中国数学的发展史

中国数学的发展史

数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：

萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽

原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化

时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记

事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形图

案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。

为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本

纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。 商代中期，在甲骨文

中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个

地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符

号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。 公元前一世纪

的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五

以及环矩可以为圆等例子。

《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、

射、驭、书、数的训练，作为”六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。 春

秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发

展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题

的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出”矩

不方，规不可以为圆”，把”大一”(无穷大)定义为”至大无外”，”小一”(无穷小)定义为”至小无内”。还

提出了”一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。 而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面

和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。 墨家

不同意”一尺之棰”的命题，提出一个”非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下

去，就必将出现一个不能再分割的”非半”，这个”非半”就是点。 名家的命题论述了有限长度可分割

成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学

命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

中国古代数学体系的形成

秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这

个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出

现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展

的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、

开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性

方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都

是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它

形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法

发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。 这些特点是

同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，

以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时

期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结

合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。 《九章算术》在隋唐时期曾传

到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足

术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。

《九章算术》是中国古代数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古

《九章算术》

算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》

是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其

目则与古或异，而所论多近语也”。

根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉

后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜

忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙

马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可

供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九

章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。

1984年，

《九章算术》

在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九

章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法

认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名

的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章

算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上

最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现

藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了

校勘。此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)

等，大多数都是以戴校本为底本的。

作为一部世界科学名着，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成日、俄、

德、法等多种文字。

主要内容

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、

《九章算术》

生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有

的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音

cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：

第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、

等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算

法则，以及求分子分母最大公约数等方法。

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，

称为衰分术；

第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一

致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期

领先世界的基础。

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，

构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以

后才形成类似的全套方法。

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏

问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，

传到西方后，影响极大。

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，

勾股定理求解

相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的

线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进

和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时

实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了

数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。

提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉

斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九

章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一

组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

主要特点

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、

生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，

或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内

《九章算术》

的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，

也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263年)，刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。

刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学

概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面

成绩斐然。

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义

的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关

系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从

本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使

用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散

之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。

一平面(或立体)图形经过平移或旋转，其面积(或体积)不变。把一个平面(或立体)图形分解成若干部

分，各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，

是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面

积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

数学成就

《九章算术》中的数学成就是多方面的：

(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统

叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法

需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国

家传去的．

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国

古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤

是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如法而一”也就是

用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。

就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，

运算时不必通分，使分子直接加减即可。

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体

步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”这

里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，

即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，

减到余数和减数相等，即得等数。

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举

了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图

1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例

如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以

所有率为法，实如法而一”。

《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，

盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)。”“盈不足术

曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法

而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应

用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西

传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期

统治了他们的数学王国。

(2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多

面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。

《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方田章第一题“今

有田广十五步，从(音纵zong)十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其

长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为

积步)除之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：

半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的

高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以

乘广”(图1－30)。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代

数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直

田，于是得到了圭田的面积计算公式。 方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的

面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘

并。”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，

上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。

至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘

得积步”。这里“周”是圆周长，“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三(即π≈3)。

于是由此计算所得的圆面积就不够精密。

《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长方体或正方体

的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图

形体积的。

《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截

面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，

即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣……的长(l)。因此城、垣…的

体积计算术公式V=1/2(a+b)h.

刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体

体

堑堵

积公式。

刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即

用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解一个长方体，得两个两底面为直角

三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”（如图），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。

《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式。甚至对三个侧面是等腰梯形，

其他两面为勾股形的五面体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟

柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(“甍”音“梦”)等都可

以计算其体积。

(3)、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。

1．开平方和开立方

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样。所不同的是古代用

筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。

问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。

“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长。)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第

二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)。步之(指所借的算筹

一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现

代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)。议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22<5<32，

议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)。以一乘所借一算

为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘

“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复

除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借

算”移至百位，如图1－25(6)所示)。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一

段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因“实”的千位数字为15，且4×3<15<4×4，于是再议

得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。再乘以次

商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325。如图1－25(7)所示，以所得副从定法，

复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定

法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，

以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235。)

上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。

它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换

和代换。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远

影响的。

《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同。《九章

算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)。消元

的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。

由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程

章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要

令„正‟、„负‟以名之”。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。这就是规

定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)

放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，

如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。

关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异

名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、

异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：

(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，

则同名相除：(±a)-(±b)=±(a-b)，

异名相益：(±a)-(b)=±(a+b)。

(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。

①如果两数皆正

则a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。

中间一式的a和a对消，而(b-a)无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也

就是无可对消(或不够减或对方为零)。

②如果两数皆负

则(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。在中间的式子里(-a)和(-a)对消，而-(b-a)无可对消，则改“负”为“正”

所以说“负无入正之”。

③如果两数一正一负。则仍同(1)的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则。

(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果a>0，b>0，

则a+b=a+b，(-a)+(-b)=-(a+b)

(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。

如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为

①如果a>b≥0，

则 a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b，

或 (-a)+b=[(-b)－(a-b)]+b=-(a-b)。

②如果b>a≥0，

则 a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a)，

或 (-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论

及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同

名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了

总结。至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。国外首先

承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？) 欧洲到16世纪才承认负数。

(2)、

《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。

《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。

这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方

步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三

角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘

徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以乘广”(图

1－30)。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导

平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是

得到了圭田的面积计算公式。

在几何方面，主要是面积、体积计算。

在几何方面，主要是面积、体积计算。

(3)、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。

1．开平方和开立方

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样。所不同的是古代用

筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。

问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。

“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长。)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第

二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)。步之(指所借的算筹

一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现

代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)。议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22<5<32，

议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)。以一乘所借一算

为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘

“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复

除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借

算”移至百位，如图1－25(6)所示)。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一

段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因“实”的千位数字为15，且4×3<15<4×4，于是再议

得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。再乘以次

商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325。如图1－25(7)所示，以所得副从定法，

复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定

法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，

以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235。)

上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。

它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换

和代换。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远

影响的。

《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同。《九章

算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)。消元

的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。

由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程

章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要

令„正‟、„负‟以名之”。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。这就是规

定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)

放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，

如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。

关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异

名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、

异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：

(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，

则同名相除：(±a)-(±b)=±(a-b)，

异名相益：(±a)-(b)=±(a+b)。

(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。

①如果两数皆正

则a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。

中间一式的a和a对消，而(b-a)无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也

就是无可对消(或不够减或对方为零)。

②如果两数皆负

则(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。在中间的式子里(-a)和(-a)对消，而-(b-a)无可对消，则改“负”为“正”

所以说“负无入正之”。

③如果两数一正一负。则仍同(1)的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则。

(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果a>0，b>0，

则a+b=a+b，(-a)+(-b)=-(a+b)

(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。

如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为

①如果a>b≥0，

则 a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b，

或 (-a)+b=[(-b)－(a-b)]+b=-(a-b)。

②如果b>a≥0，

则 a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a)，

或 (-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论

及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同

名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了

总结。至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。国外首先

承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？) 欧洲到16世纪才承认负数。

历史考证

现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪

前后，《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充

而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》

文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释。

关于对《九章算术》所做的校注主要有：西汉张苍增订、删补，三国时曹魏刘徽注，唐李淳风注，

南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)

所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之

作。现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、

近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都

有校注本出版。

后世影响

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创

造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数

学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍

的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉

伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，

大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当

时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。

历史影响

现传本《九章算术》成书于何时， 目前众说纷纭，多数

祖冲之

认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史

时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，

难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注

释。

关于对《九章算术》所做的注主要有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉着《详解九章

算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所着《九章算术细草图

说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892～

1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算

术》及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创

造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数

学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍

的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉

伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后

世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规

定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以

说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

中国古代数学的发展

魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思

维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰

《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与

刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书

中补充的”勾股圆方图及注”和”日高图及注”是十分重要的数学文献。在”勾股圆方图及注”中他提出用

弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在”日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的

重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是

重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行”析理”，才能使数学著作简明严密，利

于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，

而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次

用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。 刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直

角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的

体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。

东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，

南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统

数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；

提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。 据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算

出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率

两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方

领先约一千年之久； 祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出”幂势既同则

积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著

名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。 隋炀帝好大喜功，

大兴土木，客观上促进了数学的发展。

唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖

的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，

不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝

通也是用数字三次方程解决的。 唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算

学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，

明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究

提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注

解，对读者是有帮助的。

隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运

筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、

三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是”珠算”，它

继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。

但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍

应用。

唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来

的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个

横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

中国古代数学的繁荣

960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，

科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。

1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创

造了良好的条件。 从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪

的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和

《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四

元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉

在《九章算法纂类》中载有贾宪”增乘开平方法”、”增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾

宪的”开方作法本源”图、”增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确

定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中

贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中”田亩

比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上

的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个

用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常

数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的

小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九

章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常

数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。

秦九韶在”缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》”如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世

杰得到一个四次函数的内插公式。 用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天

元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天

元术著作是李冶的《测圆海镜》。 从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元

数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的

各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元

消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元

高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后

用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。

勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解

勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研

究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬

至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历

法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括

用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整

个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的

实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘

在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应

该说它最后完成于元代。 宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统

数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不

同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，”

通神明”的数学是不存在的，只有”经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的”用假

象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的

本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。

中西方数学的融合

中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行

八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。 16世纪末以后，西方初等数学陆

续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中

国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才

真正开始。 从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初

《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，

后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。 随着珠算的普及，珠算算法和口诀也

逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀

并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方

和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流

传很广，影响很大。

1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前

六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年，徐光启被礼部

任命督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第

谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算

筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。 在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》。

《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。

徐光启认为对它”不必疑”、”不必改”，”举世无一人不当学”。《几何原本》是明清两代数学家必读的

数学书，对他们的研究工作颇有影响。 其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大

测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正

割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的

平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用

的。

1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世

后，薛凤柞据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内

容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里

格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏

比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它

在历法计算中立即就得到应用。 清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有

王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅

文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法

等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍

西方透视学的著作。 清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些

人才和翻译了一些著作。

1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文

算法书。1721年完成《律历渊源》100卷，以康熙”御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》

主要由梅彀成负责，分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编

包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。

由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并有康熙”御定”的名义，因此对当时数学研究有一定

影响。

综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这

些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了。 雍正即位以后，

对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数

学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉

学派。 随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中

能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作，和宋元时代的代数

学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到

西方近代数学的影响下独立得到的。 与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部

天文数学家传记-《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其

中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由”

掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍

西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展”洋务运动”，也主张介绍和学习西

方数学，组织翻译了一批近代数学著作。 其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代

微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文

编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》

等等。 《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号

代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至

今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后，各地兴办新法学校，上述一些著作

便成为主要教科书。 在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究，写出一些著作，较

重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图

解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果。 由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，

加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇

顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。

近现代数学发展史

这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。

中国近3年留日的冯祖荀（

冯祖荀（1880年～？），字汉叔，杭县人，中国现代数学

的开山鼻祖。早年赴日本留学，入第一高等学校，毕业后又入京都帝国大学理学部，在该校毕业后归国。历任国

立北京大学理科学长，沈阳东北大学理学院教授、数学系主任，国立北平师范大学数学系主任，国立北京大学理

学院教授兼数学系主任，曾任中国数理学会九会董之一，一作会长。1938年任日伪国立新民学院教授、国立北

京大学理学院数学系主任、教授等职。冯祖荀，数学教育家。中国现代数学教育的早期代表人物之一。1911年

以后，多次担任北京大学数学系主任，对在中国传播现代数学知识有重要贡献。）

，1908年留美的郑之蕃

（

郑之蕃（Zheng Zhifan）（1887——1963）中国数学家和教育家。字

桐荪。其父郑式如在清朝末年得风气之先，在盛泽镇上创设第一所学堂郑氏小学；他重

视发展新商业，赞助镇上成立商会，被推举为商会会长。

郑之蕃是本世纪上半叶在我国从事近代数学教学工作的先驱者之一。他在１９０７

年考取江苏省公费留学美国。他立志学数学，１９０７—１９１０年，他在美国康乃尔

大学数学系共修了１８门数学课程。１９１０年毕业获学士学位。１９１０—１９１１

年在哈佛大学研究院进修一年。留学归国后即参加以江南上海等地为主要活动中心的政

治文学团体南社。在南社到２０年代初停止活动前，他一直是正式社员。这以后他未再

参加任何政治社团。从１９１２年起，先后在福建马尾海军学校等校教授数学和英文。

１９２０年起在清华学校（后改清华大学）教数学。以后除在１９４０—１９４６年外，

他一直在清华大学工作，直至１９５２年退休。）

，1910年留美的胡明复和赵元任，1911

年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来(1915年转留法)，

1919年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数

学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位

的中国数学家。

随着留学人员的回国，各地大学的数学教育有了起色。最初只有北京大学1912年成立时建

立的数学系，1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大

学(今南京大学)和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立

了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创

数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数

学的还有江泽涵(1927)、陈省身(1934)、华罗庚(1936)、许宝騄(1936)等人，他们都成为中国现代

数学发展的骨干力量。

同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素(1920)，美国的伯克霍夫(1934)、奥斯古

德(1934)、维纳(1935)，法国的阿达马(1936)等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开，共

有33名代表出席。1936年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世，这些标志着中国现代

数学研究的进一步发展。

解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国内外共发表论着600余种。在分析学方面，

陈建功的三角级数论，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析、变分法、

微分方程与积分方程的成果；在数论与代数方面，华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以

及近世代数研究取得令世人瞩目的成果；在几何与拓扑学方面，苏步青的微分几何学，江泽涵的代

数拓扑学，陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作：在概率论与数理统计方面，

许宝騄在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明。此外，李俨和钱宝琮开创了中国数学

史的研究，他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化

遗产重放光彩。 1949年11月即成立中国科学院。1951年3月《中国数学学报》复刊(1952年改

为《数学学报》)，1951年10月《中国数学杂志》复刊(1953年改为《数学通报》)。1951年8

月中国数学会召开建国后第一次全国代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问

题。

建国后的数学研究取现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有：190得

长足进步。50年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》(1953)、苏步青的《射影曲线概论》(1954)、

陈建功的《直角函数级数的和》(1954)和李俨的《中算史论丛》(5辑，1954-1955)等专着，到1966

年，共发表各种数学论文约2万余篇。除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理

统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础

等分支有所突破，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家。 60年代

后期，中国的数学研究基本停止，教育瘫痪、人员丧失、对外交流中断，后经多方努力状况略有改

变。

1970年《数学学报》恢复出版，并创刊《数学的实践与认识》。1973年陈景润在《中国科

学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想

的研究中取得突出成就。此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等

方面也有一定创见。 1978年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏。1978

年恢复全国数学竞赛，1985年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。1981年陈景润等数学家

获国家自然科学奖励。1983年国家首批授于18名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占2/3。

1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀作了关于中国

古代数学史的45分钟演讲。近十几年来数学研究硕果累累，发表论文专著的数量成倍增长，质量

不断上升。

1985年庆祝中国数学会成立50周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标。代表们立志

要不懈地努力，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国。