数学史研究报告

数学史的课题研究

一、前言

数学起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希

腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός

（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema）

（“科学，知识，学问”）。

数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需

要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。对结构的

研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和

整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。对空间

的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里得几何和类似于三维空间

（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里得几何，在相

对论中扮演着重要角色。到了16世纪，算术、初等代数及三角学等初

等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的

量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一

步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发

展，数学有着久远的历史。它被认为起源于人类早期的生产活动; 中

国古代的六艺之一就有“数”，数学一词在西方有希腊语词源。

史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长

短等抽象的数量关系，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自

然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。已知最

古老的数学工具是发现于斯威士兰列朋波山的列朋波骨，大约是公元

前35,000年的遗物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29个不

同的缺口，使用计数妇女及跟踪妇女的月经周期。相似的文物也在非

洲和法国被出现，大约有35,000至20,000年之久，都与量化时间有关。

伊香苟骨发现于尼罗河上源之一的爱德华湖西北岸伊香苟地区（位于

刚果民主共和国东北部），年代大约有20,000年，上面刻了三组一系

列的条纹符号。常见的解释是已知最早的质数序列，亦有认为是代表

六个阴历月的纪录。其他地区亦发现不同的史前记数系统，如符木或

于印加帝国内用来储存数据的奇普。在几何学方面，公元前五千年的

古埃及前王朝时期即已出现用图画表示的几何图案。年代大约是公元

前三千年的英格兰和苏格兰地区的巨石文化遗址中，也发现了融入几

何观念的设计，包括圆形、椭圆形和毕达哥拉斯三元数。

从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等

相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天

文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、

空间及时间方面的研究。

二、摘要

数学的本质特征是什么？当今数学究竟发展到了哪个阶段？在

科学中的地位如何？与其它学科有什么联系？这些问题大都不被全

面了解，而从数学史中可以找到这些问题的答案。

日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出，

人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学时期，它代

表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维”的第一个重大

胜利；第二个是牛顿－莱布尼兹的微积分时期，它为了满足工业革命

的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功；第三个

是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为

标志的新数学时期，我们现在就处在这个时期。而数学历史上的三大

危机分别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基础的争论

和20世纪初的集合论悖论，它同前三个高峰有着惊人的密切联系，这

种联系绝不是偶然，它是数学作为一门追求完美的科学的必然。从这

种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，

不允许有任何含糊，这时候就很容易认识到数学的三大基本特征——

抽象性、严谨性和广泛应用性。

同时，介绍必要的数学史知识可以在学习中对所学问题的背景产

生更加深入的理解，认识到数学绝不是孤立的，它与其他很多学科都

关系密切，甚至是很多学科的基础和生长点，对人类文明的发展起着

巨大的作用。从数学史上看，数学和天文学一直都关系密切，海王星

的发现过程就是一个很好的例子；它与物理学也密不可分，牛顿、笛

卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数

学时期，数学（不仅仅是自然科学）逐步进入社会科学领域，发挥着

意想不到的作用，可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持，

数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识是很有必

要，也是必不可少的。 三、关键字

数学的发展、数学史的研究范围、数学史的研究内容及形式、研

究数学史的重要意义

四、内容

（一）数学的发展

1.古代在中国。南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙

子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。祖冲之、

祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数

学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料

记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小

数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为

22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；

欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）

才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，

并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不

容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提

出同一定。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方

法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理

系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。秦九韶是南宋

时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”

加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践

的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提

出三次方程的解法。

2.近代在欧洲。数学在文艺复兴时期取得了重要发展，三、四次

方程的解法被发现。意大利人卡尔达诺在他的著作《大术》中发表了

三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔塔利

亚。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里发现，在《大术》中也

有记载。邦贝利在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用

了虚数，还改进了当时流行的代数符号。符号代数学是由16世纪的法

国数学家韦达确立的。他于1591年出版了《分析方法入门》，对代数

学加以系统的整理，第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数。

韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正中，改进了三、四次方

程的解法，还建立了二次方程和三次方程方程根与系数之间的关系，

现代称之为韦达定理。 三角学在文艺复兴时期也获得了较大的发展。

德国数学家雷格蒙塔努斯的《论各种三角形》是欧洲第一部独立于天

文学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，

还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯在重新定义三角函

数的基础上，制作了更多精密的三角函数表。法国人笛卡儿于1637

年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。费马建立了求切

线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。

其将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分

支。在和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——

数学期望的概念。

3.现代没有定论，应该是美国。因为很多科学都离不开数学，特

别是物理学，而数学和物理学又关系到武器等等。从美国的武器应该

可以看出该国的实力。另外，现在世界性的数学奖共有48个，美国颁

发的就有近20个，而奖项得主也以美国为最，这也应该可以从一个侧

面看出来。

（二）研究范围及内容:

1.按研究的范围又可分为内史和外史。内史：从数学内在的原因

（包括和其他自然科学之间的关系）来研究数学发展的历史；外史：

从外在的社会原因（包括政治、经济、哲学思潮等原因）来研究数学

发展与其他社会因素间的关系。数学史和数学研究的各个分支，和社

会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学

科交叉与综合性强的性质。

2.从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原

始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的

访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用

且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、

方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关

系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。

3. 总结数学史所研究的内容是：数学史研究方法论问题、数学

史通史、数学分科史、不同国家、民族、地区的数学史及其比较、不

同时期的断代数学史、数学家传记、数学思想、概念、数学方法发展

的历史、数学发展与其他科学、社会现象之间的关系、数学教育史、

数学史文献学。

（三）重要意义

1、科学意义

每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史

性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方

面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发

展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与

科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数

学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形

成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费

尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论

领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中

获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者

兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推

陈出新。中国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出

成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方

法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发

下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化

方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。

2、文化意义

美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大

程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤

为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要

是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、

哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的

学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化

的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类

文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解

古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前

300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心

这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对

理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么

古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理

想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，

罗马人缺乏独创精神而注重实用。

3、教育意义

当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不

合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书

很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学

以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18

世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教

育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料

按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必

然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程

以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数

学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许

有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学

史的学习。

（五）总结

在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为

畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一

些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容

而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对

数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。科学史是一门文理交叉

学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所

培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透

的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理

科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专

业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通

过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上

数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作

用。

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发

达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流

长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊

的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响

世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国落后了，经

历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上

的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国

的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成

就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与

发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。