综述古代印度与古代中国数学发展及其联系

综述古代印度与古代中国数学发展及其联系

摘要翻开任何一部中国数学发展史，都不难发现，华夏祖先们每前进一步，都伴随着奋斗

：

的汗水。中国数学起源于上古至西汉末期，中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。接下来

在元后期至清中期，中国数学的发展缓慢。就在中国数学发展缓慢的时候，西方数学已大跨

步超前，于是在中国数学发展史上出现了一个中西数学发展的合流期。印度数学和近东，特

別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。尽管中国目前在世界数学的赛场上已处落

后地位，然而，路遥识马力，今后鹿死谁手，仍然未可知。

关键词：数学发展 联系 记数 四则运算法 二次方程 代数学

引言 印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和中国古老民族的数学起源

一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一個特殊的因素，便

是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸

易的往來，印度数学和近东，特別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。本篇论文

通过比较古代印度与古代中国数学发展研究数学的历史。

印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其他古老民族的数学起源一样，

是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一個特殊的因素，便是它的

数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往

來，印度数学和近东，特別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。另外，印度数学

的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。

印度数学的发展大致可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗茶人时期

(约公元前3000一前1400年)，史称河谷文化；随后是吠陀(Vedas)时期(约公元前10世一前

3世纪)；其次是悉檀多(siddhanta)时期(约公元5世纪一12世纪)。悉檀多时代是印度数学的

繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数。

印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》

当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，

最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的

颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或

树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、

祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》（sulva sūtrus,又译成绳法经），有一些几何内容

和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些

作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：，此外还

用到π= 3.004和π= 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取2π = 1 +

1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686。由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程

问题，印度用算术方法给出求解公式。耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等

几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注

释。其中出现了许多计算公式，如圆周长的计算公式等。

关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可考资料非常少，值得庆幸的是1881年在

今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓 “巴克沙利

（bakhshali）手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计

算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方

程。特别值得注意的是该书使用了一些数学符号，如减号，将“12 － 7” 记成“12 7＋”，出

现了10个完整的十进制数码，用点表示“0”.

一. 数字及数字系统

在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符和0符号的应用。

1)零当作一个数字

可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位

值系统而将零当作空白位置的表示符号。今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数

字及数字系统逐步演进而来的。

公元前2500年左右,印度最古老的文献已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示空的

位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达

首先说明了0的性质，任何数乘0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并

没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，O的概念之所以在印度产生

并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。

婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），

都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理，9世纪马哈维拉

和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法

则。他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式。

7 世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数

学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生的改变。

2.）引进十进制的数字

这些符号在某些情况下和现在的数字很相近。此后，印度数学引进十进制的数字，同

样的数字在不同的位置表示完全不同的含义，这样就大大简化了数的运算，并使计数

法更加明确。比如，古巴比伦的记号▼既可以表示1，也可以表示1/60，而在古印度人

那里，符号1只能表示1个单位，要表示十、百等，必须在符号1的后面加上相应个数

的符号0。这实在是个了不起的发明，以致于到了现代，人们在计数的时候依然沿用这

种方法。

3)负数

古印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数的概念，在实

际计算的时候，把适用于有理数的计算方法和步骤运用到无理数中去。另外，他们还

解出了一次方程和二次方程。

4）一次方程和二次方程

从公元七世纪印度的代数有了很大发展, 数学家婆罗摩笈多创立表示量的概念和描述运

算的一套符号，12世纪婆什迦罗提出负平方根的概念、研究无理方程的解法和无理数

的运算法则，把代数学的研究推向了新的阶段。

5）三角学

印度数学在几何方面没有取得大的进展，但古印度人对三角学贡献很大。这是他们热

衷于研究天文学的副产品。如在他们的计算中，用到了三种量——一种相当于现代的

正弦，一种相当于现代的余弦，还有一种称为“正矢”，在数量上等于1－cosα，这个三

角量现在已经不用了。他们还知道一些三角量之间的关系，比如 “同角正弦和余弦的

平方和等于1”等等，古印度人还会利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。

中国数学发展-起源

古希腊学者毕达哥拉斯（约公元约前580~约前500年）有这样一句名言：“凡物皆数”。

的确，一个没有数的世界不堪设想。

今天，人们对从1数到10这样的小事会不屑一顾，然而上万年以前，这事可让人们煞费苦

心。在7000年以前，他们甚至连2以上的数字还数不上来，如果要问他们所捕的4只野兽

是多少，他们会回答：“很多只”。如果当时要有人能数到10，那一定会被认为是杰出的

天才了。后来人们慢慢地会把数字和双手联系在一起。每只手各拿一件东西，就是2。数

到3时又被难住了，于是把第3件东西放在脚边，“难题”才得到解决。

就这样，在逐步摸索中，华夏民族的祖先从混混沌沌的世界中走出来了。

先是结绳记数，然后又发展到“书契”，五六千年前就会写1~30的数字，到了2000多年前

的春秋时代，祖先们不但能写3000以上的数学，还有了加法和乘法的意识。在金文周《※

鼎》中有这样一段话：“东宫迺曰：偿※禾十秭，遗十秭为廾秭，来岁弗偿，则付秭。”这

段话包含着一个利滚利的问题。说的是，如果借了10捆粟子，晚点还，就从借时的10捆变

成20捆。如果隔年才还，就得从借时的10捆涨到40捆。用数学式子表达即：

10+10=20

20×2=40

除了在记数和算法上有了较大的进步外，华夏民族的祖先还开始把一些数字知识记载在书

上。春秋时代孔子（公元前551~前479）年修改过的古典书籍之一《周易》中，就出现了八

卦。这神奇的八卦至今在中国和外国仍然是人们努力研究和对象，它在数学、天文、物理

等多方面都发挥着不可低估和作用。

到了战国时期，数学知识已远远超出了会数1~3000的水平。这一阶段他们在算术、几何，

甚至在现代应用数学的领域，都开始了耕耘播种。算术领域，四则运算在这一时期内得到

了确立，乘法中诀已经在《管子》、《荀子》、《周逸书》等著作中零散出现，分数计算也

开始被应用于种植土地、分配粮食等方面。几何领域，出现了勾股定理。代数领域，出现

了负数概念的萌芽。最令后人惊异的是，在这一时期出现了“对策论”的萌芽，对策论是

现代应用数学领域的问题。它是运筹学的一个分支，主要是用数学方法来研究有利害冲突

的双方，在竞争性的活动中，是否存自己制胜对方的最优策略，以及如何找出这些策略等

问题。这一数学分支是在本世纪第二次世界大战期间或以后，才作为一门学科形成的，可

是早在2000多年前，战国时期著名的军事家孙膑（公元前360~前330年）就提出过“斗马

术”问题，而这一问题的内容，正反映了对策论中争取总体最优的数学思想。

当历史推进到秦汉时期，祖先们不再往骨头上刻字了。他们把需要记的事都用毛笔写在竹

片上、木片上，这种写了字的竹、木片被称为“简”或“牍”。这种简或牍以西汉时期的

流传下来最多。从那些汉简中，我们发现，秦汉时期在算术方面乘除法算例明显增多，还

出现了多步乘除法和趋于完整的九九乘法中诀。在几何方面，对于长方形面积的计算以及

体积计算的知识也具备了。

这个时期最值得一提的，要算是算筹和十进位制系统了。有了它们，祖先们就不再为没有

合适的计算手段而发愁了。在我国古代，直到唐朝以前，一直用着这一套计算系统。算筹

的确切起源时间至今还不清楚，只知道，大约在秦汉时期，算筹已经形成制度了。为了计

算方便，古人规定了纵横表示法。纵表示法用于个、百、万位数字；横表示法用于十、千

位数字，遇到零时，则空一位。

十进位制系统，正是我们今天日常生活中常用的逢十进一法。就是说，对正整数或正小数

而言，以十为基础，逢十进一，逢百进二，逢千进三等等。十进位制系统的产生，为四则

运算的发展创造了良好的条件。

中国数学发展简史 - 缓慢发展时期

接下来在元后期至清中期，中国数学的发展缓慢，和上面讲的数学盛世相比，这一阶段几

乎黯然失色。从宋朝末年到元朝建立中央集权制，中国大地上烽火连年，科学技术不受重

视，大量宝贵的数学遗产遭受损失。明朝建立以后，生产曾在一个短暂时期里有所发展，

但马上又由于封建统治的腐败，走向了衰落，直到清朝初年才缓过一口气来。处在这样一

种政治腐败、经济落后、农民起义此起彼伏的环境中，数学跌入低谷也是情理之中的事。

然而世界发展的潮流历来是不等人的，乘中国数学衰落的功夫，西方数学悄悄地追上来，

并且反过来渗透进中国。那么这个时期中国自己的数学“特产”是什么呢？是珠算。在隋

唐时期，人们已经开始在改进筹算上打主意了。他们想办法简化筹算方法、编口诀„„然

而，在迅速发展的数学领域中，筹算法必然会被其他算法所代替。元朝末期，小巧灵便的

算盘出现了。人们看着这计算简捷、携带方便的新工具欣喜异常，甚至有人把它编到了俗

语、诗歌、唱词中。算盘的出现，很快就引出了珠算口诀和珠算法书籍，16、17世纪，在

中国大量的有关珠算的书籍中，最有名的是程大位的《直指算法统宗》。珠算普及以后，筹

算便自动销声匿迹了。就在中国人发明珠算后不久，1642年，19岁的法国数学家巴斯加

（公元1623~1662年）推出了世界上最早的计算机。目前，虽然世界已进入了计算机时代，

然而珠算仍有它的一席之地。有人试过，在加减法运算中，它的速度甚至超过小型计算

器。

中国数学发展简史 - 中西合流期

在中国数学发展缓慢的时候，西方数学已大跨步超前，于是在中国数学发展史上出现了一

个中西数学发展的合流期，这一时期约为公元1840年~1911年之间。

前面讲到，16世纪前后，西方传教士带来了一些新的数学知识。尽管有些洋人怀有个人目

的，但不管怎么说，新知识能传进来，这对中国的数学进展总是有好处的。然而，1723年

清朝雍正皇帝登基时，有人就提出大批传教士在华，对他们的统治不利。皇帝一想，也

是。于是马上下令，除了少数在中国编制新历法的外国人之外，其他传教士一律不留。

这一命令产生的后果是，在以后大约100年的时间里，西方的数学知识也很难“进口”；

中国数学家只好把眼光从学习西方新知识，转回到研究自己的旧成果了。

古代数学回光返照的局面没持续多久，鸦片战争失败了，闭关自守的局面被打开了，帝国

主义列强纷纷进来瓜分中国，中国一时间沦为半殖民地、半封建的社会。

19世纪60年代开始，曾国藩、李鸿章等为了维护腐败的清政府，发起了“洋务运动”。这

时以李善兰、徐寿、华蘅芳为代表的一批知识分子，作为数学家、科学家和工程师参加了

引进西学、兴办工厂、学校等活动，经过他们的不懈努力，奠定了近代科技、近代数学在

中国的发展基础。

当1894年“洋务运动”以军事失败而告终时，工厂、铁路、学校却保留了下来，科技知识

也在一定的范围内传播了开来。

这一时期的特点是中西合流。所谓中西合流，并不是全盘西化，数学工作者们在研究传统

数学的同时吸收新的方法，一时间，出现了人才济济、著述如林的好势头。

这时，中国数学家在幂级数、尖锥术等方面已独立地得到了一些微积分成果，在不定分析

和组合分析方面也获得了出色的成绩。然而，即使是这样，在世界的同行们之中，中国也

仍然没达到领先的地位。

中国数学发展简史 - 古代成就

在中国古代数学发展史中，祖先摘到的金牌足可以开一座陈列馆，这里只开一个“清

单”，使读者有一个直观印象。

（1）十进位制记数法和零的采用。源于春秋时代，早于第二发明者印度1000多年。

（2）二进位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二发明者德国数学家莱布尼兹

（公元1646~1716）2000多年。

（3）几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》，早于第二发明者欧几里德（公元前330~

前275）100多年。

（4）勾股定理（商高定理）。发明者商高（西周人），早于第二发明者毕达哥拉斯（公元

前580~前500）550多年。

（5）幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的

出现在公元2世纪，我国早于国外600多年。

（6）分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则出现在《九章算术》中，它的传本至

迟在公元1世纪已出现。印度在公元7世纪才出现了同样的法则，并被认为是此法的“鼻

祖”。我国早于印度500多年。

中国运用最小公倍数的时间则早于西方1200年。运用小数的时间，早于西方1100多年。

（7）负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》，这一发现早于印度600多年，早于西

方1600多年。

（8）盈不是术。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世界上，直到13

世纪，才在欧洲出现了同样的方法，比中国晚了1200多年。

（9）方程术。最早出现于《九章算术》中，其中解联立一次方程组方法，早于印度600多

年，早于欧洲1500多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面，我国要比世界其他国家早

1800多年。

（10）最精确的圆周率“祖率”。早于世界其他国家1000多年。

（11）等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录1100多年。

（12）二次内插法。隋朝天文学家刘焯最早发明，早于“世界亚军”牛顿（公元1642~1727）

1000多年。

（13）增乘开方法。在现代数学中又名“霍纳法”。我国宋代数学家贾宪最早发明于11世

纪，比英国数学家霍纳（公元1786~1837）提出的时间早800年左右。

（14）杨辉三角。实际上是一个二项展开式系数表。它本是贾宪创造的，见于他著作《黄帝

九章算法细草》中，后此书流失，南宋人杨辉在他的《详解九章算法》中又编此表，故名“杨

辉三角”。

在世界上除了中国的贾宪、杨辉，第二个发明者是法国的数学家帕斯卡（公元

1623~1662），他的发明时间是1653年，比贾宪晚了近600年。

（15）中国剩余定理。实际上就是解联立一次同余式的方法。这个方法最早见于《孙子算

经》，1801年德国数学家高斯（公元1777~1855）在《算术探究》中提出这一解法，西方

人以为这个方法是世界第一，称之为“高斯定理”，但后来发现，它比中国晚1500多年，

因此为其正名为“中国剩余定理”。

（16）数字高次方程方法，又名“天元术”。金元年间，我国数学家李冶发明设未知数的方

程法，并巧妙地把它表达在筹算中。这个方法早于世界其他国家300年以上，为以后出现

的多元高次方程解法打下很好的基础。

（17）招差术。也就是高阶等差级数求和方法。从北宋起中国就有不少数学家研究这个问

题，到了元代，朱世杰首先发明了招差术，使这一总是得以解决。世界上，比朱世杰晚近

400年之后，牛顿才获得了同样的公式。

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学

外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特

色。与其算术和代数相比，印度人在几何方面的工作显得十分薄弱，最具特色与影响的成

就是其不定分析和对希腊三角术的推进。十进制的建立和零概念的引入为数学的发展奠定

了基础。

印度人的几何学是凭经验的，他们不追求逻辑上严谨的证明，只注重发展实用的方法，一

般与测量相联系，侧重於面积、体 积的计算。其贡献远远比不上他们在算术和代数方面的

贡献大。在叁角学方面，印度人用半弦（即正弦）代替了希腊人的全弦， 製作正弦表，还

证明了一些简单的叁角恆等式等等。他们在叁角学所做的研究是十分重要的。

总结 印度对代数学做过重大的贡献。他们用符号进行代数运算，并用缩写文字表示未

知数。他们承认负数和无理数，对负数的四则运算法则有具体的描述，并意识到具有实解

的二次方程有两种形式的根。印度人在不定分析中显示出卓越的能力，他们不满足 於对一

个不定方程只求任何一个有理解，而致力於求所有可能的整数解。印度人还计算过算术级

数和几何级数的和，解决过单利与复利、折扣以及合股之类的商业问题。中国古代数学致

力于方程的具体求解，而源于传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。尽

管中国目前在世界数学的赛场上已处落后地位，然而，路遥识马力，今后鹿死谁手，仍然

是个“x”

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