花拉子米与二次方程

十四、最早发现二次方程求根公式

二次方程的求根公式也是中国

最早发现的。中国古代数学家赵爽，在对中国古典天文著作《周髀算

经》做出注解时，写了一篇有很在此文中赵爽在讨论二次方程高科学

价值的《勾股圆方图》的注文， = -20+时，用到了以下的求

2 2

axcx

根公式： 这个公式与我们今天采

22

a4)2c(2cx2

用的求根公式是很相似的。赵爽这一发提出的二次方程求根公比印度

数学家婆罗门笈多（公元628年）现， 式要早许多年。

]

[追根究底

“一元二次方程求根公式”探源

《周脾算经》一元二

次方程的求根公式是中国最早得出的．三国时期的赵爽对古代著名的在此文中，赵爽讨论方程做

注释时，曾写了一篇很有价值的“勾股圆方图”的注文.0xcx2a时，用到了求根公式，与我

22

们现在用的求根公式基本上是一致的．这个成《九果比印度数学家婆罗门芨多在公元七世纪提出

的二次方程求根公式要早许多年．我国在章算术》的“勾股章”中，也涉及到二次方程的普遍解

法．在欧洲，过了一千多年才由法国 数学家获得类似的结果．因此算术和代数比较发对天文、

历法很有研究，古代位于美索不达米亚的古国巴比伦，巴比伦人提出了一个代数问题：求出一个

数，使它和它的倒数的和等于已知数，用现代.达1x0bx1xbx ，他们求，从这个方程可以得

2

出的记号，就是求出这样的，使得x

bbbbbb11())(1())(．不过出和后，在求得，然后写出解答： 222222

2222

当时巴比伦人不知道负数，对负根略而不提．

2

bax，阿拉伯人用代数方法解方程，埃及的纸草文书中曾涉及到最简单的二次方程然后用几何

图形说明步骤的合理性，显示了代数与几何的统一．中世纪中亚细亚数学家阿尔·花拉子模写的

《代数学》一书，在好几个世纪内被作为代数的基础教科书，其中包括了．

承认二次方程有两根．但它们对于求根公式的应用远远落后于中国．解二次方程的基本方法，

2.3 基于“历史发生原理”的教学实践研究

斯宾塞认为：“对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换

言之，个体知识的发生必遵循人类知识的发生过程。我们相信，这一理论是由孔

德提出来的——我们可以接受该理论，而无需诉诸他的知识发生理论，不论是就

其原因，还是就其次序。”

海克尔（E. Haeckel, 1834-1919）生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族

发展史”在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程。”就数学

教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。

所以，在教授数学学科时，如果能考虑历史发展过程中的某些基本事实，有助于

学生更好地理解这门学科，而且有助于预测学生在学习过程中可能出现的错误和

遇到的困难。若能利用这一点进行教学设计，可以帮助学生更好地理解和接受所

要学习的知识。

例如：在学习“一元二次方程的解法”这一内容时，笔者尝试了《一元二次方程

的解法》这一融入了数学史的拓展课教学。教学过程简述如下：

解一元二次方程的基本思路是降次。从历史上来看，早在12世纪，印度数学家

婆什迦罗（Bhāskara, 1114～1185）在其《丽罗娃蒂》中已经表达了这一思路：

在一元二次方程两边乘以某数，再在两边加上某数，使得方程一边为完全平方，

另一边为常数，从而开方得方程的根。由于全日制义务教育《数学课程标准》提

出在教学中应“介绍有关代数内容的几何背景”，“注重数学知识之间的联系”，

我们可以从花拉子米的平方法入手。

2

10xx390

。例1、解方程

公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi, 780?～850?）在他的

2

10xx39

的形名著《代数学》中解过这个一元二次方程，不过他把方程写成式。

教师可告诉学生，在当时，人们还不能接受负数，因此，人们并不把方程写，

2

bxxc

成一边等于零的形式。方程的书写往往以不出现负系数为准，如．

被看，也不考虑负根（方程（，，）看作是由花拉子

0bxbxxxbxccxc00cb

2222

米把方程左边因为它的两个根均为负数）。成没有意义，，宽为5）和两

x10x

xx

个同样的矩形（长为一个正方形（边长为）构成的矩尺形，它的面积为39，如

图1所示。于是只要在这个图形上添加一个边长为5的正方=64。39+5于是知

2

它的边形，即可得到一个完整的正方形，这个正方形的面积为= 3。，因而得

x

方程的正根 长为8

xx/2x5xb/25b

2

图图 1

引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是： 

22222

 或-13。 教师适时地告诉

5x3910x39x010x395x01x564x3x8x5

2



学生：上述解一元二次方程的方法叫配方法：将常数项移到方程右边，两边加上

一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方，然后直（，）： 接开

2

bxxc

方。接着，让学生用配方法解一般方程bbb4bbc

0b0c

2222222

cxcxbx22244

cxbx

2222

cb4bb4cbccb4bb4. xx

222242图2是上述解法的几何模型。

2

7x60x0

。、解方程例2

xxx

、宽的正方形中挖去一个长为从几何上看，方程左边就是图3中边长为的正

方形7/2的矩形以及一个边长为7/2、宽为-7/2的矩形、一个长为7/2为

后所得的矩尺形，它的面积为60。因此，添加一个边长为7/2的正方形，即得

2

xx

=289/4。于是知它的边长为60+(7/2)17/2边长为，-7/2的正方形，其面积为

= 12。故得方程的正根

引导学生把这个过程用代数语言写出来，就是： 

22222



2607x/7/27x

 

607x60x0xx74/2x7/289

2



217/x7/2

/27/2bxx/27/2b/27/2b/27/2bxx

图 3 图 4

或-5。可见，就正根而言，巴比伦人的结果与我们的配方法完全吻合。接

12xbxxc0cb0

22222222

（着，让学生用配方法解一般方程，）： bbcbb4b

cxbxcx22442

cbxx

2222

cb4cb4bbcb4bb4c. xx

222242图4是上述解法的几何模型。

让学生总结首项系数为1的一元二次方程的配方法：不论一次项系数和常数项是

正还是负，只要将常数项移到等式右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的

平方，如果方程右边的常数非负，就可以直接开方。

222

； (2)；3、解下列方程：(1) 例6x1x0。(4)(3) ；

0x10x9065x8x

2

0xx32320

其中第一个方程是公元7世纪印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）

解过世纪意大16第三个方程出自世纪法国的代数教材，16第二个方程出自的方

程；

利的数学教材。在学生掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方法之后，

让学生思考：如？引导学生将的一元二次方程何用配方法来解二次项系数不为

2

1其化为二次项系数为1的方程，然后用上面学过的配方法得到一元二

0bxaxc

[2]

次方程的求根公式：

22

4bacb） （x2a在数学史上，一元二次方程的上述

0acb4

求根公式被称为“印度求根公式”。原来，前面提到的12世纪印度数学家婆什迦

罗在其著作中引用了11世纪数学家斯里达罗（Sridhara, 11世纪）的解一元二

次方程的方法，这种方法并不需要将二次项系数化成1。可以引导学生作这样的

思考：如果不将二次项系数化成1，是否也能配方呢？需要在方程两边乘以什么

数呢？

2222222222

方法1：bbbb

acabxxaxbxcaxbxc0a

acabxacaxax2224

222

ac4bbacb4bbx acax

2a2 2：方法 

2222222222

4abxx4ax0acbxc4aaxbxcacb42axb





ac4b4axb4abx

22

acb4bx ac4b2axba2方

法2的优点是配方过程中可以尽量避免使用分数。教师说明：利用上述公式来解

一元二次方程的方法叫公式法。

3xx154

222

；（2）；1例4、解下列方程：（） （3）。； ）

01xx

2

（4其中第一个方程是美洲历史上第一本数学教科书（1556年）

02x3x

02x12x

上的一元二次方程；（黄金分割作图）的等价形11第二个方程是欧几里得《几何

原本》第二卷命题．



式。

公式法早在公元前19世纪就已经为巴比伦人所知，而因式分解法的出现却迟了

整整3500年！究其原因，与方程的书写方法有关。17世纪以前，人们并不，

2

却无法理解把方程写成一边等于零的形式，人们可以理解方程。因此，

124xx

2

因式分解法毫无用武之地。但是，一旦人们将方程写成一边等于零的

0124xx

形式，因式分解法便应运而生了。

那么，数学家最初是如何想到因式分解法的？从哈里奥特的例子中，我们可



0cbxx，以看出，他是先遇到了方程，将左边展开得由此反

0bcbxcxx

2

过来想到用因式分解来解一元二次方程的。在笛卡儿（R. Descartes,

1596～1690）《几何学》（1637）中，我们也可以看出这一点。笛卡儿将一元一次

2

，它的两个根为相乘，得一元二次方程2方程和和3。借鉴

0x6x503x20x

历史，教师可以先给出下面的例子。





0x0xx42x43；（；2、解下列方程：例5（1））（3）0x2x31。

在得到诸方程的根之后，教师进一步问：上面三个方程是否一元二次方程？让学

生将方程左边展开，得到一般形式的一元二次方程之后，让学生思考：对于一般

的一元二次方程，我们能否反过来把左边分解成两个一次因式的乘积，从而得出

两个根呢？

22

8xx12x0250

。 21例6、解下列方程：（））；（第一个方程不含一次项，利用

平方差公式，我们很容易将左边进行因式分解，550xx，从而得或得；



但对于第二个方程，我们无法直接用平方差公式。教师可以引导学生先

55xx

配方，再利用平方差公式：

2222



4x4044x4x12x8x0x816

0x2x6或 教师说明：将一元二次





0x4242xx6x2

方程写成右边等于零的形式，然后将左边分解成两个一次上例中第二。因式分解

法这种解方程的方法叫从而求出方程的根，因式的乘积，

个方程的解法中利用了配方法，并没有显示出因式分解法的优势。教师接着进一

步举例讲述因式分解法。

例7、解下列方程：

50xx1001845x2509xx12x2xx4

2222

。 4）（3）；；（2）（）（1；其中第一个方

程是斐波纳契的；第二个方程是15世纪意大利数学家帕西沃里（L.

Pacioli, 1445～1509）的，第三和第四个方程是印度数学家婆什迦罗的。设计

第一个方程的目的是告诉学生，不含常数项的一元二次方程用因式分解法最方便；

设计后三个方程的目的是介绍十字相乘法。教师通过这些例子说明：因式分解法

与配方法、公式法各有千秋，都是十分重要的解方程方法。

本教学设计是参照课程标准进行的，其目的是：(1)激发学生的学习兴趣，创造

学生的学习动机；(2)让学生了解一元二次方程的悠久历史；(3)使学生体会到代

数与几何之间的密切联系；(4)使学生经历观察、猜测、验证、推理、交流等数

学活动；(5)让学生体会数学问题解决策略的多样性；(6)尊重学生的个体差异，

满足多样化的学习需要；(7)运用历史发生原理，使教学更符合学生的认知规律；

(8)为教师如何创造性使用教材提供一个视角。显然，一元二次方程的历史知识

在其中扮演了十分重要的角色。

同样地，在课后，依然对学生进行了相应的问卷调查。

问题1：在本节课的学习活动中，有关一元二次方程解法的历史内容的介绍，会

加深我对教学内容的印象。

非常同意 同 意 没意见 不同意 非常不同意

% % % % % 人数人数 人数人数 人数

0

30

7.3

73.2

3

3

7.3

0

5

12.2

问题2：我认为了解“历史上一元二次方程各种解法的出现”有助于更好地理解

和掌握一元二次方程的各种解法。

非常同意 同 意 没意见 不同意 非常不同意

%

%

%

%

%

人数 人数 人数 人数 人数．

33 80.5 3 7.3 3 7.3 2 4.9 0 0

问题3：我觉得融入数学史的教学课程是多此一举，浪费时间。

非常同意 同 意 没意见 不同意 非常不同意

% % % % % 人数 人数 人数 人数 人数73.2

4.9

6

2

0

3

7.3

14.6

30

0

问题7：你对本节课的教学活动，有什么意见和建议？

学生的主要意见和建议有：

（1）原来数学家们也花了那么大的功夫才得到一元二次方程的各种解法；

（2）用几何方法来解决代数问题挺独到的；

（3）原来因式分解法的出现比公式法要晚，怪不得我不太会用因式分解法

来解一元二次方程。

据统计，可以发现大多数的学生对这节课的教学持正面态度。

花拉子米的功绩——代数学的起源

代数学是数学的重要分支学科之一，对数学来说有基础性的意义：一方面代数学为许多现代数学分支提供了发展的基

础；另一方面，它的初步内容又构成了人们学习数学的入门知识。代数学的发展经历过漫长的历史时代，许多国家、许

多民族都做出过贡献。在以方程论为中心的古典代数学的发展中，阿拉伯数学家做出了独特的贡献，花拉子米就是代表。

代数学的萌芽

有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面前。为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量

问题，古老的算术就必须进行改进和发展。在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌芽，因此，算术和代数没有

截然分开的时间。

代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题 方法。他们既

能用．

相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。

方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历

史。

秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。约公元50

年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现

了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题；他

还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及“韦达定理”相似的结果。南北朝时期的数学家张邱

建在《张邱建算经》一书中给出了一个用文字写出的方

在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，

南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。

但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不

过400年的历史。在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。

公元11、12世纪，中国产生了“天元术”，13世纪数学家李冶将其整理、简化。李冶的天元术中，先“立天元为一某

某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，

并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史

家称它为半符号代数。 用“元”代表未知数的说法，一直延用到现在。

活动于公元250年前后的丢番图是希腊数学中的代表人物，他最出色的著作《算术》一书中的绝大多数篇章谈的是方

程，他是解方程的大师，被称为代数学的鼻祖。

受中国的影响，印度在7世纪初就有了用文字写的代数学，已经能使用缩写文字和一些记号来描述代数的问题和解答，

具有符号代数的性质。

公元820年左右，阿拉伯数学家花拉子米从印度回国后著《代数学》一书。该书的方程论被规定为代数学的研究对象，

方程的概念也被明确起来，书中第一次明确提出了二次方程的一般解法，同时，还提出了“移项”、“合并同类项”等方

法。以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保留下来。从此，诞生了花拉子米的代数学。

韦达 李善兰 花拉子米．

外号取代了本名的数学家

花拉子米是中世纪中亚地区的一位重要数学家。他于公元783年左右出生于花拉子模。花拉子模是中亚地区的一个古

国，位于咸海之南。现分属于乌兹别花拉子米（783—850）克斯坦和土库曼斯坦。花拉子米的意思是“祖籍花拉子模的

人”，是此人的一个外号。后来人们都这么称呼他，外号就取代了本名，本名反而不为人所知了。

他早年在家乡接受初等教育，后到中亚地区的古城默夫深造，并到过阿富汗、印度等地游学，很快成为这一地区远近

闻名的学者。公元813年，阿拔斯王朝的哈利发马蒙聘请花拉子米到首都巴格达工作。公元830年，马蒙在巴格达创办

了著名的“智慧馆”，花拉子米是该馆的主要学术负责人之一。他在这里一直工作到850年左右去世。

花拉子米一生写出许多著作，除了大量的数学著作外，还有天文学、地理学著作。

代数学名称的由来

花拉子米在研究方程求解的过程中，首倡把一个负项移到方程的另一端变为正项，称之为 al-jabr，意思是“还原”，

并认为方程的两端可以消去相同的项或合并同类项，称之为muqa-bala，意为“对消”或“化简”。这是花拉子米首创的

两种重要的数学方法。他于820年左右写成了《还原和对消计算概要》这一传世之作，原文是阿拉伯文，拉丁文译名为

Liber mahucmeti de Algebra et almuchabala．

从书名来看，algebra来自于阿拉伯文的al-jabr．阿拉伯文jbr的意义是“恢复”、“还原”。解方程时将负项移到另

一端，变成正项，也可以说是一种“还原”。书名后面的那个阿拉伯文muqabala原意为“对抗”、“平衡”，用来指消去

方程两端相同的项或合并同类项，也可译为“对消”。

12世纪时，al-jabr译为拉丁文时成为algebra，而花拉子米书名的第二个字muqubala渐渐被省略，全书常简称为

algebra。于是这个学科就以algebra为名。

algebra传入我国，最初音译为“阿尔热巴拉”。1761年梅珏成在《赤水遗珍》中译为“阿尔热八达”，《数理精蕴》

则把algebra意译为“借根方比例”即“假借根数、方数以求实数之法”。1845年，俄国政府赠送给我国的图书中有中

译名为《阿尔喀布拉数书》一本，其中的“阿尔喀布拉”是俄文的音译。

1847年，英国人伟烈亚力来到上海学习中文。1853年他用中文写了一本《数学启蒙》，介绍西方数学，他在序中说：

“有代数、微分诸书在，余将续梓之。”这是中文中第一次用“代数”这一词作为这个数学分支的名称。1859年，伟烈

亚力和李善兰合译《代微积拾级》，李善兰在序中正式使用了“代数”这一名称：“中法之四元，即西法之代数也。”同

年，两人又合译德摩根的书，正式定名为《代数学》，这是我国第一本以代数学为名的书。这个名称也就一直用到现在。

代数学的发展

花拉子米的《代数学》一书，奠定了以方程论为中心的古典代数学学科的基石。此书的理论易学易懂，又能联系许多

实际问题，适合当时人们的各种需要，因此，流传久远。13世纪传入欧洲，对欧洲文艺复兴时期的代数学影响极大，被

奉为代数学教科书的鼻祖。而花拉子米则被人们尊为“代数学之父”。

在花拉子米以后的几个世纪中，代数学发展缓慢。直到1591年，法国数学家韦达第一次在代数中系统地使用了字母，

他用字母表示未知数，也 用字母表示已知数。这种代数从过去以解决各种特殊问题且侧重于计算的数学分支，发展成

为一门以研究一般类型问题的学科，使代数学的发展插上了翅膀。韦达认为，代数是施行于事物的类或形式的运算方法，

算术只是同数打交道的。所以，当时人们把代数看成是关于字母的计算、关于由字母表示的公式的变换以及关于解代数

方程的科学，这标志着古典代数学的真正确立与完善。