中国古代对解方程的研究

中国古代对解方程的研究

中国是世界著名的文明古国之一，其数学的发展史更是源远流长.古老的华夏先民在从

事社会生产实践活动中，逐渐形成了数量的概念，并认识了各种简单的几何图形.特别是随

着农业生产活动的逐渐发达，人们为了解决他们生产和日常生活中碰到的问题，数学也就随

之诞生了.如在农业生产中为适时播种、收割，需要制订与之相应的天文历法，而哪怕是编

制最简单的天文历法也离不开数学。如建造房屋、丈量土地、测定方位、建设水利工程等等

也都需要数学.

不管是在遥远的古代，还是在数学飞速发展的现代，代数方程问题一直都是数学发展、

数学教育和数学研究的最核心环节之一.中国古代数学家们在求解代数方程领域取得了许多

创造性的成果.这些风格独特、影响深远的杰出成就，在世界数学发展史中占有非常重要的

地位.实际上，中国古代数学的主要特点，就是以建立算法、求解各种类型方程为主线.在中

国古代，数学家们不仅创造了一系列先进的算法，还用这些算法解决了各式各样的实际问题.

定义 设是一域（如是有理数域

FFR

Q

、实数域或复数域），是一未定元.令

C

x

f(x)=ax+L+ax+a

n

n

10

其中，.则我们称为域上关于的多项式.称为的常数项.

a,L,a,a∈Fa

n100

fxfx

()()

F

x

如果

a≠0

n

，则称其为的首项系数，并规定的次数为，记.

fxfxfxn

()()deg()=

n

特别地，称为一元次方程.如果存在元素，使得

fxaxaxa

()=+L++=0

n

10

n

β

n

faaa

()=+L++=0

βββ

n

n

10

则称为的一个根.

β

fx

()

一般地，根据中国古代数学发展的特点，我们大致把中国数学发展的历史分为三个阶段：

初期，体系形成和发展时期以及中西方融合时期.而在讨论代数方程问题时，现在的习惯是

按方程的次数进行分类讨论.所以，下面我们将主要按方程的次数，并结合中国古代数学发

展的特点，分四个方面，即对数的认识、一次方程解法、二次方程解法、3次以上方程解法，

对中国古代在代数方程领域取得的主要成就作一简单介绍.

§1、对数的认识

一、对自然数的认识

原始社会末期，随着私有制和易货交易的产生，数与形的概念

开始形成，并有了一定的发展，如在“仰韶文化”遗址出土的陶器

上，就已刻有表示数字1、2、3、4的符号.在“半坡文化”遗址出

土的陶器上，有用1到8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100

个小正方形的图案，而且“半坡遗址”的房基址都是圆形和方形.

为了画圆、作方，确定平直，华夏的先民还创造了规、矩、准、

绳等作图与测量工具.据《史记·夏本纪》记载，夏禹在治水时已经

- 1 -

使用了这些工具（原文：“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”）.

实际上，到了原始社会末期和奴隶制早期，中国古代已经开始使用文字符号取代结绳记事了.

大约在公元前2000年左右，在黄河流域中下游一带，开始出现了中国历史上的第一个

奴隶制王朝---夏（约公元前2100年-公元前1600年）.伴随着奴隶制出现的社会分工，使

得大规模的土木、水利工程建设成为可能.在商朝时期（约公元前1600年-公元前1028年），

中国历史上的第二个奴隶制王朝，就已经有了比较成熟的文字，这就是刻在龟甲和兽骨上的

甲骨文.在甲骨文中已经有了一套十进制的数字和记数法，其中最大的数字为三万.例如“八

日辛亥允戈伐二千六百五十六人”，就是说八日辛亥那一天，在战争中杀了2656个俘虏.

中国古代的记数法，从一开始就采用了十进制，这一点比其它文明所用的记数法，有着

显著的优越性.与此同时，殷（商）人

用十个天干和十二个地支组成甲子、

乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记

60年的日期；在周代（约公元前1027

年-公元前256年），又把以前用阴、

阳符号构成的八卦表示八种事物发展

为六十四卦，表示64种事物.西周时

期（约公元前1027年-公元前771年）

的青铜器上面的文字---金文中的记

数法和商代的完全一样，以后一直沿

用下来，直到今天.

在《礼记·内则》篇中就提到，西周的贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法.

他们要接受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数，已经开始成为专门的

课程.春秋时期（公元前770年-公元前476年）的齐桓公，就曾把会背“九九”乘法歌的人

当作贵客请进“招贤馆”，虽然这在当时已经不算什么了不起的学问了（原文：东野鄙人以

“九九”求见，桓公使人戏之.鄙人曰：夫“九九”，薄能耳，而犹礼之，况贤于“九九”者

呼）.在《管子》、《荀子》等一些古书中也都有“九九”中的句子（如《管子》地员第五十

八中就有：二七十四、三七二十一、四七二十八等）.

另外，春秋战国（公元前475年-公元前222年）之

际，筹算也已经得到普遍使用，筹算记数法已使用十进

位制，这种记数法对世界数学的发展具有划时代的意义.

这个时期的测量学在生产上得到了广泛应用，在数学上

亦有相应的提高.根据有关文献记载，以及钱币上铸造出

的数字纹样和陶器上留下的陶文记载，最迟在春秋战国

时期，人们已经十分熟练地运用算筹进行计算了.出土的

战国时期楚国的墓葬中就已有竹制的算筹实物（见图示）.

二、对分数的认识

中国封建社会大约始于春秋战国时期，在两汉时期（公元前206年-公元220年）得到

巩固和发展.随着生产力的不断提高，各种科学技术水平也不断向前发展.农业生产要求更精

确的历法.战国时期，人们就已经掌握了设定每年为

365

1

日的“四分历”.数学同时也是天

4

文学著作的《周髀算经》（成书年代不晚于公元前2世纪，西汉：公元前206年-公元8年），

正是在这样的历史条件下出现的，其中包括了象

345×13÷365

34871

940194

- 2 -

这样复杂的分数计算.

秦、汉（秦：公元前221年-公元前207年）是封建社会的巩固和上升时期，经济和社

会文化都得到迅速发展.中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成

为一个专门的学科，以《九章算术》为代表的数学著作已经出现.《九章算术》是战国、秦、

汉封建社会创立并巩固时期，数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称世界数学名著，其

中记述的分数四则运算、比例算法、面积和体积计算等都非常先进.

《九章算术》（成书于东汉初期，东汉：公元25年-公元196年），其具体著者和准确的

成书年代现已不可考.它采取的是以问题集的形式编写的，收录246个问题，分为9章，即

方田---田地面积计算；粟米---谷物交换；衰分---比例分配；少广---开平方、立方；商功

---体积计算；均输---按比例摊牌；盈不足---根据两次假设求解；方程---一次方程求解；

勾股---利用勾股定理测量.可以看出《九章算术》的内容非常丰富，几乎包含了当时社会生

活的各个方面.

在《九章算术》的第一卷（方田）就着重介绍了分数的四则运算法则.如在解答第6问

题时，就有“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以

等数约之”之语.“更相减损”就是辗转相减，它与我们现在使用的

辗转相除法在理论上是完全一致的.

在作通分运算时，如果分数的分母是互素的，则以分母的乘积

作为公分母；如果分数的分母不是互素的，则按《九章算术》的第

四卷（少广）所介绍的方法，以分母的最小公倍数作为公分母.

在“《九章算术》注”里，刘徽明确了分数的基本运算性质.如

其中的“约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细.虽则粗细有殊，

然其实一也”，这说的就是我们现在的

aat

=

；如其中的“凡母互

bbt

乘子谓之齐，群母相乘谓之同”，说的就是，在作分数加、减运算时，只有分母相同才可以

进行运算.

三、对负数的认识

《九章算术》的最重要成就是在它的代数方面.它引入了负数的概念及运算法则，这在

世界数学史上是最早的.

例如，在《九章算术》第八卷（方程）第八问中，就有卖数为正，买数为负；余钱为正，

不足钱为负的记载（原文：今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千.卖牛三、豕三，

以买九羊，钱适足.卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百.问牛、羊、豕价各几何？）.在

同一卷（方程）的3，4，5，6，14等问题中，也有关于正负数的论述.特别地，在第3个问

题的后面，给出了更一般情况下正负数的运算性质.

原文：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之.其异名相除，同名

相益，正无入正之，负无入负之.”

这段话用今天的数学语言写出来，就是

±−(±)=±(−), ±−(m)=±(+), 0−(±)=m

ababababaa

.

四、对无理数的认识

在中国古代虽然没有确切的无理数概念，但已经有了无理数不同于有理数的朦胧意识.

例如，在《九章算术》第四卷（少广）第16和22问题中就正确叙述了开平方、立方的运算

性质.如其中的“若实有分者，通分内子为定实.乃开之，讫，开其母报除.若母不可开者，

又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一.”一语的现代数学表达形式就是

- 3 -

aaaa

b

.

=, =

bbbb

2

而其中的“若积有分者，通分内子为定实.定实乃开之，讫，开其母以报除.若母不可开者，

又以母再乘定实，乃开之.讫，令如母而一.”一语的现代数学表达形式为

33

3

aaaab

3

2

=, =

.

3

bbbb

我们知道，许多根式形式的数是无理数.这一点中国的古人也是完全知道的.例如在《九

章算术》第四卷（少广）第16问题中就有：“若开之不尽者为不可开，当以面命之.”之述.

这就是说，开不尽的数，就是不尽根数，即无理数.实际上，刘徽（《九章算术》注的作者）

自己也知道开不尽的数不能表示成有理数的形式.如他说：“凡开积为方，方之自乘当还复其

积分.令不加借算而命分，则常微少.其加借算而命分，则又微多.其数不可得而定.”但非常

遗憾的是他没能进一步将这一理念引深.然而，他为了近似地表示不尽根数，便创造了十进

制分数制.如他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母.退之弥下，

其分弥细.”这就是说，将小数点后的第一位数作为以十为分母的分数，第二位数作为以百

为分母的分数等等.这种思想与今天数学中处理无理数的表示与计算问题时，采取的办法非

常相似，没有什么本质差别.只是中国古代数学家对此的记述文字十分简约罢了.

但是不管怎样，我们还是应该看到中国古代数学家没能觉察到“开不尽”现象中存在的

内在矛盾，即“不可公度性”.自然中国古代数学家也就没能建立起无理数概念及其理论.

一直到公元1852年-公元1859年，李善兰在上海墨海书馆与英国传教士、汉学家伟烈亚力

等人合作翻译出版了《几何原本》的剩余章节（1606年，意大利传教士利玛窦与徐光启合

作翻译了《几何原本》的前六卷）之时，中国数学家才窥见到了“不可公度性”的意义.

刘徽（生卒年月不详，生活在曹魏末和晋初，曹魏：公元220年-公元265年），中国

古代伟大的数学家.他继承和发展了战国时期百家争鸣的思想，

对数学知识进行了必要的“析理”，使数学著作变得简单而周

密，也更利于理解、学习和应用.他的“《九章算术》注”不只是

对《九章算术》进行一般性的解释和推导，而是在论述过程中有

了巨大的发展．他的著作《九章算术注》和《海岛算经》，是他

留给人类的宝贵数学文化遗产．

刘徽对《九章算术》作的注（公元263年，三国曹魏景元4

年），充分展示了他对数学发展所作出的杰出贡献．他是世界上

最早提出、并用十进制分数来表示无理数的人，他提出了正确的

正负数概念及其运算法则.他是中国最早明确主张用逻辑推理的

方式来论证数学命题的人．他提出了“割圆术”---将圆周用内

接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法，而且他利用“割圆术”求出了圆周

率

π

的近似值为3.14.他还为彻底求出球的体积公式指明了正确的方向（祖冲之，公元429

年-公元500年，采用刘徽的方法，计算出圆周率

π

的值介于和之间，

3.14159263.1415927

其后祖冲之之子祖暅采用刘徽的方法，得到了正确的球体体积公式

V=r

4

3

π

）.刘徽在“割

3

圆术”中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”

的思想，被珍视为是中国古代极限观念的佳作．在《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九

个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有的代表性，在当时的世界都是领先的．

- 4 -

§2、一次方程解法

实际上，中国古代所说的“方程”是我们现在说的方程组，而不是指现代单一一个方程.

我们知道，并不是所有的方程组都有解.为了保证方程组能有确切的解，刘徽对方程组提出

了正确的前提理论要求，即“行之左右无所同存，且为有所据而言耳”.这就是说，在方程

组中不能有相依的方程，也不能有相互矛盾的方程.

一、线性方程

在《九章算术》之中就有许多使用消元法，解三元一次方程组的问题.从《张丘建算经》

（约公元484年成书，南北朝）的记述之中，我们还能看到，中国古代数学家已经知道两个

三元一次方程组成的方程组可以有三组解的例子.

首先，让我们看一下《九章算术》之中记载的方程求解问题.《九章算术》第八卷（方

程）之中的第一个题记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，

中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、

中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；下禾一秉，二斗、

四分斗之三.”

用今天的数学语言描述，就是如果我们假设上、中、下禾每秉各有

x,y,z

斗，则根据题

意有一次方程组

⎧

3+2+=39

xyz

⎪

⎨

2334

xyz

++=

⎪

xyz

++=

2326

⎩

而且方程组的解为.

x=9,y=4,z=2

113

444

那么，中国的古人是如何求出这些解的呢？事实上，在《九章算术》之中已经提出了解

一般一次线性方程组的解法，即

原文：“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方.中、左禾

列如右方.以右行上禾遍乘中行而以直除.又乘其次，亦以直除.然以中行中禾不尽者遍乘左

行而以直除.左方下禾不尽者，上为法，下为实.实即下禾之实.求中禾，以法乘中行下实，

而除下禾之实.余如中禾秉数而一，即中禾之实.求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾

之实.余如上禾秉数而一，即上禾之实.实皆如法，各得一斗.”

将上述语言用现代数学表示方法（中国元代数学家朱世杰使用了本质上与此相同的布列

形式）写出来，就是

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

321393213932139

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→

(2)×3(2)−(1)×2

2313469310205124

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

123261232612326

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

321393213932139

⎟⎜⎜⎟⎜⎟

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→⎯⎯⎯→

(3)×3(3)−(1)(3)×5

051240512405124

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

369780483902040195

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

321393213932139

⎟⎜⎟⎜⎟⎜

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→

(3)−(2)×4(3)÷9(2)×4

0512405124020496

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

0036990041100411

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

- 5 -

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

32139321391284156

⎟⎜⎟⎜⎟⎜

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→

(2)−(3)(2)÷5(1)×4

0200850401704017

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

004110041100411

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

⎛⎞

1200111

⎟⎜

.

(1)−(2)×2−(3)

⎯⎯⎯⎯⎯→

04017

⎜⎟

⎜⎟

00411

⎝⎠

所以，我们可以将原方程组求解问题转化成简单方程组

⎧

12111

x

=

⎪

⎨

417

y

=

⎪

411

z

=

⎩

的求解问题.至此，非常容易就得到是这个简单方程组的一组解.

x=9,y=4,z=2

113

444

实际上，这里使用的方法和我们今天所使用的解线性方程组的方法是完全一样的（利用

矩阵行变换消元）！无论如何，我们不应该忽视这样一个事实：《九章算术》第八卷共有18

个这类问题，其所得到的答案全部正确！

其次，让我们看一个《张丘建算经》中记载的最后一个问题---著名的“百鸡问题”.

原文：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只.

问鸡翁、母、雏各几何？”

翻译成今天的数学语言，就是如果我们假设买公鸡

x

只，买母鸡只，买小鸡只，则

y

z

所要解决的问题就是求方程组

⎧

x+y+z=100

⎪

1

⎨

0

5x+3y+z=10

⎪

3

⎩

的正整数解.那么这个方程组如何解呢？

我们先简化方程组

⎛⎞

111100

⎛⎞⎛⎞

111100111100

(2)÷2(2)×3−(1)

⎜⎟

⎯⎯⎯⎯→→⎯⎯⎯

⎜⎜⎟⎟

1

，

⎜⎟

1480200740100

10053

⎟⎜

⎝⎠⎝⎠

3

⎝⎠

所以，只需考虑等价方程组

⎧

x+y+z=100

.

⎨

⎩

7x4y100

+=

又，，所以一定是的倍数，即可令.当

7=100−4=4(25−)(7,4)=1

xyy

x

4

x=4k

然，此时.所以，将它们代入方程组中的第一式，有

yk

=25−7

z=75+3k

.故

- 6 -

⎧

xk

=

4

⎪

⎨

yk

=−

257

.

⎪

zk

=+

753

⎩

如果令，则有对应的3组解分别为.事实上，

k

=1,2,3(4,18,78), (8,11,81), (12,4,84)

因为

x,y,z

都必须介于和之间，所以，只有这3组解是“百鸡问题”的解.

1

100

《张丘建算经》（约公元484年成书，南北朝）共3卷，现在能见到的该书记述了92

个问题.该书取得的突出成就，是在最大公约数和最大公因数的计算、各种等差数列问题，

以及不定方程求解问题等方面.人们熟知的著名“百鸡问题”就记载于《张丘建算经》的第

三卷之中.

《张丘建算经》的作者张丘建生活在南北朝的北魏时期（公元386年-公元534年），但

其具体生卒年月不详.

二、同余式方程

秦九韶（约公元1209—1261年，南宋）的“大衍求一术”，不仅圆满解决了不定式方

程“孙子定理”的求解问题，还使一次同余式方程的求解问题成为一门系统的数学理论---

中国剩余定理，这是中国宋、元时期数学发展的一项重大成就.自1852年英国传教士伟烈亚

力著文介绍“孙子定理”后，秦九韶的求解同余式方程方法引起了欧洲学者的广泛重视.西

方数学文献，一直把“孙子定理”称为“中国剩余定理”.

“孙子定理”因最初记载于《孙子算经》而得名.其原文为：“今有物，不知其数.三三

数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？答曰：二十三.

术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，

置三十.并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得.凡三三数之，剩一，则置七十五；五

五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五.一百六以上，以一百五减之，即

得.”

上面的文字用今天的数学语言写出来，就是求同余式方程组

⎧

x

≡

2(mod3)

⎪

⎨

x

≡

3(mod5)

⎪

x

≡

2(mod7)

⎩

的解，而且其求解的过程为

x=2×70+3×21+2×15−2×105

=140+63+30−210

=23

即所求解是.

23

实际上，是满足题设的最小正整数解.

23

《孙子算经》全书共分3卷，大约在公元67年-270年已经成书，其作者不详.上卷主要

论述筹算的制度和运算法则；中卷论述了分数的应用问题，包括面积、体积、等比数列等的

计算问题；对后世影响最大的是该书的下卷，特别是其中的第26个问题，就是前面提到的

“孙子定理”.另外，比较有名的“鸡兔同笼”问题是记载于该卷的第31个问题.

现在通行的“孙子定理”或称为中国剩余定理，其表达形式为

定理（中国剩余定理） 设

m,m,Λ,m

12k

是个两两互素的整数，则同余式方程组

k

- 7 -

⎧

xam

≡(mod)

11

⎪

xam

≡(mod)

⎪

22

，

⎨

⎪

ΛΛΛ

⎪

⎩

xam

≡(mod)

kk

对于模有唯一解

m=mmΛm

12k

x

≡+Λ+xa(modm)

m

m

xa

11kk

，

m

1k

m

其中

m

x1(modm)

ii

≡

. □

m

i

从上面定理解的表达式中，我们知道其求解的关键步骤（秦九韶最先给出了求解方法）

是要先求解同余式方程

axm

≡1(mod)

，

其中，.显然，此同余式方程等价于不定方程

(,)=1

am

axmy

−=1

.

然后，利用辗转相除法，并将辗转相除的过程逆推，则完全可以求出满足上面方程的.

x,y

这种求解的思想方法是中国古代数学家最先提出来的.下面让我们通过一个例子看一下，如

何求解二元一次不定方程的解.

axmy

−=1

例 试求不定方程

25+11=1

xy

的解.

解 因为

(25,11)=1

，并且

25=11×2+3

11332

=×+

3211

=×+

所以，

1321

=−×

3(1133)1

=−−××

(25112)(11(25112)3)

=−×−−−××

25411(9)

=×+×−

yxyx

=−25+11=1=4, 9

是不定方程一组解. □ 即

现在，让我们再来看前面“孙子定理”的问题.先分别求同余式

35≡1(mod3)21≡1(mod5)15≡1(mod7)

xxx

， 和

- 8 -

的解，得到.于是所求的《孙子算经》中问题

xxx

123

=2(mod3), 1(mod5),= 1(mod=7)

的解为

x

≡35×2×2+21×1×3+15×1×2(mod105)

=233(mod105)

=23(mod105).

秦九韶（约公元1209年—1261年，南宋），字道古.先后在湖北、安徽、江苏和浙江等

地做官.他知识渊博，当时人们称他“性极机巧，星象、音律、算

术以至营造等事无不精究”.1261年左右，他被贬至梅州（今广东

梅县），不久死于任上.他与李冶，杨辉，朱世杰并称中国宋、元时

期四大数学家.他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数

学”，1247年，他写成著名的《数书九章》（原名《数术大略》，

明朝后期被改名为《数书九章》）.他取得的最重要数学成就是“大

衍求一术”（一次同余式方程组解法）和“正负开方术”（高次方程

数值解法）.

《数书九章》以问题集的形式收录了81个问题，分成9类．主

要包括：1、大衍类---一次同余式组解法；2、天时类---历法计算、

降水量等；3、田域类---土地面积；4、测望类---勾股、重差；5、

赋役类---均输、税收；6、钱谷类---粮谷转运、仓窖容积；7、营建类---建筑、施工等；8、

军族类---营盘布置、军需供应；9、市物类---交易、利息等．

《数书九章》中记录了许多秦九韶的创造性成就，它继承和发展了《九章算术》的精神，

概括了宋、元时期中国传统数学的主要成就，在世界数学史上占有崇高的地位．

§3、二次方程解法

一、一元二次方程

探求二次方程求根公式

axbxc

++=0

2

−b±b−4ac

2

x=

2a

的研究，早在中国古代的数学名著《九章算术》之中就已经出现了.

《九章算术》第九卷中的第二十个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步

有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何？

答曰：二百五十步.

术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实.并出南门步数为从法，开方除之，即邑

方.”

把上述文字翻译成今天的数学语言，就是要求二次方程

xx

2

+(20+14)−2×20×1775=0

的解，并且指出其中一解是250.至于他们是如何具体求解的，古人只用一句话“开方除之”

x

作了概括.但是，我们从赵爽的记述中，还是可以找到一些中国古代求解方程方法痕迹的.

赵爽（东汉末年三国时期的吴国人，三国：公元220年-公元280年，吴：公元222年-

公元280年）不仅给出了二次方程

- 9 -

xcxa

22

−2+=0

的一个正确求根公式

x

=

2−2−4

cca

()

2

2

2

还用勾股图形的方法给出了求解的全过程.

其原文为：“其倍弦为广袤合，而令勾股见者，自乘为实，四实以减之，开其余，所得

为差.以差减合，其半余为广.减广于弦， 即所求也”.

把上面文字翻译成现在数学的语言形式，就是说，已知一个矩形的面积为一直角三角形

的直角边长的平方，令其为，且已知矩形的周长为一直角三角形的斜边边长的2倍，令其

a

为.如果设矩形的长、宽分别为

2c

x,y

，则我们要求的是下面方程

2

⎧

xy=a

2

⎨

⎩

x+y=2c

的解是多少？

x,y

实际上，上面方程组等价于二次方程.现在就让我们看看赵爽的解法.

zcza

−2+=0

因为，

22

()

x+y−4xy=(x−y)

所以，

2

2

(−)=(2)−4

xyca

222

(−)=(2)−4

xyca

.

又已知

xyc

+=2

，而，所以，

y=

22

(x+y)−(x−y)

2

2−(2)−4

cca

22

y

=

，.

xcy

=2−

2

需要注意的是，赵爽只考虑了中为正根的情况，即他只考虑了一个根.现在我们知

x,y

道，二次方程是有两个根的.

但是，从赵爽的二次方程求根解法中，我们完全可以断定：赵爽知道二次方程根与系数

之间的关系，即如果令

x,y

是二次方程的根，则

zcza

−2+=0

22

xycxya

+=2, =

2

.

事实上，“赵爽的注”是世界上最早的关于二次方程求根公式和求解过程的记载.

继赵爽的“《周髀算经》注”之后，中国又有一些文献记载了对二次方程求解问题的研

究.如《张丘建算经》中就记述了二次方程

331

x68x25140

2

+−×=

545

- 10 -

的解为.二次方程

x=12

2

3

xx

2

+15−594=0

的解为.还有8世纪的憎一行（公元683年-公元727年，唐代）在研究二次方程

x=18

xbxcbc

2

++=0, ,>0

的过程中用到了求根公式

−b+b−4c

2

x=

2

此外，如杨辉（13世纪，南宋）、朱世杰（《算学启蒙》，公元1299年）等也都对二次

方程求解问题进行过有意义的研究.到13世纪末，中国数学家已经分别给出了二次方程

x+bx+c=0,x+bx−c=0,

22

x−bx+c=0,x−bx−c=0,

22

的正确求根公式.当然，他们都没能给出一般情形下二次方程的求根公式.另外，他们也没有

意识到二次方程有两个根.此后，中国数学家在二次方程求根问题研究方面就没有什么特别

的进展了.

《周髀算经》是现存中国古代数学著作中最早的一本，其中记述的分数运算和勾股定理

是中国古代数学最早取得的宝贵成就之一.《周髀算经》的作者不

详，但该书成书的年代应不晚于公元前2世纪的西汉时期（公元

前206年-公元8年）.书中记述的有些事件可以追述至西周时期

（约公元前1027年-公元前771年）.这部著作主要阐述了“盖天

说”的宇宙模型，但其间也提到了西周初期使用矩测量高、深、

广、远的方法，以及环矩可以为圆等例子.

《周髀算经》的一开头就记述了中文数学文献中最早的一个勾

股定理（西方数学界称之为Pythagoras定理）特例，即我们熟知

的“勾三、股四、弦五”一语.其原文为：“商高曰：数之法，出

于圆方.圆出于方，方出于矩.矩出于九九八十一.故折矩.以为句

广三，股修四，径隅五.既方其外，半之一矩.环而共盘，得成三

四五.两矩共长二十有五，是谓积矩.故禹之所以治天下者，此数之所生也”.

赵爽（生活在3世纪前后），字君卿，是东汉末年三国时期（三国：公元220年-公元

280年，吴：公元222年-公元280年）的吴国人.他自称负薪余日，研究《周髀算经》，可

见他还是一个没脱离体力劳动的天文学家和数学家.

他的主要贡献是深入研究了《周髀算经》，并为该书写了序，而且为其作了详细的注释，

其中一段500多字的“勾股圆方图”注文是中国数学史上具有极高价值的文献.另外他对二

次方程解法过程的记述，是目前世界上能见到的最早的关于二次方程解法过程的描述.

二、勾股定理

从《周髀算经》记载的勾股定理特例，及其其他与之相关的事实，我们可以清楚地看到，

中国古代人民早在几千年以前就已经发现、并应用勾股定理这一重要数学原理了.

中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作出理

论上的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅

“勾股圆方图”（见示图），用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.

- 11 -

在“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE，是由4个相等的直角三角形再加

上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面

积为

ab

；中间的小正方形边长为，则面积为

()

b−a

2

2

()

b−a

.于是便可以得如下的关系式：

ab

+(−)=4×

ba

22

c

2

abc

222

+=

即直角三角形的边长之间的关系式---勾股定理.

在比《周髀算经》稍晚一点出现的《九章算术》

一书中，勾股定理得到了更加规范的一般形式的表达.

刘徽更使用了巧妙的“出入相补”原

理证明了勾股定理.“出入相补”原理出现在刘徽为《九章算术》勾股数，即为“勾股各自

乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从

其类，

因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.

使用现在数学语言，我们可以把上面的话翻译成如下叙述形式.

（见示图）中有三个正方形，令其边长分别为.把以为在“出入相补”原理示图

abc

,,

b

边长的正方形中的①部分，移动至以为边长的正方形

c

中的1部分；把以为边长的正方形中的②部分，移动

b

至以

ca

为边长的正方形中的2部分；把以为边长的正

方形中的③部分，移动至以为边长的正方形中的3部

c

分，则根据三个正方形的面积关系，显然有

cab

222

=+

.

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在

世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现

出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重

大意义.

§4、3次以上方程解法

一、王孝通建立方程式

中国古代关于3次或3次以上方程求解问题的研究，可以追述得很早，但从现存的中国

古代数学文献上看，王孝通的《缉古算经》（成书于公元626年，唐：公元618年-公元907

年），应该是最早记述3次或3次以上方程求解问题的.

下面通过一个具体问题（《缉古算经》中的第7个问题），让我们体验一下王孝通是如

何建立和求解一个3次方程的.

原文：“假令亭仓上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗.

今已运出五十石四斗.问：仓上下方、高及余粟深、上方各多少？

答曰：上方三尺，下方九尺，高一丈二尺；余粟深、上方俱六尺.

求仓方、高，术曰：以斛法乘容粟，为积尺.又方差自乘，三而一，为隅阳幂.以乘截高，

以减积，余为实.又方差乘截高，加隅阳幂，为方法.又置方差，加截高，为廉法，从.开立

方除之，即上方.加差，即合所问”.此问题原文还有后半部分---叙述了求余粟高及上方的

- 12 -

方法.

不失一般性，为了讨论方便，我们不妨只考虑粟装满的情况（见下面的图示），即假设

已知一个正方棱台---上下面为正方形，其体积为468（注意，石、斗和立方尺之间的换算），

上、下底面的边长差为6，棱台的高比上底的边长多9，试求棱台的上底面边长是多少？

我们令上底面的边长为，下底面的边长为

a

bh

，棱台的高为，则，

baha

−=6,−=9

棱台的体积.

V=468

其次，将棱台分解成三块：1部分，2部分，3部分，然后进行体积计算（见图示）.则

显然，由于1部分为正棱柱，所以其体积为

Vah

1

=

2

；

而2部分是底面为矩形的棱，所以其体积为

1b−a

V4(a()h)(ba)

2

=×=−

ah

；

22

又3部分的底面是正方形的棱锥，所以其体积为

11

⎛⎞

b−a

))()4((

bah

−V=×h=

2

.

3

⎜⎟

323

⎝⎠

然而，，所以

haha

=+(−)

2

VVVV

=++

123

1

=+(−)+(−)

ahbaahbah

22

3

1

aa(ha)(ba)aa(ha)(ba)a(ha)

=+−+−+−+−+−

22

()()()

3

即

- 13 -

1

468=aa+9+6aa+9+×6a+9

22

()()()

3

整理后有

aaa

32

+15+66=360

.

这就是说，我们要求的棱台的上底面边长是上面3次方程的一个根.当然，《缉古算经》

中已经告诉我们答案了：.那么，王孝通是如何求出这个3次方程的一个根的呢？在

a=3

《缉古算经》之中，王孝通只给我们交代了一句话：开立方除之！

事实上，王孝通使用了他自己发明的“带从开立方”方法，即推广“开立方术”（《九

章算术》）而得到的方法，从而有效地解决了三次方程的数值求解问题.那么“带从开立方”

方法到底是怎样的呢？非常遗憾！现在已无从查考.

二、3次方程求解

既然无从得知“带从开立方”方法，那么为了便于说明中国古代采用的求3次方程根的

方法，在这里我们将使用现代数学符号，并利用南宋时期秦九韶的“正负开方术”，来求解

王孝通建立的3次方程.假设一个方程为

n

fxaxaxa

()=+L++=0

n

n

10

，

其中，.

a,a≠0

n

0

首先，如果的根为，其中的是我们事先估计的一个近似于根的常数，

fx

()=0

a+x

a

则根中的

a+x

x

满足下面方程式

f(a+x)=aa+x+L+aa+x+a=0

n

()()

10

.

注意，在上式中我们按的幂次进行整理，则得到根中的部分满足的方程式

xx

a+x

n

fxaxaxa

111101

()=+L++=0

n

n

.

其次，仍然按前面的方法，再假设的根为，其中的是我们事先估计的

f(x)=0

1

b+xb

一个常数，则

b+x

中的部分满足方程式，，如此进行下去，若到了某一

x

f(x)=0

2

LL

步，得到的某个新方程

f(x)

m

的常数项为0（当然，此时要求解的方程的次数降低了1次），

则求得的根必是有理数.否则不断重复上述过程，就可以求得达到精度要求的根的近似值.

现在就让我们用“正负开方术”方法，求3次方程

xxx

+15+66−360=0

的一个根.

首先，我们令方程的根为，则

2+x

32

()()()

2+x+152+x+662+x−360=0

整理方程，有

32

.

- 14 -

x+x+x+

32

6128

156060

+x+x+

2

66132

+x+

3600

−=

即

xxx

32

+21+138−160=0

.

其次，令方程的根为

xxx

+21+138−160=0

1+x

，则

32

()()()

1+x+211+x+1381+x−160=0

整理方程，有

32

.

x+x+x+

32

331

214221

+x+x+

2

138138

+x+

1600

−=

即

xxx

32

+24+182=0

.

所以，方程有一个根是0，于是方程

xxxxxx

+24+182=0+21+138−160=0

的

一个根为

1+0=12+1=3

，从而3次方程的一个根是. □

xxx

+15+66−360=0

至此，我们会感觉：中国古代使用的求解3次方程根的方法，与我们现代数学中使用的

求代数方程数值解的方法一样啊！确实如此，我们现在使用的方法与近八百年之前中国古代

数学家发明的方法一致！

王孝通（生卒年代不详，隋末-唐初，隋：公元581年-

公元618年），在唐朝初年做过算学博士，后升任通直郎、太

史丞.他毕生从事数学和天文学工作.王孝通所著的《缉古算

术》（公元626年，唐代），被奉为数学经典，后人称其为《缉

古算经》，全书共收入20个问题.第1题研究的是天文历法计

算方面的；第2-14问题是讨论土木、水利工程设计和施工计

算方面的；第15-20问题是有关勾股定理及其应用方面的.

王孝通在编写《缉古算经》期间，特地寻找那些前人没有

研究过或未解决的问题加以研究，尤其是工程方面的问题.他

对自

己的著作非常自信，有“如有排其一字，臣欲谢以千金”

一语（《）

上缉古算经表》.

王孝通的主要贡献是在建立和求解方程方面.《缉古算经》

是中国现存最早的介绍3次方程求解问题的数学著作，它反映了中国古代数学家（公元7

世纪之前）在建立和求解3次方程等方面作出的重要贡献.

三、方程表示

解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考.擅长建立和求解各式方程的

32

3232

- 15 -

中国古代数学家们，自然也不会忽视代数方程的符号化.当然，中国古代数学家使用的方程

符号与我们现代通行的方程符号是有差别的.使用特定的汉字表示方程的未定元、有关系数

以及用特定的书写方式表示方程的努力主要是在宋、元时期（北宋：公元960年-公元1127

年，南宋：公元1127年-公元1279年，金：公元1115年-公元1234年，元：公元1206年-

公元1370年）完成的---天元术（李冶，元代）和四元术（朱世杰，元代）.

下面让我们使用王孝通的后继者（李冶，元代）发明的“天元术”，来看一下“天元术”

的记法，以及求3次方程根的简单变换过程.

如果令，则多项式与的乘

gxbxbxbfxaxaxagx

()=+L++()=+L++()

mn

1010

积

fxgx

()()

就表达成下面形式

mn

为简便起见，我们看一下首项系数是1的3次方程的数值解的

xaxaxa

+++=0

210

求解变换过程.如果我们令初始值为，即假定

a

a+x

是3次方程的

xaxaxa

+++=0

210

一个根，则这里的应适合怎样的方程？

x

因为，

32

32

- 16 -

所以，其适合的方程为

x+(3a+a)x+(3a+2aa+a)x+a+aa+aa+a

32232

22121

()

0

.

如果“实”位（常数项）是0，则计算过程终止，得到方程的一个根.否则，可以继续

这一“商、变式”过程.如果根是无理数的话，则我们可以利用这种算法求出达到精度要求

的根的一个近似值.

四、宋、元时期

在宋、元两代（宋：公元960年-公元1279年，元：公元1206年-公元1370年），中

国古代数学发展进入了一个黄金时期.期间群星闪烁，名家云集，成就斐然.放眼世界，已是

遥遥领先.这期间在求解高次方程领域更是大放异彩，取得了举世瞩目的辉煌成就.如方程的

表达方式已趋完善，求解方程的法则日趋完备，涉及的方程种类更是形式多样.

1、天元术和四元术

如果没有形式规则统一的方程式写法，那么在求解方程的过程中，就很不容易发现蕴涵

期间的数量关系，无形之中也就增加了解决问题的难度.对于求解高次方程，方程形式的科

学性和规则性，就尤其显得重要.中国古代宋、元时期的数学家在这方面迈出了重要一步---

发明了“天元术”和“四元术”.

天元术 一种建立、表达1元方程的方式.由于在“天元术”中称未定元（现在我们说的

“立天元一”是其重）为天元，所以我们称该种建立、表达方程的方式为天元术，

未定元

x

要标志.从现存的古代数学文献来看，李冶应该是第一个系统阐述“天元术”的数学家．

在“天元术”中建立、表达方程的方式与我们现代建立、书写方程的方法基本一致.这

就是说，都需要先设未定元，再把未定元视为与常数一样的量参与期间的运算，然后寻找等

量关系建立等式，最后按规则（按幂数高低）整理书写方程式（参见，下面的图1，图2）.

上面的两个“天元术”表达式（图1，图2）是按幂数从高到低，由上至下排列的.其中

的汉字“太”表示常数项所在位置（即该行的数字表示常数项），在数字上加一斜线表示该

位置的系数是负的，○表示该位置的系数是0.

李冶（公元1192年-公元1279年），字仁卿，号敬斋，金、元时期（金：公元1115

年-公元1234年）数学家.著有《测圆海镜》（1248年，共12卷）和《益古演段》（1259年，

共3卷），它们是现存最早、最完整的“天元术”著作.

正大七年（公元1230年），李冶考中进士，出任钧州（今河南禹县，当时属于金国）知

事，为官清廉、正直．开兴元年（公元1232年），蒙古军队攻陷钧州城，李冶北渡黄河避难，

定居于崞山（今山西崞县）．至元二年（公元1265年，元代），应忽必烈聘请，任翰林学士

- 17 -

知制诰同修国史官职，第二年辞职还乡．晚年著有《敬斋古今黈（音tǒu）》、《泛说》等书．

《测圆海镜》第1卷从圆城图式出发主要阐述了勾股定理、圆及其相互之间的关系，第

2-12卷是习题应用部分，共170道题.李冶为普及“天元术”思想，写了《益古演段》，共

3卷，64道题.他在《益古演段》中用人们比较容易接受的几何方法，对“天元术”进行了

图文并茂、深入浅出的解释．

李冶之前，数学家们研究方程时，一直受几何思维

的束缚，例如常数项只能为正（表示面积、体积等），

方程的次数也不能高于3等等．但是，李冶认识到代数

计算可以不依赖于几何.所以，他在《测圆海镜》中一

改研究方程的传统观念，利用“天元术”布列、求出了

许多高次方程，例如3次、4次和6次方程，甚至他还

处理了分式方程！

《测圆海镜》是中国古代方程理论发展的一个转折

点：代数方程理论开始摆脱几何思维的束缚，实现了形

式化和程序化.《测圆海镜》不仅是中国数学史上的一

部巨著，也是世界数学史上的一部重要著作.李冶自己

对《测圆海镜》也是情有独钟：“吾平生著述，死后可

尽焚去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾尝精思

致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎！”

《测圆海镜》中的“天元术”理论，对后世数学的

影响极大．李冶死后，“天元术”经二元术、三元术，

迅速被朱世杰推广到了“四元术”，并成功地解决了四元高次方程组的建立和求解问题，使

宋、元时期的数学迅速发展，达到了中国古代数学的顶峰．

四元术 一种建立、表达多元方程的方式，未定元的个数最多是四个.“四元术”首先

是以“天、地、人、物”来表示不同的未定元，然后根据等量关系建立方程式.实际运用时，

各个未定元的位置是固定，然后将各自对应的系数放入该位置，至于不同未定元乘积项的系

数，则放在相应的间隙之间.

一般在使用“四元术”时，在开始时总有“立天元一为××，地元一为○○，人元一为

△△，物元一为□□”等词语.实际上，这相当于我们现代建立方程式时，常用的话“设

x,y,z,ux,y,z,u

表示××，○○，△△，□□”．如果我们分别用表示“四元术”中的“天、

地、人、物”，则“四元术”中的4元高次方程对应项的系数按下面位置记入

这些符号与我们现在的符号对应，就是

- 18 -

当然，现在不会按表格形式书写方程了，而是习惯于把它按“字典序”的形式书写.古、

今书写形式对比如下：

朱世杰（13世纪，生卒年月不详），字汉卿，号松庭，元代初期数学家.著有《算学启

蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）.

《算学启蒙》共3卷，20门，有259个问题并配有答案.其内容由浅入深，从一位数乘

法开始，逐次讲到当时的最新数学成果---天元术，形成了一个完整的数学体系.其内容包括

多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、

高次方程解法等．

《四元玉鉴》共3卷，24门，288个问题.其主要成就是“四元术”，即四元高次方程组

的建立和求解方法（如四元消法）．它代表了当时世界范围内代数方程理论的最高水平．《四

元玉鉴》中的所有问题都与方程或方程组有关．题目编排是先方程后方程组，先线性方程组

后高次方程组，依次递进.全书含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个.书中讨论

的最高次方程是14次方程，这是中国古代数学史上处理过的次数最高的方程．

朱世杰是宋、元时期，中国古代数学研究领域的集大成者，也是古今中外最伟大数学家

之一.“有了朱世杰，中国的古代数学，方才达到了高水准”（李约瑟，公元1900年-公元

1995年）.

2、解高次方程术

从求解2次方程、3次方程到解4次或4次以上方程，甚至求解多元高次方程，在认识

上是一个飞跃.这种认识上的飞跃在中国宋、元时期得以实现.

从秦九韶的“正负开方术”（参见§4的第二部分，3次方程求解），我们知道，要正

确完成求代数方程数值解的过程，其前提是准确掌握二项式展开定理

(a+b)=

nn−kk

⎛⎞

n

∑

⎜⎟

k

ab

，

0

≤k≤n

⎝⎠

- 19 -

其中，.

⎜⎟

⎛⎞

n

n

!

=

⎝⎠

m

()!

n−mm

!

二项式展开定理的准确形式，是由中国古代著名数学家贾宪（北宋）最先得到的.在宋

代数学家杨辉（生活在南宋末-元朝初）的著作《详解九章算法》（公元1261年成书）中就

记载了贾宪的工作，杨辉指出贾宪用过下面左边的数字图形

实际上，这是世界上最早的二项式定理系数表．尽管这张表只展到6次（），

(a+b)

但表中数字是非常有规律的，即每个数都是它肩上两个数字之和（.

⎜⎟⎜⎜⎟⎟

=+

6

⎛⎞⎛⎞⎛⎞

nn−1n−1

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

k k−1 k

朱世杰曾将贾宪三角形添加了两行，推广到了8次方展开的形式）．从这些文献记载，我们

完全可以确定贾宪已经发现了二项式展开定理系数表，并借助于它创造了求解高次方程数值

解的“增乘开方术”.

贾宪（11世纪，生卒年月不详），北宋（公元960年-公元1127年）著名数学家.著有

《黄帝九章算法细草》和《释锁》.非常可惜，这两部著作都已经失传.但是，这两部著作的

部分内容被南宋数学家杨辉编入了《详解九章算法》，使我们现在能有幸一睹贾宪的两项杰

出成果：增乘开方术和开方作法本源图.

贾宪利用自己的“增乘开方术” 可以开

nn

次方（是任意正整数），这种开方法比西

方Horner（公元1819年）完全相同的开方法要早600多年；贾宪的三角形也比西方

Pascal

的三角形更是早提出了600多年.

继贾宪之后秦九韶在其著作《数书九章》之中，将“增乘开方法”不断完善，并将其推

广为更具有一般性的，求解高次方程数值根的方法---“正负开方术”，实现了只需通过机械

式迭代，就可以求解高次代数方程数值根的梦想.

下面就让我们再次把玩一下中国古代数学的超精品文物，秦九韶的“正负开方术”.

例 试求4次方程的一个根.

xxxx

−6+4+6−5=0

首先，我们令方程的根为，则

4+x

432

()()()()

4+x−64+x+44+x+64+x−5=0

432

，

- 20 -

整理方程，有

x16x96x256x256

432

++++

6x72x288x384

−−−−

32

4x32x64

+++

2

6x24

++

50

−=

即

xxxx

432

+10+28+6−45=0

.

其次，令方程的根为

xxxx

+10+28+6−45=0

1+x

，则

432

()()()()

1+x+101+x+281+x+61+x−45=0

整理方程，有

432

，

x4x6x4x1

432

++++

10x30x30x10

++++

32

28x56x28

+++

2

6x6

++

450

−=

即

xxxx

432

+14+64+96=0

.

所以，方程

xxxxxxxx

+14+64+96=0+10+28+6−45=0

有一根为，则

0

有一个，进而有一根为. □

1+0=14+1=5

xxxx

−6+4+6−5=0

下面再让我们看看与多元高次方程组有关的问题，即朱世杰处理求多元高次方程组根的

方法和步骤.问题来源于《四元玉鉴》中的假令四草.

原文：“今有股弦较除弦和和与直积等，只云勾弦较除弦较和与勾同.问弦几何.答曰：

五步.”

使用现代的数学语言，就是如果我们设直角三角形的勾、股、弦长分别为，则该

x,y,z

问题就是求解方程组

432

432432

⎧

−−+−−=

xyyxyzxz0 (1)

2

⎪

2

⎨

−+−−+=

yxxzxz0 (2)

⎪

y+x−z=0 (3)

222

⎩

中的值.

z

以下我们采用朱世杰发明的方法.当然，使用的符号是现代的.

首先，将（3），（2）代入（1）；将（2）代入（3），并整理，则有

- 21 -

⎧

xx2xxzxzxzxz2xz0 (4)

3232222

+−−+−+−=

⎪

2

⎨

−+−−+=

yxxzxz0

⎪

x−2x+2x−2xz+4xz−2xz+xz−2xz = 0(5

43232222

)

⎩

所以，消掉（4）、（5）式中的，并化简.可以考虑方程组

x

2222

⎧

⎪

x+x−2−xz+xz−z+xz−2z=0

⎨

322

⎪

⎩

x3xx2xz3xzz0

−++−+−=

将方程组中的二元多项式，按的幂数进行整理，则

x

222

⎧

⎪

(1−z)x+(1+z+z)x−(2+z+2z)=0

⎨

32

⎪

⎩

x−(3+z)x+(1+3z)x+2−z=0

()

222

⎧

⎪

(1−z)x+(1+z+z)x−(2+z+2z)=0

⎨

22

2

−++−+−+=

(4z)x(33zz)x23zz0

()

⎪

⎩

其次，进行消

x

的最高次项和消“常数项”处理.为更能说明朱世杰的方法，我们就一

般情形进行讨论.令方程组为

2

⎧

(6)f(z)xf(z)xf(z)0

⎪

210

++=

⎨

2

(7)g(z)x+g(z)x+g(z)=0

⎪

⎩

210

则进行如下变换

⎧

(6)()(7)()0 (8)

×gz−×fz=

22

⎨

⎩

(6)()(7)()0 (9)

×−×=

gzfz

00

注意：（9）为，即等价

(()()−()())+(()()−()())=0

fzgzfzgzxfzgzfzgzx

20021001

于.

(f(z)g(z)−f(z)g(z))x+(f(z)g(z)−f(z)g(z))=0

20021001

从而得到方程组

2

(10)()()0

⎧

azx+az=

10

⎨

bzxbz

()()0 (11)

+=

01

⎩

至此，消方程组中的“常数项”，则有

()

a(z)b(z)−a(z)b(z)x=0

1001

，

所以，实际我们要求解的方程是

a(z)b(z)−a(z)b(z)=0

1001

.

那么，就我们讨论的方程进行如上的一系列变换，则有满足的方程是

z

zzzz

432