居然把中国算法中数码从左到右横写作为“大衍术”受印度影响

2

长江师范学院数学史课程论文

的重要根据。大家知道，中国古代至迟从春秋战国时期就开始使用算筹记数，我们今天还可

以从现存的公元前三世纪的货币上看到这种从左到右的记数方法。由此可见，万海依的论点

多么荒唐可笑。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性，“大衍求一

术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，一直公

正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。

2、中国剩余定理在当今数学中的体现

中国剩余定理出现在了高中课程和大学课程中，在高中课程中主要以思考为主，在大

学的初等数论中特定的讲解了这一个定理。中国剩余理论是孙子定理的推广，他的计算方法

更简单，而且容易理解是我们解决一次同余组

2、1数列里的中国剩余定理

2、1、1、等差数列除以素因子的余数定理：

（1）、当等差数列的公差能被素因子N整除时，该等差数列的每一个项，除以素因子N的余

数都相同；

（2）、当等差数列的公差不能被素因子N整除时，该等差数列的N个连续项，除以素因子N

的余数分别为：0，1，2，3，4，…，N-1，具体余数排列顺序以公差和素因子有关，当公差

与素因子相同时，余数循环排列顺序是相同的。

2、1、2、等差数列除以合数的余数定理：

（1）、当合数为X时，合数X所包含的素因子与题中所提到的素因子无关。等差的公差又不

能被合数X整除时，该等差数列的X个连续项，分别除以合数X的余数为：0，1，2，3，4，…，

X-1，具体余数排列顺序以公差和合数有关；等差数列的公差能被合数整除时，该等差数列

的每一项除以该合数的余数是相同的。

（2）、当合数为Y时，合数Y所包含的素因子与题中所提到的N个素因子相同时，等差数列

的公差又不能被合数Y整除时，该等差数列除以合数Y的余数不得与这N个素因子的共同余

数相矛盾，不同的余数个数为合数Y中除这N个素因子以外的其余素因子的乘积，或者合数

Y除以这N个素因子的乘积；如果说，等差数列的公差能被合数Y整除（前提是：其余数不

能与所包含的N个素因子的余数相矛盾）时，该等差数列的每一项除以该合数的余数是相同

的。

当等差数列的首项及公差较大时，对于求任何素因子的余数，都可以先进行化简计算。

如在该问题增加十九十九数余5，如果对198788+255255N取19项再寻找每一项的余数，

用笔算是相当的不方便，我们用首项和公差分别除以19的余数，得新的等差数列：10+9N，

取19项有：10，19，28，37，46，55，64，73，82，91，100，109，118，127，136，145，

154，163，172。各项再除以19得余数分别为：10，0，9，18，8，17，7，16，6，15，5，

14，4，13，3，12，2，11，1。因该数列第11项除以19余5。

即原数列的第11项除以19必然余5，198788+255255*（11-1）=2751338，得等差数列

2751338+4849845N为同时满足上面七个条件的数。

满足条件1为等差数列：3N+2。

将等差列3N+2取5项有：2，5，8，11，14，必然有一项满足条件2，五五数之余三，

结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。

将等差列15N+8取7项有：8，23，38，53，68，83，98，必然有一项满足条件3，七

七数之余二，结果为23，同时满足条件1，2，3的为等差数列：23+ 105N。

将等差列23+ 105N取11项有：23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，

1073，必然有一项满足条件4，十一十一数之余七，结果为128，同时满足条件1，2，3，4

3

长江师范学院数学史课程论文

的为等差数列：128+1155N。

将等差列128+1155N取13项有： 128，1283，2438，3593，4748，5903，7058，8213，

9368，10523，11678，12833，13988，必然有一项满足条件5，十三十三数之余五，结果为

3593，同时满足条件1，2，3，4，5的为等差数列：3593+15015N。

2、2代数学里的中国剩余定理

中国剩余定理在代数学里起着重要的作用 ,它是我们祖先智慧的结晶 .这个定理现在

已被表述成极为一般的形式 ,这里我们采用多项式的语言来叙述它 ,但所使用的方法具有

一般性 .在高等代数里 ,中国剩余定理和可以由它导出的 L agrange插值公式是处理许多

多项式存在问题的基本工具 .例 1 设 p1( x) ,p2 ( x) ,… ,pn( x)是某个数域上两两互

素的多项式 .证明对每个 1≤ i≤ n,存在多项式 fi( x) ,使得fi( x)≡ 1 ( mod

pi( x) )fi( x)≡ 0 ( mod pj( x) ) ,这里 j≠ i.证明 因 p1( x)、p2 ( x)、…、pn( x)

是两两互素的 ,故当 j≠ i时 ,( pj( x) ,pi( x) ) =1 ,于是 ( ∏j≠ ipj( x) ,pi( x) )

=1 ,从而存在多项式ui( x)、vi( x) ,使ui( x) ∏j≠ ipj( x) + vi( x) pi( x) =1 ,

现令 fi( x) =ui( x) ∏j≠ ipj( x)即可

3、中国剩余定理在中学中案例及其应用

有余数除法的定理

定理1 如果被除数加上（或减去）除数的整数倍，除数不变，则余数不变。

定理2 如果被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，则余数也扩大（或缩小）同样的倍数。

定理3 如果整数a除以自然数b（b≠0），余数r仍不小于b，则r除以b的余数等于a除

以b所得余数。

引入过程：

3、1成语故事引入：

出示画面：引入“韩信点兵，多多益善”的故事。

赏析：通过韩信与刘邦这样一个中国特有的历史故事，使学生情绪高涨，激发了兴趣，也注

重了人文精神的培养。

3、2独立思考：

每3人站成一排，最后一排只有1人；每5人站成一排，最后一排也只有1人；每7人站成

一排，最后一排还是1人。你能推算出最少有多少人？

师：把你的想法在小组内交流。

生：通过讨论很快得出答案：3×5×7＋1=106人。

赏析：通过学生的小组讨论分析，老师即时的鼓励，使学生弄清了假如先让一人让开，那么

所得的最少的人数就是3、5、7的倍数，然后让出人士兵再回来就是3×5×7＋1=106人。

学生清晰的思路为后续的学习打下坚实的基础。

3、3再思考：

4

长江师范学院数学史课程论文

1、每3人站成一排，最后一排只有2人；每5人站成一排，最后一排只有4人；每7人站

成一排，最后一排是6人。你能推算出最少有多少人？

赏析：同样的思考方法相反的思路：假如从另外一支队伍中先借一名士兵，那么现在要求的

人数就是3、5、7的倍数，再让那名士兵回到自己的队伍，结果就是3×5×7－1=104学生

很快解出。

2、每3人站成一排，最后一排差1人；每5人站成一排，最后一排有2人；每7人站成一

排，最后一排还差5人。你能推算出最少有多少人？

赏析：有了上两题的铺垫这一题学生也快速地解决了。老师这时引导学生说出你为什么这样

做，能不能总结出一种思想？学生你一言我一语，有的学生说：我们可以把这一题改成上面

学过的内容来做，教师这时恰当点出：这实际上是我们数学上的一种重要思想“转化”的思

想，并运用通俗的故事帮助学生理解这一思想，“数学家与物理学家的故事”中两人不同的

思维方法，而数学家就用的是转化的思想。消防队员的故事又强化了这一思想，让学生在故

事中得到数学思想的熏陶。

3、4通过例题，适时介绍孙子算法。

3、4、1、每3人站成一排，最后一排只有2人；每5人站成一排，最后一排站了3人；每

7人站成一排，最后一排有4人。你能推算出最少有多少人？

赏析：学生产生怀疑为什么这一题转化来转化去不行了呢？这时老师神秘地说出自己家有祖

传的秘方，列出算式：70×2＋21×3＋15×4=263人，263-105

×2=53人。让学生用这个结果进行验算，学生通过验算发现正确。

3、4、2、出示孙子算法：

三人同行七十稀，五树梅花开一枝，

七子团圆正月半，除百零五便得知。

赏析：通过改题，把上面的题目改为“只有2、4、6”然后学生进行验证，都是正确的。这

时老师出示孙子算法。让学生在惊讶之后惊叹中国古代数学文化的博大精深和源远流长，同

时领略中国古代数学文化的魅力。接着借用数学家陈省身的话“21世纪的中国是数学大

国。”来激起学生热爱祖国深厚文化的热情。

3、4、3：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；

〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，

所以，274－60×4=34，就是所求的数。

3、4、4：四年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个

年级至少有多少人?

题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，

7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；

5

长江师范学院数学史课程论文

使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877>315，

所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

3、5：引出《孙子算经》中的“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数

之剩二，问物有几何？

（学生运用上面的孙子算法很快得出答案。再次体会了我国数学文化的精深。）

从上面的案例可以看出中国剩余定理就是解简单基本的一次同余式，中国

剩余定理在中学数学教育中应用的比较广泛，在几个大的模块中都有涉及到该定理的应用。

还有在计算机方面也对中国剩余定理有了一定的应用比如现在有一种基于中国剩余定理的

密钥恢复方案让电脑的密码更安全而且代价很小，该方案运用简单的模运算,在必要时能恢

复用户密钥,比传统的密钥托管更安全,比密钥封装更简捷,有着很好的应用前景。

4、总结

本文通过介绍中国剩余定理在数学教学中的应用以及其地位，使我们更好的了解了中

国剩余定理，让我知道了中国剩余定理是数学中不可或缺的一个板块而数学课程也是教育系

统中不可或缺的一门学科。在科学发展的历史长河中形成了有自己民族特色的科学体系，数

学也不例外。人类历史的发展是连续不断的，尽管有时快有时慢，但总是不断进步的。我们

面对现实的时候不应当忘记历史，我们歌颂今天辉煌成就的时候也不要忘记过去，只有全面

地正确地了解和把握历史，才能更好的开拓未来。

5、参考文献：

[1].《数学史》/朱家生编.-2版.-北京：高等教育出版社，2011.5

[2].《初等数论》/闵嗣鹤，严士健编.-3版-北京：高等教育出版社，2003.12

[3]. 中世纪数学泰斗秦九韶/科学大师人生系列/徐品方//孔国平.：科学教育出版社，

2007.8

[4]. .《代数学》.北京：北京大学出版社，1986

莫宗坚

期刊与在线文献：

[5]. 人民教育出版社 /

[6]. 《中国剩余定理》新理论方法探究——余数周期表和递推分析法：凯里学院学报/孙梁，

2011/03

[7].《孙子定理》的简化解——递推分析法：凯里学院学报/孙梁，2011/03

[8].

/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%

86

6

长江师范学院数学史课程论文

7