中国最早的一部数学著作周髀算经的开头,记载着一段周公向商高请教数学

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周

公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子

可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于

天地得到数据呢？”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有

一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直

角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大

禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人

民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原

理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三

角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

图1 直角三角形

1

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）

来表示斜边，则可得：

勾+股=弦

亦即：

a+b=c

222

222

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学

家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代

远比毕达哥拉斯早得多。如得到人民对这一数学定理的发现和应用，

那么周公与商高的对果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，

话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早

3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特了五百多年。其中所说的勾

222

例（3+4=5）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰

当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规

范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后

把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算

式，即为：

弦=（勾+股）

亦即：

22(1/2)

2

c=（a+b）

22(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且

很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，

是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用

形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方

图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再

ab/2；加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为

中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）。于是便可得如下

的式子：

4×（ab/2）+（b-a）=c

化简后便可得：

a+b=c

亦即：

c=（a+b）

22(1/2)

222

22

2

3

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形

的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又

具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、

互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这

一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是

用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数

学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统

一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统

一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中

国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形

式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几

何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与

继续。”

总统巧证勾股定理