中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家—赵爽

中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家—赵爽

赵爽，字君卿，⼜名婴，东汉末⾄三国时代的吴国⼈。⽣平不详，⼤约⽣活于公元3世纪初。

据史料记载，赵爽曾经研究过张衡的天⽂数学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”，他对数学有深刻的理解。

赵爽在数学上最主要的贡献是，他在公元222年，深⼊研究了《周牌算经》，不仅为该书写了序⾔，还作了⾮常详细的注释。

他的⼯作有图为证，永载史册。赵爽在《周髀算经注》中，逐段解释《周髀算经》的内容，⽽最为精彩的是附录于⾸章的“勾

股圆⽅图”，短短500余字，附图六张，概括了《周髀算经》、《九章算术》《九章算术》以来中国⼈关于勾股算术的成就，其

中包含了勾股定理。

在《周髀算经》的开篇是以对话的⽅式记载了公元前11世纪政治家周公与⼤夫商⾼讨论了勾股测量问题。

商⾼⽈：“数之法出于圆⽅。圆出于⽅，⽅出于矩，矩出于九九⼋⼗⼀。故折矩以为勾⼴三，股修四，径隅五。既⽅其外，半

之⼀矩，环⽽共盘得三、四、五，两矩共长⼆⼗有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所由⽣也。”

商⾼答周公问时提到“勾⼴三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它⼜被称为商⾼定理。它说明早在商⾼那个年代，

⼈们就在讨论这个问题的解法了。

赵爽的《周髀算经注》是数学史上极有价值的⽂献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各⾃乘，并

之，为弦实。开⽅除之，即弦。”证明⽅法叙述为：“按弦图，⼜可以勾股相乘为朱实⼆，倍之为朱实四，以勾股之差⾃相乘为

中黄实，加差实，亦成弦实。”

他撰成《勾股圆⽅图说》，附录于《周髀》⾸章的注⽂中，勾股图说。短短五百多字，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌

成就，不仅勾股定理和其它关于勾股弦的恒等式获得了相当严格的证明，并且对⼆次⽅程解法提供了新的意见。

勾股圆⽅图

最为精彩的是附录于⾸章的勾股圆⽅图，短短500余字，概括了《周髀算经》、《九章算术》以来中国⼈关于勾股算术的成

就，其中包含了：

勾股定理(这⾥以a，b，c分别代表直⾓三⾓形的勾、股、弦三边之长)a⊃2;+b⊃2;=C⊃2;。

及其变形

b⊃2;=c⊃2;-a⊃2;=(c-a)(c+a)

a⊃2;=c⊃2;-b⊃2;=(c-b)(c+b)

c⊃2;=2ab+(b-a)⊃2;

有通过开带从平⽅

a^2+(b-a)a=1/2[c⊃2;-(b-a)⊃2;]求勾a

开平⽅a=[c⊃2;-(c⊃2;-a⊃2;)]^1/2求勾a

开带从平⽅(c-a)⊃2;+2a(c-a)=c⊃2;-a⊃2;求勾弦差c-a的⽅法，以及：

c=(c-a)+a

c+a=b^2/(c-1)

c-a=b^2/(c+a)

c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a)

a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)

等公式

与上述公式对称，也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式，⼜有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：

a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b)

b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a)

c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)

以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式

(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2

a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2

b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2

进⽽由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)]，最后给出了由弦与勾（或股）表⽰的股(或勾)弦并与股(或

勾)弦差之差：

(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2

(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2

赵爽⽤出⼊相补⽅法对上述公式作了证明。这些公式⼤都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证明⽅法也类似，只是最

后两个公式为刘徽注所没有，所⽤术语也与刘徽稍异。可见，这些知识是汉魏时期数学家们的共识。《畴⼈传》说勾股圆⽅图

注“五百余⾔⽿，⽽后⼈数千⾔所不能详者，皆包蕴⽆遗，精深简括，诚算⽒之最也”。

赵爽在《周髀算经》注中给出的《勾股圆⽅图注》是勾股定理最早的证明。赵爽是利⽤割补法证明了勾股定理的。他画了⼀

张“弦图”，其中每⼀个直⾓三⾓形称为“朱实”，中间的⼀个⼩正⽅形叫“中黄实”，以弦为边的正⽅形ABEF叫“弦实”。由于四个

朱实加上⼀个中黄实就等于弦实，赵爽就是这样利⽤割补法证明了勾股定理所以有下式成⽴：即定a2＋b2＝c2。

作“勾股圆⽅图”，其中的“弦图”，相当于运⽤⾯积的出⼊相补证明了勾股定理。如图考虑以⼀直⾓三⾓形的勾和股为边的两个

正⽅形的合并图形，其⾯积应有a2 + b2 。如果将这合并图形所含的两个三⾓形移补到图中所⽰的位置，将得到⼀个以原三⾓

形之弦为边的正⽅形，其⾯积应为c2， 因此a2 + b2 = c2。

赵爽这⼀简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五” 特例之后的⼀段说明⽂字的诠释，《周髀算

经》的这段⽂字说：“既⽅之，外半其⼀矩，环⽽共盘，得成三、四、五。两矩共长⼆⼗有五，是谓积矩”。

赵爽的这个证明可谓别具匠⼼，极富创新意识。他⽤⼏何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，

⼜具直观性，为中国古代以形证数、形数统⼀、代数和⼏何紧密结合、互不可分的独特风格树⽴了⼀个典范。

以后的数学家⼤多继承了这⼀风格并且代有发展。例如稍后⼀点的刘徽在证明勾股定理时也是⽤的以形证数的⽅法，只是具体

图形的分合移补略有不同⽽已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统⼀”的

思想⽅法，更具有科学创新的重⼤意义。正如当代中国数学家吴⽂俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往

是形影不离地并肩发展着的……⼗七世纪笛卡⼉解析⼏何的发明，正是中国这种传统思想与⽅法在⼏百年停顿后的重现与继

续。”

赵爽是中国古代最早对数学定理和公式进⾏证明与推导的数学家之⼀，他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆⽅图及注”和“⽇⾼

图及注”是⼗分重要的数学⽂献。在“勾股圆⽅图及注”中他提出⽤弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“⽇⾼图及

注”中，他⽤图形⾯积证明汉代普遍应⽤的重差公式，赵爽的⼯作是带有开创性的，由于他取得的成就，在中国古代数学发展

中占有重要地位。赵爽与刘徽的⼯作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

赵爽在“勾股圆⽅图”说中还类似地证明了勾股定理的许多推论,，此外他还给出了⼀张“⽇⾼图”，是⽤⾯积出⼊相补的⽅法去证

明《周髀算经》中的⽇⾼公式。⽤公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽⽤⾮常优美的⽅法——弦图，证明了勾股定理。该

图不仅代表了古代中国曾经为世界数学的发展做出过重要贡献，同时该图也反映了数学的简洁之美。