《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第四章

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1.作为世界四大文明古国之一,中国在公元前3000年至公元前1500

年间有哪些数学成就?试讲这些成就和其他文明古国做一比较.

据《易．系辞》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。

在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、

万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中

有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。

算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的

产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十

进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间(法则是：一纵十

横，百立千僵，千、十相望，万、百相当)，并以空位表示零。算筹

为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学

就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面《史记．夏本

记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并

早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理(西方称毕氏定理)的特例。

战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包

含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。战国

时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数

学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定

义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还

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给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、

公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓

之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。

这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数

学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继

承和发展。

十进制是一种便捷的计数方法，而筹算是一种有效的工具，

两者均是中国对

世界的重大贡献。在同时代的各古代文明中，只有中国提出了十

进制。当古希腊伟大学者阿基米德费尽心机地陈述如何用字母系统表

示大数时，中国人已“持筹而算”这些大数，甚至“善计者不用筹策

了”。没有看似平常的十进制，便很难顺利表述较大的数字。世界上

目前仍有一些处于原始发展阶段的部族，对于十以上的数字只能统称

为“多”，恐怕与没有适当的进位方法有关。用算筹记数，有纵、横

两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从

左到右排列，纵横相间(法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，

万、百相当)，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立

起良好的条件。筹算直到十 五世纪元朝年才逐渐为珠算所取代，中

国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。

2、中国古代的数学教育可以称得上是世界上最早的，在《周礼》中

关于数学教育的论述有哪些？它们都分别阐述了有关数学教育的那

些观点？

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答：我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。而记载周代教

育制度的古老典籍《周礼.地官》中保氏一节称：“保氏掌谏王恶，而

养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五

御，五曰六书，六曰九数。”其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为

小艺。 （艺：才能、技能）前者为大学所授，后者乃小学所习。并

称：“六年教之数，十年学书计。”可见，早在周代，国家就已把数学

列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。对

数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕

见的。

3.在春秋战国时期产生了哪些重要的,可与古希腊相媲美的数学思想?

试将他们做一比较.

春秋战国时代,中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革,学

术思想十分活跃．这一时期形成的诸子百家,对科学文化影响极大．数

学园地更是生机盎然,朝气勃勃．值得注意的是,人们在商代甲骨文和

西周金文的基础上,逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上,用绳子穿成

册,这就是早期的书．写上字的竹片称为简,或竹简．春秋战国的大批

数学成果,便是通过竹简流传下来的．

（1）几何与逻辑

《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初

尝试．《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的

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著作,包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题．它试图把形

式逻辑用于几何研究,这是该书的显著特色．在这一点上,它同欧几里

得(Euclid,约公元前330—前275)《几何原本》相似,一些几何定义

也与《原本》中的定义等价．

《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义,这些图

形的名称分别为端、尺、区．在研究线的过程中,墨家明确给出“有

穷”及“无穷”的定义：“或不容尺,有穷；莫不容尺,无穷也．”即：

用线段去量一个区域,若能达到距边缘不足一线的程度,叫有穷；若永

远达不到这种程度,叫无穷．

（2）算术

到公元前四、五世纪时,分数已在中国广泛应用了,有些分数还有

特殊名称,如叫半,叫少半,叫大半.位值制和整数四则运算已被熟练

掌握,《考工记》中还有简单的分数运算,例如 （原书中用汉字表示）.

春秋战国时代,“九九歌”已是家喻户晓的常识了．《管子》等书

中便记载着九九歌诀,顺序与今不同,是从“九九八十一”起,到“一

一如一”止．至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序,则是

宋元时代的事情了．

（3）对数学中“无限”的认识

有限与无限的矛盾,是数学中的一对基本矛盾．对这一问题认识

的不断深化,推动着古今数学的发展．战国时成书的《庄子》记载,

惠施曾提出“至大无外,谓之大一；至小无内,谓之小一”的观点．其

中“大一”、“小一”可理解为无穷大,无穷小．这段话的意思是：大

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到没有外部,称为无穷大；小到没有内部,称为无穷小．书中“一尺之

棰,日取其半,万世不竭”的著名命题,可以看作是对“小一”的发挥．一

尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取剩下那一半的一半,如此不

断地取下去,永远也取不完.即第一天取,第二天取,第n天取,不管n

多大,总不为0,其中体现了物质无限可分的思想.

（4）组合数学的萌芽

组合数学虽是现代数学的分支,它的思想却可以追溯到遥远的古

代．春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽．

《易经》是中国最古老的书籍之一,书中通过阴阳卦爻预言吉

凶．“--”是阳爻,“--”是阴爻,合称“两仪”．每次取两个,按不同

顺序排列,生成“四象”；每次取三个,生成八卦(图4．5)；每次取六

个,则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列,相当于组合数学

中的有重排列：从n种元素中每次取r个,共有nr种排列法．例如,

在两种卦爻中每次取3个,共有23＝8种排列,这就是八卦．

（5）早期的数学工具---算筹与规、矩

算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹),

它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代,算筹的使用已相当普遍,

书中多有记载,如“孟子持筹而算之”(《十发》),“善计者不用筹策”

(《老子》),等等．1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒,

内装竹棍40根,长短一致,约12厘米,是为算筹之实物．

4、《九章算术》的主要内容是什么?其具有世界意义的数学成就又

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有哪些？

答：全书内容丰富，且密切联系实际，《九章算术》全书共有

246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用

问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、

盈不足、方程和勾股九章。

《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学

的发展有着极其深刻的影响。可以说，与西方数学的演绎推理相映生

辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。《九章算术》

成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认

定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学家们学习、

研究和著述的依据。

5.试阐述刘徽的主要数学成就.

刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数

学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中

国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许

多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体

积面积计算等，都属于世界先进之列。

但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证

明。在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上

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最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。

在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改

进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用

内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割

圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为

2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，

割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之

弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失

矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽提出的计算圆周

率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先

地位。

刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”

的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周

率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组

解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一

致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了

等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；

方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判

断作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，

从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础

之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运

用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、

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并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于

不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳

作。《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目

的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。刘徽思想

敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用

逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

6、球体积的计算常常被用来衡量各个国家和地区数学发展水平

的一把尺子，中国数学家在这方面的成就是非常杰出的。试阐述从《九

章算术》到刘徽、祖氏父子在这方面的工作与成就。

答：《九章算术》第五章“商功”主要论述了各种立体图形的体

积算法，其中包括柱、锥、台、球体等。刘徽一生不仅成就卓著，而

且品格高尚。在学术研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是

坚持实事求是，以理服人。

为了说明少广章的“开立圆术”刘徽又引入一种新的立体：以

正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩

下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟

合方盖”的体积之比为，而明显可以看出“牟合方盖”的体积要比

圆柱要小。显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以

求出了，刘徽对于牟合方盖的体积如何求处，百思不得其解，故最后

不得不“付之缺疑，以俟能言者”。由此我们可以看出刘徽学术研究

中的严谨与谦逊的态度，也许正是这二者的结合，使得刘徽在数学研



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究方面作出了举世瞩目的成就，给后人留下丰富的文化财富。

7.宋元时期最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数

学成就。

中国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点,涌现了一大批卓有成

就的数学家.其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出,被誉为

“宋元数学四大家”.

秦九韶（公元1202－1261）,字道古,安岳人.其父秦季栖,进士

出身,官至上部郎中、秘书少监.秦九韶聪敏勤学.宋绍定四年（1231）,

秦九韶考中进士,先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞

等职.先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至

梅州（今广东梅县）,不久死于任所.他在政务之余,对数学进行虔心

钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、

研究.宋淳祜四至七年（1244至1247）,他在为母亲守孝时,把长期积

累的数学知识和研究所得加以编辑,写成了闻名的巨著《数学九章》,

并创造了“大衍求一术”.这 不仅在当时处于世界领先地位,在近代

数学和现代电子计算设计中,也起到了重要作用,被称为“中国剩余定

理”.他所论的“正负开方术”,被称为“秦九韶程序”.现在,世界各

国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和

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解题原则.秦九韶在数学方面的研究成果,比英国数学家取得的成果

要早800多年.

李冶(1192-1279)是中国古代数学家,字仁卿,号敬斋,真定府栾

城县(今河北省栾城县)人.1234年初,金朝终于为蒙古所灭．金朝的

灭亡给李冶生活带来不幸,但由于他不再为官,这在客观上使他的科

学研究有了充分的时间．他在桐川的研究工作是多方面的,包括数学、

文学、历史、天文、哲学、医学．其中最有价值的工作是对天元术进

行了全面总结,写成数学史上的不朽名著----《测圆海镜》.

杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶

活动于苏杭一带,其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有

《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、

《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275

年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）.杨辉的数学研究与教育工作

的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和发展,有

的还编成了歌决,如九归口决.他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形

式的"纵横图"及有关的构造方法,同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积

术"后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在"纂类"中,将《九章算术》246

个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互

换、二衰分,勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和发展,在《算

法通变本末》中,杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史

上的重要文献.

朱世杰（1300前后）,字汉卿,号松庭,寓居燕山（今北京附近）,

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“以数学名家周游湖海二十余年”,“踵门而学者云集”.朱世杰数学

代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）.《算学启蒙》

是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展.《四

元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创

作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等

差数列求和）与“招差术”（高次内插法）.中国元代数学家,对多元

高次方程组解法、高阶等差级数求和,高次内插法都有深入研究,他著

有《算学启蒙》(1299年)、《四元玉鉴》(1303年)各3卷,在后者中

讨论了多达四元的高次联立方程组解法,联系在一起的多项式的表达

和运算以及消去法,已接近近世代数学,处于世界领先地位,他通晓高

次招差法公式,比西方早四百年,中外数学史家都高度评价朱世杰和

他的名著《四元玉鉴》.

8、明代是中国传统数学发展处于低谷的一个时期，试探讨这一时

期数学研究产生衰落的原因。

答：从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢

地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，是资本主义的幼

芽未能顺利得以发展。统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必

须采用“八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天

文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论

高度发展相脱节的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而

突然走向衰落。

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9.中国传统数学与西方数学相比，有哪些重要特点？

（1） 以算法为中心，属于应用数学

中国数学不脱离社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，

数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的

（2） 具有较强的社会性

中国传统数学文化中，数学被儒学家培养人的道德与技能的基本

知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一，它的作用在于“通

神明、顺性命，经世务、类万物”，所以中国传统数学总是被打上中

国哲学与古代学术思想的烙印，往往与术数交织在一起 同时，数学

教育与研究往往被封建政府所控制，唐宋时代的数学教育与科举制度、

历代数学家往往是政府的天文官员，这些事例充分反映了这一性质

（3） 寓理于算，理论高度概括

由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳

思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不

意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树 其实中国数学的算法

中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方

法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的

“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳

马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原

理）等等