中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周

公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子

可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于

天地得到数据呢？”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有

一条原理：当直角三角形„矩‟得到的一条直角边„勾‟等于3，另一条直

角边„股‟等于4的时候，那么它的斜边„弦‟就必定是5。这个原理是大

禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人

民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原

理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三

角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

图1 直角三角形

1

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）

来表示斜边，则可得：

勾+股=弦

222

亦即：

a+b=c

222

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼

哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到

人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说

大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则

可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五

百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例

（3+4=5）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当

222

的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的

一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它

们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，

即为：

弦=（勾+股）

22(1/2)

亦即：

2

c=（a+b）

22(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早

就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三

国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数

结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”

中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上

中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间

懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）。于是便可得如下的式

2

子：

4×（ab/2）+（b-a）=c

22

化简后便可得：

a+b=c

222

亦即：

c=（a+b）

22(1/2)

3

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形

的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又

具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、

互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这

一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是

用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史

上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的

思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的

思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学

家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往

是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发

明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继

续。”

总统巧证勾股定理

(2002-11-27 11:09:18)

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学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定

理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余

种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学

爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位

中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党

议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个

小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由

于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底

在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三

角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地

说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么

斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如

果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多

少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平

方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理

吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的

难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出

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了简洁的证明方法。他是这样分析的，如图所示：

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他

对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他

对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总

统。”证法。

趣话勾股定理

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。

这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ──

毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案

是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，

也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商

高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我

们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得

上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因

为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美

索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一

千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算

著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和

周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高

度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广

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三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这

样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南

千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，

即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，

率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此

以上至日，则八万里。

这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长

教授对这段文字作了详细的说明：“„„商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定

日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，

夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七

寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定

了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖

先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太

阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样

早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”由此，

中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。

但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达

哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑

的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明√2不是有理

数，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，

杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大

了！

勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！希腊邮票上

所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。

这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是

怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算）

商高定理

＂商高定理＂即为勾股定理．

商高是公元前十一世纪的中国人．当时中国的朝代是西周，是奴

隶社会时期．在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》

中记录着商高同周公的一段对话．

商高说： ＂„故折矩，勾广三，股修四，经隅五． ＂

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商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3

（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5．以后人们就简单

地把这个事实说成 ＂勾三股四弦五 ＂．

由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以在我国人们就把

这个定理叫作 ＂商高定理 ＂．

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说： ＂故禹之所以治天下

者，此数之所由生也 ＂． ＂此数 ＂指的是＂勾三股四弦五＂，这

句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的．

《周髀算经》中还有＂陈子测日＂的记载：根据勾股定理，周子

可以测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等．例如，当求得了

日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法

是：＂若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股自乘，并开方而

除之，得邪至日者．＂

勾股定理的应用非常广泛．我国战国时期另一部古籍《路史后记

十二注》中就有这样的记载：＂禹治洪水决流江河，望山川之形，定

高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也．＂

这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高

低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的

灾害，是应用勾股定理的结果．

勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐

形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学．

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