素材

素材-数学家的故事：魏晋伟大数学家刘徽

刘徽〔生于公元250年左右〕，是中国数学史上一个非常伟大的数

学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作«九章算术注»和

«海岛算经»，是我国最宝贵的数学遗产．

«九章算术»约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许

多方面：如解联立方程，分数四那么运算，正负数运算，几何图形的体积

面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，

而刘徽那么对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创

造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表

示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减

运算的法那么；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，

即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他

利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"

割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，那么与圆合体而无所失矣"，

这可视为中国古代极限观念的佳作．

«海岛算经»一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目

的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最

早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格

高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族

留下了宝贵的财富．

刘徽从事数学研究时，中国创造的十进位记数法和计算工具〝算

筹〞已经使用一千多年了。在世界各种各样的记数法中，十进位记数法是

最先进、最方便的。中国古代数学知识的结晶〝九章算术〞也成书三百多

年了。〝九章算术〞反映的是中国先民在生产劳动、丈量土地和测量容积

等实践活动中所创造的数学知识，包括方田、粟米、哀分、少广、商功、

均输、盈不足、方程、勾股九章，是中国古代算法的基础，它含有上百个

计算公式和246个应用问题，有完整的分数四那么运算法那么，比例和比

例分配算法，假设干面积、体积公式，开平方、开立方程序，方程术--线性

方程组解法，正负数加减法那么，解勾股形公式和简单的测望问题算法。

其中许多成就处于世界领先地位。公元元年前年，盛极一时的古希腊数学

走向衰微，〝九章算术〞的出现，标志着世界数学研究中心从地中海沿岸

转到了中国，开创了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位千

余年的局面。在编排上，〝九章算术〞或者先提出术文(命题)，后列出几个

例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文。然而它对所用的概念没

有定义，对所有的术文没作任何推导证明，个别的公式尚有不精确或失误

之处。东汉以后的许多学者都研究过〝九章算术〞，但理论建树不大。刘

徽著作的〝九章算术注〞，主要是给〝九章算术〞的术文作解释和逻辑证

明，更正其中的个别错误公式，使后人在知其然的同时又知其所以然。有

了刘徽的注释，〝九章算术〞才得以成为一部完美的古代数学教科书。

在〝九章算术注〞中，刘徽发展了中国古代〝率〞的思想和〝出

入相补〞原理。用〝率〞统一证明〝九章算术〞的大部分算法和大多数题

目，用〝出入相补〞原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式。

为了证明圆面积公式和计算圆周率，刘徽创立了割圆术。在这徽之前人们

曾试图证明它，但是不严格。刘徽提出了基于极限思想的割圆术，严谨地

证明了圆面积公式。他还用无穷小分割的思想证明了一些锥体体积公式。

在计算圆周率时，刘徽应用割圆术，从圆内接正六边形出发，依次计算出

圆内接正12边形、正24边形、正48边形，直到圆内接正192边形的面积，

然后使用现在称之为的〝外推法〞，得到了圆周率的近似值3.14，纠正了

前人〝周三径一〞的说法。〝外推法〞是现代近似计算技术的一个重要方

法，刘徽遥遥领先于西方发现了〝外推法〞。刘徽的割圆术是求圆周率的

正确方法，它奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础。据说，祖

冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字精确到7位。在割圆过程中，

要反复用到勾股定理和开平方。为了开平方，刘徽提出了求〝微数〞的思