略谈中国古代的数学成就

略谈中国古代的数学成就

摘要：

中华文化源远流长，博大精深。中国古代数学亦在其领域取得了非凡的成就，一些成

就为世界数学的发张提供了借鉴，有些还一度引领世界的数学发展，下面将会介绍中国古代

数学的发展及成就。

关键词：中国数学发展及起源 圆周率 勾股定理 九章算术

1.中国数学起源及发展

1.1 西汉以前的中国数学

《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21世纪） 中提到“左规矩，右准绳”，

表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。

考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。

西安半坡村遗址、殷墟商代甲骨文、算筹、龙山里耶秦简。

公元3－4世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，

百立千僵，千十相望，万百相当。”

虽然中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，但是中国传统数学对人类

文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

1.2古代印度的数学

古代和中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下，所以

古代印度文化不可避免地呈现出多元复杂的背景，最显著的特色是其宗教性。

吠陀时期（公元前10－前3世纪）。《吠陀》成书于公元前15－前5世纪，印度

婆罗门教的经典。残留的《吠陀》中有《绳法经》（前8－前2世纪），这是印度

最早的数学文献。

阿育王石柱记录了现在阿拉伯数字的最早形态。

公元前2－公元3世纪的印度数学，可参考的资料主要是“巴克沙利手稿”，出

现了完整的十进制数码，其中有“•”（点）表示0，有公元876年的“瓜廖尔石

碑”为证。

由上文可见，中国的数学很早就发展起来了，为后面交通方式的发达后的

传播打下了深厚的基础，对中国古代数学交流发展与世界数学的发展发挥了重大

的作用。

2.圆周率

2.1起源

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米

德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先

河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外

接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形

和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12

边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接

正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出

圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为

圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计

算数学”的鼻祖。

2.2中国古代数学对圆周率的推动

中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，

意即取π=3。[6]汉朝时，张衡得出 ，即（约为3.162）。这个

值不太准确，但它简单易理解。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算

圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包

含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率

=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量

斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，

求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率 。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位

的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分

数值，密率和约率。密率是个很好的分数近似值，要取到才能得出

比略准确的近似。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其

中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托

尼斯的著作中.

经过中国各个数学家的不断努力和改进，圆周率小数点后精确到小数点后7

位，为近代精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状提供了重大贡献，并为

数学及物理领域的发展做出了重大突破。

3.勾股定理

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之

一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

早在公元前11世纪的西周初期，数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直

角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则

这个直角三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直

角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理或商高定理，

西方称之为毕达哥拉斯定理。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高

请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，

地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：

当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于

4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总

结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千

年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。勾股定理的提出和

发现为人类关于代数思想的解决和数行问题结合起到了至关重要的作用。

4.九章算术

4.1起源及发展

《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部

古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有

九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆

以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近

语也”。

《九章算术》根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾

经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定

型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商

算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于

《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续

是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、

地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。

九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，是陈凯靖编辑的。

4.2.成就与贡献

《九章算术》中的数学成就是多方面的：1.分数加减运算，《九章算术》已明

确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，

并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如

法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一

是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式

保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时

不必通分，使分子直接加减即可。2.《九章算术》中还有求最大公约数和约分的

方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，

不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，

可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分

子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即

得等数。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的

算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及

其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念

及正负数加减法法则；中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法

大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传

播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系

的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐

宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世

界上最早的印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一

杰出贡献。

在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法

的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，

在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也

是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清

朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，

不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为

主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。

《九章算术》还流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的

影响。

总结

我们在本文中看到中国数学起源早，发展迅速，其各期数学家发现与提出

为中国数学的发展与进步，以及对世界的推动起到了重大贡献。