中国古代数学中的极限思想[含论文、综述、开题

设计

（ 20 届）

中国古代数学中的极限思想

所在学院

专业班级 信息与计算科学

学生姓名 学号

指导教师 职称

完成日期 年 月

摘要：

“极限”是高等数学中最基础和最重要的概念之一，高等数学中许多深层

次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。其中，中国古代数学中的极限思想对整个

数学的发展起到了非常重要的作用。本文在中国古代数学中前人研究的基础上，结合

国外古代极限思想，介绍极限思想的萌芽、发展到完善的整个过程，并对其相应的应

用和影响做较为全面的探讨。我们首先介绍中国古代的极限思想，接着从三个角度对

中西方的极限思想进行比较，最后总结中国古代极限思想对后世数学的影响极其在文

The Ancient Chine Mathematics Limit Thought

Abstract：

" Limit " is one of the most basic and most important concepts in the

field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications

are extension and deepening of limit. Especially the ancient Chine limit thought plays a

very important role during the whole development of mathematics. Bad on the ancient

Chine mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas,

in this paper we will introduce the whole process of limit thought from embryonic,

development to perfect and make a comprehensive discussion about its corresponding

applications and impact. First of all, we introduce the ancient Chine limit thought. Then,

we compare the Chine and the west limit thought from three aspects. Last, we summarize

the influence of the ancient Chine mathematics limit thought on mathematics and the

application in literature philosophy and actual life.

Key words：

Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; π;

calculus

.

目录

1 绪论 ............................................................................ 1

1.1 问题的背景和意义 .......................................................... 1

1.2 极限相关概念 .............................................................. 2

1.2.1 数列极限 ............................................................ 2

1.2.2 函数极限 ............................................................ 2

2 中国古代的极限思想 .............................................................. 4

2.1 极限思想的萌芽 ............................................................ 4

2.2 关于数π .................................................................. 4

2.2.1 π的来历 ............................................................ 4

2.2.2 π的数值精确度的发展 ................................................ 4

3 中西方极限思想的比较 ............................................................ 7

3.1 割圆术与穷竭法 ............................................................ 7

3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较 ............................................ 8

3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较 .......................................... 8

3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较 .......................... 8

3.3 从中西方哲学传统看微积分的创立 ............................................ 9

4 对后世数学的影响及其应用 ....................................................... 10

4.1 对后世数学的影响 ......................................................... 10

4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响 ........................................... 10

4.3 极限思想在古代的应用 ..................................................... 11

5 结论 ........................................................................... 13

致谢 .............................................................................. 14

参考文献 .......................................................................... 15

1 绪论

1.1 问题的背景和意义

微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国

学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念

和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无

限性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的

启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成

为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准

备了必要的条件。（参见文献[1]）

作为数学中最重要的思想和方法之一，极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联

系初等数学和高等数学的一条重要的纽带。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生

了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论

及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比较清

楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究

的很多方面，对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。

微积分的形成与发展是数学界的重要话题。但翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著

述，无论是外国人编写的，还是我国的作者，无论是过去，还是现在，大多数定理的前面都冠之以

某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大

量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，中国

古代数学对微积分形成所做出的贡献，理应受到世人的承认与尊重。众所周知，在牛顿与莱布尼兹

发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。作为产生微积分的必要条件中，有些是

在我国早已有之，而为希腊式数学所不及的。

学习和研究中国古代极限可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数

学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少, 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖

暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”

等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。然而，现阶段爱国主义教

育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，

中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新时代的要求下，除了增强学生的民族

自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说

人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成

就，虚心的学习，“洋为中用”。 因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想

22

的理论及实际应用进行研究十分必要。

1.2 极限相关概念

极限是数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那

么该定值就叫做变化的量的极限。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极

限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，

是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概

括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的

结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数

以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可

以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。”

1.2.1 数列极限

若函数f的定义域为全体正整数集合，则称

f： 或 ，

为数列。

定义 1 设为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有

[2]

,

则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作 .

1.2.2 函数极限

x趋于时函数的极限

[3]

）上的函数，A为定数。若对任给的，存在正数M，使定义 2 设f为定义在［a,

得当时有

则称函数f当x趋于时以A为极限，记作

22

.

x趋于时函数的极限

定义 3 设函数f在的某个空心邻域内有定义,A为定数。若对任给的，存在正数，使

得当时有

,

则称函数f当x趋于时以A为极限，记作

.

本次论文中，我们首先介绍极限思想的萌芽和数π与极限的关系。接着对中西方的极限思想进

行比较，分别从割圆术与穷竭法的角度考察古代东西方民族思维方式的异同；从先秦极限观与古希

腊极限观方面比较论述；从中西方哲学传统看微积分的创立。最后对极限思想对后世数学的影响，

在文学和哲学方面的反映，以及其在古代中的应用进行总结。

[3]

22

2 中国古代的极限思想

2.1 极限思想的萌芽

极限思想是人们对有限、无限问题不断深化认识的过程中取得的。从萌芽到完善，经过了近2000

年时间，可以说是数学史上一次漫长的旅途。

早在春秋战国时期（公元前770——前221）道家的代表人物庄子就有了极限思想，据《庄子》

“天下篇”中记载：“一尺之棰，日取其半，万事不竭。”意思是说，一尺长的木棒每天取下

[4]

前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。这反映了古人对极限的一种思考，它不但表达了我

们祖先的极限思想，也提供了一个“无穷小量”的实际例子。这个经典论断，至今在微积分的教学

中还经常使用。

我国古代的极限思想与方法主要寓于求积(面积、体积)理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问

题。在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。”即圆的

面积S与一个长为半周,宽为半径的长方形的面积相等:。（参见文献[5]）

刘徽注文首先指出古率“周三径一”（即π = 3）实际上既是圆内接正六边形的周长C与直径

2R之比，以此说明古率之粗疏。为推证圆面积公式，刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，徽注

曰：“又按为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面

乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

合体，而无所失矣。”

[6]

2.2 关于数π

2.2.1 π的来历

如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问

题研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周

长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。

2.2.2 π的数值精确度的发展

西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的

古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆

周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155。（参见文献[7]）

22

魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，

圆周率的研究才获得了重大的进展。他设圆的半径为1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用

勾股定理求出这个内接正六边形的周长。其实如果把内接正六边形的边数加倍，改为内接正十二边

形，再用适当方法求出它的周长，可以看出，这个周长比内接正六边形的周长更接近圆的周长，这

个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论：圆内所做的内接正多

边形的边数越多，它各边相加的总长度（周长）和圆周周长之间的差额就越小。所以用增加圆的内

接正多边形边数的办法求圆周率，得数永远稍小于π的真实数值。（参见文献[8]）刘徽就是根据

这个道理，从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，得

出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以

此时圆周率的值为边长除以2，求得了圆周率是3.141024。并得出π的两个近似值就是和

。

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的

圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为。以上的科学家都为圆周率的研究推算

做出了很大贡献。

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书·律历志》的记载，祖冲

之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的

近似值），为3.1415927；一个是朒数（即不足的近似值），为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒

两数之间。祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割

到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十

四边形、七百六十八边形一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。

最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一

分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径

为1，那么圆周小于3.1415927误差不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。

盈朒两数可以列成不等式，如：

，

这表明圆周率应在盈朒两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆

周率。一个是（约等3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另

一个约等于3.14，这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。现在我们用数论中的连分数法

可知，是一个渐进分数，渐进分数都是最佳逼近，用这种方法可求出的更精确的渐近分数

为，用其他方法可得出在之后，第一个出现而精确程度又超过的

22

最佳分数值是，这两个最佳逼近分子、分母都很大，使用价值很小，由此更看出祖冲

之的密率更精彩。（参见文献[9]）

3 中西方极限思想的比较

3.1 割圆术与穷竭法

“割圆术”与“穷竭法”是古代东西方数学智慧的代表。对之进行比较，可以从某一侧面考察

古代东西方民族思维方式的异同。

思路一致：“割圆术”与“穷竭法”都是以内接多边形去逼近曲线形，所用方式都是逐步增加

内接多边形边数的倍数。 以圆为例，刘徽的“割圆术”是从圆内接正六边形开始的，依次作正12 边

形，正24 边形等等；而欧几里得使用“穷竭法”则是从圆内接正四边形开始的，依次作正8 边形，

正16 边形等等。可以说,除了原始正多边形的边数不同以外，刘徽与欧几里得的出发点与推证思路

不谋而合。（参见文献[10]）

思想不同：刘徽的“割圆术”包含着深刻的极限思想。他的割圆过程是一个无限过程，最终可

以达到终极目标:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

刘徽设计了一个无限“分割”的过程，最终达到“合体”这一终极状态。这一过程与状态的统一，

是刘徽辩证的无穷观。刘徽用“割圆术”不仅推证了圆的面积公式，还充分利用分割过程，通过计

算圆内接正192 边形，算出了圆周率的近似值3.14。刘徽的极限思想还创造了其它重要结论，以下

列举一二: (1) 十进小数表示法。刘徽在《九章算术》开方术注文中指出:“不以面命之，加定法

如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，

则朱幂虽有所余之数，不足言之也。”开方法求微数，实际上是求无理数的十进分数近似值。 但

开方程序是一个无限过程，可以达到人们预先需要的精确度，开方求微数的方法是刘徽极限思想在

近似计算上的应用，它促进了十进小数的产生。(2) 刘徽原理。在《九章算术》商功章阳马术注文

中，刘徽指出：“邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，

不易之率也。” 在推证阳马体积：鳖臑体积 的过程中，刘徽也利用了无限分割思想。

古希腊的“穷竭法”，虽然适用范围更广泛，但它始终是一个有限过程，阿基米德用“穷竭法”

不仅研究过圆，而且还计算过抛物线弓形的面积。但他是通过力学手段推证出抛物线弓形与其一内

接三角形的面积关系后，再用穷竭法进行证明的，与欧几里得证明圆面积的命题类似。此外，阿基

米德还利用“穷竭法”讨论了二次曲面的一些体积命题。古希腊的“穷竭法”没有涉及极限过程。

正如美国学者爱德华所指出:“阿基米德，即使不是在他的正式的分析中，也至少是在他的正式的

证明中，没有摆脱希腊人的‘对无限的恐惧’。希腊人的严格的观念要求使用繁琐的双归谬法，而

不是简单的取极限的方法。”（参见文献[11]）

22

3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较

3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较

在《庄子·天下篇》中有名家惠施提出的“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一”的无

[12]

限观。“大一”相当于无穷大，“小一”相当于无穷小。“外”是“外界”或“边界”。至大是没

有边界的，叫无穷大；至小是没有内部的，叫无穷小。当然，我们可以把“大一”理解为概莫能外，

无所不包的无穷空间；“小一”理解为小之至极，无所包容的几何学中的点。在《庄子·秋水》中

还有“至精无形，至大不可围”的说法。

公元前5世纪，有关无限小量的概念已经作为古希腊人关于物质世界本质的设想而进入了数学

思潮。阿布德拉学派主张一切东西都由在虚空中不断运动着的原子所组成，这些原子是不可再分的

物质粒子，它们没有质的区别，而形状、大小千差万别，小到无所觉察。但在毕达哥拉斯的“无限

小但分子论”德谟克利特的“原子论”之后，希腊学者并不欢迎无穷小。芝诺认为：“加到别的东

西上不使其增大，从别的东西中减去又不使其减少，不过是子虚乌有而已。”亚里士多德则认为无

穷事不完美的，未完成的，因而是不可思议的。而为希腊数学家所普遍接受的观点则是“在小的当

中不存在最小的，但总有更小的”。

由此看出中国名、墨两家已从直观上理解了无穷小和无穷大，并且对它们有了一定程度的认识。

希腊德馍克利特的“原子论”与中国这种朴素的无穷小概念类似，但他之后的希腊学着大都倾向于

“无穷小，无穷大是不存在的”观点。

3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较

墨家承认以下事实：一、线段是连续的，而不是间断的，否则不可能每次分割都能恰好在线段

上；二、线段是无限可分的；三、这种无限分割过程最终会达到极限状态，得到一个实在的端，有

无限思想；四、暗含有些无穷级数的和存在的思想。

希腊人对无限的理解却产生了疑惑，为此芝诺提出了以下四个著明悖论：

（1）两分法悖论 向着一个目的地运动的东西，首先必须经过这路程的一半，然而，要经过

这路程的一半，又必须先经过这一半的一半，如此类推，以至无穷。所以既然这种步步紧缩是无穷

的，运动就根本没有可能。

（2）阿基里斯追不上乌龟 阿基里斯总是首先必须到乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在

前头。

（3）飞矢不动 箭在运动的过程中的任一时刻必在一确定位置上因而是静止的，所以箭就不

能处于运动状态。

（4）操场或游行队伍悖论 甲乙两件东西以等速向相反方向运动，从静止的丙来看，比如说，

22

甲乙都在一小时内移动了2里，可是，从甲看来，则乙在一小时内就移动了4里。运动是矛盾的，所

以运动是不可能的。

芝诺的悖论，前两个矛头直指空间和时间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个则是由于

不能直观地看出连续和无穷集合的性质。（参见文献[13]）

3.3 从中西方哲学传统看微积分的创立

任何一个数学家的数学思想都受到某种哲学思想的影响，而在参考相关资料后认为其中影响较

为深远的是世界观中最根本的因素——关于万物起源的观点。古代中国关于万物起源的根本观点是

《周易·八卦》所说：“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”老子则把这一观

点用更为形式化的数字语言阐述得更加精确，他说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这

一叙述直观地来看是中国古代关于数的起源的观点，但实际上却有更深层次的含义。这里“一、二、

三”并不意味着具体的数“1、2、3”，也不意味着某几种具体的物质形态，而仅仅是一种形式化

的语言，你可以赋予各种不同的具体内容。只有这样才能真正了解中国古人关于事物产生、演化的

思想观点。由此可以看出古代中国认为世间万物都是由“一”派生、分裂而形成。

在西方，古希腊的知识分子认为自然界是有秩序的，并且始终按照一定的方案运行。他们肯定

在一切表面现象千变万化之中有一种始终不变的东西，这一原始物质的本质是永恒的，所有纷繁复

杂的物质形态都可以用它来解释，或者说都是由它所构成的。其中最有典型意义的是毕达哥拉斯学

派的“万物皆为（整）数”观点，他们认为世界的本质是数，把数看作是真实事物的终极组成部分。

即一切事物对象都是由（整）数构成的，而整数的基本单位是“1”，因此可以更近一步地说一切

对象都是由“1”所构成的，是由许多的“1”按不同的方式组合而成，所以“1”是所有真实事物

的最终组成成分。

从以上叙述可知：从原始的思想起，中国、西方都认为一切事物的起源都是“一”，都有“万

物皆为数的观点”，然而对“一”的理解却恰好相反，正是由于这种差异，从而决定了中西世界观

的差异，进一步决定了中西方法论的不同。中国是把“一”看作万物的起源，由“一”分裂而得到

其它整数乃至所有复杂事物。在中国人看来“一”是最高级的概念，是由神秘的“道”所产生的，

它是神圣的。这也就使得人们不敢贸然去探索这个神圣的“一”，也就从一个方面决定了中国古代

数学缺乏开创性而注重实用性的特点。西方人则把“一”看作最基本的组成元素，由“一”组合生

成其它整数，进一步生成其它所有事物，它是万物最基本的组成单位。在他们看来“一”不是神圣

的，它是人们探究的对象，这就促使人们不断探求事物最根本的起源，在方法论上，总是把要研究

的对象转化为最基本的单位进行研究。（参见文献[14]）

22

4 对后世数学的影响及其应用

4.1 对后世数学的影响

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学，是雪白梅香，各

有所长。我们知道，极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始因为无穷小的概念

不严格而放弃它，那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的

基础上的，以在天文力学上的实用性为其后盾，这和中国学者走的道路类似。到了19 世纪，微积

分开始严格化运动，它要求高度演绎，只有这样才便于理论自身的发展，这又和古希腊学者走的道

路一致。可见，在数学的发展过程中，不能偏废任何一方。在古代西方，芝诺的四个著名悖论首先

触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭法，阿基米德的无穷小思想都含有非

常重要的微积分思想。到16 世纪末，由于实践的需要和对穷竭法的好奇与兴趣，那些促使微积分

产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣，他们做了大量有意义的工作，为微积分的创立做了思

想上和技术上的准备。到17 世纪，牛顿、莱布尼茨终于在前人的基础上创立了微积分。

但是通观十六、七世纪欧洲微积分学发展的历史，虽然它以对古代希腊阿基米德等人的著作的

研究为起点，然而正如卡尔·B·波耶所指出的，这些探索者们并非继承希腊人思想与传统而沿着

老路往下走。正好相反，史蒂汶、瓦雷里欧、开普勒、伽利略、卡瓦列里、托里拆利等多位数学家

发现了古希腊数学在处理无限数问题的失败而转向，朝着东方数学算法传统的道路前进。古希腊数

学的一个严重缺陷在于它无法实现曲边形与直线形的转化，其根本原因在于他们在几何中禁用无

限，坚持数与量的割裂，致使他们在求积理论方面不得不只依赖于形式逻辑的一支脚迂回曲折地前

进。近代的欧洲学者，从东方引进了实数系统，并建立了符号代数，逐步发展了数学中的无限观念

和极限方法，从而使古希腊的穷竭法得到脱胎换骨的改造。可见，早在刘徽、祖暅的时代，我国数

学大体已具备了欧洲十六、七世纪产生微积分所必要的条件，中算家早于西方接近了微积分的大门，

为微积分的产生做出了巨大贡献。（参见文献[15]）

4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响

数学是民族文化的一部分，我国古代数学家的极限思想必然要在爱哲学，文学等方面折射出来。

庄子在《天下篇》中讲：“一尺之棰，日取其半，万事不竭。”如果把这句话和求数列的极限联系

起来的话，无不为古人深邃的极限思想而折服。

荀子在《劝学篇》中说：“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自

得，圣心备焉；不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江河。”古人用形象的比喻说明学习知

识的过程，如果我们单从比喻的本身，用来说明积分思想也是十分贴切的。

老子在《道德经》中说：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。”

22

比喻事情的成功是由小到大逐渐积累的。如果我们单从比喻的本身来说明定积分的微元法是再合适

不过的了。

还有成语：日积月累，积少成多，积羽沉舟，集腋成裘，聚沙成塔——这里面都蕴涵着深刻的

极限思想。（参见文献[16]）

4.3 极限思想在古代的应用

极限思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

例题 一

[17]

从前，有个农人要将23个西瓜分给四个儿子，要求甲、乙、丙、丁所分份额的比是:::，

且不能切开任何一个西瓜，问怎样才能分完25个西瓜?

解 利用庄周的极限思想，第一次分甲得个，乙得到个，丙得到个，丁得到个，

余下个；第二次将余下的个再按上述比例分给四人：甲得到个，乙得到个，丙得到个，

丁得到个，余下个；第三次再将余下的个按上述比例分给四人……一直进行下去，四个人

分得个数分别为公比为的等比数列，求其和

S甲=个

S乙=+个

S丙=个

S丁=个

又8+6+4+5=23，且8:6:4:5=1/3:1/4:1/6:1/5

所以上述解法正确。

例题 二

[18]

传说很久很久以前，有一位老人临终前留下了41头羊的遗产给他的3个儿子，遗嘱中要求将遗

产的二分之一分给老大，三分之一分给老二，七分之一分给老三。然后面对这41头羊的遗产及遗嘱，

三兄弟却犯难了：总不能将活羊宰杀后进行分割。正在三兄弟一筹莫展的时候，一位过路的老人给

他们出了一个主意：将自己的1头羊送给三兄弟进行分割。这样，老大分得羊21头，老二分得羊l4

头，老三分得羊6头，都很满意。最后，这位老爷爷又牵着他的那头羊走了。

22

这就怪了!既然三兄弟都觉得“占了老爷爷的便宜”，然而老爷爷居然又没有“吃亏”，问题

出现在哪里呢?

我们仔细观察不难发现遗嘱中有问题：。按照常理，三兄弟所占比例之和等

于1才对。这正是三兄弟不能自行分割遗产的根源所在：他们落入了常规思维的俗套。事实上，正

因为三个分数之和小于l，遗产的分割不能一次性的完成。那么，第一次分割下来，老大分得羊头，

老二分得羊头，老三分得羊头，还余下头羊。这仍然算是老人的遗产，按照遗嘱依然要分割

下去（常规思维是一次分割止）。二次分割下来，老大再得头羊，老二再得

头羊，老三再得头羊，如此至无穷，当然上面这些都是理论上的数学，兄弟实际应

得遗产数分别是公比为，无穷递减等比数列的各项和，即老大应得头。老二

应得14头，老三应得6头，老人按照极限思想早就合理地安排好的分割。也正是如此，老爷爷知道

三兄弟可以自行分割遗产，却又不便说明，便弄虚送给三兄弟一头羊分割。

由此看出，我们只有善于观察思考，就会发现原来我们身边充满了数学，我们仿佛置身在一个

数学的海洋之中。

22

5 结论

数学源远流长，古代数学极限思想带有明显的创造性，对后世影响是巨大和深远的，在整理和

学习古代数学时我们不难发现：中国独创的十进制小数与极限概念一脉相承，割圆术则是极限概念

的实际应用，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”已蕴含着极限的基本思想。可以肯定地说，极限

思想的伟大发现，中国古代数学的思想发挥了重要作用。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最

后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到古希腊的阿基

米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国

早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；

公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、

瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的

极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

微积分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等

在求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、

圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的 《梦溪

笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。

南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求

一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。

特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾

宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”

（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、 “招差术”（高次差内差法）、“天元

术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组

合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微

积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分

前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的

大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关

键一步落伍了。

历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌

握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。没有现代的数学就不会有现代的文化，没有现代数

学的文化是注定要衰落的。中国在14 世纪以前是世界数学强国，数典念祖，我们相信，有良好数

学传统的中国，一定可以成为21 世纪的数学强国。

22

参考文献

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[13] 孙庆华,王刚.中国先秦时期与古希腊时期极限思想的比较研究[J].曲阜师范大学学

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[14] 谭琼华.从中西方哲学传统看微积分的创立[J].数学理论与应用.2004,24(4):100-102.

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[16] 张晓丽.浅谈古代数学极限思想[J].经验交流.2005,9:110-112.

[17] 王汝发.古代极限思想在解题中的应用[J].数学教学研究.1993,6:42-43.

[18] 何国富.古典衰分中的极限问题[J].丽水师专学报(自然并学版).1994,16(2):24-25.

22

文献综述

中国古代数学中的极限思想

一、 前言部分

（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题

争论焦点）

极限是数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，

那么该定值就叫做变化的量的极限。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是

以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的

思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般

步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过

无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果(参见文献[1])。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导

数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那

么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面。对其进行研究不仅在理论上也在实

践中具有很大的意义。

二、 主题部分

（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的

评述）

早在春秋战国时期（公元前770——前221）道家的代表人物庄子就有了极限思想，据《庄子》

“天下篇”中记载：“一尺之棰，日取其半，万事不竭”。意思是说一尺长的木棒每天去下前

[2][3]

一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。这反映了古人对极限的一种思考，它不但表达了我们

祖先的极限思想，也提供了一个“无穷小量”的实际例子。这个经典论断，至今在微积分的教学中

还经常使用(参见文献[4])。

我国古代的极限思想与方法主要寓于求积(面积、体积)理论。

刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问

题。在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。”即圆的

面积S 与一个长为半周C /2,宽为半径的长方形的面积相等:(参见文献[5])。

22

刘徽注文首先指出古率“周三径一”(即π = 3)实际上既是圆内接正六边形的周长C与直径2R

之比,以此说明古率之粗疏。为推证圆面积公式,刘徽从圆内接正六边形开始,不断割圆,徽注曰:“又

按为图,以六觚之一面乘半径,因而三之,得十二觚之幂。若又割之,次以十二觚之一面乘半径,因而

六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体, 而无所失

矣。”。西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周

为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算

出的圆周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155(参见文献[7])。

[6]

刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天、皮延宗等人。何承天求得

的圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为。以上的科学家都为圆周率的研究推

算做出了很大贡献(参见文献[8])。

祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书·律历志》的记载，祖

冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩

的近似值），为3.1415927；一个是朒数（即不足的近似值），为3.1415926。圆周率真值正好在盈

朒两数之间。祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切

割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八

十四边形、七百六十八边形⋯⋯一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的

边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺

四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆

的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际

应用（参见文献[9]）。

“割圆术”与“穷竭法”是古代东西方数学智慧的代表。对之进行比较,可以从某一侧面考察

古代东西方民族思维方式的异同：思路一致，思想不同等等(参见文献[10][11])。

中国名、墨两家已从直观上理解了无穷小和无穷大，并且对它们有了一定程度的认识；希腊德

馍克利特的“原子论”与中国这种朴素的无穷小概念类似，但他之后的希腊学着大都倾向于“无穷

小，无穷大是不存在的”观点（参见文献[12]）。

墨家承认以下事实：一、线段是连续的，而不是间断的，否则不可能每次分割都能恰好在线段

上；二、线段是无限可分的；三、这种无限分割过程最终会达到极限状态，得到一个实在的端，有

实无限思想；四、暗含有些无穷级数的和存在的思想。

希腊人对无限的理解却产生了疑惑，为此芝诺提出了以下四个著名悖论：

22

（1）两分法悖论 向着一个目的地运动的东西，首先必须经过这路程的一半，然而，要经

过这路程的一半，又必须先经过这一半的一半，如此类推，以至无穷。所以既然这种步步紧缩是无

穷的，运动就根本没有可能。

（2）阿基里斯追不上乌龟 阿基里斯总是首先必须到乌龟的出发点，因而乌龟必定总是泡

在前头。

（3）飞矢不动 箭在运动的过程中的任一时刻必在一确定位置上因而是静止的，所以箭就

不能处于运动状态。

（4）操场或游行队伍悖论 甲乙两件东西以等速向相反方向运动，从静止的丙来看，比如

说，甲乙都在一小时内移动了2里。可是，从甲看来，则乙在一小时内就移动了4里。运动是矛盾的，

所以运动是不可能的。

芝诺的悖论，前两个矛头直指空间和时间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个则是由于

不能直观地看出连续和无穷集合的性质（参见文献[13]）。

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香,

各有所长。我们知道,极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始因为无穷小的概

念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观

的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。这和中国学者走的道路类似。到了19 世纪, 微

积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。只有这样才便于理论自身的发展, 这又和古希腊学者走的

道路一致。可见,在数学的发展过程中, 不能偏废任何一方。在古代西方, 芝诺的四个著名悖论首

先触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭法, 阿基米德的无穷小思想都含有

非常重要的微积分思想. 到16 世纪末, 由于实践的需要和对穷竭法的好奇与兴趣, 那些促使微积

分产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣, 他们做了大量有意义的工作, 为微积分的创立做

了思想上和技术上的准备。到17 世纪, 牛顿、莱布尼茨终于在前人的基础上创立了微积分(参见文

献[14])。

极限思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

例题一

[15]

从前，有个弄人要将23个西瓜分给四个儿子，要求甲、乙、丙、丁所分份额的比是：：：

，且不能切开任何一个西瓜，问怎样才能分完25个西瓜?

解 利用庄周的极限思想，第一次分甲得个，乙得到个，丙得到个，丁得到个，

22

余下个；第二次将余下的个再按上述比例分给四人：甲得到个，乙得到个，丙得到个，

丁得到个，余下个；第三次再将余下的个按上述比例分给四人……一直进行下去，四个人

分得个数分别为公比为的等比数列，求其合

S甲=个

S乙=+个

S丙=个

S丁=个

又8+6+4+5=23，且8:6:4:5=1/3:1/4:1/6:1/5

所以上述解法正确。

例题二

[16][17]

传说很久很久以前，有一位老人临终前留下了41头羊的遗产给他的3个儿子，遗嘱中要求将遗

产的二分之一分给老大，三分之一分给老二，七分之一分给老三。然后面对这41头羊的遗产及遗嘱，

三兄弟却犯难了：总不能将活羊宰杀后进行分割。正在三兄弟一筹莫展的时候，一位过路的老人给

他们出了一个主意：将自己的1头羊送给三兄弟进行分割。这样，老大分得羊21头，老二分得羊l4

头，老三分得羊6头，都很满意。最后，这位老爷爷又牵着他的那头羊走了。

这就怪了!既然三兄弟都觉得“占了老爷爷的便宜”，然而老爷爷居然又没有“吃亏”，问题

出现在哪里呢?

我们仔细观察不难发现遗嘱中有问题：。按照常理，三兄弟所占比例之和

等于1才对。这正是三兄弟不能自行分割遗产的根源所在：他们落入了常规思维的俗套。事实上，

正因为三个分数之和小于l，遗产的分割不能一次性的完成。那么，第一次分割下来，老大分得羊

22

头，老二分得羊头，老三分得羊头，还余下头羊。这仍然算是老人的遗产，按照遗嘱依然要

分割下去（常规思维是一次分割止）。二次分割下来，老大再得头羊，老二再得

头羊，老三再得头羊，如此至无穷，当然上面这些都是理论上的数学，

兄弟实际应得遗产数分别是公比为，无穷递减等比数列的各项和，即老大应得

头。老二应得14头，老三应得6头，老人按照极限思想早就合理地安排好的分割。也正是如此，老

爷爷知道三兄弟可以自行分割遗产，却又不便说明，便弄虚送给三兄弟一头羊分割。

由此看出，我们只有善于观察思考，就会发现原来我们身边充满了数学，我们仿佛置身在一个

数学的海洋之中。

三、 总结部分

（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方

向做出预测）

数学源远流长，古代数学极限思想带有明显的创造性，对后世影响是巨大和深远的，在整理

和学习古代数学时我们不难发现：中国独创的十进制小数与极限概念一脉相通，割圆术则是极限

概念的实际应用，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”等等已蕴含着极限的基本思想。可以肯定

地说，极限思想的伟大发现，中国古代数学的思想发挥了重要作用。

四、参考文献

（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）

（通常阅读文献不少于15篇，其中外文文献不少于2篇）

[1] . Principles of Mathematical Analysis [M]. Library of Congress Cataloging in

Publication data. 1976.

[2] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册,第三版)[M].北京:高等教育出版社.2001.

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[13] 孙庆华,王刚. 中国先秦时期与古希腊时期极限思想的比较研究[J].曲阜师范大学学

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[14]谭琼华.从中西方哲学传统看微积分的创立[J].数学理论与应用. 2004,24(4) :100-102.

[15] 王汝发. 古代极限思想在解题中的应用[J].数学教学研究.1993,6:42-43.

[16] 何国富. 古典衰分中的极限问题[J].丽水师专学报(自然科学版).1994,16(2):24-25.

[17] 张晓丽. 浅谈古代数学极限思想[J].经验交流.2005,9:110-112.

22

开题报告

中国古代数学中的极限思想

一、选题的背景、意义

（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）

微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。美国

学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念

和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无

线性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的

启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成

为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准

备了必要的条件(参见文献[1][2])。本次论文设计针对极限思想的萌芽、发展到完善过程，以及其

在古代数学中应用和影响做较为全面的探讨。

数学中有很多重要的思想和方法，比如极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联

系初等数学和高等数学的一条重要的纽带[3]。这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，

产生了许多重要的结论和经典故事。而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的

理论及其应用都是极限的延拓与深化。作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比

较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。因此，结合国外的极限思想的应用实例，

对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香,

各有所长(参见文献[4])。我们知道, 极限概念是微积分的最重要概念之一。数学家们如果一开始

因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。当时的微积分是建立在经验观察或并

不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。这和中国学者走的道路类似。到

了19世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。只有这样才便于理论自身的发展, 这又和

古希腊学者走的道路一致。 可见,在数学的发展过程中, 不能偏废任何一方（参见文献[5]）。在

古代西方, 芝诺的四个著名悖论首先触及到数学上敏感而后困惑的“无限”问题。欧多克斯的穷竭

法, 阿基米德的无穷小思想都含有非常重要的微积分思想。到16 世纪末, 由于实践的需要和对穷

竭法的好奇与兴趣, 那些促使微积分产生的数学问题引起了数学家们的广泛兴趣, 他们做了大量

有意义的工作, 为微积分的创立做了思想上和技术上的准备。到17 世纪, 牛顿、莱布尼茨终于在

前人的基础上创立了微积分（参见文献[6]）。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

极限思想是人们对有限、无限问题不断深化认识的过程中取得的。从萌芽到完善，经过了近2000

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