中国古代数学家求数列和的方法论文

中国古代数学家求数列和的方法论文

一、倒序相加法

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把

正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为

倒序相加法。倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法，它的基本

类型可以用公式表示为：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具体解法见

下面的例题。

例：设等差数列{an},公差为d,求证：{an}的前n项和Sn=n（a1+an）/2

解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+

（an+a1）

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n（a2+an） Sn=n（a1+an）/2

倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系，这就需学

生要有一定的敏感度，一眼就能找准解题的方法，然后就是要细心地做。()因

此，做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外，大量的习题训练也是十分必

要的。

二、用公式法

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n

项和公式进行求解。等差数列的基本求和公式为：Sn=（a1+an）n/2;变形公

式为Sn=na1+n（n-1）d/2（d为公差）。等比数列的求和公式为：Sn=na1

（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q为公

比，n为项数）。利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型，它的难度不

大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。

三、裂项相消法

裂项相消法是数列求和中比较难的一类题型，因为它不好看出数列之间的

规律。如果裂项不对，也不能将问题解出。裂项相消法的`解题原理是：将数列

的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前

n项和。

四、错位相减法

若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同

乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出{anbn}前n项和。

错位相减法其实并不难，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应

项，如果二者相减的时候没有找准对应项，即便思路再对，也会满盘皆输。因

此，做任何一道数列题，都要求书写工整，格式规范，以免造成不必要的失

分。

五、叠加法

叠加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差数

列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得

到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an,从而求出Sn.

六、分组求和法

分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这

类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，最后

将其合并的方法。记住了这一类题型的特点，就能准确找到解题思路。

总之，数列求和以其灵活多变的出题方式和较高的错题率成为高中数学中

的难点。这类题虽然难，但也并不是无规律可循的。万变不离其宗，教师在讲