2022年全国各省中考数学真题分类解析勾股定理

代码 中考题及其解析

2501

（•湖州中考）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在×

2022166

的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，＝，＝．若点是这个网格图形中的

ABCDMNABBCBM4BN2P

格点，连结，，则所有满足∠＝°的△中，边的长的最大值是（ ）

PMPNMPN45PMNPM

A4

．

√√

2105

B6C2D3

．．．

√

【解析】选．如图所示：△为等腰直角三角形，∠＝°，此时最长，

CMNPMPN45PM

根据勾股定理得：

PM

=+6=40=

√2

22

√

2

√

10

．

2501

（•宁波中考）如图，在△中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若＝，

2022RtABCDACEBDFCEAEAD

DF2BD

＝，则的长为（ ）

A2

．

√

23

B3C2D4

．．．

√

【解析】选．∵为斜边的中点，为中点，＝，

DDACFCEDF2

∴＝＝，

AE2DF4

∵＝，∴＝，

AEADAD4

在△中，为斜边的中点，

RtABCDAC

1

∴

BD

=

ACAD4

＝＝

2

2501

（2022•湘潭中考）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如

图），并用它【解析】了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积

均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）

A．2 B． C． D．

225

315

√

【解析】选A．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，

设直角三角形的长直角边为，短直角边为，

ab

则+＝5，﹣＝1，解得＝2，＝1，

ababab

∴tanα=

𝑏1

==2

2501

（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三

角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为

（ ）

𝑎2

22

A．

255

√√

B． C．1 D．2

55

【解析】选B．作BH⊥OC于H，

∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，

∴OB＝2AB＝2，

在Rt△OBC中，由勾股定理得，

OC=

√𝑂𝐵

2222

+𝐵𝐶=+1=5，

√2

√

∵∠CBO＝∠BHC＝90°，

∴∠CBH＝∠BOC，

∴cos∠BOC＝cos∠CBH，

∴，∴，∴BH=

𝑂𝐵𝐵𝐻2𝐵𝐻

𝑂𝐶𝐵𝐶51

==

√

25

√

.

5

2502

（2022•黄冈中考）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为

偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2（≥3，为

mmm

正整数），则其弦是 ﹣1 （结果用含的式子表示）．

mm

【解析】∵为正整数，∴2为偶数，设其弦是，则股为+2，

mmaa

2

根据勾股定理得，（2）+＝（+2），解得＝﹣1，

maaam

综上所述，其弦是﹣1.

m

答案：﹣1

m

2502

（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形中，＝，∠+∠＝180°，点，分别在，

ABCDABADBDEFBCCD

上，若∠＝2∠，则＝+．

BADEAFEFBEDF

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知＝＝100，∠＝60°，

ABCDCDCBmD

∠＝120°，∠＝150°，道路，上分别有景点，，且＝100，＝50（3−1），若在，

ABCBCDADABMNDMmBNmMN

√

之间修一条直路，则路线→的长比路线→→的长少 370 （结果取整数，参考数据：3≈1.7）．

MNMANm

√

2

2

2222

【解析】解法一：如图，延长，交于点，

DCABG

∵∠＝60°，∠＝120°，∠＝150°，

DABCBCD

∴∠＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠＝90°，∴＝2，

AGADDG

Rt△中，∠＝180°﹣150°＝30°，

CGBBCG

∴=＝50，＝503，∴＝+＝100+503，

BGBCCGDGCDCG

2

√√

∴＝2＝200+1003，=3＝150+1003，

ADDGAGDG

√√√

∵＝100，∴＝﹣＝200+1003−100＝100+1003，

DMAMADDM

√√

∵＝50，＝50（3−1），∴＝﹣﹣＝150+1003−50﹣50（3−1）＝150+503，

BGBNANAGBGBN

√√√√

Rt△中，∵∠＝30°，∴=＝75+253，=3＝753+75，

ANHANHANAHNH

2

√√√

由勾股定理得：=

MN

√𝑁𝐻

2222

+𝑀𝐻=(75+253)+(253+25)=50（3+1），

√

√√√

∴+﹣＝100+1003+150+503−50（3+1）＝200+1003≈370（）．

AMANMNm

√√√√

答：路线→的长比路线→→的长少370．

MNMANm

解法二：如图，延长，交于点，连接，，则∠＝90°，

DCABGCNCMG

1

1

∵＝，∠＝60°，∴△是等边三角形，∴∠＝60°，

CDDMDBCMDCM

由解法一可知：＝503，＝+＝50+50（3−1）＝503，

CGGNBGBN

√√√

∴△是等腰直角三角形，∴∠＝45°，∴∠＝45°﹣30°＝15°，

CGNGCNBCN

∴∠＝150°﹣60°﹣15°＝75°=∠，

MCNBCD

2

1

由【阅读材料】的结论得：＝+＝100+50（3−1）＝503+50，

MNDMBN

√√

∵+﹣＝+﹣＝100+1003+150+503−50（3+1）＝200+1003≈370（）．

AMANMNADAGMNm

√√√√

答：路线→的长比路线→→的长少370．

MNMANm

答案：370．

2502

（2022•河南中考）如图，在Rt△中，∠＝90°，＝＝22，点为的中点，点在上，且

ABCACBACBCDABPAC

√

CPCPCPQAQDQADQAQ

＝1，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当∠＝90°时，的长为 5或

√

√

13 ．

【解析】如图：

∵∠＝90°，＝＝22，∴=2＝4，

ACBACBCABAC

√√

∵点为的中点，∴＝=＝2，∠＝90°，

DABCDADABADC

∵∠＝90°，∴点、、在同一条直线上，

ADQCDQ

由旋转得：＝＝′＝1，

CQCPCQ

分两种情况：

当点在上，在Rt△中，＝﹣＝1，∴=√𝐴𝐷

QCDADQDQCDCQAQ

2222

+𝐷𝑄=+1=5，

√2

√

当点在的延长线上，在Rt△′中，′＝+′＝3，∴′=

QDCADQDQCDCQ AQ

√

𝐴𝐷+𝐷𝑄=+3=13，

222

′

√2

√

综上所述：当∠＝90°时，的长为5或13.

ADQAQ

√

√

答案：5或13

√

√

2

1

2

2502

（2022•永州中考）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如

图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积

是25，小正方形的面积是1，则AE＝ 3 ．

【解析】∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，

根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，

在Rt△AED中，AE＝AD，∴（x﹣1）＝5，

222222

+ED+x

解得：x

12

＝4，x＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3.

答案：3

2502

（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路

线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 2 ．

√

【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为

√1

22

+1=2．

√

答案：2．

√

2502

（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定

理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的

直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S

123

、S、S．若正

方形EFGH的边长为4，则S

123

+S+S＝ 48 ．

【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：

S＝（a+b）＝4＝（a﹣b）

123

222

，S＝16，S，

且：a＝EF＝16，

222

+b

∴S＝2（a）+16

123

+S+S＝（a+b）+16+（a﹣b）+b

2222

＝2×16+16

＝48．

答案：48